定義域と最大・最小：候補の比較・全てのxを見る記録

得られる結果

頂点を無条件に採用する判断、端点の計算漏れ、負の係数での大小の逆転、同じ最大値や最小値を取るxの書き落とし、グラフの表示範囲の端での値を、実数全体での最大値・最小値と見なす考えを、生徒の具体的な成果物から区別できます。

操作手順

1. 定義域、比較する値、最大値・最小値を取るxを確認する

   放物線全体の頂点が条件内かを先に確かめます。生徒が両端と必要な頂点の実際の値を比べ、係数の符号と距離で候補を尽くす理由、最大値・最小値と全てのxを示したか確認します。

2. 紙や授業用ボードへ写す12項目

   生徒が扱う二次関数とxの意味・単位：[ ] 生徒の具体的な定義域と端点を含むか：[ ] 平方完成と放物線全体の軸・頂点：[ ] 軸と区間の位置・候補にする頂点か：[ ] 生徒の両端の値と必要な頂点の具体値：[ ] 生徒の指定部分の曲線と目盛り：[ ] 係数の符号と軸からの距離の理由：[ ] 最大値とそれを取る全てのx：[ ] 最小値とそれを取る全てのx：[ ] 候補で尽くした理由・存在しない最大値・最小値：[ ] 講師の支援・与えた図と未確認の箇所：[ ] 生徒の別の数と区間・次の問い：[ ]

3. 作例A：区間内の頂点と両端を比べる

   y=(x−3)²−6、0≦x≦5なら、生徒の候補値はy(0)=3、y(3)=−6、y(5)=−2です。最小値−6はx=3、最大値3はx=0。生徒の閉区間の曲線と、距離0・3をそこでだけ取る理由を別に見ます。

4. 作例B：外の頂点を採用しない

   Aは2(x+1)²−4、0≦x≦2で、最小値−2はx=0、最大値14はx=2。Bは−(x−4)²+5、同じ区間で、最小値−11はx=0、最大値1はx=2。生徒の軸の左外・右外と、係数の符号・距離の増減を対応させ、頂点の−4や5を条件内の値としません。

5. 作例C：同じ最大値・最小値の二つのxを残す

   y=−(x+2)²+7、−5≦x≦1なら最大値7はx=−2、最小値−2はx=−5と1の両方です。生徒の両端の等距離3、負の係数による大小、両端を含む曲線を見ます。同じ値でも二つの違うxであり、一方を省きません。

6. 作例D：端点にある頂点と全実数を区別する

   y=3(x−2)²−1、2≦x≦5なら最小値−1はx=2、最大値26はx=5。頂点と左端は一つの同じ点です。一方、全実数のy=2(x+3)²−5では最小値−5はx=−3、最大値なし。x=−3+nで2n²−5がいくらでも大きくなる理由を使い、有限の図の端を最大にしません。

7. 作例E：長方形の追加条件と単位を保つ

   周30cmの長方形で一辺xに追加条件2≦x≦10を与えると、他辺15−xは正、面積y=x(15−x)=−(x−15/2)²+225/4です。候補値はx=2で26、x=15/2で225/4、x=10で50。最大面積225/4cm²はx=15/2cm、他辺15/2cm、最小26cm²はx=2cm、他辺13cm。追加範囲は周だけで導いたものではなく、xを短辺とは限定しません。

8. 別例と未確認へ戻る

   生徒の具体的な数・区間について、展開と平方完成、候補値、指定曲線、最大値と最小値と全てのx・理由を残します。正しい別解や同値な表現を認め、講師の見本や支援、未確認の箇所を分けて次の問いを決めます。

知っておきたいこと

• 数学Ⅰ(3)、冊子41〜42/PDF53〜54と現行出版社の定義域・軸の位置関係を踏まえた独自作例です。元の問題・図版は写していません。
• 図は編集可能な線・文字・点です。曲線は描画上の近似、2ページの数直線はxだけの補助図で、図の測定や図の編集を式の自動計算とはしません。
• 最大・最小の値と全ての対応x、区間外の頂点を除いた理由、全実数で存在しない側を区別します。微分や開区間の上限下限を追加の完了条件にしません。
• 12項目は紙や授業用ボードへ写します。観察欄の自動保存、自由な式・グラフの自動採点、生徒の試用や学習効果は確認していません。

関連ガイド

• 定義域と二次関数の最大・最小の授業用ボード
• 定義域・最大値・最小値と全てのxを求める練習
• 文部科学省・数学Ⅰ：二次関数の最大・最小