円の線分の積を、点の位置と対応から証明する
円内で交わる弦、円外からの割線、接線を、同じ円と点の順序を確かめて扱います。準備14問と、生徒が図・相似の対応・正の長さ・根拠を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子88〜90/PDF100〜102の平面図形の性質と論理的考察を踏まえた独自課題です。交わる弦・順序を示した割線・接線の長さと証明に限定します。円の性質全体、二円の共通接線、ソフトウェア実習、固定学年の履修や学習効果を主張せず、原典の問題・図版も写していません。
解説を読む
公式の形だけを覚える前に、どの点が円周上にあり、Pが円の内か外か、どの線分が全体かを図に記録します。円周角と相似から線分の積を導き、接線では半径との直角から同じ量を確かめます。
必要な予備知識
中学校の円周角、三角形の相似と対応、正の長さ、三平方の定理、垂直二等分線と簡単な作図。接点への半径が接線と垂直になる性質を使います。方べきの関係はここで導き、中学校で既習とはしません。三角比・接弦定理・座標の一般公式は前提にしません。紙・定規・コンパスや既存ボードで自分の図と証明を確認します。
- 使う点と位置を先に記録します。円内の弦では同じ円周上の異なる四点A・B・C・D、二本の異なる弦AB・CD、円の内部の交点Pを用い、A・P・B、C・P・Dの順に並びます。長さは全て正です。
- 円内では△PACと△PDBを見ます。∠APC=∠DPBは対頂角、∠PAC=∠PDBは同じ弧BCに対する円周角です。二角が等しいので対応はP↔P、A↔D、C↔Bです。
- この対応からPA/PD=PC/PBとなり、正の長さを掛けるとPA×PB=PC×PDです。積の両側は、同じ一本の弦上でPをはさむ二つの長さです。弦全体ABはPA+PBで、積PA×PBとは別の量です。
- 円外の割線ではP・A・B、P・C・Dの順です。A・Cが近い交点、B・Dが遠い交点で、二本の直線は異なります。PA・PCは外側、PB・PDはPから遠い交点までの全体の長さです。
- 円外では△PDAと△PBCを見ます。Pの角は共通で、∠PDA=∠PBCは同じ弧ACに対する円周角です。対応P↔P、D↔B、A↔CからPD/PB=PA/PC、よってPA×PB=PC×PDです。
- 円外でABやCDが与えられたら、PB=PA+AB、PD=PC+CDとします。外側×円の中の部分ではなく、外側×Pから遠い交点までの全体を使います。求めた長さが正で、指定した点の順序に合うことも確かめます。
- 中心O、半径rの円の外にPがありOP=d>r、PTがTでの接線なら、OT⊥PTです。直角三角形OTPからPT²=d²−r²で、PTは正の平方根です。接点や垂直の条件を、図の見た目だけで追加しません。
- 直線OPと円の交点を近い方からA・Bとすると、PA=d−r、PB=d+rです。従ってPA×PB=(d−r)(d+r)=d²−r²=PT²。同じ円と同じ円外のPでは、二本の割線の外側×全体と接線の長さの二乗が一致します。
- 同じ円外のPから引いた二本の接線PT・PUは、OT=OU、OPが共通、接点での二つの直角から直角三角形の合同を使い、PT=PUと示せます。二つの長さが等しいという条件だけを、接線であることの十分な根拠にはしません。
- 数値が合うこと、円周上にあること、交点と点の順序、相似や直角の理由は別々に確認します。名前を替えた図では実際の弦上の組を読み直します。証明を求める主課題では、公式への代入や準備の点数だけで終わりにしません。
解き方の例
同じ円内で弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順、PA=2、PB=9、PC=3とします。△PAC∽△PDBの対応から2×9=3×PD、従ってPD=6です。全て正で、弦全体はAB=11、CD=9。与えたPAとPBを足した11を、積18の代わりに使いません。
半径3の円でOP=5、PTがTでの接線なら、OT⊥PTからPT²=5²−3²=16、正の長さPT=4です。直線OPの近い交点Aと遠い交点BについてPA=2、PB=8、AB=6で、PA×PB=16=PT²。PA×AB=12はこの関係の積ではありません。
よくある間違い
- 相似な二つの三角形の対応を書かず、任意の二辺どうしを掛ける。
- 円外で外側の部分と、円の内部の部分だけを掛ける。
- 弦の全長という和を、二つの線分の積と取り違える。
- 長さの二乗を求めた段階で、長さそのものとする。
- 正の長さに負の平方根を採用し、点の順序や同じ円の条件を落とす。
- 等しい二つの長さや見た目の直角だけで、接線だと決める。
考え方を説明する
準備14問は正の長さ・全体と部分・対応を確認する足場です。主課題では生徒のラベル付き図、同じ円と交点・順序、二角と相似の対応・比・積、接線の直角と正の長さを手動確認します。T1は円内の一般の証明、T2は全長も含む実計算、T3は円外の一般の証明、T4は外側×全体への修正、T5は直角から接線と直径割線の一致、T6は二接線の合同と誤った逆の反例、T7は同じ円・Pでの三つの量の比較、T8は実際の四点を同じ円に載せる根拠、T9は二種類の誤りの修正、T10は生徒の一つの作図と導出を見ます。正しい別証明を認め、解答の転記や最終値だけで達成としません。
数値と一つの選択だけを自動採点します。生徒の作図、点の位置、相似・合同の対応、全ての証明と反例は講師が手動確認します。図は配置の見本で、見た目から未指定の長さ・角・接線を推測しません。二円や一般の自動作図・自動証明機能は扱いません。
練習する
準備の数値・選択だけを自動採点します。自分の図・相似や合同・全ての条件と理由は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
同じ円の弦ABとCDが円内のPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=3、PC=4、PD=9のとき、PBの長さを求めてください。単位は共通です。
図を準備しています。
答えと解説
12
PA×PB=PC×PDより3×PB=4×9=36。正の長さPB=12です。
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=5、PB=8、PC=4のとき、PDの正の長さを求めてください。
答えと解説
10
5×8=4×PDからPD=10です。点の順序が円内の二本の弦に対応しています。
同じ円外のPから異なる二本の割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順です。PA=3、AB=9、PC=4のとき、円内の部分CDの長さを求めてください。
答えと解説
5
PB=3+9=12。3×12=4×PDよりPD=9なので、CD=PD−PC=9−4=5です。
同じ円外のPからの割線はP・A・B、P・C・Dの順です。PA=8、AB=10、PC=9のとき、CDの正の長さを求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
7
PB=8+10=18、8×18=9×PDよりPD=16です。CD=16−9=7。外側の8と内側の10だけを掛けません。
中心O、半径5の円の外にPがあり、OP=13です。PTはTでの接線です。PTの正の長さを求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
12
OT⊥PTなのでPT²=13²−5²=144。長さPTは正なので12です。
同じ円外のPからの割線がP・A・Bの順で、PA=2、AB=6です。PTがこの円の接線のとき、PTの正の長さを求めてください。
答えと解説
4
全体PB=2+6=8なのでPT²=PA×PB=16。正の長さは4です。
同じ円外のPから二本の接線PT・PUを引き、T・Uが接点です。PT=7のとき、PUの長さを求めてください。
答えと解説
7
二つの接点での直角、等しい半径OT・OU、共通の斜辺OPから△OTP≡△OUP。対応する接線の長さPU=PT=7です。
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。この条件から一般に導ける関係はどれですか。
- PA/PB=PC/PD
- PA/PB=PD/PC
- PA×PB=PC×PD
- PA+PB=PC+PD
答えと解説
PA×PB=PC×PD
△PAC∽△PDBからPA/PD=PC/PB。従ってPA×PB=PC×PDです。他の積や弦全体の等しさは、この条件だけでは一般に導けません。
同じ円外のPから、P・A・BとP・C・Dの順の異なる割線を引きます。与えられたPA・AB・PC・CDを使う正しい関係はどれですか。
- PA×(PA+AB)=PC×(PC+CD)
- PA×(PA+AB)=CD×(PC+CD)
- AB×(PA+AB)=PC×(PC+CD)
- AB×(PA+AB)=CD×(PC+CD)
答えと解説
PA×(PA+AB)=PC×(PC+CD)
近い交点まで×遠い交点までを使います。遠い交点まではPB=PA+AB、PD=PC+CDです。
円内の弦AB・CDがPで交わるA・P・B、C・P・Dの配置で、対頂角と同じ弧BCの円周角を使います。△PACに対する△PDBの頂点の正しい対応順はどれですか。
- P・B・D
- D・P・B
- B・D・P
- P・D・B
答えと解説
P・D・B
Pの角がP、Aの角がD、Cの角がBに対応します。△PAC∽△PDBという順に対応を書きます。
円外のPからの接線PTについてPT²=49が得られました。長さと、その採用理由の正しい組はどれですか。
- PT=49、長さは二乗の値をそのまま使う
- PT=7、線分の長さは正なので正の平方根を使う
- PT=−7、二乗が同じなので負の値だけを使う
- PT=±7、線分の長さも二つの符号を両方持つ
答えと解説
PT=7、線分の長さは正なので正の平方根を使う
Pは円外、Tは接点でPT>0です。PT²=49の正の解7を長さとして採用します。
同じ円外のPからの割線P・A・Bで、方べきの関係に使う二つの長さはどれですか。
- Pから近い交点までと、Pから遠い交点まで
- Pから近い交点までと、円内の部分だけ
- Pから遠い交点までと、円内の部分だけ
- 円の直径全体と、円内の部分だけ
答えと解説
Pから近い交点までと、Pから遠い交点まで
外側PAと全体PBを掛けます。ABは円内の部分で、PB=PA+ABです。
半径r、中心Oの円の外にPがありOP=d、PTはTでの接線です。直角三角形OTPから得られる正しい式はどれですか。
- PT²=r²−d²
- PT²=d²+r²
- PT²=d²−r²
- PT²=(d+r)²
答えと解説
PT²=d²−r²
接点TでOT⊥PT、斜辺はOP=dなので、d²=r²+PT²です。従ってPT²=d²−r²。
A・P・CとB・P・Dの順で、二本の異なる直線がPで交わります。この四点が同じ円周上にあると仮定したとき、実際の二本の弦に対応する積の比較はどれですか。
- PA+PCとPB+PD
- PA×PCとPB×PD
- PA+PBとPC+PD
- PA²+PC²とPB²+PD²
答えと解説
PA×PCとPB×PD
この図で一本の弦上の両側はAとC、もう一本はBとDです。PをはさむPA×PCとPB×PDを比べます。文字の並びだけでAB・CDを弦と決めません。
考え方を説明する
同じ円周上の異なる四点A・B・C・Dをとり、異なる弦ABとCDが円内のPで交わるとします。A・P・B、C・P・Dの順を自分の図に記録してください。二つの三角形を選び、二角が等しい理由、頂点の対応、辺の比を示し、PA×PB=PC×PDを証明してください。
答えと解説
△PACと△PDBで∠APC=∠DPBは対頂角、∠PAC=∠PDBは同じ弧BCの円周角。よって△PAC∽△PDBでP↔P、A↔D、C↔B。PA/PD=PC/PBの両辺に正のPD×PBを掛け、PA×PB=PC×PDを得る。
生徒の四点・内部交点・二本の異なる弦と順序、二角の理由、対応・比・積の全つながりを見る。正しい別の相似三角形の組も認める。
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=4、PC=5、PD=12です。自分の図で四つの部分と二つの弦全体を区別し、PB・AB・CDを求めてください。使った相似の対応と関係式、正の長さと点の順序に合うことも説明してください。
答えと解説
△PAC∽△PDBの対応からPA×PB=PC×PD、4×PB=5×12なのでPB=15。AB=4+15=19、CD=5+12=17。全ての部分は正で、二つの全長はそれぞれPをはさむ部分の和になる。
生徒のラベル付き図、相似の対応・比からの積、未知の部分と二つの全長、順序と正値の確認を手動で見る。固定した未指定の半径を勝手に追加しない。
同じ円外のPから二本の異なる割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順でA・B・C・Dが円周上にあります。この順序を図示し、△PDAと△PBCの二角・対応・辺の比から、PA×PB=PC×PDを証明してください。円内の配置との長さの読み方の違いも説明します。
答えと解説
Pの角は共通で、∠PDA=∠PBCは同じ弧ACの円周角。△PDA∽△PBC、P↔P、D↔B、A↔CなのでPD/PB=PA/PC、従ってPC×PD=PA×PB。円外では近い交点まで×遠い交点までで、PB=PA+AB、PD=PC+CD。円内ではPをはさむ同じ弦の二部分を使う。
生徒の外部のP・二本の割線の順序、二角の理由・頂点対応と比からの導出、全体と内部部分の区別を見ます。
同じ円外のPからの割線はP・A・B、P・C・Dの順で、PA=6、AB=6、PC=8です。友達は「6×6=8×CDだからCD=9/2」としました。図と二つの全体の長さを記録し、友達の掛けた線分を特定して直し、正しいPD・CDと元の関係の検算を示してください。
答えと解説
友達は外側PAと円内部分ABを掛け、右辺も外側PCと円内部分CDにしている。PB=6+6=12なので6×12=8×PD、PD=9。CD=9−8=1で、8×(8+1)=72=6×(6+6)。全て正で順序に合う。
生徒の外側・内部・全体を分けた図、二つの誤った部分の指摘、正しい全体と内側、積の検算を見ます。
中心O、半径8の円の外にPがありOP=17、PTはTでの接線です。図に半径と接線の条件を記録し、三平方の定理からPTを求めてください。さらに直線OPの近い交点Aと遠い交点Bを図に加え、PA・PBを求め、接線の長さの二乗と割線の積が一致する理由を式で導いてください。
答えと解説
OT=8、OT⊥PT、斜辺OP=17よりPT²=289−64=225、正の長さPT=15。PA=17−8=9、PB=17+8=25。PA×PB=(17−8)(17+8)=17²−8²=225=PT²である。
生徒の接点の直角と斜辺、正の長さ、直線OP上の点の順序と二部分、差の積の展開から同じ量になる根拠を見ます。
同じ円外のPから接線PT・PUを引き、T・Uを接点、Oを中心とします。直角三角形の合同からPT=PUを証明してください。次に「円周上のT・UについてPT=PUなら、どちらも接線だ」という友達の逆の主張を調べます。OPに垂直な直径の端点を新たなT・Uとして図を作り、等距離でも接線でない理由を説明してください。
答えと解説
接線の配置ではOT=OU、斜辺OPが共通、∠OTP=∠OUP=90°から△OTP≡△OUP、従ってPT=PU。反例の新しい配置ではOは直径TUの中点、OP⊥TUなのでPはTUの垂直二等分線上にありPT=PU。しかし△OTPはOが直角でTの角は直角でなく、PTはOTに垂直でない。同様にPUもOUに垂直でなく、二線は接線ではない。
生徒の接線の図と三条件の合同、反例では別のT・Uであること、等距離と接点での垂直が異なるという幾何の根拠を見る。反例の角を見た目だけで判定しない。
同じ円外のPから二本の異なる割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順、PA=2、PB=18、PC=3、PD=12です。PTは同じ円のTでの接線です。三本を区別した図を作り、各割線の内部部分、二つの外側×全体、PTの正の長さを求めてください。同じ円と同じPを使うこと、及び接線の関係の根拠も説明してください。
答えと解説
AB=18−2=16、CD=12−3=9。PA×PB=2×18=36、PC×PD=3×12=36。接線の長さはPT²=36よりPT=6。同じ円・Pで割線の積は、直径方向の割線の(d−r)(d+r)=d²−r²と一致し、接点の直角からPT²も同じ量となる。
生徒の全体と部分の区別、各計算と正値、同じ円・外点と接点の直角に基づく理由を手動で見る。任意の別の円や別の外点へ同じ数値を一般化しない。
直交する二直線を引き、交点Pから一方の両側へPA=3、PB=12、もう一方の両側へPC=4、PD=9となる点をとります。A・P・B、C・P・Dの順です。ABとCDの垂直二等分線の交点をO、各中点をM・Nとしてください。PM・PN・OM・ON・AM・CNを求め、直角三角形からOA=OB=OC=ODを示し、実際にこの四点が同じ円に載ることを説明してください。単位は共通で、座標を使う必要はありません。
答えと解説
PM=(12−3)/2=9/2、PN=(9−4)/2=5/2。直交する二直線と垂直二等分線からPMONは長方形なのでOM=5/2、ON=9/2。AM=15/2、CN=13/2。OA²=AM²+OM²=(225+25)/4=125/2、OC²=CN²+ON²=(169+81)/4=125/2。正の距離からOA=OC、またOは二つの垂直二等分線上なのでOA=OB、OC=OD。Oを中心とする同じ円が四点を通る。
生徒の直交・両側の点・中点・二等分線の実際の図、六つの長さと長方形の根拠、三平方と等距離からの円を手動で見る。数値の積の一致だけを円の存在の証明として転記しない。
二人の友達の主張を、自分で描いた別々の図と理由で直してください。I：同じ円外のPからP・A・B、P・C・Dの割線を引き、PA=4、AB=8、PC=6だから、4×8=6×CDとする。II：点の位置や直線の組を調べず、PA×PB=PC×PDという数値の一致だけで四点が同じ円周上と決める。IIには、直交する二直線でA・P・C、B・P・Dの順、PA=1、PC=2、PB=6、PD=3となる図を作り、実際の弦の組を使って反例を説明してください。
答えと解説
IではPB=4+8=12、4×12=6×PDよりPD=8、CD=8−6=2。外側×内部ではなく外側×全体を使う。IIの図ではPA×PB=1×6=6、PC×PD=2×3=6で数値は一致する。しかし実際にPをはさむのはACとBDで、同じ円ならPA×PC=PB×PDが必要だが、PA×PC=1×2=2、PB×PD=6×3=18となり、両者は一致しない。従ってこの四点は同じ円周上ではなく、直線と点の順序を無視した主張の反例になる。
生徒のIの二つの全体と正しい内部部分、IIの実際の点の並び・等しい誤った組の積と異なる正しい組の積、同円なら必要条件に反する論証を見ます。
(r,d)を(3,5)または(5,13)から一組、kを1,2,3から一つ選び、中心O、半径kr、OP=kdの円外のPを図に作ります。OPを直径とする補助円と元の円（中心O、半径kr）との交点のうち、OPの上側か下側の一方をTとし、OTとPTを結びます。PTが接線である理由、PTの正の長さ、直線OPの近い交点Aと遠い交点Bまでの長さ、割線の積と接線の二乗の一致を記録してください。自分で選んだ一組を完成させればよく、全12通りを解く必要はありません。
答えと解説
作例(r,d)=(3,5)、k=2で下側のTを選ぶ。半径6、OP=10、補助円の円周角から∠OTP=90°なのでPTは元の円のTでの接線。PT²=10²−6²=64よりPT=8。PA=10−6=4、PB=10+6=16、PA×PB=64=PT²。別の許された一組と上下いずれの交点も認める。一般にはPT=k√(d²−r²)、PA=k(d−r)、PB=k(d+r)である。
生徒の選んだ数・上下の交点と実際の補助円の作図、接点の直角の根拠、正の長さ・順序・二乗の一致を手動で見る。作例の転記や一般形だけを生徒の具体例作成とはしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子88〜90/PDF100〜102の平面図形の性質と論理的考察を踏まえた独自課題です。交わる弦・順序を示した割線・接線の長さと証明に限定します。円の性質全体、二円の共通接線、ソフトウェア実習、固定学年の履修や学習効果を主張せず、原典の問題・図版も写していません。 · 2026-11-04
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 円の線分の積を、点の位置と対応から証明する
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準備14問は正の長さ・全体と部分・対応を確認する足場です。主課題では生徒のラベル付き図、同じ円と交点・順序、二角と相似の対応・比・積、接線の直角と正の長さを手動確認します。T1は円内の一般の証明、T2は全長も含む実計算、T3は円外の一般の証明、T4は外側×全体への修正、T5は直角から接線と直径割線の一致、T6は二接線の合同と誤った逆の反例、T7は同じ円・Pでの三つの量の比較、T8は実際の四点を同じ円に載せる根拠、T9は二種類の誤りの修正、T10は生徒の一つの作図と導出を見ます。正しい別証明を認め、解答の転記や最終値だけで達成としません。
同じ円の弦ABとCDが円内のPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=3、PC=4、PD=9のとき、PBの長さを求めてください。単位は共通です。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=5、PB=8、PC=4のとき、PDの正の長さを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円外のPから異なる二本の割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順です。PA=3、AB=9、PC=4のとき、円内の部分CDの長さを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円外のPからの割線はP・A・B、P・C・Dの順です。PA=8、AB=10、PC=9のとき、CDの正の長さを求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
中心O、半径5の円の外にPがあり、OP=13です。PTはTでの接線です。PTの正の長さを求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円外のPからの割線がP・A・Bの順で、PA=2、AB=6です。PTがこの円の接線のとき、PTの正の長さを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円外のPから二本の接線PT・PUを引き、T・Uが接点です。PT=7のとき、PUの長さを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。この条件から一般に導ける関係はどれですか。
- PA/PB=PC/PD
- PA/PB=PD/PC
- PA×PB=PC×PD
- PA+PB=PC+PD
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円外のPから、P・A・BとP・C・Dの順の異なる割線を引きます。与えられたPA・AB・PC・CDを使う正しい関係はどれですか。
- PA×(PA+AB)=PC×(PC+CD)
- PA×(PA+AB)=CD×(PC+CD)
- AB×(PA+AB)=PC×(PC+CD)
- AB×(PA+AB)=CD×(PC+CD)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円内の弦AB・CDがPで交わるA・P・B、C・P・Dの配置で、対頂角と同じ弧BCの円周角を使います。△PACに対する△PDBの頂点の正しい対応順はどれですか。
- P・B・D
- D・P・B
- B・D・P
- P・D・B
途中の計算・単位・理由・確認答え:
円外のPからの接線PTについてPT²=49が得られました。長さと、その採用理由の正しい組はどれですか。
- PT=49、長さは二乗の値をそのまま使う
- PT=7、線分の長さは正なので正の平方根を使う
- PT=−7、二乗が同じなので負の値だけを使う
- PT=±7、線分の長さも二つの符号を両方持つ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ円外のPからの割線P・A・Bで、方べきの関係に使う二つの長さはどれですか。
- Pから近い交点までと、Pから遠い交点まで
- Pから近い交点までと、円内の部分だけ
- Pから遠い交点までと、円内の部分だけ
- 円の直径全体と、円内の部分だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径r、中心Oの円の外にPがありOP=d、PTはTでの接線です。直角三角形OTPから得られる正しい式はどれですか。
- PT²=r²−d²
- PT²=d²+r²
- PT²=d²−r²
- PT²=(d+r)²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A・P・CとB・P・Dの順で、二本の異なる直線がPで交わります。この四点が同じ円周上にあると仮定したとき、実際の二本の弦に対応する積の比較はどれですか。
- PA+PCとPB+PD
- PA×PCとPB×PD
- PA+PBとPC+PD
- PA²+PC²とPB²+PD²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
同じ円周上の異なる四点A・B・C・Dをとり、異なる弦ABとCDが円内のPで交わるとします。A・P・B、C・P・Dの順を自分の図に記録してください。二つの三角形を選び、二角が等しい理由、頂点の対応、辺の比を示し、PA×PB=PC×PDを証明してください。
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=4、PC=5、PD=12です。自分の図で四つの部分と二つの弦全体を区別し、PB・AB・CDを求めてください。使った相似の対応と関係式、正の長さと点の順序に合うことも説明してください。
同じ円外のPから二本の異なる割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順でA・B・C・Dが円周上にあります。この順序を図示し、△PDAと△PBCの二角・対応・辺の比から、PA×PB=PC×PDを証明してください。円内の配置との長さの読み方の違いも説明します。
同じ円外のPからの割線はP・A・B、P・C・Dの順で、PA=6、AB=6、PC=8です。友達は「6×6=8×CDだからCD=9/2」としました。図と二つの全体の長さを記録し、友達の掛けた線分を特定して直し、正しいPD・CDと元の関係の検算を示してください。
中心O、半径8の円の外にPがありOP=17、PTはTでの接線です。図に半径と接線の条件を記録し、三平方の定理からPTを求めてください。さらに直線OPの近い交点Aと遠い交点Bを図に加え、PA・PBを求め、接線の長さの二乗と割線の積が一致する理由を式で導いてください。
同じ円外のPから接線PT・PUを引き、T・Uを接点、Oを中心とします。直角三角形の合同からPT=PUを証明してください。次に「円周上のT・UについてPT=PUなら、どちらも接線だ」という友達の逆の主張を調べます。OPに垂直な直径の端点を新たなT・Uとして図を作り、等距離でも接線でない理由を説明してください。
同じ円外のPから二本の異なる割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順、PA=2、PB=18、PC=3、PD=12です。PTは同じ円のTでの接線です。三本を区別した図を作り、各割線の内部部分、二つの外側×全体、PTの正の長さを求めてください。同じ円と同じPを使うこと、及び接線の関係の根拠も説明してください。
直交する二直線を引き、交点Pから一方の両側へPA=3、PB=12、もう一方の両側へPC=4、PD=9となる点をとります。A・P・B、C・P・Dの順です。ABとCDの垂直二等分線の交点をO、各中点をM・Nとしてください。PM・PN・OM・ON・AM・CNを求め、直角三角形からOA=OB=OC=ODを示し、実際にこの四点が同じ円に載ることを説明してください。単位は共通で、座標を使う必要はありません。
二人の友達の主張を、自分で描いた別々の図と理由で直してください。I：同じ円外のPからP・A・B、P・C・Dの割線を引き、PA=4、AB=8、PC=6だから、4×8=6×CDとする。II：点の位置や直線の組を調べず、PA×PB=PC×PDという数値の一致だけで四点が同じ円周上と決める。IIには、直交する二直線でA・P・C、B・P・Dの順、PA=1、PC=2、PB=6、PD=3となる図を作り、実際の弦の組を使って反例を説明してください。
(r,d)を(3,5)または(5,13)から一組、kを1,2,3から一つ選び、中心O、半径kr、OP=kdの円外のPを図に作ります。OPを直径とする補助円と元の円（中心O、半径kr）との交点のうち、OPの上側か下側の一方をTとし、OTとPTを結びます。PTが接線である理由、PTの正の長さ、直線OPの近い交点Aと遠い交点Bまでの長さ、割線の積と接線の二乗の一致を記録してください。自分で選んだ一組を完成させればよく、全12通りを解く必要はありません。
解答: 円の線分の積を、点の位置と対応から証明する
12
PA×PB=PC×PDより3×PB=4×9=36。正の長さPB=12です。
10
5×8=4×PDからPD=10です。点の順序が円内の二本の弦に対応しています。
5
PB=3+9=12。3×12=4×PDよりPD=9なので、CD=PD−PC=9−4=5です。
7
PB=8+10=18、8×18=9×PDよりPD=16です。CD=16−9=7。外側の8と内側の10だけを掛けません。
12
OT⊥PTなのでPT²=13²−5²=144。長さPTは正なので12です。
4
全体PB=2+6=8なのでPT²=PA×PB=16。正の長さは4です。
7
二つの接点での直角、等しい半径OT・OU、共通の斜辺OPから△OTP≡△OUP。対応する接線の長さPU=PT=7です。
PA×PB=PC×PD
△PAC∽△PDBからPA/PD=PC/PB。従ってPA×PB=PC×PDです。他の積や弦全体の等しさは、この条件だけでは一般に導けません。
PA×(PA+AB)=PC×(PC+CD)
近い交点まで×遠い交点までを使います。遠い交点まではPB=PA+AB、PD=PC+CDです。
P・D・B
Pの角がP、Aの角がD、Cの角がBに対応します。△PAC∽△PDBという順に対応を書きます。
PT=7、線分の長さは正なので正の平方根を使う
Pは円外、Tは接点でPT>0です。PT²=49の正の解7を長さとして採用します。
Pから近い交点までと、Pから遠い交点まで
外側PAと全体PBを掛けます。ABは円内の部分で、PB=PA+ABです。
PT²=d²−r²
接点TでOT⊥PT、斜辺はOP=dなので、d²=r²+PT²です。従ってPT²=d²−r²。
PA×PCとPB×PD
この図で一本の弦上の両側はAとC、もう一本はBとDです。PをはさむPA×PCとPB×PDを比べます。文字の並びだけでAB・CDを弦と決めません。
記述問題の解答・確認の観点
同じ円周上の異なる四点A・B・C・Dをとり、異なる弦ABとCDが円内のPで交わるとします。A・P・B、C・P・Dの順を自分の図に記録してください。二つの三角形を選び、二角が等しい理由、頂点の対応、辺の比を示し、PA×PB=PC×PDを証明してください。
△PACと△PDBで∠APC=∠DPBは対頂角、∠PAC=∠PDBは同じ弧BCの円周角。よって△PAC∽△PDBでP↔P、A↔D、C↔B。PA/PD=PC/PBの両辺に正のPD×PBを掛け、PA×PB=PC×PDを得る。
生徒の四点・内部交点・二本の異なる弦と順序、二角の理由、対応・比・積の全つながりを見る。正しい別の相似三角形の組も認める。
同じ円内で異なる弦AB・CDがPで交わり、A・P・B、C・P・Dの順です。PA=4、PC=5、PD=12です。自分の図で四つの部分と二つの弦全体を区別し、PB・AB・CDを求めてください。使った相似の対応と関係式、正の長さと点の順序に合うことも説明してください。
△PAC∽△PDBの対応からPA×PB=PC×PD、4×PB=5×12なのでPB=15。AB=4+15=19、CD=5+12=17。全ての部分は正で、二つの全長はそれぞれPをはさむ部分の和になる。
生徒のラベル付き図、相似の対応・比からの積、未知の部分と二つの全長、順序と正値の確認を手動で見る。固定した未指定の半径を勝手に追加しない。
同じ円外のPから二本の異なる割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順でA・B・C・Dが円周上にあります。この順序を図示し、△PDAと△PBCの二角・対応・辺の比から、PA×PB=PC×PDを証明してください。円内の配置との長さの読み方の違いも説明します。
Pの角は共通で、∠PDA=∠PBCは同じ弧ACの円周角。△PDA∽△PBC、P↔P、D↔B、A↔CなのでPD/PB=PA/PC、従ってPC×PD=PA×PB。円外では近い交点まで×遠い交点までで、PB=PA+AB、PD=PC+CD。円内ではPをはさむ同じ弦の二部分を使う。
生徒の外部のP・二本の割線の順序、二角の理由・頂点対応と比からの導出、全体と内部部分の区別を見ます。
同じ円外のPからの割線はP・A・B、P・C・Dの順で、PA=6、AB=6、PC=8です。友達は「6×6=8×CDだからCD=9/2」としました。図と二つの全体の長さを記録し、友達の掛けた線分を特定して直し、正しいPD・CDと元の関係の検算を示してください。
友達は外側PAと円内部分ABを掛け、右辺も外側PCと円内部分CDにしている。PB=6+6=12なので6×12=8×PD、PD=9。CD=9−8=1で、8×(8+1)=72=6×(6+6)。全て正で順序に合う。
生徒の外側・内部・全体を分けた図、二つの誤った部分の指摘、正しい全体と内側、積の検算を見ます。
中心O、半径8の円の外にPがありOP=17、PTはTでの接線です。図に半径と接線の条件を記録し、三平方の定理からPTを求めてください。さらに直線OPの近い交点Aと遠い交点Bを図に加え、PA・PBを求め、接線の長さの二乗と割線の積が一致する理由を式で導いてください。
OT=8、OT⊥PT、斜辺OP=17よりPT²=289−64=225、正の長さPT=15。PA=17−8=9、PB=17+8=25。PA×PB=(17−8)(17+8)=17²−8²=225=PT²である。
生徒の接点の直角と斜辺、正の長さ、直線OP上の点の順序と二部分、差の積の展開から同じ量になる根拠を見ます。
同じ円外のPから接線PT・PUを引き、T・Uを接点、Oを中心とします。直角三角形の合同からPT=PUを証明してください。次に「円周上のT・UについてPT=PUなら、どちらも接線だ」という友達の逆の主張を調べます。OPに垂直な直径の端点を新たなT・Uとして図を作り、等距離でも接線でない理由を説明してください。
接線の配置ではOT=OU、斜辺OPが共通、∠OTP=∠OUP=90°から△OTP≡△OUP、従ってPT=PU。反例の新しい配置ではOは直径TUの中点、OP⊥TUなのでPはTUの垂直二等分線上にありPT=PU。しかし△OTPはOが直角でTの角は直角でなく、PTはOTに垂直でない。同様にPUもOUに垂直でなく、二線は接線ではない。
生徒の接線の図と三条件の合同、反例では別のT・Uであること、等距離と接点での垂直が異なるという幾何の根拠を見る。反例の角を見た目だけで判定しない。
同じ円外のPから二本の異なる割線を引き、P・A・B、P・C・Dの順、PA=2、PB=18、PC=3、PD=12です。PTは同じ円のTでの接線です。三本を区別した図を作り、各割線の内部部分、二つの外側×全体、PTの正の長さを求めてください。同じ円と同じPを使うこと、及び接線の関係の根拠も説明してください。
AB=18−2=16、CD=12−3=9。PA×PB=2×18=36、PC×PD=3×12=36。接線の長さはPT²=36よりPT=6。同じ円・Pで割線の積は、直径方向の割線の(d−r)(d+r)=d²−r²と一致し、接点の直角からPT²も同じ量となる。
生徒の全体と部分の区別、各計算と正値、同じ円・外点と接点の直角に基づく理由を手動で見る。任意の別の円や別の外点へ同じ数値を一般化しない。
直交する二直線を引き、交点Pから一方の両側へPA=3、PB=12、もう一方の両側へPC=4、PD=9となる点をとります。A・P・B、C・P・Dの順です。ABとCDの垂直二等分線の交点をO、各中点をM・Nとしてください。PM・PN・OM・ON・AM・CNを求め、直角三角形からOA=OB=OC=ODを示し、実際にこの四点が同じ円に載ることを説明してください。単位は共通で、座標を使う必要はありません。
PM=(12−3)/2=9/2、PN=(9−4)/2=5/2。直交する二直線と垂直二等分線からPMONは長方形なのでOM=5/2、ON=9/2。AM=15/2、CN=13/2。OA²=AM²+OM²=(225+25)/4=125/2、OC²=CN²+ON²=(169+81)/4=125/2。正の距離からOA=OC、またOは二つの垂直二等分線上なのでOA=OB、OC=OD。Oを中心とする同じ円が四点を通る。
生徒の直交・両側の点・中点・二等分線の実際の図、六つの長さと長方形の根拠、三平方と等距離からの円を手動で見る。数値の積の一致だけを円の存在の証明として転記しない。
二人の友達の主張を、自分で描いた別々の図と理由で直してください。I：同じ円外のPからP・A・B、P・C・Dの割線を引き、PA=4、AB=8、PC=6だから、4×8=6×CDとする。II：点の位置や直線の組を調べず、PA×PB=PC×PDという数値の一致だけで四点が同じ円周上と決める。IIには、直交する二直線でA・P・C、B・P・Dの順、PA=1、PC=2、PB=6、PD=3となる図を作り、実際の弦の組を使って反例を説明してください。
IではPB=4+8=12、4×12=6×PDよりPD=8、CD=8−6=2。外側×内部ではなく外側×全体を使う。IIの図ではPA×PB=1×6=6、PC×PD=2×3=6で数値は一致する。しかし実際にPをはさむのはACとBDで、同じ円ならPA×PC=PB×PDが必要だが、PA×PC=1×2=2、PB×PD=6×3=18となり、両者は一致しない。従ってこの四点は同じ円周上ではなく、直線と点の順序を無視した主張の反例になる。
生徒のIの二つの全体と正しい内部部分、IIの実際の点の並び・等しい誤った組の積と異なる正しい組の積、同円なら必要条件に反する論証を見ます。
(r,d)を(3,5)または(5,13)から一組、kを1,2,3から一つ選び、中心O、半径kr、OP=kdの円外のPを図に作ります。OPを直径とする補助円と元の円（中心O、半径kr）との交点のうち、OPの上側か下側の一方をTとし、OTとPTを結びます。PTが接線である理由、PTの正の長さ、直線OPの近い交点Aと遠い交点Bまでの長さ、割線の積と接線の二乗の一致を記録してください。自分で選んだ一組を完成させればよく、全12通りを解く必要はありません。
作例(r,d)=(3,5)、k=2で下側のTを選ぶ。半径6、OP=10、補助円の円周角から∠OTP=90°なのでPTは元の円のTでの接線。PT²=10²−6²=64よりPT=8。PA=10−6=4、PB=10+6=16、PA×PB=64=PT²。別の許された一組と上下いずれの交点も認める。一般にはPT=k√(d²−r²)、PA=k(d−r)、PB=k(d+r)である。
生徒の選んだ数・上下の交点と実際の補助円の作図、接点の直角の根拠、正の長さ・順序・二乗の一致を手動で見る。作例の転記や一般形だけを生徒の具体例作成とはしない。