円の方程式と、接線・共有点の条件を結ぶ
平方完成で中心と半径を確かめ、接点と半径の垂直・中心から直線への距離を結びます。準備14問と、生徒が途中式・共有点と条件を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子57–58/PDF69–70の円を方程式で表すことと、円と直線の位置関係を考察する範囲を踏まえた独自課題です。接線は半径との垂直、中心と直線の距離、連立して得る二次式の判別式を結びます。二円の位置関係・軌跡・領域・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張せず、出典の例題や図版を写していません。
解説を読む
円らしく見える式でも、実際に正の半径をもつとは限りません。中心から一定の距離という条件へ戻し、直線との共有点、接点と半径の垂直、判別式と距離の二つの見方が同じ結論になることを確かめます。
必要な予備知識
直交座標、二点間の距離、平方完成と平方根、二次方程式の判別式、直線の一般形と垂直条件、点と直線の距離。自由な円・直線の式と計算過程、座標図と理由は講師が手動確認します。微分・ベクトルの既習は前提にしません。
- 中心O(a,b)、半径r>0の円は(x−a)²+(y−b)²=r²です。直交する両軸の単位をそろえ、中心からの距離がrである点の集合として確かめます。半径の二乗r²と、正の半径rを分けます。
- x²+y²+Dx+Ey+F=0は、(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²)/4−Fへ平方完成します。右辺が正なら中心(−D/2,−E/2)をもつ円、0ならその一点だけ、負なら実数の点はありません。ここでは一点だけの集合を正の半径の円とは呼びません。
- 円に接する直線は、円との共有点が一つの直線です。接点Pは円上にあり、接点を通る半径OPと接線は垂直です。Pが円上にあることを確かめず、接線の式だけを無条件に当てはめません。
- 中心(a,b)、半径r>0の円の円周上にP(p,q)があるなら、Pでの接線は(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r²です。Pの代入と半径への垂直を確かめます。p=aまたはq=bの場合にも使え、垂直・水平な接線を落としません。
- 円の中心から直線Ax+By+C=0までの距離をd=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)とします。A,Bは同時に0でありません。d<rなら共有点二つ、d=rなら一つで接線、d>rなら共有点なしです。絶対値や正の半径を落としません。
- 直線の式を円へ代入し、一つの座標についての二次方程式にして、判別式Dの符号から共有点を調べられます。D>0で二つ、D=0で一つ、D<0で実数の共有点なしです。xが一定の直線ではxを円へ代入し、yについて調べます。
- 中心Oから直線へ下ろした足Hは、円に接するとき接点です。Hが直線上で、OHが垂直で、OH=rとなることを確認します。中心からの距離がrでも、直線上でない任意の点を接点とはしません。
- d<rで直線が切り取る弦の長さは2√(r²−d²)です。中心から弦への垂線が弦を二等分することと三平方の定理から導きます。√(r²−d²)は弦の半分であり、弦全体ではありません。
- 直線の全係数を同じ0でない数で倍しても、直線も中心からの距離も変わりません。円の式も全体を同じ0でない数で倍した同値な式を認め、係数の一部だけを変えた式とは区別します。
- 円の方程式、直線の式、求めた共有点・接点を元の二つの式へ代入して確かめます。主課題の座標図・式と計算過程と条件は手動確認し、準備の数値や「接する」という結論だけで生徒の理由を評価しません。
解き方の例
x²+y²+2x−6y−15=0は(x+1)²+(y−3)²=25です。中心(−1,3)、半径5。円上のP(2,7)での接線は3(x+1)+4(y−3)=25、すなわち3x+4y−34=0です。Pでは6+28−34=0、中心との距離は|−3+12−34|/5=5です。
中心(2,−1)、半径3の円と直線y=1では、中心からの距離は2<3です。代入すると(x−2)²+4=9よりx=2±√5。共有点(2±√5,1)は二つ、弦の長さは2√5です。
よくある間違い
- 平方完成の移項で定数を落とし、中心の符号や半径の二乗を誤る。
- 平方完成の右辺が0または負でも、正の半径の円があるとする。
- Pが円周上かを確かめず、接線の公式を使う。
- 中心から直線までの距離で絶対値を落とすか、dとr²を比べる。
- y=ax+bだけで接線を探し、垂直な接線を落とす。
- 弦の半分√(r²−d²)を、弦全体の長さだとする。
考え方を説明する
準備14問は中心の一成分・半径・係数・弦の長さなどの指定数値と条件の選択です。主課題は生徒の平方完成・全ての元の式への代入、円上という条件、半径への垂直、非負の距離と正の半径の比較を手動確認します。T1は円・一点・点なし、T2は直径からの円、T3は円上の接点の接線、T4は垂直と水平の接線、T5は全ての平行な接線と接点、T6は距離と判別式・弦、T7は半径への垂直だけでは足りない誤りの修正、T8は接点での条件を落とす誤り、T9は同値な倍率、T10は生徒が作る円と接線の具体例を見ます。正しい同値な式・根号・初等幾何の別解も認め、全ての条件を満たす別の例を認めます。
自動採点は準備の指定数値と選択だけです。円と直線の自分で書いた式と計算過程、共有点・接点の全座標、生徒の座標図・判別式と距離の理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい作図採点器・微分やベクトルの前提は追加せず、授業効果や生徒の達成も主張しません。
練習する
準備の指定数値と選択だけを自動採点します。式と計算過程・座標図・接点と理由は手動確認し、準備点だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
円x²+y²−8x+6y−11=0の中心のx座標を求めてください。
答えと解説
4
(x−4)²+(y+3)²=36へ平方完成すると、中心は(4,−3)です。
中心(−2,5)、半径4の円をx²+y²+4x−10y+F=0と表します。Fを求めてください。
答えと解説
13
(x+2)²+(y−5)²=16を展開すると定数は4+25−16=13です。
円x²+y²+6x−2y−15=0の正の半径を求めてください。
答えと解説
5
(x+3)²+(y−1)²=25より半径は√25=5です。25は半径の二乗です。
中心(1,2)、半径2の円に、直線3x+4y+k=0が接します。実数kのうち、大きい方を求めてください。
答えと解説
−1
中心からの距離|3+8+k|/5=2より|k+11|=10。k=−1または−21なので大きい方は−1です。
中心(−1,3)、半径5の円が直線x=2から切り取る弦全体の長さを求めてください。
答えと解説
8
中心から直線の距離3なので半弦は√(25−9)=4、弦全体は2×4=8です。
中心(1,−3)、半径5の円上の点P(4,1)での接線を3x+4y+C=0と表します。Cを求めてください。
答えと解説
−16
3(x−1)+4(y+3)=25を整理して3x+4y−16=0。Pも12+4−16=0を満たします。
円x²+y²=41と直線x=5の共有点のうち、y座標が正の点のy座標を求めてください。
答えと解説
4
25+y²=41からy²=16、正の方はy=4です。負の方y=−4も別の共有点ですが、指定は正の方です。
実数の点について(x−2)²+(y+1)²=0が表す集合はどれですか。
- 中心(2,−1)で半径1の円
- 全ての実数の座標の点
- 一点(2,−1)だけの集合
- 実数の点が一つもない集合
答えと解説
一点(2,−1)だけの集合
二つの二乗がともに0なのでx=2,y=−1です。正の半径の円とは分けます。
中心から直線への距離dと円の正の半径rについて、共有点が二つとなる条件はどれですか。
- d<r
- d=r
- d>r
- d<0
答えと解説
d<r
d<rなら直線が円の内部を通り共有点は二つです。距離dは非負です。
中心(−2,1)、半径4の円上の点P(2,1)における接線はどれですか。
- y=1
- x=−2
- y=−2
- x=2
答えと解説
x=2
半径OPは水平なので接線は垂直でPを通るx=2です。
円と直線を連立して得る実数係数の二次方程式の判別式が0です。直線と円の共有点について正しい説明はどれですか。
- 異なる共有点が二つある
- 共有点が一つで、直線は接する
- 実数の共有点が一つもない
- 直線の全ての点が円上にある
答えと解説
共有点が一つで、直線は接する
二次方程式の実数解は重なる一つの値で、直線と円の共有点は一つです。円の半径は正、代入した直線も有効なものとします。
中心(1,−2)、半径3の円に対して、点P(1,1)での接線はどれですか。
- x=1
- y=−2
- y=1
- x=−2
答えと解説
y=1
Pは中心の真上にあり半径は垂直なので、接線はPを通る水平なy=1です。
円(x−a)²+(y−b)²=r²（r>0）の接点P(p,q)で接線の式を使う前に、必要な条件はどれですか。
- (p−a)²+(q−b)²=r²
- (p−a)²+(q−b)²>r²
- (p−a)²+(q−b)²<r²
- p=aかつq=b
答えと解説
(p−a)²+(q−b)²=r²
接点Pが円上にあることが必要です。外点・内点や中心へ、円上の点の接線公式をそのまま使いません。
中心から直線までの距離が4、円の半径が5です。直線が切り取る弦全体の長さはどれですか。
- 1
- 3
- 6
- 9
答えと解説
6
半弦は√(25−16)=3、弦全体は6です。半分を全体とはしません。
考え方を説明する
次の三つをそれぞれ平方完成し、実数の点の集合として円・一点・点なしに分けてください。I:x²+y²−2x+8y+8=0、II:x²+y²−2x+8y+17=0、III:x²+y²−2x+8y+18=0です。各場合の中心に対応する座標と右辺の値を示し、正の半径の円と呼べる範囲を説明します。
答えと解説
共通の左辺は(x−1)²+(y+4)²で、右辺は順に9,0,−1。Iは中心(1,−4)、半径3の円。IIは一点(1,−4)だけ、IIIは二乗の和が負にはならず実数の点なし。中心に対応する平方完成の座標は同じだが、II,IIIを正の半径の円とは呼ばない。
生徒の全ての平方完成と定数の移項、三つの実数の点集合と正の半径の区別を見ます。
A(−5,2),B(3,8)を直径の両端とする円を、座標図と式と計算過程で求めてください。中心と正の半径を二点間の距離から導き、両端が得られた円上にあることを実際に代入して確かめます。
答えと解説
中心は中点O(−1,5)、AB=√(8²+6²)=10から半径5。円は(x+1)²+(y−5)²=25。Aでは(−4)²+(−3)²=25、Bでは4²+3²=25で、直径の両端と中心の位置も合う。
生徒の中点・距離の半分・正の半径・円の式と計算過程と二つの代入、座標図を手動で見ます。
円(x−2)²+(y+3)²=25上のP(5,1)における接線を、求めてください。Pが円上にあること、接線がPを通り半径OPに垂直なこと、中心と接線の距離が半径に等しいことを式と計算過程で確かめます。
答えと解説
中心O(2,−3)、OPの差は3,4で9+16=25。接線3(x−2)+4(y+3)=25、すなわち3x+4y−19=0。Pでは15+4−19=0。OPの傾き4/3と接線−3/4の積−1、中心からの距離|6−12−19|/5=5。
生徒の円上の確認、接線の式と計算過程とPの代入、垂直の条件と距離の全計算を見る。正しい同値な式や別の導出も認める。
中心O(−2,1)、半径4の円について、P(2,1)とQ(−2,5)での接線をそれぞれ求めてください。座標図に二つの半径と接線を描き、接点が円上であること、垂直・水平の方向と共有点が一つになることを代入で確かめます。
答えと解説
円は(x+2)²+(y−1)²=16。Pは4²+0²=16、Qは0²+4²=16。Pの接線はx=2で代入すると(y−1)²=0、共有点Pだけ。Qの接線はy=5で(x+2)²=0、共有点Qだけ。半径OPは水平で接線は垂直、OQは垂直で接線は水平。
生徒の両方の円上の確認・全接線と図、垂直・水平の説明と二つの代入を見る。傾きを0で割る方法に限定しない。
中心O(−1,2)、半径3の円に、直線3x+4y+k=0が接します。全ての実数kを求め、それぞれの接点を中心からの垂線の足として求めてください。各接点を元の円と対応する直線へ代入し、距離の絶対値と正の半径の条件を確認します。
答えと解説
|−3+8+k|/5=3より|k+5|=15なのでk=10,−20。k=10では足H(−14/5,−2/5)、k=−20ではH(4/5,22/5)。中心からの差はそれぞれ(−9/5,−12/5),(9/5,12/5)で二乗の和9。直線の値は−42/5−8/5+10=0、12/5+88/5−20=0。両方とも中心からの距離3で円上・直線上の接点。
生徒の絶対値の両場合、全k・全座標、垂線の足の導出、各二式への実際の代入と半径の確認を見ます。
円(x−1)²+(y+2)²=16と、三直線y=1,y=2,y=3を調べてください。各中心距離と半径の比較、代入後の二次式の判別式から共有点の個数が同じ結論になることを示し、実数の共有点を全て求めます。y=1が切り取る弦の長さも、半弦から導いてください。
答えと解説
中心(1,−2)、半径4。距離は3,4,5で順に二点・接する一点・点なし。代入すると(x−1)²は7,0,−9、標準二次式はx²−2x−6=0,x²−2x+1=0,x²−2x+10=0で判別式28,0,−36。共有点は(1±√7,1)、(1,2)、最後はなし。y=1の半弦は√(16−9)=√7、弦全体2√7。
生徒の三つの比較と全ての二次式・判別式・全共有点、弦の半分と全体の区別を見ます。
円(x−1)²+(y−2)²=25と点P(4,6)について、友達は「半径OPに垂直だから、3x+4y−20=0がPでの接線」としました。Pの円上の条件と、友達の直線がPを通るかを調べ、正しい接線へ直してください。元の直線の中心距離と、修正後の距離も比べ、垂直という方向だけでは足りない理由を説明します。
答えと解説
Pは差3,4で円上。友達の式はPで12+24−20=16≠0、中心では3+8−20=−9で距離9/5<5なので円と二点で交わる。正しい式は3(x−1)+4(y−2)=25、すなわち3x+4y−36=0。Pで0、中心距離|3+8−36|/5=5。両直線の方向は同じでも、指定したPを通る条件が必要。
生徒の円上とPの代入、両距離・位置関係、正しい式と計算過程と垂直だけでは足りない説明を見ます。
円(x−2)²+(y−1)²=4に対し、友達は外点P(5,1)を「接点」として3(x−2)=4、すなわちx=10/3を接線としました。Pの位置、直線がPを通るか、中心からの距離を確かめて主張を直してください。さらに、この円の垂直な接線を全て求め、各接点も示します。
答えと解説
Pの中心距離3>2で円上ではない。友達のx=10/3はPのx=5を満たさず、中心距離|10/3−2|=4/3<2なので接線でもない。垂直な接線は中心から水平に半径2だけ離れたx=0とx=4、接点は(0,1),(4,1)。半径への垂直と元の円・直線の両方に戻す。
生徒の外点と接点の区別、友達の直線の二つの不適合、全ての垂直接線と接点・距離の根拠を見る。Pを通る二本の別の接線を求めることまでは要求しない。
円(x+2)²+(y−1)²=10と直線x−3y−5=0について、接することを中心距離から示し、接点の全座標を求めて両式へ代入してください。次に円の式全体を−3倍、直線の式全体を−2倍した場合に同じ接点・距離となることを、係数と絶対値の計算から確かめます。
答えと解説
中心(−2,1)、半径√10。直線の中心で−2−3−5=−10、距離10/√10=√10。足Hは(−1,−2)で円は1²+(−3)²=10、直線−1+6−5=0。円の同値式−3(x+2)²−3(y−1)²=−30、直線−2x+6y+10=0もHを満たす。距離は|4+6+10|/√(4+36)=20/√40=√10。全体への同じ0でない倍率で点集合は変わらない。
生徒の非負の距離・足の導出と全座標、元と倍率後の式への代入、直線の分子分母の倍率と円の同値性を見ます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、rを2,4から一つずつ選びます。中心O(a,b)、半径rの円と、円上のP(a+3r/5,b+4r/5)を自分の座標図と式で表してください。Pでの接線を求め、Pが円と直線の両方を満たすこと、半径との垂直と中心距離rを全計算で確かめます。12条件全てを解く必要はありません。
答えと解説
作例a=1,b=2,r=4なら円(x−1)²+(y−2)²=16、P(17/5,26/5)。接線3(x−1)+4(y−2)=20、すなわち3x+4y−31=0。Pでは(12/5)²+(16/5)²=16、51/5+104/5−31=0。半径の傾き4/3と接線−3/4の積−1、中心距離|3+8−31|/5=4。一般には接線3x+4y−3a−4b−5r=0、Pの差の二乗和r²で、中心の直線値−5rから距離r。生徒の別の正しい一例も認める。
生徒の三数の選択・同じ単位の図・円と接線の式と計算過程・Pの全座標と全代入、垂直と正の半径を手動で見る。全12例や作例の転記は必須にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(2)ア(イ)・イ(ア)、冊子57–58/PDF69–70の円を方程式で表すことと、円と直線の位置関係を考察する範囲を踏まえた独自課題です。接線は半径との垂直、中心と直線の距離、連立して得る二次式の判別式を結びます。二円の位置関係・軌跡・領域・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張せず、出典の例題や図版を写していません。 · 2026-11-04
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準備14問は中心の一成分・半径・係数・弦の長さなどの指定数値と条件の選択です。主課題は生徒の平方完成・全ての元の式への代入、円上という条件、半径への垂直、非負の距離と正の半径の比較を手動確認します。T1は円・一点・点なし、T2は直径からの円、T3は円上の接点の接線、T4は垂直と水平の接線、T5は全ての平行な接線と接点、T6は距離と判別式・弦、T7は半径への垂直だけでは足りない誤りの修正、T8は接点での条件を落とす誤り、T9は同値な倍率、T10は生徒が作る円と接線の具体例を見ます。正しい同値な式・根号・初等幾何の別解も認め、全ての条件を満たす別の例を認めます。
円x²+y²−8x+6y−11=0の中心のx座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心(−2,5)、半径4の円をx²+y²+4x−10y+F=0と表します。Fを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円x²+y²+6x−2y−15=0の正の半径を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心(1,2)、半径2の円に、直線3x+4y+k=0が接します。実数kのうち、大きい方を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心(−1,3)、半径5の円が直線x=2から切り取る弦全体の長さを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心(1,−3)、半径5の円上の点P(4,1)での接線を3x+4y+C=0と表します。Cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円x²+y²=41と直線x=5の共有点のうち、y座標が正の点のy座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数の点について(x−2)²+(y+1)²=0が表す集合はどれですか。
- 中心(2,−1)で半径1の円
- 全ての実数の座標の点
- 一点(2,−1)だけの集合
- 実数の点が一つもない集合
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心から直線への距離dと円の正の半径rについて、共有点が二つとなる条件はどれですか。
- d<r
- d=r
- d>r
- d<0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心(−2,1)、半径4の円上の点P(2,1)における接線はどれですか。
- y=1
- x=−2
- y=−2
- x=2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円と直線を連立して得る実数係数の二次方程式の判別式が0です。直線と円の共有点について正しい説明はどれですか。
- 異なる共有点が二つある
- 共有点が一つで、直線は接する
- 実数の共有点が一つもない
- 直線の全ての点が円上にある
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心(1,−2)、半径3の円に対して、点P(1,1)での接線はどれですか。
- x=1
- y=−2
- y=1
- x=−2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円(x−a)²+(y−b)²=r²（r>0）の接点P(p,q)で接線の式を使う前に、必要な条件はどれですか。
- (p−a)²+(q−b)²=r²
- (p−a)²+(q−b)²>r²
- (p−a)²+(q−b)²<r²
- p=aかつq=b
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心から直線までの距離が4、円の半径が5です。直線が切り取る弦全体の長さはどれですか。
- 1
- 3
- 6
- 9
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
次の三つをそれぞれ平方完成し、実数の点の集合として円・一点・点なしに分けてください。I:x²+y²−2x+8y+8=0、II:x²+y²−2x+8y+17=0、III:x²+y²−2x+8y+18=0です。各場合の中心に対応する座標と右辺の値を示し、正の半径の円と呼べる範囲を説明します。
A(−5,2),B(3,8)を直径の両端とする円を、座標図と式と計算過程で求めてください。中心と正の半径を二点間の距離から導き、両端が得られた円上にあることを実際に代入して確かめます。
円(x−2)²+(y+3)²=25上のP(5,1)における接線を、求めてください。Pが円上にあること、接線がPを通り半径OPに垂直なこと、中心と接線の距離が半径に等しいことを式と計算過程で確かめます。
中心O(−2,1)、半径4の円について、P(2,1)とQ(−2,5)での接線をそれぞれ求めてください。座標図に二つの半径と接線を描き、接点が円上であること、垂直・水平の方向と共有点が一つになることを代入で確かめます。
中心O(−1,2)、半径3の円に、直線3x+4y+k=0が接します。全ての実数kを求め、それぞれの接点を中心からの垂線の足として求めてください。各接点を元の円と対応する直線へ代入し、距離の絶対値と正の半径の条件を確認します。
円(x−1)²+(y+2)²=16と、三直線y=1,y=2,y=3を調べてください。各中心距離と半径の比較、代入後の二次式の判別式から共有点の個数が同じ結論になることを示し、実数の共有点を全て求めます。y=1が切り取る弦の長さも、半弦から導いてください。
円(x−1)²+(y−2)²=25と点P(4,6)について、友達は「半径OPに垂直だから、3x+4y−20=0がPでの接線」としました。Pの円上の条件と、友達の直線がPを通るかを調べ、正しい接線へ直してください。元の直線の中心距離と、修正後の距離も比べ、垂直という方向だけでは足りない理由を説明します。
円(x−2)²+(y−1)²=4に対し、友達は外点P(5,1)を「接点」として3(x−2)=4、すなわちx=10/3を接線としました。Pの位置、直線がPを通るか、中心からの距離を確かめて主張を直してください。さらに、この円の垂直な接線を全て求め、各接点も示します。
円(x+2)²+(y−1)²=10と直線x−3y−5=0について、接することを中心距離から示し、接点の全座標を求めて両式へ代入してください。次に円の式全体を−3倍、直線の式全体を−2倍した場合に同じ接点・距離となることを、係数と絶対値の計算から確かめます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、rを2,4から一つずつ選びます。中心O(a,b)、半径rの円と、円上のP(a+3r/5,b+4r/5)を自分の座標図と式で表してください。Pでの接線を求め、Pが円と直線の両方を満たすこと、半径との垂直と中心距離rを全計算で確かめます。12条件全てを解く必要はありません。
解答: 円の方程式と、接線・共有点の条件を結ぶ
4
(x−4)²+(y+3)²=36へ平方完成すると、中心は(4,−3)です。
13
(x+2)²+(y−5)²=16を展開すると定数は4+25−16=13です。
5
(x+3)²+(y−1)²=25より半径は√25=5です。25は半径の二乗です。
−1
中心からの距離|3+8+k|/5=2より|k+11|=10。k=−1または−21なので大きい方は−1です。
8
中心から直線の距離3なので半弦は√(25−9)=4、弦全体は2×4=8です。
−16
3(x−1)+4(y+3)=25を整理して3x+4y−16=0。Pも12+4−16=0を満たします。
4
25+y²=41からy²=16、正の方はy=4です。負の方y=−4も別の共有点ですが、指定は正の方です。
一点(2,−1)だけの集合
二つの二乗がともに0なのでx=2,y=−1です。正の半径の円とは分けます。
d<r
d<rなら直線が円の内部を通り共有点は二つです。距離dは非負です。
x=2
半径OPは水平なので接線は垂直でPを通るx=2です。
共有点が一つで、直線は接する
二次方程式の実数解は重なる一つの値で、直線と円の共有点は一つです。円の半径は正、代入した直線も有効なものとします。
y=1
Pは中心の真上にあり半径は垂直なので、接線はPを通る水平なy=1です。
(p−a)²+(q−b)²=r²
接点Pが円上にあることが必要です。外点・内点や中心へ、円上の点の接線公式をそのまま使いません。
6
半弦は√(25−16)=3、弦全体は6です。半分を全体とはしません。
記述問題の解答・確認の観点
次の三つをそれぞれ平方完成し、実数の点の集合として円・一点・点なしに分けてください。I:x²+y²−2x+8y+8=0、II:x²+y²−2x+8y+17=0、III:x²+y²−2x+8y+18=0です。各場合の中心に対応する座標と右辺の値を示し、正の半径の円と呼べる範囲を説明します。
共通の左辺は(x−1)²+(y+4)²で、右辺は順に9,0,−1。Iは中心(1,−4)、半径3の円。IIは一点(1,−4)だけ、IIIは二乗の和が負にはならず実数の点なし。中心に対応する平方完成の座標は同じだが、II,IIIを正の半径の円とは呼ばない。
生徒の全ての平方完成と定数の移項、三つの実数の点集合と正の半径の区別を見ます。
A(−5,2),B(3,8)を直径の両端とする円を、座標図と式と計算過程で求めてください。中心と正の半径を二点間の距離から導き、両端が得られた円上にあることを実際に代入して確かめます。
中心は中点O(−1,5)、AB=√(8²+6²)=10から半径5。円は(x+1)²+(y−5)²=25。Aでは(−4)²+(−3)²=25、Bでは4²+3²=25で、直径の両端と中心の位置も合う。
生徒の中点・距離の半分・正の半径・円の式と計算過程と二つの代入、座標図を手動で見ます。
円(x−2)²+(y+3)²=25上のP(5,1)における接線を、求めてください。Pが円上にあること、接線がPを通り半径OPに垂直なこと、中心と接線の距離が半径に等しいことを式と計算過程で確かめます。
中心O(2,−3)、OPの差は3,4で9+16=25。接線3(x−2)+4(y+3)=25、すなわち3x+4y−19=0。Pでは15+4−19=0。OPの傾き4/3と接線−3/4の積−1、中心からの距離|6−12−19|/5=5。
生徒の円上の確認、接線の式と計算過程とPの代入、垂直の条件と距離の全計算を見る。正しい同値な式や別の導出も認める。
中心O(−2,1)、半径4の円について、P(2,1)とQ(−2,5)での接線をそれぞれ求めてください。座標図に二つの半径と接線を描き、接点が円上であること、垂直・水平の方向と共有点が一つになることを代入で確かめます。
円は(x+2)²+(y−1)²=16。Pは4²+0²=16、Qは0²+4²=16。Pの接線はx=2で代入すると(y−1)²=0、共有点Pだけ。Qの接線はy=5で(x+2)²=0、共有点Qだけ。半径OPは水平で接線は垂直、OQは垂直で接線は水平。
生徒の両方の円上の確認・全接線と図、垂直・水平の説明と二つの代入を見る。傾きを0で割る方法に限定しない。
中心O(−1,2)、半径3の円に、直線3x+4y+k=0が接します。全ての実数kを求め、それぞれの接点を中心からの垂線の足として求めてください。各接点を元の円と対応する直線へ代入し、距離の絶対値と正の半径の条件を確認します。
|−3+8+k|/5=3より|k+5|=15なのでk=10,−20。k=10では足H(−14/5,−2/5)、k=−20ではH(4/5,22/5)。中心からの差はそれぞれ(−9/5,−12/5),(9/5,12/5)で二乗の和9。直線の値は−42/5−8/5+10=0、12/5+88/5−20=0。両方とも中心からの距離3で円上・直線上の接点。
生徒の絶対値の両場合、全k・全座標、垂線の足の導出、各二式への実際の代入と半径の確認を見ます。
円(x−1)²+(y+2)²=16と、三直線y=1,y=2,y=3を調べてください。各中心距離と半径の比較、代入後の二次式の判別式から共有点の個数が同じ結論になることを示し、実数の共有点を全て求めます。y=1が切り取る弦の長さも、半弦から導いてください。
中心(1,−2)、半径4。距離は3,4,5で順に二点・接する一点・点なし。代入すると(x−1)²は7,0,−9、標準二次式はx²−2x−6=0,x²−2x+1=0,x²−2x+10=0で判別式28,0,−36。共有点は(1±√7,1)、(1,2)、最後はなし。y=1の半弦は√(16−9)=√7、弦全体2√7。
生徒の三つの比較と全ての二次式・判別式・全共有点、弦の半分と全体の区別を見ます。
円(x−1)²+(y−2)²=25と点P(4,6)について、友達は「半径OPに垂直だから、3x+4y−20=0がPでの接線」としました。Pの円上の条件と、友達の直線がPを通るかを調べ、正しい接線へ直してください。元の直線の中心距離と、修正後の距離も比べ、垂直という方向だけでは足りない理由を説明します。
Pは差3,4で円上。友達の式はPで12+24−20=16≠0、中心では3+8−20=−9で距離9/5<5なので円と二点で交わる。正しい式は3(x−1)+4(y−2)=25、すなわち3x+4y−36=0。Pで0、中心距離|3+8−36|/5=5。両直線の方向は同じでも、指定したPを通る条件が必要。
生徒の円上とPの代入、両距離・位置関係、正しい式と計算過程と垂直だけでは足りない説明を見ます。
円(x−2)²+(y−1)²=4に対し、友達は外点P(5,1)を「接点」として3(x−2)=4、すなわちx=10/3を接線としました。Pの位置、直線がPを通るか、中心からの距離を確かめて主張を直してください。さらに、この円の垂直な接線を全て求め、各接点も示します。
Pの中心距離3>2で円上ではない。友達のx=10/3はPのx=5を満たさず、中心距離|10/3−2|=4/3<2なので接線でもない。垂直な接線は中心から水平に半径2だけ離れたx=0とx=4、接点は(0,1),(4,1)。半径への垂直と元の円・直線の両方に戻す。
生徒の外点と接点の区別、友達の直線の二つの不適合、全ての垂直接線と接点・距離の根拠を見る。Pを通る二本の別の接線を求めることまでは要求しない。
円(x+2)²+(y−1)²=10と直線x−3y−5=0について、接することを中心距離から示し、接点の全座標を求めて両式へ代入してください。次に円の式全体を−3倍、直線の式全体を−2倍した場合に同じ接点・距離となることを、係数と絶対値の計算から確かめます。
中心(−2,1)、半径√10。直線の中心で−2−3−5=−10、距離10/√10=√10。足Hは(−1,−2)で円は1²+(−3)²=10、直線−1+6−5=0。円の同値式−3(x+2)²−3(y−1)²=−30、直線−2x+6y+10=0もHを満たす。距離は|4+6+10|/√(4+36)=20/√40=√10。全体への同じ0でない倍率で点集合は変わらない。
生徒の非負の距離・足の導出と全座標、元と倍率後の式への代入、直線の分子分母の倍率と円の同値性を見ます。
aを−2,1,3から、bを−1,2から、rを2,4から一つずつ選びます。中心O(a,b)、半径rの円と、円上のP(a+3r/5,b+4r/5)を自分の座標図と式で表してください。Pでの接線を求め、Pが円と直線の両方を満たすこと、半径との垂直と中心距離rを全計算で確かめます。12条件全てを解く必要はありません。
作例a=1,b=2,r=4なら円(x−1)²+(y−2)²=16、P(17/5,26/5)。接線3(x−1)+4(y−2)=20、すなわち3x+4y−31=0。Pでは(12/5)²+(16/5)²=16、51/5+104/5−31=0。半径の傾き4/3と接線−3/4の積−1、中心距離|3+8−31|/5=4。一般には接線3x+4y−3a−4b−5r=0、Pの差の二乗和r²で、中心の直線値−5rから距離r。生徒の別の正しい一例も認める。
生徒の三数の選択・同じ単位の図・円と接線の式と計算過程・Pの全座標と全代入、垂直と正の半径を手動で見る。全12例や作例の転記は必須にしない。