円の面積：公式の導出・部分・境界の観察記録

得られる結果

半径と直径、有限の並べ替えと長方形、二重に数えた面積、穴と境界の混同を、生徒の図と操作で確かめ直せます。

操作手順

1. 求める部分と、その授業の道具を決める

   内外の正方形による見通し、公式を導く並べ替え、円と四角形の組み合わせから選びます。紙・定規・コンパス、切る場合の道具を確認し、生徒の作業と講師の見本や支援を分けます。

2. 紙や授業用ボードへ写す12項目

   内容・条件・使う道具：[ ] 生徒の予想と面積の見通し：[ ] 半径・直径・半径の正方形：[ ] 内外の図形と面積の範囲：[ ] 生徒の等分数と並べ替えの図：[ ] 同じ部分・すき間・重なりの確認：[ ] 横と円周の半分・高さと半径：[ ] 式を公式へまとめる説明：[ ] 求める部分・穴・補助線の図：[ ] 部分の面積と境界・単位の対応：[ ] 別の方法・仮定・講師の支援：[ ] 生徒の修正と次の確かめ：[ ]

3. 作例A：半径の正方形を基準に見通す

   半径5cmなら、半径の正方形は25cm²。内側の正方形は対角線10cm同士で50cm²、外側は一辺10cmで100cm²です。円の面積は50cm²と100cm²の間で、3.14による計算78.5cm²と比べられます。生徒の内外・半径・直径の図と各面積を対応させます。

4. 作例B：近づく形と面積を保つ操作を分ける

   半径5cmの円を細かく等分して交互に並べ替えるなら、横は円周の半分15.7cm、高さは半径5cmへ近づく見方です。15.7×5=78.5cm²へ対応し、半径×2×3.14÷2×半径を半径×半径×3.14へまとめます。有限の切り分けが既に完全な長方形とはせず、同じ部分をすき間や重なりなく移すことを生徒の図で確認します。

5. 作例C：共有する辺は外周へ入れない

   12cm×8cmの長方形の短い辺に、外側へ直径8cmの半円を付けます。面積は96+4×4×3.14÷2=121.12cm²。外周は12+12+8+8×3.14÷2=44.56cmです。共有する8cmの辺は内部、反対側の8cmは外周であることを、生徒の領域と境界の図に示してもらいます。

6. 作例D：穴の面積と内側の境界を区別する

   中心が同じ外側半径6cm・内側半径2cmの輪なら、面積は(36−4)×3.14=100.48cm²です。境界の合計は12×3.14+4×3.14=50.24cm。穴の面積は除き、内側の境界は長さへ含むことを、生徒の二つの半径と色分けに対応させます。

7. 作例E：補助線と全体から引く方法を比べる

   一辺4cmの正方形で向かい合う頂点を中心とする二つの四分円の間なら、(4×4×3.14÷4−4×4÷2)×2=9.12cm²です。二つの四分円を足して正方形を引く12.56×2−16でも9.12cm²になります。直径10cmの半円から同じ側の直径4cm・6cmの半円を除く別の例は、(25−4−9)×3.14÷2=18.84cm²。生徒の求める部分・補助線・重なりのない分け方を確かめます。

8. 条件を変えて確かめ直す

   半径、元の四角形、穴の大きさや求める部分を一つ変え、生徒が図と方法を選び直します。領域と境界、長さと面積、与えられた寸法と実測へ戻って修正できたかを記録し、計画・実施・未確認と支援を分けます。

知っておきたいこと

• 小6B(3)、冊子296〜298/PDF302〜304に基づく独自の観察例です。半径の正方形との比較、等分と並べ替えによる公式の導出、円・半円・四分円の組み合わせを扱います。
• 円周率3.14による計算です。有限の切り分けの形と近づく見方を区別し、形式的な極限の証明や三角比は求めません。生徒の別の正しい方法や向きも認めます。
• 図上の条件・計算値・実測・実施した操作と未実施・講師の支援を分けます。実際の生徒との試用・母語話者による校閲は未実施です。
• 欄は紙や授業用ボードへ写して使います。上のリンクは自分のボード一覧を開き、指導記録の自動採点・保存や切り分けシミュレーターの機能ではありません。

関連ガイド

• 円の面積と組み合わせの授業用ボード
• 円の面積・組み合わせの練習
• 文部科学省・小6B(3)円の面積
• 啓林館：円の面積と公式を導く過程