定義域と頂点の位置を確かめ、最大・最小と全てのxを求める
二次関数を平方完成し、頂点が指定された定義域に含まれるかを確かめ、定義域内の頂点や端点での値を比べます。準備14問と、比較表・グラフ・最大値・最小値とそれを取る全てのxを自分で書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅰ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
数学Ⅰ(3)ア(イ)・イ(イ)、冊子41〜42/PDF53〜54の二次関数の最大・最小、事象の変化や特徴を数学的に捉える内容を踏まえた独自課題です。現行教科書の編修趣意書（PDF4ページ）でも、定義域と軸の位置関係が示されています。中学校で学ぶ頂点が原点のy=ax²から進み、頂点が原点以外にある場合を扱います。閉区間や実数全体で、最大値・最小値を取るxを調べます。微分、開区間の上限・下限、パラメータによるすべての場合分類は必須にしません。出版社の問題・図や数値は写していません。
解説を読む
式から分かる放物線全体の頂点が、指定された定義域に入るとは限りません。定義域内で実際に取れる値だけを比べます。最大値・最小値という値と、それを取るxを区別し、端点どうしで同じ最大値・最小値になるなら両方のxを記します。
必要な予備知識
平方完成、放物線全体の軸・頂点・平行移動、分数と正負の計算、実数区間と関数の値。紙や既存の授業用ボードへ自分の定義域・比較表・グラフ・最大値・最小値と対応xを書き、講師が手動確認します。軸と頂点は元の放物線全体について述べ、頂点が指定の定義域外なら制限したグラフ上の点や最大値・最小値とはしません。
- 定義域はxが動ける範囲です。閉区間l≦x≦rなら両端も含みます。式の放物線全体の頂点が定義域外なら、そのxや頂点の値を指定関数の最大値・最小値として採用しません。
- a≠0の一般二次式をy=a(x−p)²+qへ平方完成し、軸x=pと頂点(p,q)の位置を調べます。平方完成だけで終わらず、pが指定区間内かを数直線やグラフに示します。
- 閉区間では両端l,rの値を計算し、pが区間内なら頂点の値qも比較します。pがちょうど端点なら一つの同じ点なので二重に数えず、両端の比較も残します。
- a>0では|x−p|が小さいほどyは小さく、大きいほどyは大きくなります。a<0ではこの大小が逆です。区間と軸の距離で、なぜ比較した候補以外により大きい値や小さい値がないか説明できます。
- 最大値・最小値のそれぞれについて、その値と、それを取る全てのxを記します。両端が軸から等距離なら同じ値になり、両方が最大値・最小値を取る場合があります。値だけでxを一つ落としません。
- 全実数では、a>0なら最小値qをx=pで取り、最大値はありません。a<0なら最大値qをx=pで取り、最小値はありません。平方が0以上でいくらでも大きくなることを使って説明します。
- グラフは指定した定義域の部分を生徒が描き、閉区間の両端を含むことを示します。定義域外の放物線や頂点を補助的に書く場合は、実際に使う範囲と区別します。各軸で一様な目盛を使います。
- 事象の問題ではxの意味・単位と、与えられた条件で動ける範囲を先に確認します。式だけの頂点が現実の条件に合わなければ採用せず、結論にも値と対応するx・単位を書きます。
解き方の例
y=(x−2)²+1、0≦x≦5では、頂点は区間内。y(0)=5、y(2)=1、y(5)=10を比べ、最小値1をx=2、最大値10をx=5で取ります。
y=−(x+1)²+6、0≦x≦2では、頂点のx=−1は区間外です。距離|x+1|は1から3へ増え、負の係数でyは小さくなります。y(0)=5が最大値、y(2)=−3が最小値で、それぞれx=0,2です。
よくある間違い
- 定義域を見ず、いつでも頂点の値だけを最大値・最小値とする。
- 片方の端点を計算せず、左右の見た目だけで決める。
- 負の係数でも、軸から遠い点ほどyが大きいとする。
- 最大値・最小値だけを書き、その値を取るxを書き忘れる。同じ値を取る両端点があれば、両方を記す。
- 全実数で表示範囲の端を、関数の最大値や最小値とする。
- 事象の範囲の外で計算した値や、達成しない値を最大値・最小値と呼ぶ。
考え方を説明する
準備14問は定義域・候補値・対応xの短い確認です。主課題は生徒の平方完成、軸と閉区間の位置、両端と必要な頂点の具体値・比較、指定部分のグラフ、最大と最小の値と全ての対応x・候補で尽くす理由を手動確認します。T1は上向きで頂点内、T2は頂点が左外、T3は右外、T4は下向きで頂点内、T5は左右の端点に軸がある二例、T6は等距離の両端、T7は全実数の二例、T8は長方形の条件、T9は誤判断の修正、T10は生徒の数と区間を見ます。同じ内容の正しい別表記や別の描画範囲を認め、最大値・最小値だけや一般的な手順だけでは完了にしません。
数値と選択肢だけを自動採点します。生徒の自由な二次式・表・グラフ・全ての対応xと理由は、紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。新しい自由式や手描きグラフの自動採点、生徒の試用や学習効果は主張しません。
練習する
準備は最大値・最小値や対応xの短い確認です。主課題の自分の定義域・比較表・グラフ・その値を取るすべてのxと理由は紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。数値だけを検討の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
y=(x−3)²−4、1≦x≦6の最小値を答えてください。
答えと解説
−4
頂点のx=3は区間内で、平方が0になる最小値−4です。
y=(x−3)²−4、1≦x≦6の最大値を答えてください。
答えと解説
5
両端はy(1)=0、y(6)=5。軸x=3から遠い6で最大値5です。
y=2(x+1)²+3、0≦x≦2の最小値を答えてください。
答えと解説
5
頂点のx=−1は左の区間外。区間内で最も近いx=0のy=5が最小値です。
y=−(x−2)²+7、−1≦x≦4の最小値を答えてください。
答えと解説
−2
端点の値はy(−1)=−2、y(4)=3。負の係数では軸から遠い−1で最小値−2です。
y=(x−4)²−1、−2≦x≦1の最小値を答えてください。
答えと解説
8
頂点のx=4は右の区間外。最も近い端x=1で9−1=8です。
y=−2(x+3)²+5、−4≦x≦−2の最小値を答えてください。
答えと解説
3
軸x=−3から両端が距離1で、どちらも−2+5=3。最小値は3で、xは−4と−2の両方です。
図のy=(x−2)²−3を−1≦x≦4で考えます。最大値を答えてください。
図を準備しています。
答えと解説
6
頂点のx=2は区間内。端点のy(−1)=6とy(4)=1を比べ、最大値6です。
全実数を定義域とするy=3(x−2)²+1について正しい説明はどれですか。
- 最大値1をx=2で取り、最小値なし
- 最小値1をx=−2で取り、最大値なし
- 最小値も最大値もない
- 最小値1をx=2で取り、最大値なし
答えと解説
最小値1をx=2で取り、最大値なし
平方は0以上でいくらでも大きくなるため、x=2で最小値1、上限となる最大値はありません。
全実数を定義域とするy=−(x+1)²+4について正しい説明はどれですか。
- 最大値4をx=−1で取り、最小値なし
- 最小値4をx=−1で取り、最大値なし
- 最大値4をx=1で取り、最小値なし
- 最小値も最大値もない
答えと解説
最大値4をx=−1で取り、最小値なし
平方の前が負なので頂点で最大値4。平方が大きくなるほどyは下がり、最小値はありません。
y=(x−1)²+2、−1≦x≦3の最大値と、それを取る全てのxはどれですか。
- 最大値6、x=−1だけ
- 最大値6、x=3だけ
- 最大値6、x=−1と3
- 最大値2、x=1
答えと解説
最大値6、x=−1と3
軸x=1から両端が距離2なので、どちらもy=6。最大値を取る両方のxを記します。
y=(x−5)²+1、0≦x≦2の最小値と対応xはどれですか。
- 最小値1、x=5
- 最小値10、x=2
- 最小値26、x=0
- 最小値10、x=−2
答えと解説
最小値10、x=2
頂点x=5は区間外。最も近い端x=2で9+1=10です。
y=−2(x−1)²+3、1≦x≦4の最大値・最小値と対応xはどれですか。
- 最大値3はx=1、最小値−15はx=4
- 最大値3はx=−1、最小値−15はx=4
- 最大値−15はx=4、最小値3はx=1
- 最大値3はx=1、最小値−6はx=4
答えと解説
最大値3はx=1、最小値−15はx=4
頂点x=1は左端に含まれるので最大値3。右端は−2×9+3=−15で最小値です。
y=−(x−1)²+5、−1≦x≦3の最小値と、それを取る全てのxはどれですか。
- 最小値5、x=1
- 最小値1、x=−1だけ
- 最小値1、x=3だけ
- 最小値1、x=−1と3
答えと解説
最小値1、x=−1と3
両端は軸x=1から距離2で、ともに−4+5=1。最小値は両方の端で取ります。
周の長さが20cmの長方形の一辺の長さをx cmとし、xの範囲を1≦x≦4とします。もう一辺は(10−x)cmで、面積をy cm²とするとy=x(10−x)です。この範囲での最大の面積と、そのときのxの組はどれですか。
- 25cm²、x=5
- 9cm²、x=1
- 24cm²、x=4
- 24cm²、x=6
答えと解説
24cm²、x=4
y=−(x−5)²+25ですがx=5は条件外。1≦x≦4では5へ近づくほど大きく、x=4で4×6=24cm²です。
考え方を説明する
y=x²−4x−2、−1≦x≦4の最大値・最小値と、それぞれを取る全てのxを求めてください。平方完成して、軸と区間を示してください。両端での値と、頂点が区間内ならその値も表で比較し、指定された区間のグラフを描いてください。軸からの距離を使って、比較した点以外に最大値・最小値を取る点がない理由も説明してください。
答えと解説
y=(x−2)²−6。軸x=2、頂点(2,−6)は区間内。y(−1)=3、y(2)=−6、y(4)=−2。最小値−6はx=2、最大値3はx=−1。区間内の距離|x−2|は0以上3以下で、0は2だけ、3は−1だけなので同じ値を取る別のxはない。指定部分の下に凸の曲線と両端・頂点を描く。
生徒の平方完成、三候補の具体値、閉区間、最大値・最小値と全てのx・距離の理由とグラフを見ます。
y=2x²+8x+1、−1≦x≦3の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成して放物線全体の軸と区間の位置を示し、x=−1,0,1,2,3の実際の表と指定部分のグラフを作ります。区間外の頂点を採用しない理由と、両端で決まる理由を説明してください。
答えと解説
y=2(x+2)²−7。軸x=−2は区間の左外。指定xのyは−5,1,11,25,43。|x+2|は1から5へ増え、a=2>0なので最小値−5をx=−1、最大値43をx=3で取る。頂点(−2,−7)は定義域外で、−7はこの関数の最小値ではない。区間内の右側部分だけを描き、両端を含める。
生徒の五つの値、左外の頂点と実際の範囲の区別、正の係数と距離による結論を見ます。
y=x²−10x+21、−2≦x≦2の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成し、x=−2,−1,0,1,2の表、軸と区間の位置、指定部分のグラフを作ってください。軸へ近づく方向と値の大小を使い、区間外の頂点を除いた理由も書きます。
答えと解説
y=(x−5)²−4、軸x=5は右外。表のyは45,32,21,12,5。距離|x−5|は7から3へ小さくなるのでyも小さくなる。最大値45をx=−2、最小値5をx=2で取り、それぞれ他のxはない。頂点(5,−4)は定義域外で−4は採用しない。
生徒の右外の頂点・五つの値・距離の減る方向と最大値と最小値・指定曲線を見ます。
y=−2x²+4x+6、−2≦x≦3の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成し、両端と頂点の値を比較してグラフを描いてください。負の係数なので、軸から遠い方の値がどうなるかも具体値と対応させます。
答えと解説
y=−2(x−1)²+8。軸x=1と頂点(1,8)は区間内。y(−2)=−10、y(1)=8、y(3)=0。最大値8はx=1、最小値−10はx=−2。距離の最大3は左端だけで、負の係数なので最も小さいyになる。上に凸の指定部分と両端・頂点を描く。
生徒の負の係数と三比較値、最大・最小の向き、その値を取るすべてのxとグラフを見ます。
二例を別々に調べます。①y=(x+2)²−3、−2≦x≦1。②y=−3(x−4)²+2、1≦x≦4。各例で軸と閉区間の位置、両端の具体値、最大値・最小値と全ての対応xを書き、指定部分のグラフを描きます。頂点が端にあるとき、端点を含むことと同じ点を二重に数えないことを説明してください。
答えと解説
①軸x=−2は左端、y(−2)=−3、y(1)=6。最小値−3はx=−2、最大値6はx=1。②軸x=4は右端、y(1)=−25、y(4)=2。最大値2はx=4、最小値−25はx=1。どちらの頂点も閉区間の端として含まれ、一つの点である。距離は①0〜3、②3〜0で、係数の符号と合わせて各最大値・最小値を尽くす。
生徒の二例それぞれの閉区間の端点・二つの値と全てのx、軸が端にある二曲線と説明を見ます。
y=2x²+12x+13、−6≦x≦0の最大値・最小値と、それぞれを取る全てのxを求めてください。平方完成し、両端と頂点の値・グラフを示します。両端から軸までの距離を比べ、同じ最大値・最小値を取るxを一つも落とさない理由を書きます。
答えと解説
y=2(x+3)²−5。軸x=−3、頂点(−3,−5)は区間内。y(−6)=13、y(−3)=−5、y(0)=13。最小値−5をx=−3、最大値13をx=−6と0の両方で取る。距離0は軸だけ、最大距離3は両端だけなのでこれで全て。左右対称の指定部分と閉区間の端点を描く。
両端で同じ値になることを確かめ、その最大値を取る二つのxと、最小値を取るxを、軸からの距離やグラフで説明できたかを確認します。
定義域が全実数の二例①y=(x−4)²+2、②y=−2(x+1)²−3を考えます。各グラフと頂点を示し、存在する最大値・最小値とそれを取る全てのxを書きます。もう一方の最大値・最小値がない理由を、平方が0以上でいくらでも大きくなることと具体的な式で説明してください。表示した図の端を最大値・最小値にしません。
答えと解説
①平方は0以上なので最小値2をx=4だけで取る。x=4+nならy=n²+2で、nを大きくすればいくらでも大きくなり最大値なし。②最大値−3をx=−1だけで取る。x=−1+nならy=−2n²−3でいくらでも小さくなり最小値なし。全実数へ続く下に凸・上に凸の曲線をそれぞれ描き、有限の図の端で切れた関数とはしない。
生徒の二例の存在する値・対応x、存在しない側の式と非有界の理由、全実数のグラフを見ます。
周の長さが28cmの長方形の一辺の長さをx cmとし、xの範囲は3≦x≦9とします。xは短辺とは限りません。もう一辺の長さと面積y cm²の式を自分で作り、条件内の最大面積・最小面積と全ての対応xを求めてください。平方完成、両端と必要な頂点の比較表・指定部分のグラフを示し、長さと面積の単位、採用した二辺も書きます。
答えと解説
もう一辺は(14−x)cmで、条件内では5〜11cmとなり正。y=x(14−x)=−(x−7)²+49。軸x=7は区間内。y(3)=33、y(7)=49、y(9)=45。最大面積49cm²はx=7cm、他辺7cm。最小面積33cm²はx=3cm、他辺11cm。距離は最大4をx=3だけ、0をx=7だけで取り、同じ値を取る別のxはない。3≦x≦9は周だけで導く範囲ではなく与えられた追加条件。
生徒の他辺と面積式・条件の区別・三候補・全ての長さと面積の単位・指定グラフを見ます。
y=−x²−6x−2、0≦x≦2について「頂点が(−3,7)だから最大値7はx=−3、端点x=0で最小値−2」とした説明を直してください。頂点と定義域の関係、両端の値・指定部分のグラフを示し、正しい最大値・最小値と全ての対応xを書きます。誤りの二つの結論をそれぞれ理由付きで直します。
答えと解説
y=−(x+3)²+7で放物線全体の頂点は確かに(−3,7)だが、x=−3は定義域外。区間内の距離|x+3|は3から5へ増え、負の係数でyは小さくなる。y(0)=−2、y(2)=−18。最大値−2はx=0、最小値−18はx=2で、それぞれ他のxはない。7は条件内の値でなく、x=0は最小でなく最大。グラフは0≦x≦2の部分だけを実際の範囲として示す。
生徒の二つの誤結論の修正、区間外の頂点、二端点の実数値・全てのxと負の係数の理由を見ます。
aを−2,1,3から一つ、pを−2,3から一つ、qを−4,2から一つ選び、y=a(x−p)²+qを自分の数で作ります。定義域も①p−2≦x≦p+3、②p+1≦x≦p+4、③p−4≦x≦p−1から一つ選び、具体的な両端の数を書きます。一般形へ展開してから平方完成で戻り、軸と区間の位置、必要な候補の実際の値・グラフを示して、最大値・最小値と全ての対応x、候補で尽くす理由を書いてください。
答えと解説
作例a=−2,p=3,q=2、区間①より1≦x≦6。y=−2(x−3)²+2=−2x²+12x−16。平方完成で元に戻る。軸x=3は区間内、y(1)=−6、y(3)=2、y(6)=−16。最大値2をx=3、最小値−16をx=6で取り、距離の最小0・最大3はそれぞれそこでだけ取る。指定部分の上に凸のグラフを描く。生徒の条件内の別の数と区間も認め、具体値と全てのx、係数の符号と距離の理由を必要とする。
生徒が選んだ三数と区間・具体的両端・展開と平方完成・軸の内外・全候補の具体値・最大値と最小値と全てのx・理由とグラフを見る。一般式だけでは完了にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
数学Ⅰ(3)ア(イ)・イ(イ)、冊子41〜42/PDF53〜54の二次関数の最大・最小、事象の変化や特徴を数学的に捉える内容を踏まえた独自課題です。現行教科書の編修趣意書（PDF4ページ）でも、定義域と軸の位置関係が示されています。中学校で学ぶ頂点が原点のy=ax²から進み、頂点が原点以外にある場合を扱います。閉区間や実数全体で、最大値・最小値を取るxを調べます。微分、開区間の上限・下限、パラメータによるすべての場合分類は必須にしません。出版社の問題・図や数値は写していません。 · 2026-11-03
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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この練習問題を保存ワークシート: 定義域と頂点の位置を確かめ、最大・最小と全てのxを求める
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/find-quadratic-extrema-with-domain-and-all-attaining-values/
準備14問は定義域・候補値・対応xの短い確認です。主課題は生徒の平方完成、軸と閉区間の位置、両端と必要な頂点の具体値・比較、指定部分のグラフ、最大と最小の値と全ての対応x・候補で尽くす理由を手動確認します。T1は上向きで頂点内、T2は頂点が左外、T3は右外、T4は下向きで頂点内、T5は左右の端点に軸がある二例、T6は等距離の両端、T7は全実数の二例、T8は長方形の条件、T9は誤判断の修正、T10は生徒の数と区間を見ます。同じ内容の正しい別表記や別の描画範囲を認め、最大値・最小値だけや一般的な手順だけでは完了にしません。
y=(x−3)²−4、1≦x≦6の最小値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(x−3)²−4、1≦x≦6の最大値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=2(x+1)²+3、0≦x≦2の最小値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−(x−2)²+7、−1≦x≦4の最小値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(x−4)²−1、−2≦x≦1の最小値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−2(x+3)²+5、−4≦x≦−2の最小値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図のy=(x−2)²−3を−1≦x≦4で考えます。最大値を答えてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全実数を定義域とするy=3(x−2)²+1について正しい説明はどれですか。
- 最大値1をx=2で取り、最小値なし
- 最小値1をx=−2で取り、最大値なし
- 最小値も最大値もない
- 最小値1をx=2で取り、最大値なし
途中の計算・単位・理由・確認答え:
全実数を定義域とするy=−(x+1)²+4について正しい説明はどれですか。
- 最大値4をx=−1で取り、最小値なし
- 最小値4をx=−1で取り、最大値なし
- 最大値4をx=1で取り、最小値なし
- 最小値も最大値もない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(x−1)²+2、−1≦x≦3の最大値と、それを取る全てのxはどれですか。
- 最大値6、x=−1だけ
- 最大値6、x=3だけ
- 最大値6、x=−1と3
- 最大値2、x=1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=(x−5)²+1、0≦x≦2の最小値と対応xはどれですか。
- 最小値1、x=5
- 最小値10、x=2
- 最小値26、x=0
- 最小値10、x=−2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−2(x−1)²+3、1≦x≦4の最大値・最小値と対応xはどれですか。
- 最大値3はx=1、最小値−15はx=4
- 最大値3はx=−1、最小値−15はx=4
- 最大値−15はx=4、最小値3はx=1
- 最大値3はx=1、最小値−6はx=4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=−(x−1)²+5、−1≦x≦3の最小値と、それを取る全てのxはどれですか。
- 最小値5、x=1
- 最小値1、x=−1だけ
- 最小値1、x=3だけ
- 最小値1、x=−1と3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
周の長さが20cmの長方形の一辺の長さをx cmとし、xの範囲を1≦x≦4とします。もう一辺は(10−x)cmで、面積をy cm²とするとy=x(10−x)です。この範囲での最大の面積と、そのときのxの組はどれですか。
- 25cm²、x=5
- 9cm²、x=1
- 24cm²、x=4
- 24cm²、x=6
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
y=x²−4x−2、−1≦x≦4の最大値・最小値と、それぞれを取る全てのxを求めてください。平方完成して、軸と区間を示してください。両端での値と、頂点が区間内ならその値も表で比較し、指定された区間のグラフを描いてください。軸からの距離を使って、比較した点以外に最大値・最小値を取る点がない理由も説明してください。
y=2x²+8x+1、−1≦x≦3の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成して放物線全体の軸と区間の位置を示し、x=−1,0,1,2,3の実際の表と指定部分のグラフを作ります。区間外の頂点を採用しない理由と、両端で決まる理由を説明してください。
y=x²−10x+21、−2≦x≦2の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成し、x=−2,−1,0,1,2の表、軸と区間の位置、指定部分のグラフを作ってください。軸へ近づく方向と値の大小を使い、区間外の頂点を除いた理由も書きます。
y=−2x²+4x+6、−2≦x≦3の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成し、両端と頂点の値を比較してグラフを描いてください。負の係数なので、軸から遠い方の値がどうなるかも具体値と対応させます。
二例を別々に調べます。①y=(x+2)²−3、−2≦x≦1。②y=−3(x−4)²+2、1≦x≦4。各例で軸と閉区間の位置、両端の具体値、最大値・最小値と全ての対応xを書き、指定部分のグラフを描きます。頂点が端にあるとき、端点を含むことと同じ点を二重に数えないことを説明してください。
y=2x²+12x+13、−6≦x≦0の最大値・最小値と、それぞれを取る全てのxを求めてください。平方完成し、両端と頂点の値・グラフを示します。両端から軸までの距離を比べ、同じ最大値・最小値を取るxを一つも落とさない理由を書きます。
定義域が全実数の二例①y=(x−4)²+2、②y=−2(x+1)²−3を考えます。各グラフと頂点を示し、存在する最大値・最小値とそれを取る全てのxを書きます。もう一方の最大値・最小値がない理由を、平方が0以上でいくらでも大きくなることと具体的な式で説明してください。表示した図の端を最大値・最小値にしません。
周の長さが28cmの長方形の一辺の長さをx cmとし、xの範囲は3≦x≦9とします。xは短辺とは限りません。もう一辺の長さと面積y cm²の式を自分で作り、条件内の最大面積・最小面積と全ての対応xを求めてください。平方完成、両端と必要な頂点の比較表・指定部分のグラフを示し、長さと面積の単位、採用した二辺も書きます。
y=−x²−6x−2、0≦x≦2について「頂点が(−3,7)だから最大値7はx=−3、端点x=0で最小値−2」とした説明を直してください。頂点と定義域の関係、両端の値・指定部分のグラフを示し、正しい最大値・最小値と全ての対応xを書きます。誤りの二つの結論をそれぞれ理由付きで直します。
aを−2,1,3から一つ、pを−2,3から一つ、qを−4,2から一つ選び、y=a(x−p)²+qを自分の数で作ります。定義域も①p−2≦x≦p+3、②p+1≦x≦p+4、③p−4≦x≦p−1から一つ選び、具体的な両端の数を書きます。一般形へ展開してから平方完成で戻り、軸と区間の位置、必要な候補の実際の値・グラフを示して、最大値・最小値と全ての対応x、候補で尽くす理由を書いてください。
解答: 定義域と頂点の位置を確かめ、最大・最小と全てのxを求める
−4
頂点のx=3は区間内で、平方が0になる最小値−4です。
5
両端はy(1)=0、y(6)=5。軸x=3から遠い6で最大値5です。
5
頂点のx=−1は左の区間外。区間内で最も近いx=0のy=5が最小値です。
−2
端点の値はy(−1)=−2、y(4)=3。負の係数では軸から遠い−1で最小値−2です。
8
頂点のx=4は右の区間外。最も近い端x=1で9−1=8です。
3
軸x=−3から両端が距離1で、どちらも−2+5=3。最小値は3で、xは−4と−2の両方です。
6
頂点のx=2は区間内。端点のy(−1)=6とy(4)=1を比べ、最大値6です。
最小値1をx=2で取り、最大値なし
平方は0以上でいくらでも大きくなるため、x=2で最小値1、上限となる最大値はありません。
最大値4をx=−1で取り、最小値なし
平方の前が負なので頂点で最大値4。平方が大きくなるほどyは下がり、最小値はありません。
最大値6、x=−1と3
軸x=1から両端が距離2なので、どちらもy=6。最大値を取る両方のxを記します。
最小値10、x=2
頂点x=5は区間外。最も近い端x=2で9+1=10です。
最大値3はx=1、最小値−15はx=4
頂点x=1は左端に含まれるので最大値3。右端は−2×9+3=−15で最小値です。
最小値1、x=−1と3
両端は軸x=1から距離2で、ともに−4+5=1。最小値は両方の端で取ります。
24cm²、x=4
y=−(x−5)²+25ですがx=5は条件外。1≦x≦4では5へ近づくほど大きく、x=4で4×6=24cm²です。
記述問題の解答・確認の観点
y=x²−4x−2、−1≦x≦4の最大値・最小値と、それぞれを取る全てのxを求めてください。平方完成して、軸と区間を示してください。両端での値と、頂点が区間内ならその値も表で比較し、指定された区間のグラフを描いてください。軸からの距離を使って、比較した点以外に最大値・最小値を取る点がない理由も説明してください。
y=(x−2)²−6。軸x=2、頂点(2,−6)は区間内。y(−1)=3、y(2)=−6、y(4)=−2。最小値−6はx=2、最大値3はx=−1。区間内の距離|x−2|は0以上3以下で、0は2だけ、3は−1だけなので同じ値を取る別のxはない。指定部分の下に凸の曲線と両端・頂点を描く。
生徒の平方完成、三候補の具体値、閉区間、最大値・最小値と全てのx・距離の理由とグラフを見ます。
y=2x²+8x+1、−1≦x≦3の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成して放物線全体の軸と区間の位置を示し、x=−1,0,1,2,3の実際の表と指定部分のグラフを作ります。区間外の頂点を採用しない理由と、両端で決まる理由を説明してください。
y=2(x+2)²−7。軸x=−2は区間の左外。指定xのyは−5,1,11,25,43。|x+2|は1から5へ増え、a=2>0なので最小値−5をx=−1、最大値43をx=3で取る。頂点(−2,−7)は定義域外で、−7はこの関数の最小値ではない。区間内の右側部分だけを描き、両端を含める。
生徒の五つの値、左外の頂点と実際の範囲の区別、正の係数と距離による結論を見ます。
y=x²−10x+21、−2≦x≦2の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成し、x=−2,−1,0,1,2の表、軸と区間の位置、指定部分のグラフを作ってください。軸へ近づく方向と値の大小を使い、区間外の頂点を除いた理由も書きます。
y=(x−5)²−4、軸x=5は右外。表のyは45,32,21,12,5。距離|x−5|は7から3へ小さくなるのでyも小さくなる。最大値45をx=−2、最小値5をx=2で取り、それぞれ他のxはない。頂点(5,−4)は定義域外で−4は採用しない。
生徒の右外の頂点・五つの値・距離の減る方向と最大値と最小値・指定曲線を見ます。
y=−2x²+4x+6、−2≦x≦3の最大値・最小値と全ての対応xを求めます。平方完成し、両端と頂点の値を比較してグラフを描いてください。負の係数なので、軸から遠い方の値がどうなるかも具体値と対応させます。
y=−2(x−1)²+8。軸x=1と頂点(1,8)は区間内。y(−2)=−10、y(1)=8、y(3)=0。最大値8はx=1、最小値−10はx=−2。距離の最大3は左端だけで、負の係数なので最も小さいyになる。上に凸の指定部分と両端・頂点を描く。
生徒の負の係数と三比較値、最大・最小の向き、その値を取るすべてのxとグラフを見ます。
二例を別々に調べます。①y=(x+2)²−3、−2≦x≦1。②y=−3(x−4)²+2、1≦x≦4。各例で軸と閉区間の位置、両端の具体値、最大値・最小値と全ての対応xを書き、指定部分のグラフを描きます。頂点が端にあるとき、端点を含むことと同じ点を二重に数えないことを説明してください。
①軸x=−2は左端、y(−2)=−3、y(1)=6。最小値−3はx=−2、最大値6はx=1。②軸x=4は右端、y(1)=−25、y(4)=2。最大値2はx=4、最小値−25はx=1。どちらの頂点も閉区間の端として含まれ、一つの点である。距離は①0〜3、②3〜0で、係数の符号と合わせて各最大値・最小値を尽くす。
生徒の二例それぞれの閉区間の端点・二つの値と全てのx、軸が端にある二曲線と説明を見ます。
y=2x²+12x+13、−6≦x≦0の最大値・最小値と、それぞれを取る全てのxを求めてください。平方完成し、両端と頂点の値・グラフを示します。両端から軸までの距離を比べ、同じ最大値・最小値を取るxを一つも落とさない理由を書きます。
y=2(x+3)²−5。軸x=−3、頂点(−3,−5)は区間内。y(−6)=13、y(−3)=−5、y(0)=13。最小値−5をx=−3、最大値13をx=−6と0の両方で取る。距離0は軸だけ、最大距離3は両端だけなのでこれで全て。左右対称の指定部分と閉区間の端点を描く。
両端で同じ値になることを確かめ、その最大値を取る二つのxと、最小値を取るxを、軸からの距離やグラフで説明できたかを確認します。
定義域が全実数の二例①y=(x−4)²+2、②y=−2(x+1)²−3を考えます。各グラフと頂点を示し、存在する最大値・最小値とそれを取る全てのxを書きます。もう一方の最大値・最小値がない理由を、平方が0以上でいくらでも大きくなることと具体的な式で説明してください。表示した図の端を最大値・最小値にしません。
①平方は0以上なので最小値2をx=4だけで取る。x=4+nならy=n²+2で、nを大きくすればいくらでも大きくなり最大値なし。②最大値−3をx=−1だけで取る。x=−1+nならy=−2n²−3でいくらでも小さくなり最小値なし。全実数へ続く下に凸・上に凸の曲線をそれぞれ描き、有限の図の端で切れた関数とはしない。
生徒の二例の存在する値・対応x、存在しない側の式と非有界の理由、全実数のグラフを見ます。
周の長さが28cmの長方形の一辺の長さをx cmとし、xの範囲は3≦x≦9とします。xは短辺とは限りません。もう一辺の長さと面積y cm²の式を自分で作り、条件内の最大面積・最小面積と全ての対応xを求めてください。平方完成、両端と必要な頂点の比較表・指定部分のグラフを示し、長さと面積の単位、採用した二辺も書きます。
もう一辺は(14−x)cmで、条件内では5〜11cmとなり正。y=x(14−x)=−(x−7)²+49。軸x=7は区間内。y(3)=33、y(7)=49、y(9)=45。最大面積49cm²はx=7cm、他辺7cm。最小面積33cm²はx=3cm、他辺11cm。距離は最大4をx=3だけ、0をx=7だけで取り、同じ値を取る別のxはない。3≦x≦9は周だけで導く範囲ではなく与えられた追加条件。
生徒の他辺と面積式・条件の区別・三候補・全ての長さと面積の単位・指定グラフを見ます。
y=−x²−6x−2、0≦x≦2について「頂点が(−3,7)だから最大値7はx=−3、端点x=0で最小値−2」とした説明を直してください。頂点と定義域の関係、両端の値・指定部分のグラフを示し、正しい最大値・最小値と全ての対応xを書きます。誤りの二つの結論をそれぞれ理由付きで直します。
y=−(x+3)²+7で放物線全体の頂点は確かに(−3,7)だが、x=−3は定義域外。区間内の距離|x+3|は3から5へ増え、負の係数でyは小さくなる。y(0)=−2、y(2)=−18。最大値−2はx=0、最小値−18はx=2で、それぞれ他のxはない。7は条件内の値でなく、x=0は最小でなく最大。グラフは0≦x≦2の部分だけを実際の範囲として示す。
生徒の二つの誤結論の修正、区間外の頂点、二端点の実数値・全てのxと負の係数の理由を見ます。
aを−2,1,3から一つ、pを−2,3から一つ、qを−4,2から一つ選び、y=a(x−p)²+qを自分の数で作ります。定義域も①p−2≦x≦p+3、②p+1≦x≦p+4、③p−4≦x≦p−1から一つ選び、具体的な両端の数を書きます。一般形へ展開してから平方完成で戻り、軸と区間の位置、必要な候補の実際の値・グラフを示して、最大値・最小値と全ての対応x、候補で尽くす理由を書いてください。
作例a=−2,p=3,q=2、区間①より1≦x≦6。y=−2(x−3)²+2=−2x²+12x−16。平方完成で元に戻る。軸x=3は区間内、y(1)=−6、y(3)=2、y(6)=−16。最大値2をx=3、最小値−16をx=6で取り、距離の最小0・最大3はそれぞれそこでだけ取る。指定部分の上に凸のグラフを描く。生徒の条件内の別の数と区間も認め、具体値と全てのx、係数の符号と距離の理由を必要とする。
生徒が選んだ三数と区間・具体的両端・展開と平方完成・軸の内外・全候補の具体値・最大値と最小値と全てのx・理由とグラフを見る。一般式だけでは完了にしない。