分数式：元の全条件と許される0の観察記録

得られる結果

約分で消えた因数の除外値、割る式が0又は未定義の場合、許される0、同じ形と元の定義域の違いを生徒の式から区別できます。

操作手順

1. 全ての条件と根拠を、簡単な形から分ける

   最終の式が合ったことだけで、生徒が元の全ての条件を説明した証拠にしません。生徒の分母・割る式全体・因数分解と通分を、講師の見本や一つの値での検算から分けます。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が選んだ元の式全体：[ ] 元の各分母とそれぞれの除外値：[ ] 割る式全体が定義され、0にならない条件：[ ] 分子全体・分母全体の因数分解：[ ] 0でない共通因数と約分の根拠：[ ] 通分する式と引く分子全体の括弧：[ ] 入れ子の内側と外側の条件：[ ] 変形後も残す元の全除外値と各理由：[ ] 同じ簡単な形と元の定義域の比較：[ ] 元の式が定義される0と割る式の確認：[ ] 一般の変形の根拠と一つの値での検算：[ ] 生徒の修正・講師の支援と未確認：[ ]

3. 作例A：消えた因数の条件を戻す

   見本F=(x²−25)/(x−5)は最初にx≠5です。その範囲で分子全体を(x−5)(x+5)とし、0でない共通因数で約分してx+5。x=0は両方5ですが、x=5の元の式は未定義です。生徒が多項式の値10を元の値にせず、0でない因数で割った根拠を示すかを見ます。

4. 作例B：通分の条件と分子の0を分ける

   見本2/(x−2)+3/(x+2)はx≠2,−2で、分子2(x+2)+3(x−2)から(5x−2)/(x²−4)です。x=2/5は元の両分母が0でなく、値0が許されます。生徒が元の二つの条件を残し、引き算では引く分子全体の括弧と全項の符号を扱うかを見ます。

5. 作例C：割る式全体の条件と0の割られる式に戻す

   見本F=(x²−25)/(x−2)、G=(x−5)/(x+3)では、F÷Gの元の条件はx≠2,−3,5です。逆数を掛けて(x+5)(x+3)/(x−2)としても全ての条件を残します。x=−5はF=0、G=5で値0です。生徒がGの未定義とG=0、F=0を区別し、0で割る操作へ値を与えないかを見ます。

6. 作例D：一つの一致を、項を消す根拠にしない

   別の見本(x²+5)/(x+5)はx≠−5です。これをxにできるという主張は、x=1で両方1でも証明されません。x=0では元の値1とxの値0が異なり、主張を反証できます。生徒が足し算の項を消さず、因数全体の約分と一つの値の一致・反例の役割を分けるかを見ます。

7. 作例E：変形すると同じ形になる三つの式の定義域を比べる

   別の見本A=(x²−64)/(x−8)、B=((x²−64)(x−1))/((x−8)(x−1))、C=x+8は、許される範囲で同じx+8です。Aはx≠8、Bはx≠8,1、Cは全実数。x=0は全て8、x=1はAとCが9でBは未定義、x=8はAとBが未定義でCは16です。生徒が元の式と全ての条件から表を作り、消えた因数の条件を回復するかを見ます。

8. 正しい別の式と未確認へ戻る

   正しい通分・全展開や同値な式を認めます。入れ子では内側の定義条件と、その範囲で外側の分母が0でないという条件を順に確かめます。許された12条件の中から生徒が選んだ一例と選んだ理由を記録し、講師が手助けした箇所や未確認の箇所も区別します。12条件すべてを必須にはしません。自由に書いた式の自動採点と、観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ⅱ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子54〜55/PDF66〜67の分数式の四則と論理的考察を踏まえた独自活動です。元の基本的な多項式の分母は二次以下で、数学Ⅱ全体や固定学年の履修を主張しません。
• 割る式全体は定義され、かつ0でない必要があります。割られる式が0でも、割る式が定義され0でなければ値0が許されます。分子0を無条件に除外せず、0/0へ値を与えません。
• 文字や式は編集できますが約分・条件・値の表は自動更新されません。12項目は紙や既存ボードへ手動記録し、新しい数式自動変形・自動定義域判定・観察欄の自動保存はありません。
• 分数関数のグラフ・極限・微分や複素数は扱いません。生徒の元の式全体・全ての条件と根拠を講師の見本・支援から分けます。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• 元の全ての条件・消えた因数と許される0を確かめる授業用ボード
• 分数式の四則と元の定義条件の練習
• 文部科学省・数学Ⅱ：分数式の四則と式の論理的考察