真数条件を確認して、対数方程式の全ての解を求める
対数の定義・性質と、元の式の真数条件・底の条件を結びつけて考えます。準備14問と、変形の過程・全ての実数解・除外した理由を自分で書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(3)ア(ウ)(エ)と関連するイ(ア)(イ)、冊子59–61/PDF71–73の指数と対数の関係・対数の基本性質を踏まえた独自課題です。正の真数と正で1でない底、基本性質と底の変換、簡単な対数方程式の元の条件を扱います。逆関数の一般理論・微分・対数全体・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。
解説を読む
対数をまとめた後の積が正でも、元の各対数が定義されるとは限りません。最初に底と全ての真数の条件を残し、変形して得た候補を元の式へ戻します。対数の値そのものは負になることもあります。
必要な予備知識
正の底の指数関数と一対一性、0・負整数・有理数の指数、分数・一次・二次方程式と因数分解。対数の定義と基本性質は本文で導入します。対数の自分で書いた式と計算過程・条件と理由は手動確認し、微分や逆関数の一般理論は前提にしません。
- a>0、a≠1、X>0のとき、a^y=Xを満たす実数yを、底aの対数log_a Xと書きます。Xを真数と呼びます。log_a X=yはa^y=Xということです。底が1では値が一つに決まらず、底0や負の数も本題の実数の対数の底にはしません。
- 真数は正ですが、対数の値は正とは限りません。log_a 1=0、log_a a=1で、例えばlog_2(1/4)=−2です。t=log_a xと置いたtは実数全体を取り得ます。t=a^x>0という指数の置き換えとは条件が異なります。
- 同じ有効な底aでX>0、Y>0なら、log_a(XY)=log_a X+log_a Y、log_a(X/Y)=log_a X−log_a Yです。元の各真数が正という条件を残します。XY>0だけを見て、XとYが両方負の場合まで元の二つの対数を認めません。
- X>0、実数rについてlog_a(X^r)=r·log_a Xです。例えばx>0ならlog_a(x²)=2log_a xですが、x<0では右辺のlog_a xが実数で定義されません。真数の和X+Yを、対数の和に分ける法則はありません。
- a>0、a≠1の対数関数は真数について一対一なので、正のX,Yについてlog_a X=log_a YとX=Yは同値です。a>1なら増加し、0<a<1なら減少します。底が違う式や無効な真数のまま、真数だけを等しくしません。
- 別の有効な底c>0,c≠1を使うと、log_a X=(log_c X)/(log_c a)です。a≠1なので分母log_c a≠0。底a・底cと真数Xの全ての条件を確認し、分子と分母を逆にはしません。
- まず元の各真数>0と底>0・底≠1を連立して、実数xの範囲を求めます。対数の和や差をまとめて方程式を解きます。最初に求めた範囲に入る候補だけを、元の方程式に代入して確かめます。まとめた積や商だけの条件で元の範囲を広げません。
- t=log_a xと置いたときはx>0、tは実数です。tの負の根も、x=a^t>0へ戻せます。二次式の全根を求め、各根をxへ戻して元の真数と式を確かめます。tをxの値とはしません。
- 入れ子のlog_a(log_b F(x))では、内側の真数F(x)>0に加え、外側の真数log_b F(x)>0が必要です。b>1なら後者はF(x)>1、0<b<1なら0<F(x)<1となります。どの段の真数かを分けます。
- 自動採点の対象は、準備問題の数値（有理数）の答えと選択問題だけです。生徒の自由な対数式、全実数解・真数と底の条件、変形の理由や図は紙や既存ボードで講師が手動確認します。同値な正しい式変形や初等的別解を認め、数例の一致だけを全ての解の理由にはしません。
解き方の例
log_3 27=3は3³=27ということです。log_(1/2) 4=−2は(1/2)^(−2)=4であり、真数4は正でも対数の値は負です。
log_2(x−1)=3なら元の条件はx>1。指数に戻すとx−1=8でx=9です。元の真数は8>0、log_2 8=3と確かめます。
よくある間違い
- 底1や正でない底、0以下の真数を実数の対数に認める。
- 対数の値まで常に正だと思う。
- 元の二つの真数の正を、積が正という条件だけへ広げる。
- 対数の和を真数の和へ、差を真数の差へ変える。
- 底の変換で分子と分母を逆にする。
- t=log_a xでもt>0として負の根を除く。
- 入れ子で外側の真数の条件を落とす。
- 候補だけを答え、元の真数・底と式と計算過程へ戻さない。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数と選択です。主課題では生徒の元の各真数の正と有効な底、定義を指数に戻す式と計算過程、和差・累乗と底の変換の条件、全候補の選別と元への代入、対数の値は負も取ることを手動確認します。T1は定義と負の対数、T2は二真数の積と除外、T3は商、T4は1未満の底、T5は変数の底、T6は実数tへの置き換え、T7は入れ子、T8は意図的な友達の誤り、T9は底の変換の理由、T10は生徒の三数での具体式・全解を見ます。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認めます。
自動採点の対象は、準備問題の数値（有理数）の答えと選択問題です。自由な対数式、全実数解・底と真数の条件、証明や生徒の図は紙や既存ボードで講師が手動確認します。新しい対数式パーサー・自動証明器は追加せず、準備の正答だけで生徒の全説明ができたとはしません。
練習する
自動採点の対象は、準備問題の数値（有理数）の答えと選択問題だけです。自由な対数式・全解と真数条件は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
log_3 81の値を求めてください。
答えと解説
4
3⁴=81なので、底3の81の対数は4です。
log_(1/2) 8の値を求めてください。
答えと解説
−3
(1/2)^(−3)=8なので値は−3です。
log_5(x−1)=2の実数解xを求めてください。
答えと解説
26
条件x>1のもとでx−1=5²=25、x=26です。元の真数25は正です。
log_2(x+3)+log_2(x−1)=log_2 12の実数解xを求めてください。
答えと解説
3
元はx>1。(x+3)(x−1)=12より(x−3)(x+5)=0。x=−5は元の範囲に合わず除き、x=3です。
log_3(x+1)−log_3(x−1)=1の実数解xを求めてください。
答えと解説
2
元はx>1。(x+1)/(x−1)=3よりx=2。元でもlog_3 3−log_3 1=1です。
log_x 16=2の実数解xを求めてください。
答えと解説
4
底の条件x>0,x≠1。x²=16の候補±4から、正の底4だけが残ります。
log_2(log_3 x)=1の実数解xを求めてください。
答えと解説
9
外側の真数も正なのでlog_3 x>0、すなわちx>1。log_3 x=2からx=9です。
a>0,a≠1,X>0のとき、log_a X=yの定義はどれですか。
- X^a=y
- a^y=X
- y^a=X
- a^X=y
答えと解説
a^y=X
底aをy乗すると真数Xになるという関係です。
実数の対数log_2(−4)について正しい説明はどれですか。
- −2になる
- 2になる
- 0になる
- 真数が正でないので定義されない
答えと解説
真数が正でないので定義されない
正の底2の実数乗は負にならないため、真数−4の実数の対数は定義されません。
X>0,Y>0のとき、正しい式はどれですか。
- log_3(XY)=log_3 X+log_3 Y
- log_3(X+Y)=log_3 X+log_3 Y
- log_3(X/Y)=log_3 X/log_3 Y
- log_3(X−Y)=log_3 X−log_3 Y
答えと解説
log_3(XY)=log_3 X+log_3 Y
積の対数は和です。元の二つの真数が正という条件も必要です。
底1のlog_1 1について正しい説明はどれですか。
- 値は1と定義される
- 値は0と定義される
- 底が1で値が一つに決まらず、本題の対数として定義しない
- 全ての負の数だけが値になる
答えと解説
底が1で値が一つに決まらず、本題の対数として定義しない
1^y=1は全実数yで成立し、対数の値を一つへ決められません。有効な底ではa≠1とします。
log_2(x−2)=log_2(4−x)の実数解について正しいものはどれですか。
- x=2
- x=3
- x=4
- 実数解はない
答えと解説
x=3
元の条件は2<x<4。一対一性からx−2=4−x、x=3で条件にも合います。
u>0,v>0でlog_(1/3) u>log_(1/3) vのとき、正しい関係はどれですか。
- u>v
- u=v
- 必ずu=1/v
- u<v
答えと解説
u<v
0<1/3<1の対数関数は減少するので、対数の値が大きい方の真数は小さくなります。
a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1のとき、正しい底の変換はどれですか。
- log_a b=(log_c b)/(log_c a)
- log_a b=(log_c a)/(log_c b)
- log_a b=log_c b−log_c a
- log_a b=log_c a+log_c b
答えと解説
log_a b=(log_c b)/(log_c a)
分母log_c aはa≠1により0でなく、log_c bをlog_c aで割ります。
考え方を説明する
対数の定義を指数の式へ戻し、log_(1/4) 8、log_9(1/3)、log_5 1の厳密値を求めてください。各底と真数の条件を明示し、得た値を実際に指数へ入れて確かめます。真数が正でも対数の値が負や0になることも説明します。
答えと解説
底1/4,9,5は正で1でなく、真数8,1/3,1は正。値は順に−3/2、−1/2、0。(1/4)^(−3/2)=8、9^(−1/2)=1/3、5⁰=1。真数の正は対数の値の正を意味しない。
生徒の三つの条件・指数の定義と代入、厳密値と負・0の意味を見ます。
log_2(x−1)+log_2(x−3)=3の全ての実数解を求めてください。元の各真数の正の条件、積へまとめる式と計算過程、得られる全候補と除外理由、元への代入を示します。積が正というだけでは元の対数を認められない例も、除いた候補で確かめます。
答えと解説
元の条件はx>3。(x−1)(x−3)=8より(x−5)(x+1)=0。候補x=5,−1のうち−1では真数−2,−4が両方負なので除く。積8が正でも元の二つの対数は無効。x=5ではlog_2 4+log_2 2=2+1=3、唯一の実数解は5。
生徒の二条件と共通範囲・全二候補・負の真数と正の積の区別、元の検算を見ます。
log_3(x+2)−log_3 x=1の全ての実数解を求めてください。元の範囲と、商へまとめる根拠・分母の条件、元の各真数と式への代入を残します。
答えと解説
元はx>0。(x+2)/x=3よりx+2=3x、x=1だけ。元の真数は3,1で正、log_3 3−log_3 1=1−0=1。xで払う操作は元の範囲でx>0なので有効。
生徒の全ての条件・商の式と計算過程と0でない分母、唯一の解と元への代入を見ます。
log_(1/2)(2x−1)=−3の全ての実数解を求めてください。底1未満でも定義へ戻せる理由、真数条件と式と計算過程を示し、元の式で確かめます。
答えと解説
底1/2は正で1でなく、元は2x−1>0、x>1/2。定義から2x−1=(1/2)^(−3)=8なのでx=9/2だけ。元の真数は8>0で、log_(1/2) 8=−3。底1未満でも定義は同じで、負の対数の値を認める。
生徒の底と真数の条件、負の指数から8への計算、全解と元への代入を見ます。
log_x(x+6)=2の全ての実数解を求めてください。変数xが底と真数の両方へ現れるので、元の全ての条件を最初に求めます。指数へ戻した二次式の全候補を調べ、元の式で有効な解だけを確かめます。
答えと解説
元はx>0,x≠1,x+6>0で、まとめるとx>0,x≠1。定義からx²=x+6、(x−3)(x+2)=0。x=−2は底が正でなく除く。x=3だけが残り、log_3 9=2で成立。
生徒の底の正・非1・真数の正、全二候補と除外、元の検算を見ます。
(log_2 x)²+log_2 x−2=0の全ての実数解を求めてください。t=log_2 xと置いたtの範囲を、指数の置き換えt=2^xの場合と区別して説明し、各候補をxへ戻して元で確かめます。
答えと解説
元はx>0。t=log_2 xは実数全体を取り得て、t²+t−2=(t+2)(t−1)=0。t=−2,1は両方有効で、x=2^(−2)=1/4、x=2です。元では4−2−2=0、1+1−2=0。t=2^x>0とは違い、負のtを除かない。
生徒のx>0と実数t・全二根、負の対数から正のxに戻す二解と検算、二種類の置き換えの違いを見ます。
log_2(log_3(x−1))=1の全ての実数解を求めてください。内側と外側の各真数の条件を別々に書き、元の範囲をまとめてから解きます。最後に両段の対数を実際に順に計算します。
答えと解説
内側はx−1>0でx>1。外側はlog_3(x−1)>0で、底3>1よりx−1>1、x>2が必要。定義からlog_3(x−1)=2、x−1=9、x=10だけ。元でlog_3 9=2>0、log_2 2=1と順に成立。
生徒の二段の真数条件と共通範囲、二つの指数への戻し、順にした元の検算を見ます。
友達は「log_2 x+log_2 x=log_2(2x)だから、左辺が6ならx=32」としました。x=4で元の左辺と友達の右辺を別々に計算して誤りを示し、正しい和の法則と真数条件からlog_2 x+log_2 x=6の全実数解を求めて検算してください。友達のx=32も元の式へ代入して確かめます。
答えと解説
x=4で元は2+2=4、友達の右辺はlog_2 8=3で異なる。正しくはx>0でlog_2 x+log_2 x=log_2(x²)=2log_2 x。方程式はlog_2 x=3なのでx=8だけ。元で3+3=6。友達のx=32では5+5=10となり不成立。x²=64から進む別解なら−8を元の真数条件で除く。
生徒の反例の両値・積へまとめる正しい法則、x>0と全解・元と友達の候補の検算を見ます。
a>0,a≠1,X>0,c>0,c≠1の条件で、y=log_a Xを指数の定義へ戻し、底の変換log_a X=(log_c X)/(log_c a)を説明してください。その式を用いてlog_2 9·log_3 4の厳密値を求め、分母が0でない条件も残します。
答えと解説
a^y=Xへ底cの対数を取り、y log_c a=log_c X。a≠1なのでlog_c a≠0で割れ、変換式となる。log_2 9=2log_2 3、log_3 4=(log_2 4)/(log_2 3)=2/(log_2 3)なので積は4。log_2 3>0で0でない。
生徒の全ての条件・定義からの式と計算過程と0でない分母、二つの対数の変換と積4を見る。正しい同値な別の底も認める。
aを2,3,5から、pを−1,2から、kを1,3から一つずつ選びます。log_a(x−p)+log_a(x−p+2)=log_a(k(k+2))という具体式を作り、元の全ての条件・二次式の全候補と除外理由、全実数解と元への代入を示してください。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例a=3,p=2,k=1ならlog_3(x−2)+log_3 x=1。元はx>2、(x−2)x=3から候補3,−1。−1では元の真数−3,−1が負なので除き、x=3だけ。元でlog_3 1+log_3 3=0+1=1。一般にu=x−p>0、u(u+2)=k(k+2)より(u−k)(u+k+2)=0。候補x=p+k,p−k−2から後者を除き前者だけを認める。生徒の別の許された三数・具体式と元の全ての条件、検算も認め、全12例は必須にしない。
生徒の三数・具体式・各真数の正と底の条件、全二候補と除外、唯一の解と元への代入を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(3)ア(ウ)(エ)と関連するイ(ア)(イ)、冊子59–61/PDF71–73の指数と対数の関係・対数の基本性質を踏まえた独自課題です。正の真数と正で1でない底、基本性質と底の変換、簡単な対数方程式の元の条件を扱います。逆関数の一般理論・微分・対数全体・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。 · 2026-11-04
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/solve-logarithmic-equations-with-original-argument-conditions/
準備14問は指定された有理数と選択です。主課題では生徒の元の各真数の正と有効な底、定義を指数に戻す式と計算過程、和差・累乗と底の変換の条件、全候補の選別と元への代入、対数の値は負も取ることを手動確認します。T1は定義と負の対数、T2は二真数の積と除外、T3は商、T4は1未満の底、T5は変数の底、T6は実数tへの置き換え、T7は入れ子、T8は意図的な友達の誤り、T9は底の変換の理由、T10は生徒の三数での具体式・全解を見ます。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認めます。
log_3 81の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_(1/2) 8の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_5(x−1)=2の実数解xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_2(x+3)+log_2(x−1)=log_2 12の実数解xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_3(x+1)−log_3(x−1)=1の実数解xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_x 16=2の実数解xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_2(log_3 x)=1の実数解xを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a>0,a≠1,X>0のとき、log_a X=yの定義はどれですか。
- X^a=y
- a^y=X
- y^a=X
- a^X=y
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数の対数log_2(−4)について正しい説明はどれですか。
- −2になる
- 2になる
- 0になる
- 真数が正でないので定義されない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
X>0,Y>0のとき、正しい式はどれですか。
- log_3(XY)=log_3 X+log_3 Y
- log_3(X+Y)=log_3 X+log_3 Y
- log_3(X/Y)=log_3 X/log_3 Y
- log_3(X−Y)=log_3 X−log_3 Y
途中の計算・単位・理由・確認答え:
底1のlog_1 1について正しい説明はどれですか。
- 値は1と定義される
- 値は0と定義される
- 底が1で値が一つに決まらず、本題の対数として定義しない
- 全ての負の数だけが値になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
log_2(x−2)=log_2(4−x)の実数解について正しいものはどれですか。
- x=2
- x=3
- x=4
- 実数解はない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
u>0,v>0でlog_(1/3) u>log_(1/3) vのとき、正しい関係はどれですか。
- u>v
- u=v
- 必ずu=1/v
- u<v
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1のとき、正しい底の変換はどれですか。
- log_a b=(log_c b)/(log_c a)
- log_a b=(log_c a)/(log_c b)
- log_a b=log_c b−log_c a
- log_a b=log_c a+log_c b
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
対数の定義を指数の式へ戻し、log_(1/4) 8、log_9(1/3)、log_5 1の厳密値を求めてください。各底と真数の条件を明示し、得た値を実際に指数へ入れて確かめます。真数が正でも対数の値が負や0になることも説明します。
log_2(x−1)+log_2(x−3)=3の全ての実数解を求めてください。元の各真数の正の条件、積へまとめる式と計算過程、得られる全候補と除外理由、元への代入を示します。積が正というだけでは元の対数を認められない例も、除いた候補で確かめます。
log_3(x+2)−log_3 x=1の全ての実数解を求めてください。元の範囲と、商へまとめる根拠・分母の条件、元の各真数と式への代入を残します。
log_(1/2)(2x−1)=−3の全ての実数解を求めてください。底1未満でも定義へ戻せる理由、真数条件と式と計算過程を示し、元の式で確かめます。
log_x(x+6)=2の全ての実数解を求めてください。変数xが底と真数の両方へ現れるので、元の全ての条件を最初に求めます。指数へ戻した二次式の全候補を調べ、元の式で有効な解だけを確かめます。
(log_2 x)²+log_2 x−2=0の全ての実数解を求めてください。t=log_2 xと置いたtの範囲を、指数の置き換えt=2^xの場合と区別して説明し、各候補をxへ戻して元で確かめます。
log_2(log_3(x−1))=1の全ての実数解を求めてください。内側と外側の各真数の条件を別々に書き、元の範囲をまとめてから解きます。最後に両段の対数を実際に順に計算します。
友達は「log_2 x+log_2 x=log_2(2x)だから、左辺が6ならx=32」としました。x=4で元の左辺と友達の右辺を別々に計算して誤りを示し、正しい和の法則と真数条件からlog_2 x+log_2 x=6の全実数解を求めて検算してください。友達のx=32も元の式へ代入して確かめます。
a>0,a≠1,X>0,c>0,c≠1の条件で、y=log_a Xを指数の定義へ戻し、底の変換log_a X=(log_c X)/(log_c a)を説明してください。その式を用いてlog_2 9·log_3 4の厳密値を求め、分母が0でない条件も残します。
aを2,3,5から、pを−1,2から、kを1,3から一つずつ選びます。log_a(x−p)+log_a(x−p+2)=log_a(k(k+2))という具体式を作り、元の全ての条件・二次式の全候補と除外理由、全実数解と元への代入を示してください。全12条件を解く必要はありません。
解答: 真数条件を確認して、対数方程式の全ての解を求める
4
3⁴=81なので、底3の81の対数は4です。
−3
(1/2)^(−3)=8なので値は−3です。
26
条件x>1のもとでx−1=5²=25、x=26です。元の真数25は正です。
3
元はx>1。(x+3)(x−1)=12より(x−3)(x+5)=0。x=−5は元の範囲に合わず除き、x=3です。
2
元はx>1。(x+1)/(x−1)=3よりx=2。元でもlog_3 3−log_3 1=1です。
4
底の条件x>0,x≠1。x²=16の候補±4から、正の底4だけが残ります。
9
外側の真数も正なのでlog_3 x>0、すなわちx>1。log_3 x=2からx=9です。
a^y=X
底aをy乗すると真数Xになるという関係です。
真数が正でないので定義されない
正の底2の実数乗は負にならないため、真数−4の実数の対数は定義されません。
log_3(XY)=log_3 X+log_3 Y
積の対数は和です。元の二つの真数が正という条件も必要です。
底が1で値が一つに決まらず、本題の対数として定義しない
1^y=1は全実数yで成立し、対数の値を一つへ決められません。有効な底ではa≠1とします。
x=3
元の条件は2<x<4。一対一性からx−2=4−x、x=3で条件にも合います。
u<v
0<1/3<1の対数関数は減少するので、対数の値が大きい方の真数は小さくなります。
log_a b=(log_c b)/(log_c a)
分母log_c aはa≠1により0でなく、log_c bをlog_c aで割ります。
記述問題の解答・確認の観点
対数の定義を指数の式へ戻し、log_(1/4) 8、log_9(1/3)、log_5 1の厳密値を求めてください。各底と真数の条件を明示し、得た値を実際に指数へ入れて確かめます。真数が正でも対数の値が負や0になることも説明します。
底1/4,9,5は正で1でなく、真数8,1/3,1は正。値は順に−3/2、−1/2、0。(1/4)^(−3/2)=8、9^(−1/2)=1/3、5⁰=1。真数の正は対数の値の正を意味しない。
生徒の三つの条件・指数の定義と代入、厳密値と負・0の意味を見ます。
log_2(x−1)+log_2(x−3)=3の全ての実数解を求めてください。元の各真数の正の条件、積へまとめる式と計算過程、得られる全候補と除外理由、元への代入を示します。積が正というだけでは元の対数を認められない例も、除いた候補で確かめます。
元の条件はx>3。(x−1)(x−3)=8より(x−5)(x+1)=0。候補x=5,−1のうち−1では真数−2,−4が両方負なので除く。積8が正でも元の二つの対数は無効。x=5ではlog_2 4+log_2 2=2+1=3、唯一の実数解は5。
生徒の二条件と共通範囲・全二候補・負の真数と正の積の区別、元の検算を見ます。
log_3(x+2)−log_3 x=1の全ての実数解を求めてください。元の範囲と、商へまとめる根拠・分母の条件、元の各真数と式への代入を残します。
元はx>0。(x+2)/x=3よりx+2=3x、x=1だけ。元の真数は3,1で正、log_3 3−log_3 1=1−0=1。xで払う操作は元の範囲でx>0なので有効。
生徒の全ての条件・商の式と計算過程と0でない分母、唯一の解と元への代入を見ます。
log_(1/2)(2x−1)=−3の全ての実数解を求めてください。底1未満でも定義へ戻せる理由、真数条件と式と計算過程を示し、元の式で確かめます。
底1/2は正で1でなく、元は2x−1>0、x>1/2。定義から2x−1=(1/2)^(−3)=8なのでx=9/2だけ。元の真数は8>0で、log_(1/2) 8=−3。底1未満でも定義は同じで、負の対数の値を認める。
生徒の底と真数の条件、負の指数から8への計算、全解と元への代入を見ます。
log_x(x+6)=2の全ての実数解を求めてください。変数xが底と真数の両方へ現れるので、元の全ての条件を最初に求めます。指数へ戻した二次式の全候補を調べ、元の式で有効な解だけを確かめます。
元はx>0,x≠1,x+6>0で、まとめるとx>0,x≠1。定義からx²=x+6、(x−3)(x+2)=0。x=−2は底が正でなく除く。x=3だけが残り、log_3 9=2で成立。
生徒の底の正・非1・真数の正、全二候補と除外、元の検算を見ます。
(log_2 x)²+log_2 x−2=0の全ての実数解を求めてください。t=log_2 xと置いたtの範囲を、指数の置き換えt=2^xの場合と区別して説明し、各候補をxへ戻して元で確かめます。
元はx>0。t=log_2 xは実数全体を取り得て、t²+t−2=(t+2)(t−1)=0。t=−2,1は両方有効で、x=2^(−2)=1/4、x=2です。元では4−2−2=0、1+1−2=0。t=2^x>0とは違い、負のtを除かない。
生徒のx>0と実数t・全二根、負の対数から正のxに戻す二解と検算、二種類の置き換えの違いを見ます。
log_2(log_3(x−1))=1の全ての実数解を求めてください。内側と外側の各真数の条件を別々に書き、元の範囲をまとめてから解きます。最後に両段の対数を実際に順に計算します。
内側はx−1>0でx>1。外側はlog_3(x−1)>0で、底3>1よりx−1>1、x>2が必要。定義からlog_3(x−1)=2、x−1=9、x=10だけ。元でlog_3 9=2>0、log_2 2=1と順に成立。
生徒の二段の真数条件と共通範囲、二つの指数への戻し、順にした元の検算を見ます。
友達は「log_2 x+log_2 x=log_2(2x)だから、左辺が6ならx=32」としました。x=4で元の左辺と友達の右辺を別々に計算して誤りを示し、正しい和の法則と真数条件からlog_2 x+log_2 x=6の全実数解を求めて検算してください。友達のx=32も元の式へ代入して確かめます。
x=4で元は2+2=4、友達の右辺はlog_2 8=3で異なる。正しくはx>0でlog_2 x+log_2 x=log_2(x²)=2log_2 x。方程式はlog_2 x=3なのでx=8だけ。元で3+3=6。友達のx=32では5+5=10となり不成立。x²=64から進む別解なら−8を元の真数条件で除く。
生徒の反例の両値・積へまとめる正しい法則、x>0と全解・元と友達の候補の検算を見ます。
a>0,a≠1,X>0,c>0,c≠1の条件で、y=log_a Xを指数の定義へ戻し、底の変換log_a X=(log_c X)/(log_c a)を説明してください。その式を用いてlog_2 9·log_3 4の厳密値を求め、分母が0でない条件も残します。
a^y=Xへ底cの対数を取り、y log_c a=log_c X。a≠1なのでlog_c a≠0で割れ、変換式となる。log_2 9=2log_2 3、log_3 4=(log_2 4)/(log_2 3)=2/(log_2 3)なので積は4。log_2 3>0で0でない。
生徒の全ての条件・定義からの式と計算過程と0でない分母、二つの対数の変換と積4を見る。正しい同値な別の底も認める。
aを2,3,5から、pを−1,2から、kを1,3から一つずつ選びます。log_a(x−p)+log_a(x−p+2)=log_a(k(k+2))という具体式を作り、元の全ての条件・二次式の全候補と除外理由、全実数解と元への代入を示してください。全12条件を解く必要はありません。
作例a=3,p=2,k=1ならlog_3(x−2)+log_3 x=1。元はx>2、(x−2)x=3から候補3,−1。−1では元の真数−3,−1が負なので除き、x=3だけ。元でlog_3 1+log_3 3=0+1=1。一般にu=x−p>0、u(u+2)=k(k+2)より(u−k)(u+k+2)=0。候補x=p+k,p−k−2から後者を除き前者だけを認める。生徒の別の許された三数・具体式と元の全ての条件、検算も認め、全12例は必須にしない。
生徒の三数・具体式・各真数の正と底の条件、全二候補と除外、唯一の解と元への代入を見ます。