円と接線：式と計算過程・接点と共有点の観察記録

得られる結果

円・一点・点なし、円上の接点と外点、接線の方向と通過点、共有点の個数と全座標、半弦と弦全体を、生徒の図と全計算から区別できます。

操作手順

1. 式と計算過程と図を、最後の結論から分ける

   生徒が同じ単位の軸へ円・直線を描き、中心と半径、接点・共有点の全座標を式に対応させたかを見ます。講師の図や直角印、準備の指定数値だけを、生徒の作図・理由の証拠にはしません。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が描いた直交する軸と両軸の同じ単位：[ ] 元の円の式と計算過程と平方完成の各項：[ ] 平方完成の右辺と円・一点・点なしの理由：[ ] 中心の符号と正の半径・半径の二乗：[ ] 生徒の接点の全座標と円上の代入：[ ] 接線の式と計算過程と指定点を通る代入：[ ] 半径への垂直・垂直と水平な接線：[ ] 非負の中心距離と正の半径の比較：[ ] 代入した二次式・判別式と共有点の個数：[ ] 全共有点の両式への代入と半弦・弦全体：[ ] 同じ0でない倍率と全係数への対応：[ ] 講師の見本・支援と生徒の理由・未確認：[ ]

3. 作例A：平方完成と点集合に戻す

   見本x²+y²−4x+2y−20=0は(x−2)²+(y+1)²=25、中心(2,−1)、半径5です。生徒が中心の符号と半径の二乗を分け、P(5,3)の3²+4²=25を確かめたかを記録します。右辺0なら一点、負なら実数の点なしとなる理由も、正の半径の円と分けます。

4. 作例B：接点と通過点・垂直に戻す

   見本O(−1,2)、半径5、P(2,6)では接線3x+4y−30=0です。生徒がPの円上3²+4²=25と、直線への6+24−30=0、半径への垂直、中心距離|−3+8−30|/5=5を全計算で残したかを見ます。垂直という方向だけで接線の位置を決めません。

5. 作例C：全共有点と弦全体に戻す

   見本円(x−1)²+(y−1)²=9とy=3では中心距離2<3です。生徒が代入後のx²−2x−4=0、判別式20>0、全共有点(1±√5,3)を対応させ、両式へ戻したかを見ます。半弦√5と弦全体2√5を分け、中心から弦への垂線と三平方の定理へ戻します。

6. 作例D：垂直・水平な全接線と接点を見る

   別の見本O(−2,3)、半径4の円では、垂直な接線はx=−6,x=2、接点は(−6,3),(2,3)。水平な接線はy=−1,y=7、接点は(−2,−1),(−2,7)です。生徒が各点を円と対応する直線へ代入し、半径と接線の方向を分けたかを見ます。y=ax+bだけを探して垂直接線を落としません。

7. 作例E：負の倍率でも、両式と距離に戻す

   別の見本円(x−1)²+(y+2)²=13と2x+3y+17=0は、中心(1,−2)からの距離13/√13=√13で接します。接点H(−1,−5)は円で4+9=13、直線で−2−15+17=0。円全体を−2倍、直線全体を−3倍して−6x−9y−51=0としても同じH、距離39/√117=√13です。生徒が全係数と絶対値を対応させたかを見ます。

8. 別の一例と未確認へ戻る

   正しい同値な式・根号・初等幾何の説明や、条件を満たす生徒の別の一例を認めます。全12条件を必須にせず、生徒の図・式と計算過程・円上と垂直の理由を講師の見本や支援から分けます。自由な作図・式と計算過程の自動採点や、この観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ⅱ(2)の円の方程式と、円・直線の位置関係を考察する範囲を踏まえた独自活動です。二円・軌跡・領域・数学Ⅱ全体・固定学年や全試験範囲の履修は主張しません。
• 円の半径は正、直線のA,Bは同時に0でない条件を残します。円上の点の接線の式は、外点や内点へそのまま使えません。一点・点なし、垂直・水平、半弦と全体を分けます。
• 円・線・点と文字は個別に編集できますが、動かしても他の点・式や距離は自動更新されません。12項目は紙や既存ボードへ手動記録し、自由な図・式と計算過程の自動採点や観察欄の自動保存はありません。
• 生徒の図全体・式と計算過程と条件を講師の見本・支援から分けます。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

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