円の線分：点の順序・対応と接点の観察記録

得られる結果

円内の部分どうし、円外の外側と全体、相似の対応と接点の直角を、生徒の図・比と証明から区別できます。

操作手順

1. 図の仮定と対応を、最終数から分ける

   積や接線の長さが合ったことだけで、生徒が点の順序・相似や接点の理由を説明した証拠にしません。同じ円・二本の異なる直線・生徒の二角と対応を、講師の見本や図の見た目から分けます。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が示す同じ円とPの円内・円外：[ ] 異なる点・実際の二直線と点の順序：[ ] 与えた長さ・内部部分と全体の区別：[ ] 生徒が選ぶ二つの等しい角と各理由：[ ] 相似の実際の頂点の対応：[ ] 対応する辺の比と積への導出：[ ] 未知の長さ・正の候補と全体の確認：[ ] 接点での垂直・半径と斜辺：[ ] 補助円と生徒が選んだ接点の側：[ ] 反例が満たす仮定と成り立たない結論：[ ] 一般の証明と一つの数値の検算：[ ] 生徒の修正・講師の支援と未確認：[ ]

3. 作例A：円内の二角と対応から積に戻す

   見本A・P・B、C・P・Dでは、△PAC∽△PDBです。対頂角と同じ弧BCの円周角からP↔P、A↔D、C↔B、PA/PD=PC/PB。PA=6,PB=10,PC=5ならPD=12ですが、弦全体はAB=16,CD=17です。生徒が部分の和と積を分け、二角・対応と比をつないだかを見ます。

4. 作例B：円外の全体を、内部部分から分ける

   見本P・A・B、P・C・Dでは△PDA∽△PBC。共通角Pと同じ弧ACの円周角からPD/PB=PA/PCです。PA=3,AB=9,PC=4ならPB=12、PD=9、CD=5。生徒が3×12=4×9を説明し、外側×内部部分という式にせず、正の長さと元の順序へ戻したかを見ます。

5. 作例C：接点の直角と、同じ円・同じ外点に戻す

   見本半径7,OP=25、PTがTでの接線ならOT⊥PTで斜辺はOP。PT=24、直線OPの近いAまで18、遠いBまで32です。(25−7)(25+7)=25²−7²=24²。生徒が接線の条件と正の長さ、差の積から同じ量となる理由を示し、別の円や別の外点へ同じ数値を流用しないかを見ます。

6. 作例D：名前を替えた図から誤った対応を直す

   別の見本で同じ円内の弦EF・GHがPで交わり、E・P・F、G・P・Hの順、PE=8,PF=15,PG=10,PH=12です。△PEGと△PHFは対頂角と同じ弧FGの円周角からP↔P,E↔H,G↔F。正しい比PE/PH=PG/PFは8/12=10/15です。PE/PF=PG/PHという比は8/15≠10/12で、対応を取り違えています。生徒が数値の不一致だけで終えず、実際の二角と頂点を図へ戻して修正したかを見ます。

7. 作例E：誤った組の数値の一致を反例から戻す

   別の見本で直交する二直線にA・P・C、B・P・Dの順、PA=1,PC=4,PB=8,PD=2の点を置きます。PA×PB=PC×PD=8ですが、実際にPをはさむのはACとBD。同じ円なら必要なPA×PC=PB×PDに対し4≠16なので、四点は同じ円周上ではありません。生徒が仮定の数値の一致と、結論が成り立たない必要条件の矛盾を、実際の直線の組から両方示したかを見ます。

8. 正しい別の証明と未確認へ戻る

   正しい別の相似三角形や図・比を認めます。接線二本の等距離から接線であると逆に決めず、接点の垂直を確かめます。補助円を使うときはOPを直径とすることと、選んだ交点の円周角を生徒の図へ記録します。生徒が選ぶ一つの例と理由を支援・未確認から分け、全12通りを強制しません。自由に描いた図や証明の自動採点と、観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ａ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子88〜90/PDF100〜102の平面図形の性質と論理的考察を踏まえた独自活動です。交わる弦・順序を示した割線・接線の長さと証明に限り、円の性質全体や固定学年の履修を主張しません。
• 円内の実際の一本の弦の両部分、円外の同じPから近い交点までと遠い交点までを使います。数値の積の一致だけで、直線や点の順序を確認せず同一円周上と決めません。
• 円・線分・文字を編集しても、円周上・接線・点の順序や長さは自動拘束・自動更新されません。12項目は紙や既存ボードへ手動記録し、新しい自動作図・自動証明・観察欄の自動保存はありません。
• C8の補助円は接点を作るためのOPを直径とする円だけで、一般の二円の共通接線は扱いません。生徒の図・仮定と証明を講師の見本・支援から分け、実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• 点の順序・相似と接点の理由を確かめる授業用ボード
• 円の線分の積と証明の練習
• 文部科学省・数学Ａ：平面図形の性質と論理的考察