多項式の微分：接点・すべての符号と極値の観察記録

得られる結果

平均変化率と微分係数、接線の点と傾き、停留点と極値・閉区間の最大値・最小値を、生徒が書いた式と計算過程・符号表と元の値から区別できます。

操作手順

1. 元の点と全区間を、最後の値から分ける

   生徒が元の多項式・定義域と単位を残したかを見ます。最後の傾きや導関数0の点だけを、接線・極値や全区間の増減を説明した証拠にはしません。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が扱った多項式と定義域・単位：[ ] 平均変化率を求めるときのh≠0と全展開・約分：[ ] 平均変化率の式とh→0での値の区別：[ ] 定数倍・和差と全導関数：[ ] 元の接点の座標とf(a)：[ ] 微分係数f′(a)と接線の式と計算過程：[ ] 接線への元の点の代入と傾き：[ ] 導関数の全零点と全区間の因数の符号：[ ] 極値かどうかと元の全ての値：[ ] 閉区間の端点・全候補と最大値・最小値を取る全てのx：[ ] 生徒の一様な軸・符号表と概形の対応：[ ] 講師の見本・支援と生徒の理由・未確認：[ ]

3. 作例A：hの条件と近づく値に戻す

   見本f=x²−3x+2、a=1ではf(1)=0、f(1+h)=h²−h。h≠0で平均変化率はh−1、h→0で−1です。生徒が先に0/0を計算せず、元の点(1,0)と傾き−1から接線y=−x+1へ戻したかを見ます。極限の厳密な一般論を証明したとはしません。

4. 作例B：接線の元の点と傾きに戻す

   見本f=x³−3x+1、a=0ではf′=3x²−3、元の点(0,1)と傾き−3から接線y=−3x+1です。生徒が元の点を代入し、切片1を微分係数−3と混ぜなかったかを見ます。

5. 作例C：すべての符号と元の極値に戻す

   見本f=x³−3x−2ではf′=3(x+1)(x−1)、全零点−1,1、符号は正・負・正です。生徒がx=−1で極大値0、x=1で極小値−4を元のfへ代入し、符号の表から別に曲線の概形を描いたかを見ます。符号表自体を元の曲線とはしません。

6. 作例D：水平な接線と、極値の有無に戻す

   C6と同じf=x³+2とg=x²+2は、共に点(0,2)で水平な接線y=2を持ちます。前者は導関数3x²が0の両側で正のまま、後者は2xが負から正へ変わります。生徒が前者は極値なし、後者は極小値2とすべての符号・両概形から区別したかを見ます。同じ見本の再利用で、追加の独立課題には数えません。

7. 作例E：閉区間の端点と、最大値・最小値をとるすべての点に戻す

   別の見本f=x³−3x、−2≦x≦2では導関数3(x+1)(x−1)、元の候補値はx=−2,−1,1,2で順に−2,2,−2,2です。生徒が最大値2をx=−1,2、最小値−2をx=−2,1の両方で示し、各単調区間と閉区間の端点から他の達成点がない理由を残したかを見ます。

8. 別の一例と未確認へ戻る

   生徒が選んだ許された三数・具体式と、導関数や接線の同値な式、正しい符号表や概形、別解を認めます。全8条件を必須にしません。生徒の元の値と理由を講師の見本・支援と区別し、自由な式や概形の自動採点と、観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ⅱ(5)ア(ア)(イ)、イ(ア)(イ)と内容の取扱い(1)を踏まえた三次までの多項式の独自活動です。極限は直観的に扱い、厳密な一般論・非多項式の微分・二階微分・積分・数学Ⅱ全体・固定学年・学習効果は主張しません。
• 元の点と導関数の値、全零点と全区間の因数の符号、停留点と極値、閉区間の端点と最大値・最小値を取る全てのxを分けます。同値な正しい式変形・別解を認めます。
• 見本の文字・式・符号の表は個別に編集できますが、他の値や式は自動更新されません。元の関数の曲線は生徒が別に描きます。12項目は紙や既存ボードへ手動記録し、自由な式・表・概形の自動採点や観察欄の自動保存はありません。
• 生徒が書いた式と計算過程・表・概形と理由を講師の見本・支援と区別します。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

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