対数方程式：元の真数と全候補の観察記録

得られる結果

対数の値と真数の範囲、積や商の法則の条件と全候補の選別を、生徒の元の式・理由と各解の代入から区別できます。

操作手順

1. 元の真数と全候補を、最後の値から分ける

   生徒が変形前に各真数を正とし、共通の範囲を残したかを見ます。まとめた積が正であることや、最後の候補一つだけを、元の対数が全て定義される証拠にはしません。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が明記した底a>0とa≠1：[ ] 変形前の元の全ての真数：[ ] 各真数が正となる共通の範囲：[ ] 対数の値と真数の符号の区別：[ ] 定義から戻した指数の等式：[ ] 積・商・累乗の法則と使える条件：[ ] 同じ底の一対一性と同値な式：[ ] 生徒の置き換えtとその範囲：[ ] 一次・二次式から得た全候補：[ ] 元の条件から除く各候補と理由：[ ] 残す各解の元の対数への代入：[ ] 講師の見本・支援と生徒の理由・未確認：[ ]

3. 作例A：対数の定義と値の符号に戻す

   見本log_3(1/27)=−3は3^(−3)=1/27、log_(1/4) 8=−3/2は(1/4)^(−3/2)=8です。生徒が底の正・非1と真数の正を示し、対数の値が負でもよいことを指数から説明したかを見ます。

4. 作例B：元の二条件と全候補に戻す

   見本log_2(x−1)+log_2(x+2)=2では元はx>1。積を4として(x−2)(x+3)=0から候補2,−3です。生徒が−3では真数−4,−1で未定義と除き、2ではlog_2 1+log_2 4=2と元へ戻したかを見ます。積が4でも両方負なら許しません。

5. 作例C：商と元の分母の正に戻す

   別の見本log_2(x+4)−log_2 x=1では元はx>0。その範囲で(x+4)/x=2、x=4だけです。生徒が元の正から分母が0でないことも示し、log_2 8−log_2 4=3−2=1と確かめたかを見ます。

6. 作例D：友達の法則と候補の検算に戻す

   C7と同じlog_2 x+log_2(x−3)=2では、元はx>3、真数の積x(x−3)=4から候補4,−1、全解4だけです。友達の7/2は条件には合っても積7/4で4でなく、元の和は2になりません。生徒が和を真数の和へ変えた誤りと、条件だけでは解と確定しない点を分けたかを見ます。同じ見本の再利用で、追加の独立課題には数えません。

7. 作例E：対数の置き換えと全てのxに戻す

   別の見本(log_3 x)²+log_3 x−2=0では、元はx>0、t=log_3 xは全実数です。(t+2)(t−1)=0からt=−2,1、x=1/9,3。生徒が負のtも残し、元で4−2−2=0、1+1−2=0と確かめたかを見ます。指数の置き換えt=3^x>0の範囲を今回に付けません。

8. 別の一例と未確認へ戻る

   生徒が選んだ許された三数・具体式と、同値な正しい式変形・別解を認めます。全8条件を必須にしません。元の条件・全候補と各代入を、講師の見本・支援と区別します。自由な対数式の自動採点や、観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ⅱ(3)ア(ウ)(エ)、関連するイ(ア)(イ)の対数の意味・性質と対数関数を踏まえた独自活動です。不等式・微分・数学Ⅱ全体・固定学年・学習効果は主張しません。
• 正の非1の底、元の全ての真数の正、全候補と全解を分けます。対数の値が負でもよく、t=log_a xに指数の置き換えのt>0を課しません。同値な正しい式変形・別解を認めます。
• 図の軸・点・文字は個別に編集できますが他の値・式は自動更新されません。12項目は紙や既存ボードへ手動記録し、自由な対数式・図・理由の自動採点や観察欄の自動保存はありません。
• 生徒が書いた式と計算過程・条件と理由を講師の見本・支援と区別します。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• 対数方程式・元の真数条件と全解の授業用ボード
• 元の真数条件と対数方程式の練習
• 文部科学省・数学Ⅱ：対数の定義・性質と対数関数