Σと有限の和：添字・式と計算過程の観察記録

得られる結果

添字・項・項数と和、定数の和と定数倍、添字の置換の上下、同じ添字の積の和と二つの和の積、有限な数例と一般の導出を生徒が書いた式と計算過程から区別できます。

操作手順

1. 範囲と全項を、和の値から分ける

   生徒が最初と最後の添字を実際の項へ戻し、両端を含む項数を示したかを見ます。最後の数値だけを、和の性質・添字の置換や一般の導出の証拠にはしません。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒の最初と最後の添字と実際の項：[ ] 両端を含む項数q−p+1：[ ] 全項を開いた和と数値の確認：[ ] 同じ範囲で分けた平方・一次・定数の和：[ ] 定数が項数の分だけ現れる理由：[ ] 先頭からの和の差と引く範囲：[ ] 添字の置換の対応と新しい上下：[ ] 消える中間項と残る両端：[ ] 一般の等式を有限に足す式と計算過程と導出：[ ] 積の和と和の積・増えた交差項：[ ] 生徒の正しい同値式・別の添字と一例：[ ] 講師の見本・支援と生徒が書いた式と計算過程・未確認：[ ]

3. 作例A：添字と項数に戻す

   例として、k=2から5までの(2k+1)の和を考えます。項は5、7、9、11で、和は32です。生徒が両端を含む4項、定数1を4回足す理由を示し、2(2+3+4+5)+4に対応させたかを記録します。

4. 作例B：平方と定数を同じ範囲へ分ける

   k=1から4までの(k²+2)の和は3+6+11+18=38です。生徒が平方の和30と定数の和8へ分け、一般には、B(n)=1²+2²+…+n²としてB(n)+2nとなる理由を項数から説明したかを見ます。

5. 作例C：有限な差の中間項と両端に戻す

   見本n=3では三つの差7,19,37の和63です。生徒が一般の(k+1)³−k³を有限に足して(n+1)³−1=3B(n)+3n(n+1)/2+nとし、B(n)を導いたかを見ます。数例の一致だけを全nの証明にはしません。

6. 作例D：添字の置換で上下も変える

   C4と同じく、k=1からnまでの(k+3)²の和を考えます。j=k+3とおくと、jの範囲は4からn+3です。生徒がB(n+3)−14とB(n)+6A(n)+9nを対応させ、n=2なら16+25=41と確かめたかを記録します。ボード見本の再利用で、追加の独立課題とは数えません。

7. 作例E：二つの和の積で増える項に戻す

   C7と同じ見本n=2では、同じ添字の積の和は1·3+2·4=11、二つの和の積は(1+2)(3+4)=21です。生徒が増えた交差項1·4+2·3=10を分け、正しくはB(n)+2A(n)となる式と計算過程を示したかを見ます。

8. 同値式・別の添字と未確認へ戻る

   正しい未整理の式と計算過程、別の添字の付け方や生徒の選んだ一例を認めます。全8条件を必須にせず、生徒の全項・式と計算過程と理由を講師の見本・支援から分けます。自由な総和の式と計算過程の自動採点や観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学B(1)のΣ・いろいろな和と公式の導出を踏まえた独自活動です。数学B全体・固定学年、無限級数・極限や一般の帰納法の網羅、学習効果は主張しません。
• nは正の整数、上下は1≦p≦qを満たす整数です。添字・項・項数と和、和の分解と積の分解、数例の確認と一般の有限な導出を分けます。
• 表・線・点・文字は個別に編集できますが、動かしても他の値や式は自動更新されません。12項目は紙や既存ボードへ手動記録します。自由な総和の式と計算過程の自動採点と、観察欄の自動保存はありません。
• 生徒の全項・式と計算過程と理由を講師の見本・支援から分けます。実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• Σ・添字と有限の和の授業用ボード
• Σといろいろな有限の和の練習
• 文部科学省・数学B：Σと公式の導出