比例と反比例：表・式・点と仮定の観察記録

得られる結果

一定の増分と比例、商と積、等しい目盛りと等間隔に並べたラベル、実測のおよその関係と計算条件の混同を、生徒の図と表へ戻して確かめられます。

操作手順

1. 学年の範囲と二つの量を決める

   小5の整数倍と逆の対応、小6の分数倍・比例・反比例・日常のモデルから選びます。生徒が調べる二つの量と単位、固定する条件、紙や方眼・実測の道具、講師の見本を分けます。

2. 紙や授業用ボードへ写す12項目

   学年・場面・二つの量と単位：[ ] 生徒の予想・固定する条件：[ ] 1以外からの倍と逆の矢印：[ ] 生徒の表・0や分数の対応：[ ] 一定の商又は積の確かめ：[ ] 具体的な決まった数と式：[ ] 各軸の目盛り間隔と単位：[ ] 生徒の点・原点・変化の図：[ ] 範囲・容量・整数で数える量：[ ] 実測・架空記録・およその関係：[ ] モデルの限界・講師の支援：[ ] 生徒の修正と次の確かめ：[ ]

3. 作例A：小5の1以外からの対応を残す

   同じ紙一枚15gという計算条件なら、枚数3・6・9枚に対し重さ45・90・135gです。3→9の3倍は45→135にも対応し、6→3の半分は90→45にも対応します。生徒の表と両量への矢印を確かめ、1からの倍だけで判断しないようにします。枚数の整数範囲と、与えられた条件・実測を分けます。

4. 作例B：小6の分数倍と原点・容量を対応させる

   空の9L容器へ毎分1.8L入れる計算なら、入れ始めてからの時間x分と水量y Lはy=1.8×xです。0・0.5・2.5・5分に対し0・0.9・4.5・9L。2→3分の3/2倍は3.6→5.4Lにも対応します。原点から(5,9)までの直線と0≦x≦5を生徒の図に示し、各軸で同じ量の目盛り間隔をそろえます。

5. 作例C：反比例の積と点を確かめる

   面積40cm²の長方形で、横x cmが5・8・10なら縦y cmは8・5・4です。x×y=40、y=40÷x。横5→8の8/5倍に対し、縦8→5は5/8倍です。生徒の表と方眼の点を対応させ、x>0で0を使わず、点を原点からの直線に並べていないかを確かめます。

6. 作例D：同じ増え方でも比例しない例を比べる

   毎分1.5Lなら、空の場合はy=1.5×x、初め3Lある場合はy=3+1.5×xです。0・1・2分に対し前者0・1.5・3L、後者3・4.5・6L。時間1→2は2倍でも後者4.5→6Lは2倍ではありません。仮に容量15Lなら共通に0〜8分を使えます。生徒の0分・倍の対応・原点と、一定の増分を区別します。

7. 作例E：日常のモデルへ使う条件を戻す

   27Lを送り終わるまでの時間を考え、一定の流量が3・4.5・6L/分なら時間は9・6・4.5分です。流量と時間の積は27L。3→4.5の3/2倍に対し9→6分は2/3倍です。仮に選べる流量が3〜6L/分ならその範囲を残し、漏れや途中の流量変化がない条件を確認します。計算からの見積もりを実際の完了記録とはせず、生徒の単位と仮定を確かめます。

8. 条件を変えて判断し直す

   初めの量、一つ分、一定とみる条件や調べる範囲を一つ変え、生徒が表・式・点を作り直します。商と積、倍率、容量や整数の範囲へ戻って修正できたかを記録し、実際の測定・架空例・計算・未確認と支援を分けます。

知っておきたいこと

• 小5C(1)、冊子261〜263/PDF267〜269の整数倍と逆の対応を振り返り、小6C(1)、冊子300〜304/PDF306〜310の比例・反比例へ進む独自の観察例です。
• 決まった数には具体的な数値を使います。定数としての文字aや中学校の形式的操作、負の数のグラフは前提にしません。各軸の目盛り、原点、反比例で0を使わないことを確かめます。
• 別の正しい表・目盛り・方法を認め、生徒の作業と支援、計算条件と実測のおよその関係を分けます。実際の生徒との試用・母語話者による校閲は未実施です。
• 欄は紙や授業用ボードへ写して使います。上のリンクは自分のボード一覧を開き、指導記録や自分のグラフを自動採点・保存する機能ではありません。

関連ガイド

• 比例と反比例の授業用ボード
• 比例・反比例の表・式・グラフの練習
• 文部科学省・小5C(1)二つの数量の関係
• 文部科学省・小6C(1)比例と反比例