分数式を、元の定義条件を残して変形する
分数式の四則を、約分の因数と元の式を定義できる条件から確かめます。準備14問と、生徒が全ての分母・割る式・条件を記録する主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅱ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅱ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子54〜55/PDF66〜67の分数式の四則を踏まえた独自課題です。元の分母が二次以下の基本的な式を扱い、元の定義条件を保った変形を確認します。分数関数のグラフ・微分・複素数の計算・数学Ⅱ全体・固定学年の履修を主張せず、元の問題や図版も写していません。
解説を読む
同じ見た目の項を消すことと、共通の因数で割ることを分けます。式を簡単にしても、元の分母や割る式の条件は消しません。値が一致する範囲と、同じ形に見える式の定義域の違いを説明します。
必要な予備知識
数学Ⅰまでの因数分解・多項式の乗法、分数の四則、積が0になる条件、分母が0では定義されないこと。文字は実数とします。元の式の条件は計算とは別に残し、式全体や理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。
- 最初に元の式の全ての分母を調べ、どれも0でない条件を記録します。約分後に分母から消えた因数があっても、元の除外値は残します。文字は実数として考えます。
- 約分は、分子全体と分母全体を、共通で値が0でない因数で割る操作です。例えば(x²−a²)/(x−a)ではx≠aのもとで(x−a)(x+a)/(x−a)=x+aとできます。x=aで元の式が定義されたとはしません。
- 加えた項は、そのまま因数のように消せません。(x²+c)/(x+c)でcだけを消す操作には一般の根拠がありません。因数分解して積の形へ戻し、元の式が定義される値で誤った式を確かめます。
- 足し算・引き算では、同じ分母にそろえてから分子全体を足し引きします。特に引く分子は括弧でくくり、全項の符号を扱います。元の二つの式の分母の条件を両方残します。
- 掛け算では分子どうし・分母どうしを掛け、因数分解で共通因数を見ます。約分で式が簡単になっても、元の各分母が0でない条件は保ちます。分子が0というだけでは除外しません。
- 割り算では、元の各分母が0でないことに加え、割る式全体の値が0でないことが必要です。割る分数式の分母が0でない範囲では、その分子も0でない条件を調べてから逆数を掛けます。
- 割られる式の値が0でも、割る式が定義されて0でなければ割り算はできます。一方、0で割る操作や0/0には値を与えません。分子の零点を無条件に全て除外することも避けます。
- 繁分数式では、内側の分母と外側の分母を元の式から順に調べます。例えば1/(1−c/x)なら、まずx≠0、その上で1−c/x≠0です。簡単になった式の分母だけを見て終えません。
- 同じ簡単な式へ変形できても、元の定義域まで同じとは限りません。元の式が定義される範囲で値が一致することと、除外した値へ新しい式だけを代入できることを分けて記録します。
- 変形の根拠は、元の定義条件を示した上での因数分解・分配法則・通分などで説明します。一つの値で一致した確認だけで一般の等式を決めません。誤った主張は、元の式が定義される反例でも調べられます。
解き方の例
(x²−4)/(x−2)=(x−2)(x+2)/(x−2)=x+2は、元の条件x≠2を保った変形です。x=5では両方7。x=2では元の分母が0なので定義されず、簡単な式へ2を代入した4を元の式の値にはしません。
(x²−9)/(x−4)÷((x−3)/(x−4))では、元の分母からx≠4、割る式の分子からさらにx≠3です。その範囲で(x−3)(x+3)/(x−4)×(x−4)/(x−3)=x+3。x=0では両方3ですが、除外値3と4は残します。
よくある間違い
- 和の一部の同じ項を、共通因数のように消す。
- 約分で消えた因数の除外値も消えたことにする。
- 分子を引くとき、括弧内の一部だけ符号を変える。
- 割る式の分母だけを調べ、その式全体が0になる値を許す。
- 割られる式の分子が0というだけで、割り算できないとする。
- 一つの代入や簡単な形だけを見て、元の全ての条件や一般の理由を落とす。
考え方を説明する
準備14問は値・因数・条件と数値入力の確認です。主課題では生徒の全ての元の分母、割る式がある場合の定義と0でない条件、除外値・因数分解・逆数・通分・式全体と理由を手動確認します。T1は約分後も残る除外値、T2は項を消す誤りと許された反例、T3は引く分子全体、T4は積と元の条件、T5は割る式全体が0でないこと、T6は繁分数式の内側・外側の分母の条件、T7は同じ形と異なる定義域、T8は一例の一致と一般の恒等式、T9は二つの条件落ちの修正、T10は生徒の具体的な式を見ます。正しい別の式順や因数分解を認め、最後の形や準備の点数だけで達成を判定しません。
数値と一つの選択だけを自動採点します。生徒の分数式全体・因数分解・全ての除外値と根拠は講師が手動確認します。自動式変形や自動定義域判定の新しい機能を使う教材ではなく、グラフ・極限・微分を要求しません。生徒の達成や学習効果を主張しません。
練習する
準備の数値・選択だけを自動採点します。自分の式全体・元の全ての条件・理由は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
(x²−9)/(x−3)について、定義できる値x=5を代入した値を求めてください。
答えと解説
8
元の分母5−3=2は0でなく、(25−9)/2=16/2=8です。x+3とする変形もx≠3の範囲で同じ値を与えます。
(x²−4)/(x−2)について、定義できる値x=−3を代入した値を求めてください。
答えと解説
−1
分母−3−2=−5は0でなく、(9−4)/(−5)=−1です。
(x+1)/(x−2)+(x−3)/(x−2)について、x=4での値を求めてください。
答えと解説
3
共通の分母は2で、分子は5+1=6。6/2=3です。
2x/(x−1)−(x+3)/(x−1)について、x=5での値を求めてください。
答えと解説
(2x−(x+3))/(x−1)=(x−3)/(x−1)。x=5では2/4=1/2です。
(x²−1)/(x−4)÷((x−1)/(x−4))について、x=2での値を求めてください。
答えと解説
3
x=2では最初の式は−3/2、割る式は−1/2で0ではありません。(−3/2)÷(−1/2)=3です。
(x²−16)/(x²−8x+16)について、x=6での値を求めてください。
答えと解説
5
分母は(6−4)²=4で、分子は36−16=20。20/4=5です。
1/(1−2/x)について、x=3での値を求めてください。
答えと解説
3
内側のx=3は0でなく、外側の分母1−2/3=1/3も0ではありません。1÷(1/3)=3です。
(x²−9)/(x−3)を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠−3
- x≠3
- 全ての実数
- x≠−3,3
答えと解説
x≠3
元の分母x−3が0でないことから、除外するのは3だけです。分子が0になる−3は許されます。
分数式を正しく約分する操作はどれですか。
- 分子の全項と分母の全項で、それぞれ同じ定数項を消す
- 分子と分母で、計算せずに見た目が同じ加えた項を消す
- 共通の0でない因数で割り、元の定義条件を保つ
- 分子を項ごとに分け、等しい部分の分母を別々に消す
答えと解説
共通の0でない因数で割り、元の定義条件を保つ
約分は和の項を消す操作ではなく、分子全体と分母全体を共通因数で割る操作です。元の条件も残します。
(x−2)/(x−5)÷((x+1)/(x−3))を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠5,3
- x≠5,3,2
- x≠5,3,−2
- x≠5,3,−1
答えと解説
x≠5,3,−1
元の分母からx≠5,3、割る式の値が0でないことからx≠−1も必要です。割られる式が0になるx=2は除外しません。
元の式(x²−1)/(x−1)と多項式x+1を比べた説明として正しいものはどれですか。
- x≠1で一致／定義域は異なる
- 全実数で一致／定義域も同じ
- x=1だけ一致／定義域も同じ
- どのxでも不一致／定義域は異なる
答えと解説
x≠1で一致／定義域は異なる
元の式はx=1を除き、その範囲ではx+1に等しいです。多項式x+1だけなら全ての実数で定義され、定義域全体は同じではありません。
繁分数式1/(1−1/(x−1))を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠2
- x≠1
- x≠1,2
- x≠0,2
答えと解説
x≠1,2
内側の分母からx≠1、その上で外側の分母1−1/(x−1)が0になるx=2も除外します。
(x−1)/(x+2)×((x+2)/(x−3))を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠3
- x≠−2,3
- x≠1,3
- 全ての実数
答えと解説
x≠−2,3
元の二つの分母からx≠−2,3です。x+2を約分した後も−2の除外は残り、分子が0になる1は許されます。
(x²−4)/(x−5)÷((x−2)/(x−5))の元の式について、x=2とx=0を代入できるかを正しく比べたものはどれですか。
- x=2は不可、x=0は可
- x=2もx=0も可
- x=2は可、x=0は不可
- x=2もx=0も不可
答えと解説
x=2は不可、x=0は可
x=2では割る式が0なので不可です。x=0では分母も割る式も0でなく、元の式を定義できます。
考え方を説明する
(x²−16)/(x−4)を、元の定義条件を最初に記録してから因数分解・約分してください。x=6とx=−1で元の式と簡単な式を比べます。x=4では両者に何が起きるかも分け、0/0に値を与えません。
答えと解説
元の条件はx≠4。x²−16=(x−4)(x+4)より、その範囲でx+4。x=6では元の20/2=10、x+4も10。x=−1では(1−16)/(−5)=3、x+4も3。x=4では元の分母が0で未定義、多項式x+4だけなら8であり、それを元の式の値としない。
生徒の条件・因数の積と0でない割る因数、二つの許された値と除外値の比較を見ます。
友達は(x²+3)/(x+3)で「上と下の3を消してxになる」としました。元の条件を示し、定義できる値x=2を使って確かめ、誤りを説明してください。続いて(x²+3x)/(x+3)では何が約分できるか、因数分解と元の条件から正しい全文へ直します。
答えと解説
どちらも元の条件はx≠−3。最初の式はx=2で7/5、友達のxなら2で異なり、和の項3を共通因数のように消せない。後の式はx²+3x=x(x+3)なので、x≠−3の範囲でx(x+3)/(x+3)=x。消せるのは分子全体と分母の共通因数x+3で、定数項3そのものではない。
生徒の許された反例の二つの値、和と因数の違い、後の積と保持した条件を見ます。
(2x+1)/(x−2)−(x−3)/(x−2)を、元の全ての条件と分子全体の引き算を記録して簡単にしてください。友達の分子「2x+1−x−3」を直し、x=4でも元の二項と結果を確かめます。
答えと解説
条件x≠2。分子は(2x+1)−(x−3)=2x+1−x+3=x+4なので(x+4)/(x−2)。友達は引く分子の−3の符号を変えていない。x=4では9/2−1/2=4、結果8/2=4。
生徒の括弧と全項の符号、条件、元の二項と結果の実際の比較を見ます。
(x²−1)/(x+2)×((x+2)/(x−3))を、元の二つの分母の条件を示して因数分解・約分してください。x=0で両方を確かめ、x=−2の扱いと、分子が0になるx=1を許せるかも理由から説明します。
答えと解説
条件はx≠−2,3。x²−1=(x−1)(x+1)から、同じ範囲で(x−1)(x+1)/(x−3)。x=0では(−1/2)×(−2/3)=1/3、結果(−1)/(−3)=1/3。x=−2は最初の分母が0なので約分後も不可。x=1はどの元の分母も0でなく、積は0で許される。
生徒の両分母と全除外値、因数分解、消えた因数の条件と許される零の分子を見ます。
(x²−4)/(x−5)÷((x−2)/(x−5))を、元の各分母と割る式全体の条件を別々に記録して簡単にしてください。x=0とx=−2で元の割り算を確かめ、x=2とx=5を除外する理由の違いも説明します。
答えと解説
分母からx≠5、その範囲で割る式が0でないためx≠2。x²−4=(x−2)(x+2)より、x≠2,5でx+2。x=0では(4/5)÷(2/5)=2。x=−2では0÷(4/7)=0であり、割られる式が0でも可。x=2は割る式が0、x=5は元の分母が0で、理由は異なる。
生徒の分母が0でないことと割る式の0でない、逆数を掛ける式と計算過程、二つの許された値と二種の除外理由を見ます。
繁分数式1/(1−3/x)を、内側と外側の分母の条件を元の順に記録し、簡単にしてください。x=6とx=−3で値を確かめ、簡単な式にx=0を代入できても元の式ではなぜ許せないか説明します。
答えと解説
内側からx≠0。その上で1−3/x≠0なのでx≠3も必要。x≠0,3で1/((x−3)/x)=x/(x−3)。x=6では1/(1−1/2)=2、結果6/3=2。x=−3では1/(1+1)=1/2、結果(−3)/(−6)=1/2。x=0は簡単な式なら0だが、元の3/xが定義されないので元の値にはしない。
生徒の内外二段の条件と通分・逆数、二つの値と消えた内側の除外を見ます。
三つの式A=(x²−1)/(x−1)、B=x+1、C=((x²−1)(x−2))/((x−1)(x−2))を比べます。それぞれの元の定義域と簡単な形を示し、x=0,1,2で値または未定義を表にしてください。どの共通の範囲で同じ値になり、なぜ同じ形だけで同じ定義域とできないか説明します。
答えと解説
Aはx≠1でx+1、Bは全実数でx+1、Cはx≠1,2でx+1。x=0では全て1。x=1ではAとCは未定義、Bは2。x=2ではAとBは3、Cは未定義。三式共通のx≠1,2で値が一致するが、Aには1、Cには1と2という元の除外が残り、定義域全体は異なる。
生徒の三つの式それぞれの全ての条件・因数と九つの表の値/未定義、共通範囲と元の定義域の区別を見ます。
友達は(x²−9)/(x−3)と2x+1をx=2で比べ、両方5だからいつも等しいとしました。元の定義条件とこの一致を確かめ、許された値x=0でも調べて主張を直してください。元の分数式の正しい変形を、因数分解の恒等式と0でない条件から全文で説明します。
答えと解説
元の条件x≠3。x=2では(4−9)/(−1)=5、2x+1も5だが、この一例だけで一般の等式は決まらない。x=0では元は(−9)/(−3)=3、2x+1は1で反例。x²−9=(x−3)(x+3)という恒等式から、元のx≠3の範囲でx+3とするのが正しい。
生徒の許された一致と反例の実計算、全項の恒等式と条件を使う一般の理由を見る。有限個の検算がどんな条件でも証明にならないという主張には広げない。
(x−1)/(x−4)÷((x−1)/(x+2))について、友達Iは「簡単にすると(x+2)/(x−4)だからx≠4だけ」、友達IIは「元の二つの分母を見るのでx≠4,−2なら十分」としました。二つを別々に直し、元の割る式全体の条件も含む正しい変形と全除外値を示してください。x=0,1,−2の扱いも比較します。
答えと解説
元の分母からx≠4,−2、その範囲で割る式の分子x−1≠0なのでx≠1も必要。x≠4,−2,1で(x−1)/(x−4)×(x+2)/(x−1)=(x+2)/(x−4)。Iは消えた元の分母条件と割る式の零を落とし、IIは後者を落としている。x=0では(1/4)÷(−1/2)=−1/2。x=1では割る式が0、x=−2ではその分母が0なので元の式はどちらも未定義。
生徒の二つの異なる条件落ちの区別、元の全ての条件・逆数と因数、許された値と二つの未定義の理由を見ます。
aを1,2,3から一つ、bを4,5から一つ、kを1,2から一つ選び、k(x²−a²)/(x−b)÷((x−a)/(x−b))という具体的な式を作ります。元の式の全ての条件と因数分解・逆数・簡単な形を示し、許されたx=0で確かめ、x=aとx=bを除外する理由も別々に説明してください。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例a=3,b=4,k=2なら、元の分母からx≠4、割る式の零からx≠3。2(x²−9)/(x−4)×(x−4)/(x−3)=2(x+3)はx≠3,4で成り立つ。x=0では(9/2)÷(3/4)=6で、結果2×3=6。x=3は割る式が0、x=4は元の分母が0。許された生徒の別の一例と正しい条件・導出も認める。
生徒が選んだ三数と具体的な元の式、全除外値・0でない理由・全変形と代入を手動で見る。作例や一般形の転記だけを生徒の別例作成とはしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅱ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子54〜55/PDF66〜67の分数式の四則を踏まえた独自課題です。元の分母が二次以下の基本的な式を扱い、元の定義条件を保った変形を確認します。分数関数のグラフ・微分・複素数の計算・数学Ⅱ全体・固定学年の履修を主張せず、元の問題や図版も写していません。 · 2026-11-04
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/transform-rational-expressions-with-domain-conditions/
準備14問は値・因数・条件と数値入力の確認です。主課題では生徒の全ての元の分母、割る式がある場合の定義と0でない条件、除外値・因数分解・逆数・通分・式全体と理由を手動確認します。T1は約分後も残る除外値、T2は項を消す誤りと許された反例、T3は引く分子全体、T4は積と元の条件、T5は割る式全体が0でないこと、T6は繁分数式の内側・外側の分母の条件、T7は同じ形と異なる定義域、T8は一例の一致と一般の恒等式、T9は二つの条件落ちの修正、T10は生徒の具体的な式を見ます。正しい別の式順や因数分解を認め、最後の形や準備の点数だけで達成を判定しません。
(x²−9)/(x−3)について、定義できる値x=5を代入した値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x²−4)/(x−2)について、定義できる値x=−3を代入した値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x+1)/(x−2)+(x−3)/(x−2)について、x=4での値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2x/(x−1)−(x+3)/(x−1)について、x=5での値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x²−1)/(x−4)÷((x−1)/(x−4))について、x=2での値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x²−16)/(x²−8x+16)について、x=6での値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1/(1−2/x)について、x=3での値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x²−9)/(x−3)を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠−3
- x≠3
- 全ての実数
- x≠−3,3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
分数式を正しく約分する操作はどれですか。
- 分子の全項と分母の全項で、それぞれ同じ定数項を消す
- 分子と分母で、計算せずに見た目が同じ加えた項を消す
- 共通の0でない因数で割り、元の定義条件を保つ
- 分子を項ごとに分け、等しい部分の分母を別々に消す
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−2)/(x−5)÷((x+1)/(x−3))を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠5,3
- x≠5,3,2
- x≠5,3,−2
- x≠5,3,−1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
元の式(x²−1)/(x−1)と多項式x+1を比べた説明として正しいものはどれですか。
- x≠1で一致／定義域は異なる
- 全実数で一致／定義域も同じ
- x=1だけ一致／定義域も同じ
- どのxでも不一致／定義域は異なる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
繁分数式1/(1−1/(x−1))を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠2
- x≠1
- x≠1,2
- x≠0,2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x−1)/(x+2)×((x+2)/(x−3))を定義できる実数の範囲と、ちょうど一致する条件はどれですか。
- x≠3
- x≠−2,3
- x≠1,3
- 全ての実数
途中の計算・単位・理由・確認答え:
(x²−4)/(x−5)÷((x−2)/(x−5))の元の式について、x=2とx=0を代入できるかを正しく比べたものはどれですか。
- x=2は不可、x=0は可
- x=2もx=0も可
- x=2は可、x=0は不可
- x=2もx=0も不可
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
(x²−16)/(x−4)を、元の定義条件を最初に記録してから因数分解・約分してください。x=6とx=−1で元の式と簡単な式を比べます。x=4では両者に何が起きるかも分け、0/0に値を与えません。
友達は(x²+3)/(x+3)で「上と下の3を消してxになる」としました。元の条件を示し、定義できる値x=2を使って確かめ、誤りを説明してください。続いて(x²+3x)/(x+3)では何が約分できるか、因数分解と元の条件から正しい全文へ直します。
(2x+1)/(x−2)−(x−3)/(x−2)を、元の全ての条件と分子全体の引き算を記録して簡単にしてください。友達の分子「2x+1−x−3」を直し、x=4でも元の二項と結果を確かめます。
(x²−1)/(x+2)×((x+2)/(x−3))を、元の二つの分母の条件を示して因数分解・約分してください。x=0で両方を確かめ、x=−2の扱いと、分子が0になるx=1を許せるかも理由から説明します。
(x²−4)/(x−5)÷((x−2)/(x−5))を、元の各分母と割る式全体の条件を別々に記録して簡単にしてください。x=0とx=−2で元の割り算を確かめ、x=2とx=5を除外する理由の違いも説明します。
繁分数式1/(1−3/x)を、内側と外側の分母の条件を元の順に記録し、簡単にしてください。x=6とx=−3で値を確かめ、簡単な式にx=0を代入できても元の式ではなぜ許せないか説明します。
三つの式A=(x²−1)/(x−1)、B=x+1、C=((x²−1)(x−2))/((x−1)(x−2))を比べます。それぞれの元の定義域と簡単な形を示し、x=0,1,2で値または未定義を表にしてください。どの共通の範囲で同じ値になり、なぜ同じ形だけで同じ定義域とできないか説明します。
友達は(x²−9)/(x−3)と2x+1をx=2で比べ、両方5だからいつも等しいとしました。元の定義条件とこの一致を確かめ、許された値x=0でも調べて主張を直してください。元の分数式の正しい変形を、因数分解の恒等式と0でない条件から全文で説明します。
(x−1)/(x−4)÷((x−1)/(x+2))について、友達Iは「簡単にすると(x+2)/(x−4)だからx≠4だけ」、友達IIは「元の二つの分母を見るのでx≠4,−2なら十分」としました。二つを別々に直し、元の割る式全体の条件も含む正しい変形と全除外値を示してください。x=0,1,−2の扱いも比較します。
aを1,2,3から一つ、bを4,5から一つ、kを1,2から一つ選び、k(x²−a²)/(x−b)÷((x−a)/(x−b))という具体的な式を作ります。元の式の全ての条件と因数分解・逆数・簡単な形を示し、許されたx=0で確かめ、x=aとx=bを除外する理由も別々に説明してください。全12条件を解く必要はありません。
解答: 分数式を、元の定義条件を残して変形する
8
元の分母5−3=2は0でなく、(25−9)/2=16/2=8です。x+3とする変形もx≠3の範囲で同じ値を与えます。
−1
分母−3−2=−5は0でなく、(9−4)/(−5)=−1です。
3
共通の分母は2で、分子は5+1=6。6/2=3です。
(2x−(x+3))/(x−1)=(x−3)/(x−1)。x=5では2/4=1/2です。
3
x=2では最初の式は−3/2、割る式は−1/2で0ではありません。(−3/2)÷(−1/2)=3です。
5
分母は(6−4)²=4で、分子は36−16=20。20/4=5です。
3
内側のx=3は0でなく、外側の分母1−2/3=1/3も0ではありません。1÷(1/3)=3です。
x≠3
元の分母x−3が0でないことから、除外するのは3だけです。分子が0になる−3は許されます。
共通の0でない因数で割り、元の定義条件を保つ
約分は和の項を消す操作ではなく、分子全体と分母全体を共通因数で割る操作です。元の条件も残します。
x≠5,3,−1
元の分母からx≠5,3、割る式の値が0でないことからx≠−1も必要です。割られる式が0になるx=2は除外しません。
x≠1で一致／定義域は異なる
元の式はx=1を除き、その範囲ではx+1に等しいです。多項式x+1だけなら全ての実数で定義され、定義域全体は同じではありません。
x≠1,2
内側の分母からx≠1、その上で外側の分母1−1/(x−1)が0になるx=2も除外します。
x≠−2,3
元の二つの分母からx≠−2,3です。x+2を約分した後も−2の除外は残り、分子が0になる1は許されます。
x=2は不可、x=0は可
x=2では割る式が0なので不可です。x=0では分母も割る式も0でなく、元の式を定義できます。
記述問題の解答・確認の観点
(x²−16)/(x−4)を、元の定義条件を最初に記録してから因数分解・約分してください。x=6とx=−1で元の式と簡単な式を比べます。x=4では両者に何が起きるかも分け、0/0に値を与えません。
元の条件はx≠4。x²−16=(x−4)(x+4)より、その範囲でx+4。x=6では元の20/2=10、x+4も10。x=−1では(1−16)/(−5)=3、x+4も3。x=4では元の分母が0で未定義、多項式x+4だけなら8であり、それを元の式の値としない。
生徒の条件・因数の積と0でない割る因数、二つの許された値と除外値の比較を見ます。
友達は(x²+3)/(x+3)で「上と下の3を消してxになる」としました。元の条件を示し、定義できる値x=2を使って確かめ、誤りを説明してください。続いて(x²+3x)/(x+3)では何が約分できるか、因数分解と元の条件から正しい全文へ直します。
どちらも元の条件はx≠−3。最初の式はx=2で7/5、友達のxなら2で異なり、和の項3を共通因数のように消せない。後の式はx²+3x=x(x+3)なので、x≠−3の範囲でx(x+3)/(x+3)=x。消せるのは分子全体と分母の共通因数x+3で、定数項3そのものではない。
生徒の許された反例の二つの値、和と因数の違い、後の積と保持した条件を見ます。
(2x+1)/(x−2)−(x−3)/(x−2)を、元の全ての条件と分子全体の引き算を記録して簡単にしてください。友達の分子「2x+1−x−3」を直し、x=4でも元の二項と結果を確かめます。
条件x≠2。分子は(2x+1)−(x−3)=2x+1−x+3=x+4なので(x+4)/(x−2)。友達は引く分子の−3の符号を変えていない。x=4では9/2−1/2=4、結果8/2=4。
生徒の括弧と全項の符号、条件、元の二項と結果の実際の比較を見ます。
(x²−1)/(x+2)×((x+2)/(x−3))を、元の二つの分母の条件を示して因数分解・約分してください。x=0で両方を確かめ、x=−2の扱いと、分子が0になるx=1を許せるかも理由から説明します。
条件はx≠−2,3。x²−1=(x−1)(x+1)から、同じ範囲で(x−1)(x+1)/(x−3)。x=0では(−1/2)×(−2/3)=1/3、結果(−1)/(−3)=1/3。x=−2は最初の分母が0なので約分後も不可。x=1はどの元の分母も0でなく、積は0で許される。
生徒の両分母と全除外値、因数分解、消えた因数の条件と許される零の分子を見ます。
(x²−4)/(x−5)÷((x−2)/(x−5))を、元の各分母と割る式全体の条件を別々に記録して簡単にしてください。x=0とx=−2で元の割り算を確かめ、x=2とx=5を除外する理由の違いも説明します。
分母からx≠5、その範囲で割る式が0でないためx≠2。x²−4=(x−2)(x+2)より、x≠2,5でx+2。x=0では(4/5)÷(2/5)=2。x=−2では0÷(4/7)=0であり、割られる式が0でも可。x=2は割る式が0、x=5は元の分母が0で、理由は異なる。
生徒の分母が0でないことと割る式の0でない、逆数を掛ける式と計算過程、二つの許された値と二種の除外理由を見ます。
繁分数式1/(1−3/x)を、内側と外側の分母の条件を元の順に記録し、簡単にしてください。x=6とx=−3で値を確かめ、簡単な式にx=0を代入できても元の式ではなぜ許せないか説明します。
内側からx≠0。その上で1−3/x≠0なのでx≠3も必要。x≠0,3で1/((x−3)/x)=x/(x−3)。x=6では1/(1−1/2)=2、結果6/3=2。x=−3では1/(1+1)=1/2、結果(−3)/(−6)=1/2。x=0は簡単な式なら0だが、元の3/xが定義されないので元の値にはしない。
生徒の内外二段の条件と通分・逆数、二つの値と消えた内側の除外を見ます。
三つの式A=(x²−1)/(x−1)、B=x+1、C=((x²−1)(x−2))/((x−1)(x−2))を比べます。それぞれの元の定義域と簡単な形を示し、x=0,1,2で値または未定義を表にしてください。どの共通の範囲で同じ値になり、なぜ同じ形だけで同じ定義域とできないか説明します。
Aはx≠1でx+1、Bは全実数でx+1、Cはx≠1,2でx+1。x=0では全て1。x=1ではAとCは未定義、Bは2。x=2ではAとBは3、Cは未定義。三式共通のx≠1,2で値が一致するが、Aには1、Cには1と2という元の除外が残り、定義域全体は異なる。
生徒の三つの式それぞれの全ての条件・因数と九つの表の値/未定義、共通範囲と元の定義域の区別を見ます。
友達は(x²−9)/(x−3)と2x+1をx=2で比べ、両方5だからいつも等しいとしました。元の定義条件とこの一致を確かめ、許された値x=0でも調べて主張を直してください。元の分数式の正しい変形を、因数分解の恒等式と0でない条件から全文で説明します。
元の条件x≠3。x=2では(4−9)/(−1)=5、2x+1も5だが、この一例だけで一般の等式は決まらない。x=0では元は(−9)/(−3)=3、2x+1は1で反例。x²−9=(x−3)(x+3)という恒等式から、元のx≠3の範囲でx+3とするのが正しい。
生徒の許された一致と反例の実計算、全項の恒等式と条件を使う一般の理由を見る。有限個の検算がどんな条件でも証明にならないという主張には広げない。
(x−1)/(x−4)÷((x−1)/(x+2))について、友達Iは「簡単にすると(x+2)/(x−4)だからx≠4だけ」、友達IIは「元の二つの分母を見るのでx≠4,−2なら十分」としました。二つを別々に直し、元の割る式全体の条件も含む正しい変形と全除外値を示してください。x=0,1,−2の扱いも比較します。
元の分母からx≠4,−2、その範囲で割る式の分子x−1≠0なのでx≠1も必要。x≠4,−2,1で(x−1)/(x−4)×(x+2)/(x−1)=(x+2)/(x−4)。Iは消えた元の分母条件と割る式の零を落とし、IIは後者を落としている。x=0では(1/4)÷(−1/2)=−1/2。x=1では割る式が0、x=−2ではその分母が0なので元の式はどちらも未定義。
生徒の二つの異なる条件落ちの区別、元の全ての条件・逆数と因数、許された値と二つの未定義の理由を見ます。
aを1,2,3から一つ、bを4,5から一つ、kを1,2から一つ選び、k(x²−a²)/(x−b)÷((x−a)/(x−b))という具体的な式を作ります。元の式の全ての条件と因数分解・逆数・簡単な形を示し、許されたx=0で確かめ、x=aとx=bを除外する理由も別々に説明してください。全12条件を解く必要はありません。
作例a=3,b=4,k=2なら、元の分母からx≠4、割る式の零からx≠3。2(x²−9)/(x−4)×(x−4)/(x−3)=2(x+3)はx≠3,4で成り立つ。x=0では(9/2)÷(3/4)=6で、結果2×3=6。x=3は割る式が0、x=4は元の分母が0。許された生徒の別の一例と正しい条件・導出も認める。
生徒が選んだ三数と具体的な元の式、全除外値・0でない理由・全変形と代入を手動で見る。作例や一般形の転記だけを生徒の別例作成とはしない。