不等式の領域：境界・全条件の観察記録

得られる結果

境界の式と含む側、等号を含まない不等号・含む不等号、有限な線分・弧と端点、かつ・または・全平面での補集合を、生徒の図全体・全ての条件と代入から区別できます。

操作手順

1. 領域全体と条件を、最後の結果から分ける

   生徒が同じ単位の軸へ領域全体を描き、全不等式・境界の式と含否を対応させたかを見ます。見本の斜線や図の表示範囲、最後の整数点の個数だけを、生徒の図全体・理由の証拠にしません。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が描いた同じ単位の軸と全平面の領域：[ ] 元の全ての不等式と同値に直した各式：[ ] 境界となる各直線・円の方程式：[ ] 等号の有無と実線・破線などの含否表示：[ ] 境界以外の点で確かめた含む側：[ ] 境界上・内部・外部の点を代入した全ての計算：[ ] かつの共通部分と全ての条件の確認：[ ] またはの和集合と少なくとも一方の確認：[ ] 全平面を全体とした補集合と境界の移り方：[ ] 有限な境界の弧・線分・端点の含否：[ ] 整数点の表と実数の領域全体の区別：[ ] 講師の見本・支援と生徒の理由・未確認：[ ]

3. 作例A：すべての境界の式と含む側に戻す

   見本2x+y≤4の境界は2x+y=4、交点(0,4),(2,0)。原点は0≤4で入り、(3,0)は6≤4で入りません。生徒が境界を含む全半平面を示し、−3倍した−6x−3y≥−12とも同じ領域だと説明したかを記録します。図枠の端を境界にはしません。

4. 作例B：円盤と全平面での補集合に戻す

   見本(x+1)²+(y−1)²≤9は中心(−1,1)、半径3の円の周と内部です。中心・(2,1)・(3,1)の左辺は0,9,16。生徒が最初の二点は入り最後は入らないと確認し、補集合(x+1)²+(y−1)²>9では円周を除く外側になる理由を図全体と式に残したかを見ます。

5. 作例C：有限な三辺と、整数点の表に戻す

   見本x≥0、y≥0、x+2y≤6の共通部分は頂点(0,0),(6,0),(0,3)の閉三角形です。生徒が全三辺と三頂点を含むと示し、整数点はy=0,1,2,3ごとに7,5,3,1で計16点と表にしたかを見ます。領域の実数の点全体を16点だけに狭めません。

6. 作例D：またはとかつ、否定した境界に戻す

   別の見本x≥2またはy<−1は二つの半平面の和集合、かつなら共通部分です。(2,0)は前者だけに入ります。生徒が(0,0),(2,0),(0,−2),(2,−2)を両方で調べ、またはの全平面での補集合がx<2かつy≥−1と示したかを見ます。否定後は縦の境界を除き横の境界を含みます。

7. 作例E：負の倍率と厳密な不等号に戻す

   別の見本−2x+3y>6を−1倍すると2x−3y<−6です。境界は同じ直線でも、不等号を>のままにすると含む側が反対になります。生徒が原点では元も正しい変形後も入らず、(0,3)では両方に入ると代入し、境界(0,2)は両方から除くと確かめたかを見ます。

8. 別の一例と未確認へ戻る

   生徒が選ぶ正しい一例・同値な全不等式・別の説明を認めます。全12条件を必須にせず、図全体・境界の各部分と端点・各点の代入を、講師の見本や支援から分けます。自由な領域図や式と計算過程の自動採点、この観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ⅱ(2)ア(エ)と関連するイ(イ)、簡単な直線・円を境界とする領域と不等式の往復を踏まえた独自活動です。軌跡全体・最適化・数学Ⅱ全体・固定学年や全試験範囲の履修は主張しません。
• 全平面を全体とした補集合を扱います。境界の含否、有限な弧・線分と端点、かつ・または、実数の領域全体と指定した整数点を分けます。
• 図の線・円・斜線と文字は個別に編集できますが、動かしても他の図・式や条件は自動更新されません。12項目は紙や既存ボードへ手動記録し、領域の自動判定・自由な図全体の採点や観察欄の自動保存はありません。
• 生徒の図全体・式と計算過程と条件を、講師の見本・支援から分けます。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• 領域全体・境界と各点の条件を確かめる授業用ボード
• 不等式の領域・境界と条件の練習
• 文部科学省・数学Ⅱ：不等式の表す領域と図・式