根号の計算：平方因数・全ての積・有理化を確かめる記録

得られる結果

平方因数の出し方、異なる根号の混同、符号の誤りや分配法則で必要な積の書き落とし、有理化で分母だけを変える誤りを、生徒の具体的な式から区別できます。

操作手順

1. 計算過程と値を保つ理由を準備する

   根号の意味・平方因数・分数の四則を先に確認し、生徒の途中式と理由を残す目標を決めます。分配の全ての積と、有理化で分母と分子へ掛ける式を分け、最終の係数や形だけで確認を終えません。

2. 紙や授業用ボードへ写す12項目

   生徒の目標と元の式：[ ] 平方根と分母の0でない条件：[ ] 生徒が書いた平方因数と取り出す数：[ ] 元の係数と符号の実際の積：[ ] 同じ根号の項と係数の和差：[ ] 分配した全ての符号付きの積：[ ] 生徒が書いた係数と根号の商：[ ] 分母と分子へ掛けた具体式：[ ] 比が1となる理由と約分：[ ] 別の方法との一致や誤りの修正：[ ] 講師の支援と未確認：[ ] 生徒の別例と次の確認：[ ]

3. 作例A：元の係数と平方因数を対応させる

   √288−√98+2√8は12√2−7√2+4√2=9√2。生徒の平方因数144,49,4と、最後の2×2の係数を照合します。根号の中へ和を入れず、同じ√2の何倍かをまとめた理由を確認します。

4. 作例B：係数の負号と根号の積を分ける

   (−4√6)(3√15)は係数−12と根号√90=3√10から−36√10です。生徒が√6と√15の正の積、平方因数9、係数の負号をそれぞれ書いたか見ます。負号を根号の中の負の数へ移していないか確認します。

5. 作例C：分母だけを変える誤りを照合する

   9/√13は(9×√13)/(√13×√13)=9√13/13。生徒の√13>0、比√13/√13=1と両方の積を確認します。9/13という式へ分母だけ変える誤りを、分子にも何を掛けたかへ戻して修正したか見ます。

6. 作例D：二通りの有理化を最後まで見る

   7/(2√28)は、先に√28=2√7とすれば7/(4√7)=7√7/28=√7/4。先に√28を掛ければ7√28/56=√28/8=√7/4です。生徒の各分数式・0でない掛ける数・約分・最終の一致を確認し、方法名だけでは完了にしません。

7. 作例E：四つの積と二種類の項を戻す

   (√17−3)(√17+6)の四つの積は17,6√17,−3√17,−18。生徒が整数17−18=−1と、根号の係数6−3=3から−1+3√17へ戻したか見ます。√17の二乗と−3の分配の両方を確認します。

8. 別例と未確認へ戻る

   生徒が選んだ別の数でも、平方因数・分母条件・両方の積・係数の差と比1へ戻ります。0になる有効な結果も認めます。講師が補った式と生徒の理由、未確認と次の確かめを分け、一般的な手順や最終の根号の形だけを根拠にしません。

知っておきたいこと

• 中3A(1)、冊子135/PDF139の平方根を含む簡単な式の計算を踏まえた独自作例です。生徒の実際の途中式と、各等号で同じ値を保つ理由を確認します。
• 根号は0以上、商の分母と有理化で掛ける数は0ではない条件を確認します。符号付きの積の表を、負の図形の長さや面積に言い換えません。
• 二項式の分母の共役な式による有理化は必須範囲にしません。生徒の有効な別の方法や0となる結果も認めます。生徒の試用や母語話者の校閲は未実施です。
• 12項目は紙や授業用ボードへ写します。リンク先は自分のボード一覧であり、観察欄の自動保存や自由記述の自動採点を行う機能ではありません。

関連ガイド

• 根号の途中式・符号・両方の積を確かめる授業用ボード
• 根号の式を計算し、値を保つ有理化を説明する練習
• 文部科学省・中3：平方根を含む簡単な式の計算