内角の二等分線と線分比を、図と根拠で結ぶ

練習問題と解答

1. AB=6、AC=9、BC=10の三角形で、ADはAの内角を二等分し、Dは辺BCの内部にあります。図のx=BDの長さを求めてください。

   図を準備しています。

   答えと解説

   4

   BD:DC=6:9=2:3よりBD=10×2/5=4です。DC=6で和も10です。

2. AB=7、AC=5、BC=9の三角形で、Aの内角の二等分線ADがBCの内部と交わります。DCの長さを求めてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{15}}{\text{4}}$

   BD:DC=7:5よりDC=9×5/12=15/4です。BD=21/4で和は9です。

3. 三角形ABCで、Aの内角の二等分線ADがBCの内部をBD=4、DC=6に分けます。AB=10のときACを求めてください。

   答えと解説

   15

   10:AC=4:6なのでAC=10×6/4=15。BC=10で三辺も成立します。

4. AB=8、AC=14の三角形で、Aの内角の二等分線ADが辺BCの内部をBD=4とDCに分けます。DCを求めてください。

   答えと解説

   7

   4:DC=8:14よりDC=4×14/8=7。BC=11で三辺も成立します。

5. AB=AC=10、BC=12の三角形で、Aの内角の二等分線ADがBCの内部と交わります。BDを求めてください。

   答えと解説

   6

   BD:DC=10:10=1:1なのでBD=12/2=6です。等しい両側の辺の条件を使います。

6. 三角形ABCで、Aの内角の二等分線ADが辺BCの内部をBD:DC=3:5に分けます。AB=12、BC=16のときACを求めてください。

   答えと解説

   20

   12:AC=3:5よりAC=20。BD=6、DC=10、三辺12,20,16も成立します。

7. 三角形PQRで、QP=8、QR=10、PR=15です。Qの内角の二等分線QTとPRの内部の交点をTとします。PTを求めてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{20}}{\text{3}}$

   PT:TR=QP:QR=8:10=4:5よりPT=15×4/9=20/3です。

8. 三角形ABCで、Aの内角の二等分線ADが辺BCの内部と交わるとき、対応する線分の比として正しいものはどれですか。

   • BD:DC=AC:AB
   • BD:DC=AD:AC
   • BD:DC=AB:AC
   • BD:DC=AB:AD
   答えと解説

   BD:DC=AB:AC

   B側のBDにはAB、C側のDCにはACが対応します。

9. この教材で使う内角の二等分線の性質の逆について、点Dの位置の条件はどれですか。

   • DはBとCの間にある
   • Dは必ずBそのものである
   • Dの位置は指定しなくてよい
   • Dは必ずCの外側にある
   答えと解説

   DはBとCの間にある

   ここではDが辺BCの内部にある条件の下で逆を扱います。外角や外分の性質をこの問いに持ち込みません。

10. 図のAB=5、AC=7、BC=8の三角形でMはBCの中点です。AMはAの内角の二等分線になりますか。

    図を準備しています。

    • 中線なので必ず二等分線になる
    • 図の傾きだけから二等分線になる
    • 中点なら三辺の長さは関係しない
    • 5:7と1:1が違うので二等分線ではない
    答えと解説

    5:7と1:1が違うので二等分線ではない

    二等分線ならBM:MC=AB:ACが必要ですが、1:1≠5:7です。図には角の等しさを与えていません。

11. 三角形が成り立つ三辺の長さの組はどれですか。

    • 3,4,8
    • 4,6,7
    • 2,5,7
    • 0,5,5
    答えと解説

    4,6,7

    三辺の長さが正で、どの二辺の和も残りの一辺より大きい条件を満たすのは4,6,7です。2+5=7では三点が一直線上に並び、三角形はできません。

12. 三角形ABCでDは辺BCの内部です。ADが角の二等分線かどうかに関係なく、面積ABD:面積ACD=BD:DCと言える理由はどれですか。

    • ABとACは必ず同じ長さだから
    • ADは必ずBCへ垂直だから
    • BCを底辺の直線と見るとAからの高さが共通だから
    • DからABとACへの高さは常に同じだから
    答えと解説

    BCを底辺の直線と見るとAからの高さが共通だから

    同一直線BC上の底辺BD,DCに対しAからの高さが共通です。ADの二等分線という条件はこの面積比だけには不要です。

13. 図の三角形でAB=8、AC=10、BD=4、DC=5、Dは辺BCの内部です。角の等しさはまだ与えられていません。ここから正しく言えることはどれですか。

    図を準備しています。

    • 比が等しいのでADはAの内角の二等分線
    • Dは必ずBCの中点
    • ADは必ずBCに垂直
    • 角度の測定がないと比からは何も言えない
    答えと解説

    比が等しいのでADはAの内角の二等分線

    BD:DC=4:5=8:10=AB:ACなので、内部の点についての逆から角の二等分が言えます。

14. 三角形とその内角の二等分線の図を、全長さが同じ正の数κ倍になるように拡大します。対応する部分BD,DCとその比はどうなりますか。

    • 部分はκ²倍、比もκ倍
    • 部分はそのまま、比だけκ倍
    • 部分はκ倍、比はκ²倍
    • 部分はκ倍、比は変わらない
    答えと解説

    部分はκ倍、比は変わらない

    全長さの同じ正の拡大では、部分もκ倍で比の共通因数は消えます。面積の倍率と混ぜません。

考え方を説明する

AB=10、AC=15の三角形で、Aの内角の二等分線ADが辺BCの内部をBD=8とDCに分けます。図へ辺と部分の対応を書き、DCとBCを求めてください。比と和、三角形の成立条件へ戻して確かめます。

AB=7、AC=11、BC=12の三角形で、Aの内角の二等分線ADがBCの内部と交わります。図と比からBD,DCを求め、二つの部分の和と正の長さ、元の三辺の成立条件を確かめてください。

三角形ABCで、Aの内角の二等分線ADがBCの内部をBD=6、DC=9に分け、AB=8です。図と比からACを求め、BCと合わせて三角形が実際に成立する長さかを確かめてください。

三角形ABCで、Aの内角の二等分線ADと辺BCの内部の交点をDとします。Dから直線AB,ACへ下ろす垂線の足をE,Fとした図を描き、直角三角形ADE,ADFの合同からDE=DFを説明してください。辺の内部に垂線の足があるとは決めつけません。続いて同じ二つの三角形ABD,ACDの面積比を二通りに表し、BD:DC=AB:ACを証明します。三角比は使いません。

AB=9、AC=15、BD=6、DC=10で、Dは三角形ABCの辺BCの内部です。角の二等分は与えられていません。Aの本当の内角の二等分線とBCの交点をEとし、BE:ECを求めてください。内部で同じ比に分ける点は一つであることを式でも確かめ、ADが内角の二等分線だと説明します。

二つの図を比べます。IはAB=7、AC=11、BC=10、IIはAB=AC=13、BC=10で、どちらもMはBCの中点です。それぞれAの内角の二等分線とBCの交点をDとして、BDとDCの長さを求め、AMが二等分線になるかを説明してください。この条件で中線と内角の二等分線が一致するための両側の辺の条件も示します。

三角形PQRでQP=9、QR=6、PR=10です。Qの内角の二等分線QTがPRの内部と交わります。頂点名を替えた図を描き、対応する辺と部分の比からPT,TRを求めてください。和と三辺の成立条件へ戻して確かめます。

AB=9、AC=12、BC=14の三角形で、Aの内角の二等分線とBCの交点をDとします。全体図を共通の正の数5/2倍に拡大した図も描き、前後の三辺・BD,DCと比を比較してください。部分の倍率と比がどうなるか、全体の和と元の条件から説明します。

AB=12、AC=8、BC=15の三角形で、ADはAの内角の二等分線、DはBCの内部です。友達Iは「角を二等分するのでBD=DC=15/2」、友達IIは「BD:DC=AC:ABだからBD=6、DC=9」としました。両方の誤りを図へ戻して説明し、正しい比と二部分を使った理由付きの全文へ直してください。

三辺(AB,AC,BC)の組D1=(6,8,9)、D2=(10,15,18)、D3=(7,9,12)から一つ選び、全長さを1か2倍にします。BとCの名前は保っても交換してもかまいません。内角の二等分線ADと内部の点Dを描き、三角形の成立条件、BD:DCと二部分の長さ、和と根拠を示してください。許された全12条件を解く必要はありません。