内角の二等分線：図・対応と証明の観察記録

得られる結果

角と線分の二等分、対応の逆転、逆の循環した根拠を、生徒の具体的な図と元の条件へ戻して区別できます。

操作手順

1. 図と根拠を、最終数から分ける

   内角と内部の点、対応する辺・部分が生徒の図に残っているかを確認します。長さの数値だけを、生徒が合同・面積や逆を説明した証拠にしません。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が定める三角形と頂点名：[ ] 正の三辺と成立条件：[ ] 二等分する内角と対辺の内部の点：[ ] B側とC側の辺・部分の対応：[ ] 正の二部分と全体の和：[ ] 生徒の比の式と未知の長さ：[ ] 直線への垂線の足と合同の条件：[ ] 同じ二面積と二通りの底辺・高さ：[ ] 逆で定める本当の二等分線の交点：[ ] 内部の同じ比の点の一意性：[ ] 生徒の別の図・中線との比較と未確認：[ ] 講師の見本・支援と生徒の根拠：[ ]

3. 作例A：辺と部分の対応に戻す

   見本AB7,AC10,BC12ではBD:DC=7:10、BD=84/17、DC=120/17で和12です。生徒の内角と内部の点、B側とC側の対応と正の部分を見ます。

4. 作例B：合同と同じ二つの面積に戻す

   見本はEが辺ABの外へ出る図でも、足を直線上で扱います。共通の斜辺ADと等しいAの角からDE=DF。同じ二面積の底辺AB,ACと、BD,DCの見方を対応させる生徒の証明を見ます。

5. 作例C：逆と中線を内部の一意性に戻す

   見本AB10,AC14,BD25/4,DC35/4で比5:7。本当の二等分線の交点Eもx/(15−x)=5/7よりBE25/4なのでE=Dです。中点15/2とは違い、生徒が結論を先に仮定しない根拠を見ます。

6. 作例D：別の頂点名で対応を確かめる

   別の三角形RSTでRS7,RT9,ST10とし、Rの内角の二等分線RUがSTの内部と交わるならSU:UT=RS:RT=7:9です。SU35/8,UT45/8で和10。生徒が頂点Rと対辺ST・S側の対応を図へ戻したかを見ます。

7. 作例E：別の逆と正の拡大を比べる

   別の図でAB7,AC9,BD7/2,DC9/2なら内部の比7:9から逆が使えます。すべての長さを3/2倍にすると、AB=21/2、AC=27/2、BC=12、BD=21/4、DC=27/4となり、比は変わりません。生徒の前後の図と正の倍率・内部の条件を見ます。

8. 正しい別の証明と未確認へ戻る

   正しい相似・合同・面積による別の証明や同値な分数を認めます。生徒の内角・内部と対応、逆の根拠を、講師が与えた図・支援やまだ確かめていない条件から分けます。

知っておきたいこと

• 現行数学Ａ(1)の三角形の性質と論理的考察を踏まえた独自活動です。内角だけに限定し、外角を含む項目全体・固定学年・全試験範囲を主張しません。
• 角と線分の二等分、二つの面積の底辺と高さを分けます。逆では本当の交点と内部の一意性から戻し、結論を前提にしません。
• 図の線と文字は編集できますが自動計算・証明はありません。12項目は紙や既存ボードへ写し、自由な証明の自動採点・観察欄の自動保存はありません。
• 生徒の図・判断と講師の見本・支援を分けます。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• 内角の二等分線と二つの面積を確かめる授業用ボード
• 内角の二等分線と線分比の練習
• 文部科学省・数学Ａ：三角形の性質と論理的考察