多項式の微分から、接線・増減と極値を説明する
微分係数を接線の傾きに、導関数の符号を関数の増減に結び付けて確かめます。準備14問と、生徒が途中式・符号表・グラフと理由を示す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(5)ア(ア)(イ)、イ(ア)(イ)と内容の取扱い(1)、冊子64–66/PDF76–78を踏まえた独自課題です。三次までの多項式を中心に、微分係数・接線、導関数の符号と増減・極値・閉区間の最大値・最小値を扱います。極限の厳密な一般論、非多項式の微分、二階微分・積分・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。
解説を読む
導関数が0となる点だけを答えても、接線や極値を説明したことにはなりません。元の点・関数値と傾き、区間ごとの導関数の符号を対応させ、停留点と極値、閉区間の端点と、最大値・最小値を取るすべてのxを区別します。
必要な予備知識
三次までの多項式の展開と因数分解、一次・二次方程式と不等式、座標と直線の傾き、二次関数の増減と閉区間。平均変化率・微分係数・多項式の導関数は本文で導入し、極限は直観的に扱います。指数・対数・三角関数の微分、二階微分・積分は前提にしません。
- aからa+hまでの平均変化率は、h≠0で(f(a+h)−f(a))/hです。hを0へ近づけたときに近づく値を微分係数f′(a)と呼びます。分母hへ最初から0を入れず、展開と整理をしてから近づく値を考えます。極限の厳密な一般論には立ち入りません。
- 各xに微分係数を対応させた関数が導関数f′(x)です。本題の多項式では定数の導関数は0、(xⁿ)′=nx^(n−1)（n=1,2,3）で、定数倍・和・差を項ごとに計算できます。例えば(2x³−5x+7)′=6x²−5。元の定数をそのまま残しません。
- 曲線y=f(x)上の点(a,f(a))での接線はy−f(a)=f′(a)(x−a)です。傾きだけでなく元の点を通る条件を残し、展開後もその点を代入します。f′(a)=0なら接線は水平なy=f(a)で、必ずしもx軸ではありません。
- 区間内でf′(x)>0ならfは増加し、f′(x)<0なら減少します。導関数の全零点を求め、区間ごとの符号を因数の符号から調べて増減表に対応させます。一つの点での導関数の符号や、有限な関数値の表だけで全区間の増減を決めません。
- 停留点の前後で導関数の符号が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小です。f′(a)=0だけでは極値は決まりません。例えばf(x)=x³ではf′(0)=0でも、0の両側で導関数は正で増加が続くため、0は極大・極小ではありません。
- 極大・極小の値は、対応するxを元のfへ代入して求めます。f′(x)の値0を極値の値と取り違えません。全実数上の三次関数の極大・極小は近くの値との比較であり、全体の最大値・最小値とは区別します。
- 閉区間では、区間内の全ての停留点と両端の元の関数値を比較して最大・最小を調べます。停留点がない閉区間でも端点で最大値・最小値を取ることがあります。同じ最大値・最小値を取るxが複数あれば全て残し、区間外の点は採用しません。
- グラフは生徒が元の式・導関数の符号表、停留点と元の値を対応させて描きます。各軸に一様な目盛と名前を付け、表示範囲の端を全実数での定義域の端と混同しません。与えられた図は手掛かりで、見た目だけを接線・符号や極値の証明にはしません。
- 位置s(t)が多項式で与えられるとき、速度はs′(t)で、正負は位置が増える向き・減る向きに対応します。速度0の時刻を全て調べ、位置の変化と移動した道のりを分けます。本題では向きが一定の各区間の位置の差の絶対値を足し、積分は使いません。
- 自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な導関数・接線の同値な式、符号表・生徒のグラフ、全ての極値や最大値・最小値と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。正しい同値な式・別表記や初等的別解を認め、新しい式パーサーは追加しません。
解き方の例
f(x)=x²−2x+3なら、f′(x)=2x−2。x=2ではf(2)=3、f′(2)=2なので接線はy−3=2(x−2)、y=2x−1。元の点(2,3)を通ることも確かめます。
f(x)=x³−3x²ではf′(x)=3x(x−2)。符号はx<0で正、0<x<2で負、x>2で正。増減と元の値f(0)=0,f(2)=−4から、x=0で極大値0、x=2で極小値−4です。
よくある間違い
- 平均変化率の分母hへ最初から0を代入する。
- 元の関数と導関数を混同し、微分後も定数を残す。
- 接線の傾きだけ求め、元の点を通る条件を落とす。
- 導関数0の点を全て極値とする。
- 極値の値を元のfでなくf′で計算する。
- 一つの点や有限な値の表だけで全区間の増減を決める。
- 閉区間の端点や、同じ最大値・最小値を取る別のxを落とす。
- 速度の符号・変位・道のりと単位を混ぜる。
考え方を説明する
準備14問は指定された微分係数・傾き・切片・極値の値と選択です。主課題では生徒の平均変化率と微分係数、導関数の式・全零点と符号表、元の点を通る接線、極値かどうかと元の値、閉区間の全候補・最大値・最小値と、それぞれの値を取るすべてのx、生徒のグラフと理由を手動確認します。T1は定義と接線、T2は三次の導関数と接線、T3は二つの停留点と増減、T4は閉区間の端点と同じ最大値・最小値、T5は指定した傾きの全接線、T6は導関数0でも極値でない例、T7は位置と速度・道のり、T8は端点を落とす友達の誤り、T9は条件から係数を決め、増減を確かめる活動、T10は生徒の三数による符号表・極値と接線を見ます。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な多項式・導関数・接線、増減表・生徒のグラフ・全解と理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。極限は直観的な導入で、非多項式の微分・二階微分・積分や新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な導関数・接線の式と計算過程、符号表とグラフは手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
f(x)=2x³−3x²+5について、微分係数f′(1)を求めてください。
答えと解説
0
f′(x)=6x²−6xなので、f′(1)=6−6=0です。
f(x)=−x³+4x²−2x+7について、f′(−1)を求めてください。
答えと解説
−13
f′(x)=−3x²+8x−2。x=−1を代入すると−3−8−2=−13です。
f(x)=x²−2x+4のx=1からx=3までの平均変化率を求めてください。
答えと解説
2
f(1)=3、f(3)=7なので(7−3)/(3−1)=2です。一点での微分係数とは区別します。
図はf(x)=x²−2xと点A(2,0)です。式を微分して、x=2における接線の傾きを求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
2
f′(x)=2x−2なのでf′(2)=2。図の見た目だけで傾きを決めません。
f(x)=2x²−x+3のx=1における接線をy=mx+bと書きます。切片bを求めてください。
答えと解説
1
f(1)=4、f′(1)=4−1=3。y−4=3(x−1)よりy=3x+1、切片b=1です。
f(x)=x³−3x²−9x+2はx=−1で極大となります。極大値f(−1)を求めてください。
答えと解説
7
元のfへ代入し、−1−3+9+2=7。導関数の値0を極大値とはしません。
f(x)=x³−3x²−9x+2はx=3で極小となります。極小値f(3)を求めてください。
答えと解説
−25
元のfへ代入し、27−27−27+2=−25です。
f(x)=2x³−5x+6の導関数はどれですか。
- 2x²−5
- 6x²−5
- 6x²−5x+6
- 6x³−5
答えと解説
6x²−5
三次の項は6x²、−5xは−5、定数6は0になります。
多項式のf′(a)=0という条件について、正しい説明はどれですか。
- 必ずaで極大となる
- 必ずaで極小となる
- 必ずaで最大値となる
- 前後の符号も調べないと、極値とは限らない
答えと解説
前後の符号も調べないと、極値とは限らない
例えばf(x)=x³ではf′(0)=0ですが、増加が続き極値にはなりません。
f(x)=x³−3x、f′(x)=3(x−1)(x+1)です。fが減少する開区間はどれですか。
- −1<x<1
- x<−1だけ
- x>1だけ
- 全ての実数
答えと解説
−1<x<1
−1<x<1では導関数が負で、両外側では正です。
f(x)=x³+1のx=0における接線はどれですか。
- x=0
- y=0
- y=1
- y=x+1
答えと解説
y=1
f(0)=1、f′(0)=0。点(0,1)を通る水平な接線y=1です。
ある開区間の全てのxでf′(x)<0です。正しい説明はどれですか。
- その区間の全てでf(x)<0
- その区間でfは減少する
- その区間の全てでf(x)=0
- その区間でfは増加する
答えと解説
その区間でfは減少する
導関数の負は値が減ることを示し、元の値が負であることとは違います。
図はf(x)=−(x+1)²+4と点A(0,3)です。式から求めたf′(0)はどれですか。
図を準備しています。
- 3
- −2
- 0
- 2
答えと解説
−2
f′(x)=−2(x+1)なのでf′(0)=−2です。元の点のy=3は微分係数ではありません。
f(x)=x³のx=0での増減と極値について、正しいものはどれですか。
- 左で減少し右で増加するので極小
- 左右とも減少するので極大
- 左右で増加が続き、0は極大・極小でない
- 導関数が0なので元の関数も常に0
答えと解説
左右で増加が続き、0は極大・極小でない
f′(x)=3x²は0の両側で正で、増加が続きます。0では接線が水平でも極値ではありません。
考え方を説明する
f(x)=x²+xについて、h≠0で(f(2+h)−f(2))/hを展開・整理し、hを0へ近づけてf′(2)を求めてください。平均変化率の式と微分係数を区別し、点(2,f(2))での接線の式と計算過程と元の点の代入も示します。
答えと解説
f(2)=6、f(2+h)=6+5h+h²。h≠0で商は5+h、hを0へ近づけると5なのでf′(2)=5。接線はy−6=5(x−2)、y=5x−4で、x=2なら6。有限のhでの平均変化率5+hと微分係数5を分け、最初から0/0を計算しない。
生徒のhの条件・全展開と整理・近づく値、元の点と接線の式と計算過程・代入を見ます。
f(x)=2x³−3x²−12x+4について、導関数の式を求め、x=1での関数値と微分係数、接線の方程式を示してください。元の点を代入し、接線の傾きと導関数の値も照らし合わせます。
答えと解説
f′(x)=6x²−6x−12。f(1)=−9、f′(1)=−12なのでy+9=−12(x−1)、y=−12x+3。元の点(1,−9)を通り、傾き−12も一致する。同値な正しい式変形を認める。
生徒が定数倍と和・差の微分をどう計算したかを見ます。関数の値と微分係数を区別し、接線が接点を通ることと傾きが微分係数に等しいことを確かめます。
f(x)=x³−6x²+9x+1について、導関数を因数分解し、全零点と区間ごとの符号から増減表を作ってください。全ての極大・極小の位置と元の値を求め、軸と目盛を示したグラフの概形を描き、前後の符号と対応させます。
答えと解説
f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)。x<1で正、1<x<3で負、x>3で正。増加・減少・増加となり、x=1で極大値f(1)=5、x=3で極小値f(3)=1。元は三次で全実数上の最大・最小とは呼ばない。図は(0,1),(1,5),(3,1)と増減が対応する概形。
生徒の全因数分解・二零点・三区間の符号、元の二値と位置、理由付きの概形を見る。数値の表だけを符号の証明にしない。
f(x)=x³−3x、−2≦x≦2について、導関数の符号表と指定部分のグラフを作り、最大値・最小値とそれぞれを取る全てのxを求めてください。区間内の全停留点と両端の値を実際に比べ、同じ最大値・最小値となる点を落とさない理由も示します。
答えと解説
f′(x)=3(x+1)(x−1)で増加・減少・増加。候補x=−2,−1,1,2の元の値は−2,2,−2,2。最大値2はx=−1,2の両方、最小値−2はx=−2,1の両方。各単調区間と端点から他に達成点はなく、四点の位置と端点を含むことを、指定範囲のグラフの概形に表す。
生徒の全四候補・実数値、最大値と最小値を取るそれぞれのx、符号と指定グラフから、他に最大値・最小値を取る点がないことの理由を見ます。
f(x)=x³−3x²+2のグラフに、直線y=9x+4と平行な接線を全て求めてください。接点のxを未知数aとして条件を立て、全接点の座標と接線の式と計算過程、元の点と傾きの確認を示します。
答えと解説
傾き条件f′(a)=3a²−6a=9より(a+1)(a−3)=0、a=−1,3。接点は(−1,−2),(3,2)。接線は順にy+2=9(x+1)からy=9x+7、y−2=9(x−3)からy=9x−25。両方の元の点を通り傾き9。二次式の全根からこの二本で全てで、元のy=9x+4と一致はしない。
生徒の未知接点・全二根・全座標・両接線、元の点の代入と傾きの条件を見ます。
二例①f(x)=x³、②g(x)=x³−3x+2について、それぞれの導関数の全零点と符号表を作り、極大・極小があるか調べて概形を描いてください。導関数0だけを根拠に極値とできない理由を、①のx=0と②の各停留点で比較します。
答えと解説
①f′(x)=3x²。0の両側で正で増加が続き、x=0は極値でない。②g′(x)=3(x+1)(x−1)で正・負・正。x=−1で極大値g(−1)=4、x=1で極小値g(1)=0。極値かどうかは導関数の前後の符号の変化で判断し、極値は元の関数に代入して求める。両曲線は全実数上に続き、有限の図の端を最大値・最小値としない。
生徒の二つの式・全零点と全区間、極値でない点と二つの極値・元の値、両概形と理由を見ます。
一直線上の位置がs(t)=t³−6t²+9t m、時刻が0≦t≦4秒で与えられています。速度s′(t) m/sの式と全停止時刻、向きが変わる各区間を符号表で示してください。始めと終わりの変位と、この間に移動した道のりを別々に求め、各区間の位置と単位で確かめます。積分は使いません。
答えと解説
速度は3t²−12t+9=3(t−1)(t−3) m/s。停止は1秒,3秒。0<t<1と3<t<4で正の向き、1<t<3で負の向き。s(0)=0,s(1)=4,s(3)=0,s(4)=4 m。変位は4−0=4 m、道のりは|4−0|+|0−4|+|4−0|=12 m。端点での速度もs′(0)=s′(4)=9 m/sで停止ではない。
生徒の全速度式と二停止時刻・区間の符号、四位置・変位と道のり、mとm/s・秒の区別を見ます。
友達はf(x)=x³+3x、−1≦x≦2について「導関数が0の点がないから、最大値も最小値もない」としました。導関数の式と符号、閉区間の両端の値・指定部分の概形から説明を直し、最大値と最小値、およびそれぞれの値を取るすべてのxを示してください。
答えと解説
f′(x)=3x²+3>0で全区間で増加する。停留点はないが閉区間の端点を含むので、最小値f(−1)=−4をx=−1だけで、最大値f(2)=14をx=2だけで取る。全実数での非有界の話と、指定した閉区間を混ぜない。端点を含め、区間全体で増加する様子をグラフに表す。
生徒の厳密な正の理由・両端の具体値・全対応xと指定グラフ、端点を落とした誤りの修正を見ます。
f(x)=x³+ax²+bx+cがf(0)=−1、f′(1)=0、f′(2)=0を満たします。a,b,cを条件から求め、導関数の因数分解と全区間の符号、極大・極小の位置と元の値を示して概形を描いてください。求めた三数を元の三条件にも実際に代入します。
答えと解説
f′(x)=3x²+2ax+b。c=−1、3+2a+b=0、12+4a+b=0からa=−9/2,b=6,c=−1。f′(x)=3(x−1)(x−2)で正・負・正。x=1で極大値3/2、x=2で極小値1。元の条件はf(0)=−1、f′(1)=3−9+6=0、f′(2)=12−18+6=0で成立。元の関数の値と、導関数の符号が二か所で変わることをグラフの概形に反映する。
生徒の三条件の式・全三係数と元の確認、導関数の三区間と元の二値、位置と概形を手動確認する。
Aを−1,1から、rを1,2から、cを−2,3から一つずつ選び、f(x)=Ax³−3Ar²x+cの具体式を作ります。導関数の式・全零点と増減表、全ての極大・極小の位置と値、x=0での接線を求めてその結果をグラフの概形に表し、接線が元の曲線上の点(0,c)を通ることも確かめてください。全8条件は必須にしません。
答えと解説
作例A=−1,r=2,c=3ならf=−x³+12x+3、f′=−3(x−2)(x+2)。符号は負・正・負でx=−2で極小値−13、x=2で極大値19。x=0の接線はy=12x+3で元の点(0,3)を通る。一般にf′=3A(x²−r²)、f(−r)=c+2Ar³,f(r)=c−2Ar³、接線はy=−3Ar²x+c。A>0では−rが極大,rが極小、A<0では逆。生徒の別の許された三数と式と計算過程・符号表・概形・元の確認も認める。
生徒の三数・具体式、全零点と符号、元の二値と極大極小の向き、元の点を通る接線と概形を見る。全8例は必須にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(5)ア(ア)(イ)、イ(ア)(イ)と内容の取扱い(1)、冊子64–66/PDF76–78を踏まえた独自課題です。三次までの多項式を中心に、微分係数・接線、導関数の符号と増減・極値・閉区間の最大値・最小値を扱います。極限の厳密な一般論、非多項式の微分、二階微分・積分・数学Ⅱ全体や固定学年の履修は主張しません。 · 2026-11-04
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準備14問は指定された微分係数・傾き・切片・極値の値と選択です。主課題では生徒の平均変化率と微分係数、導関数の式・全零点と符号表、元の点を通る接線、極値かどうかと元の値、閉区間の全候補・最大値・最小値と、それぞれの値を取るすべてのx、生徒のグラフと理由を手動確認します。T1は定義と接線、T2は三次の導関数と接線、T3は二つの停留点と増減、T4は閉区間の端点と同じ最大値・最小値、T5は指定した傾きの全接線、T6は導関数0でも極値でない例、T7は位置と速度・道のり、T8は端点を落とす友達の誤り、T9は条件から係数を決め、増減を確かめる活動、T10は生徒の三数による符号表・極値と接線を見ます。同値な正しい式変形・別表記・初等的別解を認めます。
f(x)=2x³−3x²+5について、微分係数f′(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=−x³+4x²−2x+7について、f′(−1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x²−2x+4のx=1からx=3までの平均変化率を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図はf(x)=x²−2xと点A(2,0)です。式を微分して、x=2における接線の傾きを求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=2x²−x+3のx=1における接線をy=mx+bと書きます。切片bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³−3x²−9x+2はx=−1で極大となります。極大値f(−1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³−3x²−9x+2はx=3で極小となります。極小値f(3)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=2x³−5x+6の導関数はどれですか。
- 2x²−5
- 6x²−5
- 6x²−5x+6
- 6x³−5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
多項式のf′(a)=0という条件について、正しい説明はどれですか。
- 必ずaで極大となる
- 必ずaで極小となる
- 必ずaで最大値となる
- 前後の符号も調べないと、極値とは限らない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³−3x、f′(x)=3(x−1)(x+1)です。fが減少する開区間はどれですか。
- −1<x<1
- x<−1だけ
- x>1だけ
- 全ての実数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³+1のx=0における接線はどれですか。
- x=0
- y=0
- y=1
- y=x+1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ある開区間の全てのxでf′(x)<0です。正しい説明はどれですか。
- その区間の全てでf(x)<0
- その区間でfは減少する
- その区間の全てでf(x)=0
- その区間でfは増加する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図はf(x)=−(x+1)²+4と点A(0,3)です。式から求めたf′(0)はどれですか。
図を準備しています。
- 3
- −2
- 0
- 2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³のx=0での増減と極値について、正しいものはどれですか。
- 左で減少し右で増加するので極小
- 左右とも減少するので極大
- 左右で増加が続き、0は極大・極小でない
- 導関数が0なので元の関数も常に0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
f(x)=x²+xについて、h≠0で(f(2+h)−f(2))/hを展開・整理し、hを0へ近づけてf′(2)を求めてください。平均変化率の式と微分係数を区別し、点(2,f(2))での接線の式と計算過程と元の点の代入も示します。
f(x)=2x³−3x²−12x+4について、導関数の式を求め、x=1での関数値と微分係数、接線の方程式を示してください。元の点を代入し、接線の傾きと導関数の値も照らし合わせます。
f(x)=x³−6x²+9x+1について、導関数を因数分解し、全零点と区間ごとの符号から増減表を作ってください。全ての極大・極小の位置と元の値を求め、軸と目盛を示したグラフの概形を描き、前後の符号と対応させます。
f(x)=x³−3x、−2≦x≦2について、導関数の符号表と指定部分のグラフを作り、最大値・最小値とそれぞれを取る全てのxを求めてください。区間内の全停留点と両端の値を実際に比べ、同じ最大値・最小値となる点を落とさない理由も示します。
f(x)=x³−3x²+2のグラフに、直線y=9x+4と平行な接線を全て求めてください。接点のxを未知数aとして条件を立て、全接点の座標と接線の式と計算過程、元の点と傾きの確認を示します。
二例①f(x)=x³、②g(x)=x³−3x+2について、それぞれの導関数の全零点と符号表を作り、極大・極小があるか調べて概形を描いてください。導関数0だけを根拠に極値とできない理由を、①のx=0と②の各停留点で比較します。
一直線上の位置がs(t)=t³−6t²+9t m、時刻が0≦t≦4秒で与えられています。速度s′(t) m/sの式と全停止時刻、向きが変わる各区間を符号表で示してください。始めと終わりの変位と、この間に移動した道のりを別々に求め、各区間の位置と単位で確かめます。積分は使いません。
友達はf(x)=x³+3x、−1≦x≦2について「導関数が0の点がないから、最大値も最小値もない」としました。導関数の式と符号、閉区間の両端の値・指定部分の概形から説明を直し、最大値と最小値、およびそれぞれの値を取るすべてのxを示してください。
f(x)=x³+ax²+bx+cがf(0)=−1、f′(1)=0、f′(2)=0を満たします。a,b,cを条件から求め、導関数の因数分解と全区間の符号、極大・極小の位置と元の値を示して概形を描いてください。求めた三数を元の三条件にも実際に代入します。
Aを−1,1から、rを1,2から、cを−2,3から一つずつ選び、f(x)=Ax³−3Ar²x+cの具体式を作ります。導関数の式・全零点と増減表、全ての極大・極小の位置と値、x=0での接線を求めてその結果をグラフの概形に表し、接線が元の曲線上の点(0,c)を通ることも確かめてください。全8条件は必須にしません。
解答: 多項式の微分から、接線・増減と極値を説明する
0
f′(x)=6x²−6xなので、f′(1)=6−6=0です。
−13
f′(x)=−3x²+8x−2。x=−1を代入すると−3−8−2=−13です。
2
f(1)=3、f(3)=7なので(7−3)/(3−1)=2です。一点での微分係数とは区別します。
2
f′(x)=2x−2なのでf′(2)=2。図の見た目だけで傾きを決めません。
1
f(1)=4、f′(1)=4−1=3。y−4=3(x−1)よりy=3x+1、切片b=1です。
7
元のfへ代入し、−1−3+9+2=7。導関数の値0を極大値とはしません。
−25
元のfへ代入し、27−27−27+2=−25です。
6x²−5
三次の項は6x²、−5xは−5、定数6は0になります。
前後の符号も調べないと、極値とは限らない
例えばf(x)=x³ではf′(0)=0ですが、増加が続き極値にはなりません。
−1<x<1
−1<x<1では導関数が負で、両外側では正です。
y=1
f(0)=1、f′(0)=0。点(0,1)を通る水平な接線y=1です。
その区間でfは減少する
導関数の負は値が減ることを示し、元の値が負であることとは違います。
−2
f′(x)=−2(x+1)なのでf′(0)=−2です。元の点のy=3は微分係数ではありません。
左右で増加が続き、0は極大・極小でない
f′(x)=3x²は0の両側で正で、増加が続きます。0では接線が水平でも極値ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
f(x)=x²+xについて、h≠0で(f(2+h)−f(2))/hを展開・整理し、hを0へ近づけてf′(2)を求めてください。平均変化率の式と微分係数を区別し、点(2,f(2))での接線の式と計算過程と元の点の代入も示します。
f(2)=6、f(2+h)=6+5h+h²。h≠0で商は5+h、hを0へ近づけると5なのでf′(2)=5。接線はy−6=5(x−2)、y=5x−4で、x=2なら6。有限のhでの平均変化率5+hと微分係数5を分け、最初から0/0を計算しない。
生徒のhの条件・全展開と整理・近づく値、元の点と接線の式と計算過程・代入を見ます。
f(x)=2x³−3x²−12x+4について、導関数の式を求め、x=1での関数値と微分係数、接線の方程式を示してください。元の点を代入し、接線の傾きと導関数の値も照らし合わせます。
f′(x)=6x²−6x−12。f(1)=−9、f′(1)=−12なのでy+9=−12(x−1)、y=−12x+3。元の点(1,−9)を通り、傾き−12も一致する。同値な正しい式変形を認める。
生徒が定数倍と和・差の微分をどう計算したかを見ます。関数の値と微分係数を区別し、接線が接点を通ることと傾きが微分係数に等しいことを確かめます。
f(x)=x³−6x²+9x+1について、導関数を因数分解し、全零点と区間ごとの符号から増減表を作ってください。全ての極大・極小の位置と元の値を求め、軸と目盛を示したグラフの概形を描き、前後の符号と対応させます。
f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)。x<1で正、1<x<3で負、x>3で正。増加・減少・増加となり、x=1で極大値f(1)=5、x=3で極小値f(3)=1。元は三次で全実数上の最大・最小とは呼ばない。図は(0,1),(1,5),(3,1)と増減が対応する概形。
生徒の全因数分解・二零点・三区間の符号、元の二値と位置、理由付きの概形を見る。数値の表だけを符号の証明にしない。
f(x)=x³−3x、−2≦x≦2について、導関数の符号表と指定部分のグラフを作り、最大値・最小値とそれぞれを取る全てのxを求めてください。区間内の全停留点と両端の値を実際に比べ、同じ最大値・最小値となる点を落とさない理由も示します。
f′(x)=3(x+1)(x−1)で増加・減少・増加。候補x=−2,−1,1,2の元の値は−2,2,−2,2。最大値2はx=−1,2の両方、最小値−2はx=−2,1の両方。各単調区間と端点から他に達成点はなく、四点の位置と端点を含むことを、指定範囲のグラフの概形に表す。
生徒の全四候補・実数値、最大値と最小値を取るそれぞれのx、符号と指定グラフから、他に最大値・最小値を取る点がないことの理由を見ます。
f(x)=x³−3x²+2のグラフに、直線y=9x+4と平行な接線を全て求めてください。接点のxを未知数aとして条件を立て、全接点の座標と接線の式と計算過程、元の点と傾きの確認を示します。
傾き条件f′(a)=3a²−6a=9より(a+1)(a−3)=0、a=−1,3。接点は(−1,−2),(3,2)。接線は順にy+2=9(x+1)からy=9x+7、y−2=9(x−3)からy=9x−25。両方の元の点を通り傾き9。二次式の全根からこの二本で全てで、元のy=9x+4と一致はしない。
生徒の未知接点・全二根・全座標・両接線、元の点の代入と傾きの条件を見ます。
二例①f(x)=x³、②g(x)=x³−3x+2について、それぞれの導関数の全零点と符号表を作り、極大・極小があるか調べて概形を描いてください。導関数0だけを根拠に極値とできない理由を、①のx=0と②の各停留点で比較します。
①f′(x)=3x²。0の両側で正で増加が続き、x=0は極値でない。②g′(x)=3(x+1)(x−1)で正・負・正。x=−1で極大値g(−1)=4、x=1で極小値g(1)=0。極値かどうかは導関数の前後の符号の変化で判断し、極値は元の関数に代入して求める。両曲線は全実数上に続き、有限の図の端を最大値・最小値としない。
生徒の二つの式・全零点と全区間、極値でない点と二つの極値・元の値、両概形と理由を見ます。
一直線上の位置がs(t)=t³−6t²+9t m、時刻が0≦t≦4秒で与えられています。速度s′(t) m/sの式と全停止時刻、向きが変わる各区間を符号表で示してください。始めと終わりの変位と、この間に移動した道のりを別々に求め、各区間の位置と単位で確かめます。積分は使いません。
速度は3t²−12t+9=3(t−1)(t−3) m/s。停止は1秒,3秒。0<t<1と3<t<4で正の向き、1<t<3で負の向き。s(0)=0,s(1)=4,s(3)=0,s(4)=4 m。変位は4−0=4 m、道のりは|4−0|+|0−4|+|4−0|=12 m。端点での速度もs′(0)=s′(4)=9 m/sで停止ではない。
生徒の全速度式と二停止時刻・区間の符号、四位置・変位と道のり、mとm/s・秒の区別を見ます。
友達はf(x)=x³+3x、−1≦x≦2について「導関数が0の点がないから、最大値も最小値もない」としました。導関数の式と符号、閉区間の両端の値・指定部分の概形から説明を直し、最大値と最小値、およびそれぞれの値を取るすべてのxを示してください。
f′(x)=3x²+3>0で全区間で増加する。停留点はないが閉区間の端点を含むので、最小値f(−1)=−4をx=−1だけで、最大値f(2)=14をx=2だけで取る。全実数での非有界の話と、指定した閉区間を混ぜない。端点を含め、区間全体で増加する様子をグラフに表す。
生徒の厳密な正の理由・両端の具体値・全対応xと指定グラフ、端点を落とした誤りの修正を見ます。
f(x)=x³+ax²+bx+cがf(0)=−1、f′(1)=0、f′(2)=0を満たします。a,b,cを条件から求め、導関数の因数分解と全区間の符号、極大・極小の位置と元の値を示して概形を描いてください。求めた三数を元の三条件にも実際に代入します。
f′(x)=3x²+2ax+b。c=−1、3+2a+b=0、12+4a+b=0からa=−9/2,b=6,c=−1。f′(x)=3(x−1)(x−2)で正・負・正。x=1で極大値3/2、x=2で極小値1。元の条件はf(0)=−1、f′(1)=3−9+6=0、f′(2)=12−18+6=0で成立。元の関数の値と、導関数の符号が二か所で変わることをグラフの概形に反映する。
生徒の三条件の式・全三係数と元の確認、導関数の三区間と元の二値、位置と概形を手動確認する。
Aを−1,1から、rを1,2から、cを−2,3から一つずつ選び、f(x)=Ax³−3Ar²x+cの具体式を作ります。導関数の式・全零点と増減表、全ての極大・極小の位置と値、x=0での接線を求めてその結果をグラフの概形に表し、接線が元の曲線上の点(0,c)を通ることも確かめてください。全8条件は必須にしません。
作例A=−1,r=2,c=3ならf=−x³+12x+3、f′=−3(x−2)(x+2)。符号は負・正・負でx=−2で極小値−13、x=2で極大値19。x=0の接線はy=12x+3で元の点(0,3)を通る。一般にf′=3A(x²−r²)、f(−r)=c+2Ar³,f(r)=c−2Ar³、接線はy=−3Ar²x+c。A>0では−rが極大,rが極小、A<0では逆。生徒の別の許された三数と式と計算過程・符号表・概形・元の確認も認める。
生徒の三数・具体式、全零点と符号、元の二値と極大極小の向き、元の点を通る接線と概形を見る。全8例は必須にしない。