不等式の領域と、境界を含む条件を図へ表す
直線・円の境界と点の代入を結び、共通部分・和集合と補集合を図に表します。準備14問と、生徒が領域全体・境界と理由を書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(2)ア(エ)と関連するイ(イ)、冊子57–59/PDF69–71の簡単な直線・円の境界による領域を不等式で表し、逆に図示する範囲を踏まえた独自課題です。平面上の点集合と境界の包含、共通部分・和集合と補集合を扱い、軌跡全体・最適化・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。
解説を読む
境界の線を描いただけでは、不等式が表す領域は決まりません。どちら側か、境界を含むか、二つの条件を同時に満たすのか、どちらか一方なのかを分け、自分の図と全ての式へ戻して確かめます。
必要な予備知識
同じ単位の直交座標、直線と円の方程式、平方根、一次不等式で負数を掛けるときの向き、集合の共通部分・和集合。自由な領域図・全不等式と理由は講師が手動確認します。微分・ベクトル・線形計画法は前提にしません。
- 二つの実数x,yの不等式の解は、条件を満たす点(x,y)の集合です。一本の直線や円の周だけと、その内側・外側や半平面を分けます。特に断らなければ、点の座標を整数だけに限りません。
- Ax+By+C=0（A,Bは同時に0でない）を境界に、Ax+By+C>0と<0は反対側の二つの半平面です。境界上でない点を代入して側を確認し、式の同値な変形や線形な式の符号と結びます。一つの確認点だけを領域全体の証明にはしません。
- ≧,≦は境界の等号も認め、>,<は認めません。図では含む境界を実線、含まない境界を破線などで区別し、点の端を含むかも明示します。色だけに頼らず不等式や言葉も残します。
- 負の数を不等式の両辺へ掛けたり割ったりすると、不等号の向きが逆になります。境界の方程式が同じでも、選ぶ側が同じとは限りません。全ての係数と不等号を一緒に変えます。
- 中心(a,b)、半径r>0について、(x−a)²+(y−b)²<r²は円の内側で周を除き、≦r²は周も含む円板です。>r²は周を除く外側、≧r²は周も含む外側です。r²とrを分け、距離が二乗でも非負なことを使います。
- 二条件を「かつ」で結ぶと、両方を満たす共通部分です。「または」なら少なくとも一方を満たす和集合で、両方を満たす点も含みます。「または」を片方だけという意味にはしません。
- 全平面を全体とした補集合は、元の領域に入らない点の全体です。≦の否定は>、<の否定は≧です。「かつ」の否定は二つの否定の「または」、「または」の否定は二つの否定の「かつ」となり、境界も変わります。
- 連立した条件の最終的な境界は、元の境界線や円周のうち、他の条件にも合う部分を調べます。有限の線分や半円の弧を、無限に続く直線や円全体と取り違えません。交点や端点は元の全ての条件へ戻します。
- 整数の点の個数を求めると明記されたときだけ、許される整数xごとに整数yを漏れなく数えます。図で点を数えるだけでなく、元の不等式と開閉の条件に対応させます。個数の答えを全実数の領域の代わりにはしません。
- 生徒が同じ単位の軸へ領域全体・各境界・交点と包含を描き、入る点と入らない点の代入、同値な式や距離から全体の理由を示します。準備の指定数値や選択だけで生徒の作図・説明ができたとはしません。
解き方の例
2x+y≦6の境界は2x+y=6で、(3,0),(0,6)を通ります。y≦6−2xの側で境界を含み、原点では0≦6なのでこの側です。第一象限という条件はないため、x,yが負の点を勝手に除きません。
(x−2)²+(y+1)²<4かつy≧−1なら、中心(2,−1)、半径2の上半円板から円周を除いた部分です。直径の内側y=−1,0<x<4は含みますが、両端(0,−1),(4,−1)は等号を含まない不等式の条件を満たさず除きます。
よくある間違い
- 等号の境界だけを描き、不等式の側を選ばない。
- 負数で倍しても不等号を逆にせず、同じ境界の反対側を答える。
- <と≦、>と≧の境界・端点の違いを落とす。
- 「かつ」を和集合、「または」を共通部分や片方だけにする。
- 補集合で不等号の開閉や、かつ・またはの交換を落とす。
- 半円の弧や有限の線分だけが境界となる場面で、円周全体や無限の直線を描く。
- 整数の個数を求めたことを、全実数の領域の図示の代わりにする。
考え方を説明する
準備14問は指定された切片・半径・整数点の個数と条件の選択です。主課題は生徒の同じ単位の軸・全不等式、境界の式・交点と各端の包含、半平面・円板と共通部分・和集合・補集合、全体を説明する同値な式や距離を手動確認します。T1は半平面と負の倍率、T2は斜めの境界線を含まない領域と縦の帯、T3は閉じた三角形と整数点、T4は開いた一辺の端、T5は円板と補集合、T6は半円板の境界部分、T7はかつ・またはと補集合、T8は負の倍率の誤り、T9は図の領域を式に戻す矩形、T10は生徒が作る半円板を見ます。同じ点集合を表す正しい別表記と初等的な別解も認めます。
自動採点は準備の指定数値と選択だけです。主課題の領域全体・境界の実線破線・端点と全不等式、生徒の作図と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい領域作図採点器や自動陰影機能は追加せず、生徒の達成・授業効果も主張しません。
練習する
自動採点は準備の指定数値・選択だけです。自分の領域図・境界と端点の包含、式と計算過程と理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
境界の直線2x+3y=12のx切片を求めてください。
答えと解説
6
y=0を代入すると2x=12なのでx=6です。
境界の直線2x+3y=12のy切片を求めてください。
答えと解説
4
x=0を代入すると3y=12なのでy=4です。
図の三角形の周と内部、すなわちx≧0、y≧0、x+y≦4を全て満たす整数の点(x,y)は何個ですか。
図を準備しています。
答えと解説
15
整数x=0,1,2,3,4に対して整数yはそれぞれ5,4,3,2,1通りなので合計15個です。境界も含みます。
領域(x−2)²+(y+1)²≦9の、境界となる円の正の半径を求めてください。
答えと解説
3
半径の二乗は9なので正の半径は3です。領域は周も含む円板です。
x²+y²<16を満たし、x=0でもある整数の点(0,y)は何個ですか。
答えと解説
7
y²<16から整数yは−3,−2,−1,0,1,2,3の7個。y=±4は円周で除きます。
−1≦x<3かつy=2を満たす整数の点(x,2)は何個ですか。
答えと解説
4
整数xは−1,0,1,2の4個です。左端−1は含み、右端3は除きます。
図の三角形の周と内部、すなわちx≧0、y≧0、2x+3y≦12を満たす点のうち、x=2でyが整数となるものは何個ですか。
図を準備しています。
答えと解説
3
x=2では4+3y≦12より0≦y≦8/3。整数yは0,1,2の3個です。
y>2x−1の領域について正しい説明はどれですか。
- 境界を含み、原点を含まない側
- 境界を含み、原点を含む側
- 境界を含まず、原点を含まない側
- 境界を含まず、原点を含む側
答えと解説
境界を含まず、原点を含む側
原点では0>−1で成立します。等号を認めないので境界y=2x−1は含みません。
−2x+y≦3を、yについて同値に表したものはどれですか。
- y≧2x+3
- y≦2x+3
- y<2x+3
- y≦−2x+3
答えと解説
y≦2x+3
両辺へ2xを加えてy≦2x+3。正負で割る操作はなく、不等号はそのままです。
x²+y²≧9が表す領域はどれですか。
- 半径3の円の外側で、円周も含む
- 半径3の円の内側で、円周を除く
- 半径9の円の外側で、円周を除く
- 半径3の円周だけ
答えと解説
半径3の円の外側で、円周も含む
原点からの距離の二乗が9以上なので距離3以上です。円周も含む外側です。
x≧0かつy≧0が表す領域はどれですか。
- x≧0かy≧0の少なくとも一方だけでよい
- x<0かつy<0
- 二条件の共通部分で、両軸の対応する部分も含む
- x=0かつy=0の一点だけ
答えと解説
二条件の共通部分で、両軸の対応する部分も含む
両方を満たす第一象限と正の軸の部分、原点を含みます。「かつ」は共通部分です。
全平面で、x≧0またはy≧0という領域の補集合はどれですか。
- x<0またはy<0
- x<0かつy<0
- x≦0かつy≦0
- x≧0かつy≧0
答えと解説
x<0かつy<0
「x≧0またはy≧0」を否定すると「x<0かつy<0」となります。少なくとも一方が非負という条件が成り立たないのは、両方が負のときです。軸上は元の領域に含まれるため、補集合には含みません。
全平面で、x²+y²≦4という領域の補集合はどれですか。
- x²+y²<4
- x²+y²≧4
- x²+y²=4
- x²+y²>4
答えと解説
x²+y²>4
周を含む半径2の円板に入らない点は、周を除く外側です。≦の否定は>です。
x>1かつx≦1を満たす実数の点(x,y)の領域はどれですか。
- 点が一つもない
- 直線x=1の全ての点
- 全平面
- x≧1の半平面
答えと解説
点が一つもない
同じxが1より大きく、同時に1以下になることはありません。yの値によらず空集合です。
考え方を説明する
3x+2y≦12の領域を、同じ単位の座標平面へ図示してください。境界の式と両切片、どちら側かと境界の包含を示し、原点の代入と同値な式から理由を説明します。さらに全体を−2倍した同値な不等式を作ってください。第一象限だけには限りません。
答えと解説
境界3x+2y=12は(4,0),(0,6)を通り、y≦6−3x/2の半平面で境界を含む。原点は0≦12で成立。−2倍では−6x−4y≧−24となり同じ領域。x,yが負の点も条件に合えば含める。
生徒の同じ単位の図・全半平面・実線の境界・両切片と負倍率の向き、全体の理由を見ます。
−2x+3y>6の領域を図示し、境界を含むか、(0,0),(0,3),(3,4)が入るかを実際に代入して確かめてください。別に−1≦x<2の領域も同じ単位の座標平面へ図示し、縦の二つの境界と包含を説明します。
答えと解説
前者はy>2x/3+2で斜めの境界を除く上側。三点の左辺は0,9,6で、順に入らない・入る・境界なので入らない。後者は二直線x=−1,x=2に挟まれた帯で左を含み右を除き、yは全実数。
生徒の二つの領域全体・斜めと縦の境界・実線破線と三点の代入、yを勝手に制限しないことを見ます。
x≧0、y≧0、x+2y≦8を全て満たす領域を図示してください。境界と全ての頂点・包含を求め、共通部分を選ぶ理由を示します。その領域にある整数の点の個数も、整数xごとに許される整数yを表にして求めてください。
答えと解説
閉じた三角形の頂点は(0,0),(8,0),(0,4)で、三辺と全頂点を含む。各条件の共通部分。整数x=0..8のyの個数は5,4,4,3,3,2,2,1,1で計25。元の領域自体は整数の点だけでなく全ての実数の点を含む。
生徒の三辺・全頂点・包含と共通部分、全実数の領域と整数点の表・25の違いを見ます。
x≧0、y>0、x+y≦5を全て満たす領域を図示してください。境界の各部分と三つの頂点に対応する位置の包含を調べ、(0,1),(1,0),(2,3),(3,3)を元の全ての条件へ代入します。y≧0の場合と何が変わるかも説明してください。
答えと解説
閉じた三角形(0,0),(5,0),(0,5)から底辺y=0を両端ごと除く。(0,5)は含むが(0,0),(5,0)は除く。残る二辺も底の端は除く。四点は順に入る・入らない・入る・入らない。y≧0に変えると底辺と両端を含む。
生徒の底辺全体と各端の開閉、残る二辺の部分、全四点と一条件だけ変えた比較を見ます。
(x+1)²+(y−2)²<9の領域を図示し、中心と正の半径、円周を含むかを説明してください。点(−1,2),(2,2),(3,2)を元の式へ代入します。全平面を全体とした補集合を不等式と図で表し、境界の包含がどう変わるかも説明してください。
答えと解説
中心(−1,2)、半径3の円の内側で周を除く。三点の左辺は0,9,16で、順に入る・円周なので入らない・外側で入らない。補集合は(x+1)²+(y−2)²≧9で周を含む外側。元の不等式は等号を含まないため、その否定には等号が入る。
生徒の円板と周の区別・三つの代入・全平面での補集合・内外と開閉の両方を見ます。
(x−1)²+y²≦16かつx≧1の領域を図示してください。境界となる円周の部分と直線の部分、それらの交点と包含を全て求めます。(1,0),(0,0),(5,0),(1,5)の各点が入るかを、二条件へ戻して確かめます。
答えと解説
中心(1,0)、半径4の右半円板で周も含む。境界はx≧1となる右半円の弧と、x=1かつ−4≦y≦4の直径の線分。交点(1,−4),(1,4)も含む。四点は順に入る・x条件で除く・入る・円板条件で除く。x=1の直線全体や左半円の弧は最終領域の境界ではない。
生徒の右半円板・有限の直径と弧・全交点の包含、各点の二条件と部分境界を見ます。
「x≦−1またはy≧2」と「x≦−1かつy≧2」を、それぞれ図示して比べてください。点(−2,0),(0,3),(−2,3),(0,0)を二条件へ戻し、「または」に両方を満たす点も入ることを説明します。全平面で前者の補集合を全不等式と図に表してください。
答えと解説
またはは左半平面と上半平面の和集合、かつは左上の共通部分でどちらも元の等号を含む。四点は和集合では入る・入る・入る・入らない、共通部分では入らない・入らない・入る・入らない。和集合の補集合はx>−1かつy<2で、二つの境界を除く右下側。「または」は片方だけではない。
生徒の和集合と共通部分・全四点の二つの判断・補集合での「かつ」と境界を含まない条件を見ます。
−x+2y≧4について、友達は「−1倍するとx−2y≧−4だから同じ領域」としました。境界の式と、原点・点(0,2)の代入から説明を調べ、全不等式と領域図を直してください。境界が同じだけでは同じ領域にならない理由を述べます。
答えと解説
正しくはx−2y≦−4、すなわちy≧x/2+2。境界は実線で含む。原点は元の0≧4を満たさないが、友達の0≧−4は満たすので異なる。点(0,2)は元で4≧4、修正後で−4≦−4となる境界上の点。負数で倍すると向きが逆になり、同じ境界の反対側を選ぶ誤りを直す。
生徒の負数と向き・元と誤りと修正の代入・境界と側の別々の確認、正しい全半平面を見ます。
領域は、縦の境界x=−2を含み、x=3を含まず、その間にあります。横の境界y=−1を含まず、y=2を含み、その間にあります。領域全体と全不等式を示し、四つの頂点に対応する位置の包含を調べてください。その領域にある整数の点の個数も、許される各座標を列挙して求めます。
答えと解説
領域は−2≦x<3かつ−1<y≦2の矩形。四隅では(−2,2)だけを含み、(−2,−1),(3,2),(3,−1)は除く。整数xは−2,−1,0,1,2の5通り、整数yは0,1,2の3通りで15個。二辺を実線、二辺を破線で区別し、実線の辺でも他条件で除く端がある。
生徒の四つの不等式全て・矩形・四隅と各辺の端の包含、二座標の全列挙と15を見ます。
aを−2,0,1から、bを−1,2から、rを2,4から一つずつ選びます。(x−a)²+(y−b)²≦r²かつy≧bという領域を、同じ単位の座標図と具体的な式で表してください。境界の弧と線分、両交点、中心と上端の包含を求めます。中心の真下r/2の点と、上端よりさらに1上の点も調べ、全ての条件へ代入して確かめます。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例a=0,b=2,r=4なら円板x²+(y−2)²≦16かつy≧2の上半円板。境界はy≧2の上半円の弧とy=2,−4≦x≦4の直径で、両端(−4,2),(4,2)、中心(0,2)、上端(0,6)を含む。下の点(0,0)は円板内だがy条件で除き、外の点(0,7)は25>16で除く。一般に両端(a±r,b)、上端(a,b+r)、下の点(a,b−r/2)、外の点(a,b+r+1)。生徒の別の正しい一例・式と計算過程・図と包含を認める。
生徒の三数・具体的な領域全体と式と計算過程・弧と有限線分・全交点と指定した点の代入、全12例を必須にしないことを見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(2)ア(エ)と関連するイ(イ)、冊子57–59/PDF69–71の簡単な直線・円の境界による領域を不等式で表し、逆に図示する範囲を踏まえた独自課題です。平面上の点集合と境界の包含、共通部分・和集合と補集合を扱い、軌跡全体・最適化・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。 · 2026-11-04
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準備14問は指定された切片・半径・整数点の個数と条件の選択です。主課題は生徒の同じ単位の軸・全不等式、境界の式・交点と各端の包含、半平面・円板と共通部分・和集合・補集合、全体を説明する同値な式や距離を手動確認します。T1は半平面と負の倍率、T2は斜めの境界線を含まない領域と縦の帯、T3は閉じた三角形と整数点、T4は開いた一辺の端、T5は円板と補集合、T6は半円板の境界部分、T7はかつ・またはと補集合、T8は負の倍率の誤り、T9は図の領域を式に戻す矩形、T10は生徒が作る半円板を見ます。同じ点集合を表す正しい別表記と初等的な別解も認めます。
境界の直線2x+3y=12のx切片を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
境界の直線2x+3y=12のy切片を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図の三角形の周と内部、すなわちx≧0、y≧0、x+y≦4を全て満たす整数の点(x,y)は何個ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
領域(x−2)²+(y+1)²≦9の、境界となる円の正の半径を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+y²<16を満たし、x=0でもある整数の点(0,y)は何個ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−1≦x<3かつy=2を満たす整数の点(x,2)は何個ですか。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図の三角形の周と内部、すなわちx≧0、y≧0、2x+3y≦12を満たす点のうち、x=2でyが整数となるものは何個ですか。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y>2x−1の領域について正しい説明はどれですか。
- 境界を含み、原点を含まない側
- 境界を含み、原点を含む側
- 境界を含まず、原点を含まない側
- 境界を含まず、原点を含む側
途中の計算・単位・理由・確認答え:
−2x+y≦3を、yについて同値に表したものはどれですか。
- y≧2x+3
- y≦2x+3
- y<2x+3
- y≦−2x+3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x²+y²≧9が表す領域はどれですか。
- 半径3の円の外側で、円周も含む
- 半径3の円の内側で、円周を除く
- 半径9の円の外側で、円周を除く
- 半径3の円周だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x≧0かつy≧0が表す領域はどれですか。
- x≧0かy≧0の少なくとも一方だけでよい
- x<0かつy<0
- 二条件の共通部分で、両軸の対応する部分も含む
- x=0かつy=0の一点だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全平面で、x≧0またはy≧0という領域の補集合はどれですか。
- x<0またはy<0
- x<0かつy<0
- x≦0かつy≦0
- x≧0かつy≧0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全平面で、x²+y²≦4という領域の補集合はどれですか。
- x²+y²<4
- x²+y²≧4
- x²+y²=4
- x²+y²>4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x>1かつx≦1を満たす実数の点(x,y)の領域はどれですか。
- 点が一つもない
- 直線x=1の全ての点
- 全平面
- x≧1の半平面
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
3x+2y≦12の領域を、同じ単位の座標平面へ図示してください。境界の式と両切片、どちら側かと境界の包含を示し、原点の代入と同値な式から理由を説明します。さらに全体を−2倍した同値な不等式を作ってください。第一象限だけには限りません。
−2x+3y>6の領域を図示し、境界を含むか、(0,0),(0,3),(3,4)が入るかを実際に代入して確かめてください。別に−1≦x<2の領域も同じ単位の座標平面へ図示し、縦の二つの境界と包含を説明します。
x≧0、y≧0、x+2y≦8を全て満たす領域を図示してください。境界と全ての頂点・包含を求め、共通部分を選ぶ理由を示します。その領域にある整数の点の個数も、整数xごとに許される整数yを表にして求めてください。
x≧0、y>0、x+y≦5を全て満たす領域を図示してください。境界の各部分と三つの頂点に対応する位置の包含を調べ、(0,1),(1,0),(2,3),(3,3)を元の全ての条件へ代入します。y≧0の場合と何が変わるかも説明してください。
(x+1)²+(y−2)²<9の領域を図示し、中心と正の半径、円周を含むかを説明してください。点(−1,2),(2,2),(3,2)を元の式へ代入します。全平面を全体とした補集合を不等式と図で表し、境界の包含がどう変わるかも説明してください。
(x−1)²+y²≦16かつx≧1の領域を図示してください。境界となる円周の部分と直線の部分、それらの交点と包含を全て求めます。(1,0),(0,0),(5,0),(1,5)の各点が入るかを、二条件へ戻して確かめます。
「x≦−1またはy≧2」と「x≦−1かつy≧2」を、それぞれ図示して比べてください。点(−2,0),(0,3),(−2,3),(0,0)を二条件へ戻し、「または」に両方を満たす点も入ることを説明します。全平面で前者の補集合を全不等式と図に表してください。
−x+2y≧4について、友達は「−1倍するとx−2y≧−4だから同じ領域」としました。境界の式と、原点・点(0,2)の代入から説明を調べ、全不等式と領域図を直してください。境界が同じだけでは同じ領域にならない理由を述べます。
領域は、縦の境界x=−2を含み、x=3を含まず、その間にあります。横の境界y=−1を含まず、y=2を含み、その間にあります。領域全体と全不等式を示し、四つの頂点に対応する位置の包含を調べてください。その領域にある整数の点の個数も、許される各座標を列挙して求めます。
aを−2,0,1から、bを−1,2から、rを2,4から一つずつ選びます。(x−a)²+(y−b)²≦r²かつy≧bという領域を、同じ単位の座標図と具体的な式で表してください。境界の弧と線分、両交点、中心と上端の包含を求めます。中心の真下r/2の点と、上端よりさらに1上の点も調べ、全ての条件へ代入して確かめます。全12条件を解く必要はありません。
解答: 不等式の領域と、境界を含む条件を図へ表す
6
y=0を代入すると2x=12なのでx=6です。
4
x=0を代入すると3y=12なのでy=4です。
15
整数x=0,1,2,3,4に対して整数yはそれぞれ5,4,3,2,1通りなので合計15個です。境界も含みます。
3
半径の二乗は9なので正の半径は3です。領域は周も含む円板です。
7
y²<16から整数yは−3,−2,−1,0,1,2,3の7個。y=±4は円周で除きます。
4
整数xは−1,0,1,2の4個です。左端−1は含み、右端3は除きます。
3
x=2では4+3y≦12より0≦y≦8/3。整数yは0,1,2の3個です。
境界を含まず、原点を含む側
原点では0>−1で成立します。等号を認めないので境界y=2x−1は含みません。
y≦2x+3
両辺へ2xを加えてy≦2x+3。正負で割る操作はなく、不等号はそのままです。
半径3の円の外側で、円周も含む
原点からの距離の二乗が9以上なので距離3以上です。円周も含む外側です。
二条件の共通部分で、両軸の対応する部分も含む
両方を満たす第一象限と正の軸の部分、原点を含みます。「かつ」は共通部分です。
x<0かつy<0
「x≧0またはy≧0」を否定すると「x<0かつy<0」となります。少なくとも一方が非負という条件が成り立たないのは、両方が負のときです。軸上は元の領域に含まれるため、補集合には含みません。
x²+y²>4
周を含む半径2の円板に入らない点は、周を除く外側です。≦の否定は>です。
点が一つもない
同じxが1より大きく、同時に1以下になることはありません。yの値によらず空集合です。
記述問題の解答・確認の観点
3x+2y≦12の領域を、同じ単位の座標平面へ図示してください。境界の式と両切片、どちら側かと境界の包含を示し、原点の代入と同値な式から理由を説明します。さらに全体を−2倍した同値な不等式を作ってください。第一象限だけには限りません。
境界3x+2y=12は(4,0),(0,6)を通り、y≦6−3x/2の半平面で境界を含む。原点は0≦12で成立。−2倍では−6x−4y≧−24となり同じ領域。x,yが負の点も条件に合えば含める。
生徒の同じ単位の図・全半平面・実線の境界・両切片と負倍率の向き、全体の理由を見ます。
−2x+3y>6の領域を図示し、境界を含むか、(0,0),(0,3),(3,4)が入るかを実際に代入して確かめてください。別に−1≦x<2の領域も同じ単位の座標平面へ図示し、縦の二つの境界と包含を説明します。
前者はy>2x/3+2で斜めの境界を除く上側。三点の左辺は0,9,6で、順に入らない・入る・境界なので入らない。後者は二直線x=−1,x=2に挟まれた帯で左を含み右を除き、yは全実数。
生徒の二つの領域全体・斜めと縦の境界・実線破線と三点の代入、yを勝手に制限しないことを見ます。
x≧0、y≧0、x+2y≦8を全て満たす領域を図示してください。境界と全ての頂点・包含を求め、共通部分を選ぶ理由を示します。その領域にある整数の点の個数も、整数xごとに許される整数yを表にして求めてください。
閉じた三角形の頂点は(0,0),(8,0),(0,4)で、三辺と全頂点を含む。各条件の共通部分。整数x=0..8のyの個数は5,4,4,3,3,2,2,1,1で計25。元の領域自体は整数の点だけでなく全ての実数の点を含む。
生徒の三辺・全頂点・包含と共通部分、全実数の領域と整数点の表・25の違いを見ます。
x≧0、y>0、x+y≦5を全て満たす領域を図示してください。境界の各部分と三つの頂点に対応する位置の包含を調べ、(0,1),(1,0),(2,3),(3,3)を元の全ての条件へ代入します。y≧0の場合と何が変わるかも説明してください。
閉じた三角形(0,0),(5,0),(0,5)から底辺y=0を両端ごと除く。(0,5)は含むが(0,0),(5,0)は除く。残る二辺も底の端は除く。四点は順に入る・入らない・入る・入らない。y≧0に変えると底辺と両端を含む。
生徒の底辺全体と各端の開閉、残る二辺の部分、全四点と一条件だけ変えた比較を見ます。
(x+1)²+(y−2)²<9の領域を図示し、中心と正の半径、円周を含むかを説明してください。点(−1,2),(2,2),(3,2)を元の式へ代入します。全平面を全体とした補集合を不等式と図で表し、境界の包含がどう変わるかも説明してください。
中心(−1,2)、半径3の円の内側で周を除く。三点の左辺は0,9,16で、順に入る・円周なので入らない・外側で入らない。補集合は(x+1)²+(y−2)²≧9で周を含む外側。元の不等式は等号を含まないため、その否定には等号が入る。
生徒の円板と周の区別・三つの代入・全平面での補集合・内外と開閉の両方を見ます。
(x−1)²+y²≦16かつx≧1の領域を図示してください。境界となる円周の部分と直線の部分、それらの交点と包含を全て求めます。(1,0),(0,0),(5,0),(1,5)の各点が入るかを、二条件へ戻して確かめます。
中心(1,0)、半径4の右半円板で周も含む。境界はx≧1となる右半円の弧と、x=1かつ−4≦y≦4の直径の線分。交点(1,−4),(1,4)も含む。四点は順に入る・x条件で除く・入る・円板条件で除く。x=1の直線全体や左半円の弧は最終領域の境界ではない。
生徒の右半円板・有限の直径と弧・全交点の包含、各点の二条件と部分境界を見ます。
「x≦−1またはy≧2」と「x≦−1かつy≧2」を、それぞれ図示して比べてください。点(−2,0),(0,3),(−2,3),(0,0)を二条件へ戻し、「または」に両方を満たす点も入ることを説明します。全平面で前者の補集合を全不等式と図に表してください。
またはは左半平面と上半平面の和集合、かつは左上の共通部分でどちらも元の等号を含む。四点は和集合では入る・入る・入る・入らない、共通部分では入らない・入らない・入る・入らない。和集合の補集合はx>−1かつy<2で、二つの境界を除く右下側。「または」は片方だけではない。
生徒の和集合と共通部分・全四点の二つの判断・補集合での「かつ」と境界を含まない条件を見ます。
−x+2y≧4について、友達は「−1倍するとx−2y≧−4だから同じ領域」としました。境界の式と、原点・点(0,2)の代入から説明を調べ、全不等式と領域図を直してください。境界が同じだけでは同じ領域にならない理由を述べます。
正しくはx−2y≦−4、すなわちy≧x/2+2。境界は実線で含む。原点は元の0≧4を満たさないが、友達の0≧−4は満たすので異なる。点(0,2)は元で4≧4、修正後で−4≦−4となる境界上の点。負数で倍すると向きが逆になり、同じ境界の反対側を選ぶ誤りを直す。
生徒の負数と向き・元と誤りと修正の代入・境界と側の別々の確認、正しい全半平面を見ます。
領域は、縦の境界x=−2を含み、x=3を含まず、その間にあります。横の境界y=−1を含まず、y=2を含み、その間にあります。領域全体と全不等式を示し、四つの頂点に対応する位置の包含を調べてください。その領域にある整数の点の個数も、許される各座標を列挙して求めます。
領域は−2≦x<3かつ−1<y≦2の矩形。四隅では(−2,2)だけを含み、(−2,−1),(3,2),(3,−1)は除く。整数xは−2,−1,0,1,2の5通り、整数yは0,1,2の3通りで15個。二辺を実線、二辺を破線で区別し、実線の辺でも他条件で除く端がある。
生徒の四つの不等式全て・矩形・四隅と各辺の端の包含、二座標の全列挙と15を見ます。
aを−2,0,1から、bを−1,2から、rを2,4から一つずつ選びます。(x−a)²+(y−b)²≦r²かつy≧bという領域を、同じ単位の座標図と具体的な式で表してください。境界の弧と線分、両交点、中心と上端の包含を求めます。中心の真下r/2の点と、上端よりさらに1上の点も調べ、全ての条件へ代入して確かめます。全12条件を解く必要はありません。
作例a=0,b=2,r=4なら円板x²+(y−2)²≦16かつy≧2の上半円板。境界はy≧2の上半円の弧とy=2,−4≦x≦4の直径で、両端(−4,2),(4,2)、中心(0,2)、上端(0,6)を含む。下の点(0,0)は円板内だがy条件で除き、外の点(0,7)は25>16で除く。一般に両端(a±r,b)、上端(a,b+r)、下の点(a,b−r/2)、外の点(a,b+r+1)。生徒の別の正しい一例・式と計算過程・図と包含を認める。
生徒の三数・具体的な領域全体と式と計算過程・弧と有限線分・全交点と指定した点の代入、全12例を必須にしないことを見ます。