中3 数学：平方根の計算と分母の有理化の練習問題
平方因数を取り出し、同じ根号の項をまとめ、簡単な根号の積・商と分母の有理化を計算します。準備14問と、自分の途中式・理由を残す主課題10題です。
中3で学ぶ内容の復習と講師の教材準備向けです。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
中3A(1)ア(イ)、冊子135/PDF139の平方根を含む簡単な式の計算に沿う独自課題です。文部科学省の平方根の本文と、現行出版社の根号の乗除・和差・分母の有理化の本文を読みました。例題の数値や問題の並びは写しません。084の一つの平方根の範囲や086の複数の無理数式の比較から、計算過程を区別します。二項式の分母を共役な式で有理化する高校の発展は必須範囲にしません。
解説を読む
根号の中の数を平方数の積に分け、0以上の平方根として計算します。同じ根号の項は係数をまとめられますが、違う根号を和の中で一つへまとめる公式はありません。分母の有理化では、0でない同じ数を分母と分子の両方へ掛けて、分母に根号のない同じ値の式へ直します。途中の等号と符号、掛ける数を自分の式で説明します。
必要な予備知識
平方根と根号の意味、負の数の二乗、整数の平方、小数・分数の四則、分配法則と乗法公式。根号は0以上の平方根を表し、分母は0にしません。紙や既存の授業用ボードで実際の途中式を書き、講師が手動確認します。
- a,bが0以上なら√a×√b=√(ab)です。商√a/√b=√(a/b)ではb>0が必要です。根号の中の積・商と、和・差を混同しません。
- c>0、b≥0なら√(c²b)=c√bです。具体的な負の数を二乗した平方因数でも、平方根は0以上なので、外へ出す値の符号を確かめます。
- 同じ根号の項では係数の和差を計算します。先に平方因数を取り出すと同じ根号になる場合もあります。√a+√b=√(a+b)と計算することは、一般にはできません。
- 負号や数の係数の積を、根号どうしの積と分けて書きます。かっこを含む積では分配法則や乗法公式を使い、全ての項の積を確かめます。
- 分母が一つの根号を含むときは、0でない同じ根号を分母と分子の両方へ掛けると分母を有理化できます。例えば√b/√b=1という比を掛けるので値が変わりません。ここではb>0です。
- 分母だけ、または分子だけへ掛ける操作は、一般に同じ値を保ちません。有理化の等号では両方へ何を掛けたかを実際の分数の式で示します。
- 平方因数を先に取り出す方法と、先に分母と分子へ同じ根号を掛ける方法の両方が使えることがあります。途中式が正しく、約分して同じ値なら認めます。
- √(a+b)=√a+√bは一般には成り立ちません。一つの有効な反例は一般の公式ではないことを示しますが、全ての場合に不成立だという意味にはしません。0を含む場合などを勝手に除きません。
解き方の例
√242=√(121×2)=11√2です。11²=121で、11√2は0以上。二乗すると242になり、根号の意味にも合います。
6/√14=(6×√14)/(√14×√14)=6√14/14=3√14/7。√14>0なので√14/√14=1を掛けています。分母だけを14へ変えたわけではありません。
よくある間違い
- 平方因数を根号の外へ出すとき、平方根を取らずそのまま出す。
- 違う根号の項を、足し算のまま一つの根号へ入れる。
- 根号の計算に気を取られ、係数の負号や分配する項を落とす。
- 分母だけ、または分子だけへ掛けて同じ値とする。
- 根号の分母が0になる式にも、同じ有理化の操作を使う。
- 反例を一つ示したことから、全ての場合で等しくならないと広げる。
考え方を説明する
準備14問の係数・選択は計算の足場です。主課題では生徒の平方因数、全ての積や商、同じ根号の係数の整理、分母と分子へ掛ける式、0でない条件と値を保つ理由を手動確認します。T1は変形後の同類項、T2は異なる根号の保持、T3は符号と積、T4は商と分母、T5は有理化の理由と誤りの修正、T6は二通りの有理化、T7は分配との二通り、T8は四つの積、T9は生徒の反例、T10は生徒の数による混合計算です。正しい別の途中式や同値な最終表記も認めます。最終値だけや一般的な手順の文だけで完了にはしません。
生徒の計算過程と理由は、紙や既存の授業用ボードへ実際に書き、講師が手動確認します。係数の入力や選択肢だけで説明の達成を判定しません。ここでは数値の平方根を含む簡単な式を扱い、新しい根号式の自動採点機能や、実際の生徒の成果は主張しません。
練習する
準備は数の係数や計算の意味を確かめる足場です。主課題では根号の変形、符号、分配、分母と分子へ掛ける式と理由を実際に書きます。紙や既存の授業用ボードで講師が手動確認します。係数の入力だけを計算過程の完了にはしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
√108=A√3となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
6
108=36×3なので√108=6√3です。
√175=A√7となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
5
175=25×7なので√175=5√7です。
4√6−9√6+3√6=A√6となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
−2
同じ√6の係数4−9+3=−2をまとめます。
√147−√75=A√3となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
2
√147=7√3、√75=5√3で、差は2√3です。
(−2√3)(5√6)=A√2となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
−30
係数の積は−10、根号の積は√18=3√2で、−30√2です。
√98/√2の値を答えてください。
答えと解説
7
√2>0で、√98/√2=√49=7です。
8/√32=A√2となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
1
√32=4√2より2/√2。分母と分子へ√2を掛けると√2です。
9/(2√3)=A√3となります。係数Aを答えてください。
答えと解説
分母と分子へ√3を掛けて9√3/6=(3/2)√3です。
√11+√6について正しい説明はどれですか。
- √17へまとめる
- √66へまとめる
- この二項をそのまま√11+√6と表す
- 17という数になる
答えと解説
この二項をそのまま√11+√6と表す
違う根号の和を根号の中の和や積へ変える公式はありません。
4/√15の分母を有理化した、同じ値の式はどれですか。
- 4√15
- 4√15/15
- √15/4
- 4/15
答えと解説
4√15/15
分母と分子へ√15を掛けると4√15/15です。
√((−4)²×7)を簡単にした式はどれですか。
- −4√7
- 16√7
- 28
- 4√7
答えと解説
4√7
(−4)²=16で、0以上の平方根を取るので4√7です。
正の√bを含む分母の有理化で、値が変わらない理由はどれですか。
- 分母だけへ√bを掛けるから
- 分子だけへ√bを掛けるから
- 分母と分子へ同じ0でない√bを掛け、比が1だから
- 根号の中のbへ1を足すから
答えと解説
分母と分子へ同じ0でない√bを掛け、比が1だから
b>0なら√b/√b=1です。分母と分子の両方へ掛けます。
√9+√16と√(9+16)を計算した正しい組はどれですか。
- 左は5、右は7
- 両方5
- 両方7
- 左は7、右は5
答えと解説
左は7、右は5
左は3+4=7、右は√25=5。和を根号の中へ入れる一般の公式への反例です。
実数の計算で3/√0について正しい説明はどれですか。
- 値は0
- 値は√3
- 分母が0なので定義されない
- 値は3
答えと解説
分母が0なので定義されない
√0=0で、0で割ることはできません。有理化の手順の前に分母を確かめます。
考え方を説明する
√200−2√18+√8を計算してください。三つの根号の平方因数を実際に示し、係数と符号をそろえてまとめる途中式を書きます。最終の根号の中に、さらに取り出せる整数の平方因数があるかも確かめます。
答えと解説
√200=√(100×2)=10√2、√18=3√2、√8=2√2。10√2−2×3√2+2√2=(10−6+2)√2=6√2。2には1以外の整数の平方因数はない。
生徒の三つの平方因数・−2を含む積と係数の和差、簡単な形までの途中式を見ます。
3√7+2√5−√28+√45を計算してください。平方因数を取り出し、まとめられる項を具体的に対応させます。最後に、√a+√b=√(a+b)のように根号の中の数を足す計算が、一般には成り立たない理由も説明してください。
答えと解説
√28=2√7、√45=3√5より3√7+2√5−2√7+3√5=(3−2)√7+(2+3)√5=√7+5√5。同じ根号の係数をまとめたのであり、√7+5√5を√(7+125)へ変える和の公式はない。
生徒の各変形・√7と√5の組分け・符号・違う根号を保つ説明を見ます。
(−3√5)(2√15)を計算してください。係数の積と根号の積を分け、符号と平方因数を含む途中式を書きます。正の根号どうしの積と、積全体の負号の位置も説明します。
答えと解説
(−3)×2=−6、√5×√15=√75=5√3。したがって(−3√5)(2√15)=−6√75=−30√3。根号の積は正で、負号は係数−3から来て全体の係数に残る。
生徒の係数−6・根号の積75・平方因数25と負号の説明を見ます。
(8√21)/(4√7)を計算してください。係数と根号の商を示し、分母が0でないことを確かめます。根号の商の性質を使う式か、正しい同値な約分の式を実際に残してください。
答えと解説
4√7>0で分母は0でない。(8√21)/(4√7)=2×(√21/√7)=2√(21/7)=2√3。別法は√21=√3√7として0でない√7を約分する。
生徒の係数の商2・根号の商3・分母が正である根拠と全体の式を見ます。
7/√11を有理化してください。分母と分子へ掛ける式を実際に書き、なぜ値が保たれるか説明します。「分母だけへ√11を掛け、7/11にすればよい」という説明も修正してください。
答えと解説
7/√11=(7×√11)/(√11×√11)=7√11/11。√11>0で、分母と分子へ同じ数を掛けることは比√11/√11=1を掛けること。分母だけへ掛けた7/11は元の値と異なり、分子も7√11にする必要がある。
生徒の両方へ掛ける具体式・分母11・0でない条件・比1と誤操作の修正を見ます。
5/(3√20)を二通りで有理化してください。先に√20を簡単にする方法と、先に分母と分子へ√20を掛ける方法の各途中式を書きます。二つの最終の形が同じ値だと確認してください。
答えと解説
方法1:√20=2√5より5/(3√20)=5/(6√5)=(5√5)/(6×5)=√5/6。方法2:(5√20)/(3×20)=5√20/60=√20/12=2√5/12=√5/6。各方法で0でない同じ根号を分母と分子へ掛けており、最終の√5/6も一致する。
生徒の二通りの実際の分数式・掛ける数・分母と約分・最終の一致を見る。手順名だけでは完了にしない。
√12(√27−2√3)を、先に各根号を簡単にする方法と、先に分配する方法で計算してください。各方法の全ての積を示し、同じ値になることを確かめます。
答えと解説
先に簡単にすると2√3(3√3−2√3)=2√3×√3=6。先に分配すると√12×√27−2(√12×√3)=√324−2√36=18−12=6。どちらも同じ6となり、−2も第二の積に掛かる。
生徒の二方法・各根号の変形・分配後の二つの積と係数−2・一致を見ます。
(√13+4)(√13−2)を計算してください。分配による四つの積を省略せず書き、根号を含む項と整数の項を整理します。√13を二乗した値も説明してください。
答えと解説
√13×√13=13、√13×(−2)=−2√13、4×√13=4√13、4×(−2)=−8。合計13−2√13+4√13−8=5+2√13。√13は二乗して13になる正の数なので(√13)²=13。
生徒の符号を含む四つの積・13−8と−2+4の整理・根号の二乗の理由を見ます。
2以上6以下の整数r,sを一つずつ選び、a=r²、b=s²を作ります。√(a+b)=√a+√bが一般の公式ではないことを、その数を使う反例で説明してください。自分で選んだr,sと、そこから求めたa,bと両辺の具体式を実際に示します。根号が整数にならない場合は、0以上の両辺を二乗しても構いません。反例一つから「全ての場合で不成立」としてよいかも述べてください。
答えと解説
作例r=3,s=4ならa=9,b=16。左は√25=5、右は3+4=7で等しくないので一般の公式ではない。別の生徒の有効なr,sでも、左の二乗r²+s²と右の二乗(r+s)²=r²+s²+2rsが異なることを示せる。反例は全ての場合で不成立という主張ではなく、例えばa=0,b≥0なら等しい。
生徒が選んだ範囲内の二整数・a,b・両辺の計算か正しい平方比較・反例が否定する範囲を見る。作例を唯一の答えにしない。
bを2,3,5,7から一つ、整数mを2以上5以下、整数nを1以上4以下から一つずつ選びます。√(m²b)+n/√bを、自分の数を使って計算してください。式に含まれる平方因数、有理化で分母と分子へ掛ける式、同じ根号の係数をまとめる式と、値を保つ理由を実際に書きます。
答えと解説
作例b=5,m=3,n=4。√45+4/√5=3√5+(4√5)/5=(15/5+4/5)√5=19√5/5。√5>0で√5/√5=1を掛けるので有理化で値は保たれる。一般にはm√b+(n/b)√b=((mb+n)/b)√b。生徒の条件内の別の三数と同値な表記も認める。
生徒の具体的なb,m,n・平方因数・分母と分子への積・比1・分数係数の和を手動確認する。一般式を写すだけでは完了にしない。
ワークシート
印刷用PDF（A4）
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教育課程の出典
日本の学習指導要領
中3A(1)ア(イ)、冊子135/PDF139の平方根を含む簡単な式の計算に沿う独自課題です。文部科学省の平方根の本文と、現行出版社の根号の乗除・和差・分母の有理化の本文を読みました。例題の数値や問題の並びは写しません。084の一つの平方根の範囲や086の複数の無理数式の比較から、計算過程を区別します。二項式の分母を共役な式で有理化する高校の発展は必須範囲にしません。 · 2026-11-03
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講師の方へ
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この練習問題を保存ワークシート: 根号の式を計算し、有理化で値を保つ理由を説明する
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/calculate-radicals-and-explain-value-preserving-rationalization/
準備14問の係数・選択は計算の足場です。主課題では生徒の平方因数、全ての積や商、同じ根号の係数の整理、分母と分子へ掛ける式、0でない条件と値を保つ理由を手動確認します。T1は変形後の同類項、T2は異なる根号の保持、T3は符号と積、T4は商と分母、T5は有理化の理由と誤りの修正、T6は二通りの有理化、T7は分配との二通り、T8は四つの積、T9は生徒の反例、T10は生徒の数による混合計算です。正しい別の途中式や同値な最終表記も認めます。最終値だけや一般的な手順の文だけで完了にはしません。
√108=A√3となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√175=A√7となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4√6−9√6+3√6=A√6となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√147−√75=A√3となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(−2√3)(5√6)=A√2となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√98/√2の値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
8/√32=A√2となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
9/(2√3)=A√3となります。係数Aを答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√11+√6について正しい説明はどれですか。
- √17へまとめる
- √66へまとめる
- この二項をそのまま√11+√6と表す
- 17という数になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
4/√15の分母を有理化した、同じ値の式はどれですか。
- 4√15
- 4√15/15
- √15/4
- 4/15
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√((−4)²×7)を簡単にした式はどれですか。
- −4√7
- 16√7
- 28
- 4√7
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正の√bを含む分母の有理化で、値が変わらない理由はどれですか。
- 分母だけへ√bを掛けるから
- 分子だけへ√bを掛けるから
- 分母と分子へ同じ0でない√bを掛け、比が1だから
- 根号の中のbへ1を足すから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
√9+√16と√(9+16)を計算した正しい組はどれですか。
- 左は5、右は7
- 両方5
- 両方7
- 左は7、右は5
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数の計算で3/√0について正しい説明はどれですか。
- 値は0
- 値は√3
- 分母が0なので定義されない
- 値は3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
√200−2√18+√8を計算してください。三つの根号の平方因数を実際に示し、係数と符号をそろえてまとめる途中式を書きます。最終の根号の中に、さらに取り出せる整数の平方因数があるかも確かめます。
3√7+2√5−√28+√45を計算してください。平方因数を取り出し、まとめられる項を具体的に対応させます。最後に、√a+√b=√(a+b)のように根号の中の数を足す計算が、一般には成り立たない理由も説明してください。
(−3√5)(2√15)を計算してください。係数の積と根号の積を分け、符号と平方因数を含む途中式を書きます。正の根号どうしの積と、積全体の負号の位置も説明します。
(8√21)/(4√7)を計算してください。係数と根号の商を示し、分母が0でないことを確かめます。根号の商の性質を使う式か、正しい同値な約分の式を実際に残してください。
7/√11を有理化してください。分母と分子へ掛ける式を実際に書き、なぜ値が保たれるか説明します。「分母だけへ√11を掛け、7/11にすればよい」という説明も修正してください。
5/(3√20)を二通りで有理化してください。先に√20を簡単にする方法と、先に分母と分子へ√20を掛ける方法の各途中式を書きます。二つの最終の形が同じ値だと確認してください。
√12(√27−2√3)を、先に各根号を簡単にする方法と、先に分配する方法で計算してください。各方法の全ての積を示し、同じ値になることを確かめます。
(√13+4)(√13−2)を計算してください。分配による四つの積を省略せず書き、根号を含む項と整数の項を整理します。√13を二乗した値も説明してください。
2以上6以下の整数r,sを一つずつ選び、a=r²、b=s²を作ります。√(a+b)=√a+√bが一般の公式ではないことを、その数を使う反例で説明してください。自分で選んだr,sと、そこから求めたa,bと両辺の具体式を実際に示します。根号が整数にならない場合は、0以上の両辺を二乗しても構いません。反例一つから「全ての場合で不成立」としてよいかも述べてください。
bを2,3,5,7から一つ、整数mを2以上5以下、整数nを1以上4以下から一つずつ選びます。√(m²b)+n/√bを、自分の数を使って計算してください。式に含まれる平方因数、有理化で分母と分子へ掛ける式、同じ根号の係数をまとめる式と、値を保つ理由を実際に書きます。
解答: 根号の式を計算し、有理化で値を保つ理由を説明する
6
108=36×3なので√108=6√3です。
5
175=25×7なので√175=5√7です。
−2
同じ√6の係数4−9+3=−2をまとめます。
2
√147=7√3、√75=5√3で、差は2√3です。
−30
係数の積は−10、根号の積は√18=3√2で、−30√2です。
7
√2>0で、√98/√2=√49=7です。
1
√32=4√2より2/√2。分母と分子へ√2を掛けると√2です。
分母と分子へ√3を掛けて9√3/6=(3/2)√3です。
この二項をそのまま√11+√6と表す
違う根号の和を根号の中の和や積へ変える公式はありません。
4√15/15
分母と分子へ√15を掛けると4√15/15です。
4√7
(−4)²=16で、0以上の平方根を取るので4√7です。
分母と分子へ同じ0でない√bを掛け、比が1だから
b>0なら√b/√b=1です。分母と分子の両方へ掛けます。
左は7、右は5
左は3+4=7、右は√25=5。和を根号の中へ入れる一般の公式への反例です。
分母が0なので定義されない
√0=0で、0で割ることはできません。有理化の手順の前に分母を確かめます。
記述問題の解答・確認の観点
√200−2√18+√8を計算してください。三つの根号の平方因数を実際に示し、係数と符号をそろえてまとめる途中式を書きます。最終の根号の中に、さらに取り出せる整数の平方因数があるかも確かめます。
√200=√(100×2)=10√2、√18=3√2、√8=2√2。10√2−2×3√2+2√2=(10−6+2)√2=6√2。2には1以外の整数の平方因数はない。
生徒の三つの平方因数・−2を含む積と係数の和差、簡単な形までの途中式を見ます。
3√7+2√5−√28+√45を計算してください。平方因数を取り出し、まとめられる項を具体的に対応させます。最後に、√a+√b=√(a+b)のように根号の中の数を足す計算が、一般には成り立たない理由も説明してください。
√28=2√7、√45=3√5より3√7+2√5−2√7+3√5=(3−2)√7+(2+3)√5=√7+5√5。同じ根号の係数をまとめたのであり、√7+5√5を√(7+125)へ変える和の公式はない。
生徒の各変形・√7と√5の組分け・符号・違う根号を保つ説明を見ます。
(−3√5)(2√15)を計算してください。係数の積と根号の積を分け、符号と平方因数を含む途中式を書きます。正の根号どうしの積と、積全体の負号の位置も説明します。
(−3)×2=−6、√5×√15=√75=5√3。したがって(−3√5)(2√15)=−6√75=−30√3。根号の積は正で、負号は係数−3から来て全体の係数に残る。
生徒の係数−6・根号の積75・平方因数25と負号の説明を見ます。
(8√21)/(4√7)を計算してください。係数と根号の商を示し、分母が0でないことを確かめます。根号の商の性質を使う式か、正しい同値な約分の式を実際に残してください。
4√7>0で分母は0でない。(8√21)/(4√7)=2×(√21/√7)=2√(21/7)=2√3。別法は√21=√3√7として0でない√7を約分する。
生徒の係数の商2・根号の商3・分母が正である根拠と全体の式を見ます。
7/√11を有理化してください。分母と分子へ掛ける式を実際に書き、なぜ値が保たれるか説明します。「分母だけへ√11を掛け、7/11にすればよい」という説明も修正してください。
7/√11=(7×√11)/(√11×√11)=7√11/11。√11>0で、分母と分子へ同じ数を掛けることは比√11/√11=1を掛けること。分母だけへ掛けた7/11は元の値と異なり、分子も7√11にする必要がある。
生徒の両方へ掛ける具体式・分母11・0でない条件・比1と誤操作の修正を見ます。
5/(3√20)を二通りで有理化してください。先に√20を簡単にする方法と、先に分母と分子へ√20を掛ける方法の各途中式を書きます。二つの最終の形が同じ値だと確認してください。
方法1:√20=2√5より5/(3√20)=5/(6√5)=(5√5)/(6×5)=√5/6。方法2:(5√20)/(3×20)=5√20/60=√20/12=2√5/12=√5/6。各方法で0でない同じ根号を分母と分子へ掛けており、最終の√5/6も一致する。
生徒の二通りの実際の分数式・掛ける数・分母と約分・最終の一致を見る。手順名だけでは完了にしない。
√12(√27−2√3)を、先に各根号を簡単にする方法と、先に分配する方法で計算してください。各方法の全ての積を示し、同じ値になることを確かめます。
先に簡単にすると2√3(3√3−2√3)=2√3×√3=6。先に分配すると√12×√27−2(√12×√3)=√324−2√36=18−12=6。どちらも同じ6となり、−2も第二の積に掛かる。
生徒の二方法・各根号の変形・分配後の二つの積と係数−2・一致を見ます。
(√13+4)(√13−2)を計算してください。分配による四つの積を省略せず書き、根号を含む項と整数の項を整理します。√13を二乗した値も説明してください。
√13×√13=13、√13×(−2)=−2√13、4×√13=4√13、4×(−2)=−8。合計13−2√13+4√13−8=5+2√13。√13は二乗して13になる正の数なので(√13)²=13。
生徒の符号を含む四つの積・13−8と−2+4の整理・根号の二乗の理由を見ます。
2以上6以下の整数r,sを一つずつ選び、a=r²、b=s²を作ります。√(a+b)=√a+√bが一般の公式ではないことを、その数を使う反例で説明してください。自分で選んだr,sと、そこから求めたa,bと両辺の具体式を実際に示します。根号が整数にならない場合は、0以上の両辺を二乗しても構いません。反例一つから「全ての場合で不成立」としてよいかも述べてください。
作例r=3,s=4ならa=9,b=16。左は√25=5、右は3+4=7で等しくないので一般の公式ではない。別の生徒の有効なr,sでも、左の二乗r²+s²と右の二乗(r+s)²=r²+s²+2rsが異なることを示せる。反例は全ての場合で不成立という主張ではなく、例えばa=0,b≥0なら等しい。
生徒が選んだ範囲内の二整数・a,b・両辺の計算か正しい平方比較・反例が否定する範囲を見る。作例を唯一の答えにしない。
bを2,3,5,7から一つ、整数mを2以上5以下、整数nを1以上4以下から一つずつ選びます。√(m²b)+n/√bを、自分の数を使って計算してください。式に含まれる平方因数、有理化で分母と分子へ掛ける式、同じ根号の係数をまとめる式と、値を保つ理由を実際に書きます。
作例b=5,m=3,n=4。√45+4/√5=3√5+(4√5)/5=(15/5+4/5)√5=19√5/5。√5>0で√5/√5=1を掛けるので有理化で値は保たれる。一般にはm√b+(n/b)√b=((mb+n)/b)√b。生徒の条件内の別の三数と同値な表記も認める。
生徒の具体的なb,m,n・平方因数・分母と分子への積・比1・分数係数の和を手動確認する。一般式を写すだけでは完了にしない。