Σを開き、足す範囲と項を分けて和へ戻す
準備14問と、生徒がΣを具体的な和へ開き、定数・項・範囲を分けて途中式と導出を確かめる主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学B。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学B(1)数列ア(イ)・イ(ア)、冊子102–103/PDF114–115を踏まえた独自活動です。Σを具体的な和と対応させ、自然数と平方数の和を用いた分解、有限な範囲の変更と中間項の消去を扱います。数学B全体・固定学年・全ての累乗和や漸化式、無限級数の網羅、実測や学習効果は主張しません。
解説を読む
Σの下と上は、どの項を足すかを指定します。最初と最後の項・項数を具体化してから、定数倍や和の性質を使います。平方の和の公式も、有限な等式の両辺を足して中間項を消す過程へ戻して確かめます。
必要な予備知識
正負の数・分数、文字式、分配法則、平方・立方の展開、等差数列と初めのn個の自然数の和。Σの記法・平方の和・有限な差の消去は本文で導入します。微積分・無限級数・数学的帰納法は前提にしません。
- Σ_{k=p}^{q} f(k)は、整数kをp,p+1,…,qと一つずつ変えた値f(p)+f(p+1)+…+f(q)の和です。この教材ではp,qは整数、1≦p≦qとし、項数はq−p+1です。nは正の整数とします。下の文字は足す項を指す添字で、足した結果の値と取り違えません。
- 例えばΣ_{k=2}^{5}(3k−1)なら、(3×2−1)+(3×3−1)+(3×4−1)+(3×5−1)です。最初と最後のkを両方含めます。Σを一つの項f(n)や、全ての項の積と読み替えません。
- 同じ範囲ではΣ(f(k)+g(k))=Σf(k)+Σg(k)、Σ(c f(k))=cΣf(k)です。cはその範囲でkによらない定数です。定数c自体を足すΣ_{k=1}^{n}cはnc。kとともに変わる量を、そのまま定数として外へ出しません。
- 同じ添字の積の和Σ f(k)g(k)は、一般には(Σ f(k))(Σ g(k))ではありません。右は異なる添字同士の積まで含みます。例えばk=1,2でΣk²=5ですが、(Σk)²=9。各項を展開してから、和や定数倍に分けることはできます。
- Σ_{k=1}^{n}k=n(n+1)/2です。1,…,nと逆順のn,…,1を足すと、各列がn+1の組がn個でき、二つの和なので最後に2で割ります。Σ_{k=1}^{n}1=nであり、定数項を一回だけ足すのではありません。
- Σ_{k=1}^{n}k²=n(n+1)(2n+1)/6です。導く一つの方法は(k+1)³−k³=3k²+3k+1をk=1,…,nで足すことです。左は中間の立方が消えて(n+1)³−1。自然数の和を使い、平方の和を残して解きます。有限の数例だけを一般の証明とはしません。
- 項を展開してから和を分けられます。例えば(2k−1)²=4k²−4k+1なので、Σ(2k−1)²=4Σk²−4Σk+Σ1です。和全体の二乗と、各項を二乗してからの和を分け、全ての項の係数と項数を残します。
- 添字の名前だけをkからjへ変えても和は同じです。j=k+cのように値をずらすなら、式だけでなく上下の範囲も変えます。例えばΣ_{k=1}^{n}(k+2)²はΣ_{j=3}^{n+2}j²で、最初の二つの平方1²,2²を含みません。
- 途中の範囲の和は、先頭からの二つの和の差でも表せます。p≧2ならΣ_{k=p}^{q}f(k)=Σ_{k=1}^{q}f(k)−Σ_{k=1}^{p−1}f(k)。p=1で使う空の和は0と定めます。差に分けた有限和では、消える項と残る両端を実際に示します。
- 自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な総和の式と計算過程、範囲の対応・公式の導出・反例・有限な中間項の消去と理由は紙や既存ボードで手動確認します。正しい同値式・別の添字や別解を認め、Σを解釈する新しい式パーサーは追加しません。
解き方の例
Σ_{k=2}^{5}(3k−1)=5+8+11+14=38です。性質でも3(2+3+4+5)−4=3×14−4=38。定数−1を4項分足したことと、kの範囲を対応させます。
Σ_{k=1}^{n}(k²+2k+3)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3nです。n=3なら6+11+18=35で、公式でも14+12+9=35。一般の式と計算過程と有限な確認の役割を分けます。
よくある間違い
- Σを最後の一項の値と読む。
- 上と下の両端を含む項数の1を落とす。
- 定数の和を一回分の定数とする。
- 添字とともに変わるkを定数として外へ出す。
- 同じ添字の積の和を、二つの和の積にする。
- 各項の二乗の和を、和全体の二乗とする。
- 展開で交差項や定数項を落とす。
- 添字をずらしても上下の範囲を変えない。
- 途中の和で最初の必要な項まで引く。
- 数例の一致だけで全てのnの公式が示されたとする。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒のΣの上下と添字、具体的な全項と項数、定数倍・定数の和、展開と範囲を保った分解、一般の式と計算過程と元の和への確認を手動で見ます。T1はΣの両方向、T2は二次式と定数、T3は奇数の平方と全体の二乗、T4は途中の範囲、T5は添字の移動、T6は平方和の導出、T7は定数項の誤り、T8は積の和の反例と正しい分解、T9は有限な差の消去、T10は生徒の係数・範囲と直接和です。正しい同値式・別添字・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な総和の式と計算過程、上下の範囲・添字の対応、公式の導出・反例と理由は手動確認します。有限の和を扱い、微積分・無限級数・全ての累乗和や漸化式の網羅、Σを解釈する新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な総和の式と計算過程・範囲、自分の導出・反例と理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
Σ_{k=2}^{6}(3k−2)の値を求めてください。
答えと解説
50
kは2,3,4,5,6の5個です。3(2+3+4+5+6)−2×5=60−10=50。
Σ_{k=1}^{8}5の値を求めてください。
答えと解説
40
同じ5を8個足すので8×5=40です。
Σ_{k=1}^{6}k²の値を求めてください。
答えと解説
91
1+4+9+16+25+36=91。公式6×7×13/6でも91です。
Σ_{k=1}^{5}k(k+1)の値を求めてください。
答えと解説
70
k²+kへ分けると55+15=70。直接にも2+6+12+20+30=70です。
Σ_{k=3}^{7}(2k−1)の値を求めてください。
答えと解説
45
項は5,7,9,11,13の5個で和は45。2Σ_{k=3}^{7}k−5=50−5でも一致します。
Σ_{k=1}^{4}(2k+1)²の値を求めてください。
答えと解説
164
各項の二乗は9,25,49,81で、和は164。4Σk²+4Σk+4=120+40+4でも一致します。
Σ_{k=1}^{5}1/{k(k+1)}の値を求めてください。
答えと解説
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)。中間項が消え、1−1/6=5/6です。分母は正の整数で0になりません。
aはkによらない定数です。Σ_{k=1}^{n}(ak+3)を正しく分けた式はどれですか。
- aΣ_{k=1}^{n}k+3
- aΣ_{k=1}^{n}k+3n
- an+3n
- Σ_{k=1}^{n}a+3
答えと解説
aΣ_{k=1}^{n}k+3n
akはaを外へ出せますが、定数3の和は3nです。
正の整数nについてΣ_{k=1}^{n}(2k−1)に常に等しいものはどれですか。
- 2n−1
- n(n+1)
- n²
- n²−1
答えと解説
n²
2×n(n+1)/2−n=n²。最初のn個の正の奇数の和です。
k=1,2のとき、Σk²と(Σk)²の比較で正しいものはどれですか。
- どちらも5
- どちらも9
- 前者9、後者5
- 前者5、後者9
答えと解説
前者5、後者9
各項を二乗する和は1²+2²=5、和の二乗は(1+2)²=9です。
n≧2とし、Σ_{k=2}^{n}(k+1)でj=k+1とします。正しい同じ和はどれですか。
- Σ_{j=3}^{n+1}j
- Σ_{j=2}^{n}j
- Σ_{j=1}^{n+1}j
- Σ_{j=3}^{n}j
答えと解説
Σ_{j=3}^{n+1}j
k=2でj=3、k=nでj=n+1です。式と両端の範囲を一緒に変えます。
cは定数、p,qは1≦p≦qを満たす整数です。Σ_{k=p}^{q}cの値はどれですか。
- (q−p)c
- (q−p+1)c
- qc
- pc
答えと解説
(q−p+1)c
両端を含むq−p+1個の同じcを足します。
Σ_{k=4}^{9}k²と等しい式はどれですか。
- Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{4}k²
- Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{2}k²
- Σ_{k=1}^{8}k²−Σ_{k=1}^{3}k²
- Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{3}k²
答えと解説
Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{3}k²
必要な第4項を残すため、第3項までの和を引きます。
Σ_{k=1}^{n}{(k+1)³−k³}で、中間の項が消えた結果はどれですか。
- n³−1
- (n+1)³
- (n+1)³−1
- n³
答えと解説
(n+1)³−1
(2³−1³)+(3³−2³)+…+{(n+1)³−n³}では最初の−1³と最後の(n+1)³が残ります。
考え方を説明する
Σ_{k=3}^{7}(2k−1)をΣなしの全ての項へ開き、項数と値を求めてください。次に7+9+11+13+15+17+19を、Σを用いた一つの式に表し、最初と最後の項を確認します。別の正しい添字の付け方も認めます。
答えと解説
最初は5+7+9+11+13=45で、7−3+1=5項。後は例えばΣ_{j=1}^{7}(2j+5)で、j=1は7、j=7は19、7項。Σ_{k=4}^{10}(2k−1)も同じ後の和を表す。生徒の全項・両端と項数の対応を確かめる。
生徒の最初の全5項と45、後の7項に合うΣ・両端・項数を見る。正しい別の添字も認める。
Σ_{k=1}^{n}(3k²−2k+4)を、平方・一次・定数の和へ分け、全ての正の整数nの式にまとめてください。各定数倍と項数の理由を示し、n=4の直接和でも確認します。
答えと解説
3Σk²−2Σk+4n=n(n+1)(2n+1)/2−n(n+1)+4n=n(2n²+n+7)/2。n=4では項5,12,25,44で和86、公式でも4(32+4+7)/2=86。定数4もn項分ある。生徒の同値な未展開の式と計算過程も認める。
生徒の三つの和・定数4n、式と計算過程の同値性とn=4の全4項・一致を見ます。
Σ_{k=1}^{n}(2k−1)²を展開して平方・一次・定数の和へ分け、nの式を導いてください。n=5で各奇数を二乗した直接和を計算し、和全体を二乗したものとの違いも説明します。
答えと解説
4Σk²−4Σk+n=n(4n²−1)/3。n=5で1+9+25+49+81=165、公式でも5×99/3=165。奇数の和1+3+5+7+9=25を二乗した625とは異なる。各項の二乗と全体の二乗を分ける。
生徒の完全な展開・三つの和・式と計算過程、直接和165と全体の二乗625の区別を見ます。
Σ_{k=4}^{10}k²を、初めからの二つの平方和の差へ直して求めてください。最初の必要な項を落とさないためにどこまでを引くかを示し、7項の直接和でも確認します。
答えと解説
Σ_{k=1}^{10}k²−Σ_{k=1}^{3}k²=385−14=371。引くのは第3項までで、第4項の16は残す。直接も16+25+36+49+64+81+100=371、項数10−4+1=7。
生徒の範囲・S_10−S_3に相当する式と計算過程、両端を含む7項と直接和を見ます。
Σ_{k=1}^{n}(k+2)²でj=k+2と置き、jの範囲と同じ和を示してください。平方和の差と、元の項を展開した和の二通りでnの式を求め、n=3の全項で確認します。
答えと解説
jは3,…,n+2なのでΣ_{j=3}^{n+2}j²=(n+2)(n+3)(2n+5)/6−5。一方でΣ(k²+4k+4)=n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)+4n。両方ともn(2n²+15n+37)/6。n=3は3²+4²+5²=50で両式も50。名前変更だけでなく範囲も変える。
生徒の両端3とn+2・二つの式と同値性、n=3の全3項を見ます。
等式(k+1)³−k³=3k²+3k+1を使います。k=1,…,nの両辺を足し、中間の立方が消えることを全体の式で示してください。自然数の和n(n+1)/2を用い、Σ_{k=1}^{n}k²の公式を導き、n=1,3で確認します。帰納法は必須にしません。
答えと解説
B=Σ_{k=1}^{n}k²とすると、左は(n+1)³−1、右は3B+3n(n+1)/2+n。従って3B=(n+1)³−1−3n(n+1)/2−n、整理してB=n(n+1)(2n+1)/6。n=1は1、n=3は1+4+9=14と一致。有限な全nの等式を足した導出であり、二つの数例だけを証明とはしない。
生徒の消去される立方と両端、右の三つの和・Bについての全変形、二つの確認と一般の導出の違いを見ます。
友達はΣ_{k=1}^{n}(3k+2)=3n(n+1)/2+2としました。n=4の全項と友達の式を別々に計算して誤りを示し、全ての正の整数nで正しい式へ直してください。定数2が何回含まれるかを説明します。
答えと解説
n=4で元は5+8+11+14=38、友達の式は30+2=32。定数2はn回現れるため、正しくは3n(n+1)/2+2n。n=4で30+8=38。n=1だけでは両式が同じでも、全nの式の根拠にはならない。
生徒の元の全4項と二つの値38・32、定数の項数nと修正した式と計算過程を確認します。
友達は「同じ範囲ならΣ f(k)g(k)=(Σ f(k))(Σ g(k))」としました。k=1,2、f(k)=k、g(k)=2k−1で両辺を計算し、余計に入る積を説明してください。その後、Σ_{k=1}^{n}k(2k−1)を正しく分解してnの式へ直します。
答えと解説
左は1×1+2×3=7、右は(1+2)(1+3)=12。右には異なる添字の積1×3と2×1が余分に入り、計5。正しく各項を展開して2Σk²−Σk=n(n+1)(4n−1)/6。n=2なら7に一致する。生徒の同値な式も認める。
生徒の反例の両辺7・12、交差する二積と、正しい二つの和への分解・一般式を見ます。
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)を通分で確かめ、Σ_{k=1}^{n}1/{k(k+1)}の有限和を求めてください。消える項と残る両端を示し、n=6で確認します。分母の条件と、無限個の和を求めていないことも残します。
答えと解説
通分すると{(k+1)−k}/{k(k+1)}=1/{k(k+1)}。有限和は(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+{1/n−1/(n+1)}=1−1/(n+1)=n/(n+1)。n=6なら6/7。kは正の整数なので分母は0でない。任意の有限なnの結果であり、無限級数や極限は結論しない。
生徒の通分・全体の消去と両端、n/(n+1)と6/7、分母が0でないことと有限範囲を見ます。
Aを−2,3から、Bを−1,4から、Nを3,6から一つずつ選びます。Σ_{k=1}^{N}(Ak²+B)の具体式を作り、平方和と定数の和へ分けた式と計算過程、直接に足す全項と結果を示してください。全8条件は必須にしません。
答えと解説
作例A=3,B=−1,N=3ならΣ_{k=1}^{3}(3k²−1)=3×14−3=39。直接は2+11+26=39。一般にはA N(N+1)(2N+1)/6+BNで、A,Bはkによらない定数。生徒の別の許された選択・具体式と直接和も認め、全8条件は要求しない。
生徒の三数・上下の範囲、平方和の係数と定数BN、全項を足した結果との一致を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学B(1)数列ア(イ)・イ(ア)、冊子102–103/PDF114–115を踏まえた独自活動です。Σを具体的な和と対応させ、自然数と平方数の和を用いた分解、有限な範囲の変更と中間項の消去を扱います。数学B全体・固定学年・全ての累乗和や漸化式、無限級数の網羅、実測や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/split-and-reindex-finite-sequence-sums-with-sigma/
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒のΣの上下と添字、具体的な全項と項数、定数倍・定数の和、展開と範囲を保った分解、一般の式と計算過程と元の和への確認を手動で見ます。T1はΣの両方向、T2は二次式と定数、T3は奇数の平方と全体の二乗、T4は途中の範囲、T5は添字の移動、T6は平方和の導出、T7は定数項の誤り、T8は積の和の反例と正しい分解、T9は有限な差の消去、T10は生徒の係数・範囲と直接和です。正しい同値式・別添字・別解を認めます。
Σ_{k=2}^{6}(3k−2)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=1}^{8}5の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=1}^{6}k²の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=1}^{5}k(k+1)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=3}^{7}(2k−1)の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=1}^{4}(2k+1)²の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=1}^{5}1/{k(k+1)}の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
aはkによらない定数です。Σ_{k=1}^{n}(ak+3)を正しく分けた式はどれですか。
- aΣ_{k=1}^{n}k+3
- aΣ_{k=1}^{n}k+3n
- an+3n
- Σ_{k=1}^{n}a+3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正の整数nについてΣ_{k=1}^{n}(2k−1)に常に等しいものはどれですか。
- 2n−1
- n(n+1)
- n²
- n²−1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
k=1,2のとき、Σk²と(Σk)²の比較で正しいものはどれですか。
- どちらも5
- どちらも9
- 前者9、後者5
- 前者5、後者9
途中の計算・単位・理由・確認答え:
n≧2とし、Σ_{k=2}^{n}(k+1)でj=k+1とします。正しい同じ和はどれですか。
- Σ_{j=3}^{n+1}j
- Σ_{j=2}^{n}j
- Σ_{j=1}^{n+1}j
- Σ_{j=3}^{n}j
途中の計算・単位・理由・確認答え:
cは定数、p,qは1≦p≦qを満たす整数です。Σ_{k=p}^{q}cの値はどれですか。
- (q−p)c
- (q−p+1)c
- qc
- pc
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=4}^{9}k²と等しい式はどれですか。
- Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{4}k²
- Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{2}k²
- Σ_{k=1}^{8}k²−Σ_{k=1}^{3}k²
- Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{3}k²
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Σ_{k=1}^{n}{(k+1)³−k³}で、中間の項が消えた結果はどれですか。
- n³−1
- (n+1)³
- (n+1)³−1
- n³
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
Σ_{k=3}^{7}(2k−1)をΣなしの全ての項へ開き、項数と値を求めてください。次に7+9+11+13+15+17+19を、Σを用いた一つの式に表し、最初と最後の項を確認します。別の正しい添字の付け方も認めます。
Σ_{k=1}^{n}(3k²−2k+4)を、平方・一次・定数の和へ分け、全ての正の整数nの式にまとめてください。各定数倍と項数の理由を示し、n=4の直接和でも確認します。
Σ_{k=1}^{n}(2k−1)²を展開して平方・一次・定数の和へ分け、nの式を導いてください。n=5で各奇数を二乗した直接和を計算し、和全体を二乗したものとの違いも説明します。
Σ_{k=4}^{10}k²を、初めからの二つの平方和の差へ直して求めてください。最初の必要な項を落とさないためにどこまでを引くかを示し、7項の直接和でも確認します。
Σ_{k=1}^{n}(k+2)²でj=k+2と置き、jの範囲と同じ和を示してください。平方和の差と、元の項を展開した和の二通りでnの式を求め、n=3の全項で確認します。
等式(k+1)³−k³=3k²+3k+1を使います。k=1,…,nの両辺を足し、中間の立方が消えることを全体の式で示してください。自然数の和n(n+1)/2を用い、Σ_{k=1}^{n}k²の公式を導き、n=1,3で確認します。帰納法は必須にしません。
友達はΣ_{k=1}^{n}(3k+2)=3n(n+1)/2+2としました。n=4の全項と友達の式を別々に計算して誤りを示し、全ての正の整数nで正しい式へ直してください。定数2が何回含まれるかを説明します。
友達は「同じ範囲ならΣ f(k)g(k)=(Σ f(k))(Σ g(k))」としました。k=1,2、f(k)=k、g(k)=2k−1で両辺を計算し、余計に入る積を説明してください。その後、Σ_{k=1}^{n}k(2k−1)を正しく分解してnの式へ直します。
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)を通分で確かめ、Σ_{k=1}^{n}1/{k(k+1)}の有限和を求めてください。消える項と残る両端を示し、n=6で確認します。分母の条件と、無限個の和を求めていないことも残します。
Aを−2,3から、Bを−1,4から、Nを3,6から一つずつ選びます。Σ_{k=1}^{N}(Ak²+B)の具体式を作り、平方和と定数の和へ分けた式と計算過程、直接に足す全項と結果を示してください。全8条件は必須にしません。
解答: Σを開き、足す範囲と項を分けて和へ戻す
50
kは2,3,4,5,6の5個です。3(2+3+4+5+6)−2×5=60−10=50。
40
同じ5を8個足すので8×5=40です。
91
1+4+9+16+25+36=91。公式6×7×13/6でも91です。
70
k²+kへ分けると55+15=70。直接にも2+6+12+20+30=70です。
45
項は5,7,9,11,13の5個で和は45。2Σ_{k=3}^{7}k−5=50−5でも一致します。
164
各項の二乗は9,25,49,81で、和は164。4Σk²+4Σk+4=120+40+4でも一致します。
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)。中間項が消え、1−1/6=5/6です。分母は正の整数で0になりません。
aΣ_{k=1}^{n}k+3n
akはaを外へ出せますが、定数3の和は3nです。
n²
2×n(n+1)/2−n=n²。最初のn個の正の奇数の和です。
前者5、後者9
各項を二乗する和は1²+2²=5、和の二乗は(1+2)²=9です。
Σ_{j=3}^{n+1}j
k=2でj=3、k=nでj=n+1です。式と両端の範囲を一緒に変えます。
(q−p+1)c
両端を含むq−p+1個の同じcを足します。
Σ_{k=1}^{9}k²−Σ_{k=1}^{3}k²
必要な第4項を残すため、第3項までの和を引きます。
(n+1)³−1
(2³−1³)+(3³−2³)+…+{(n+1)³−n³}では最初の−1³と最後の(n+1)³が残ります。
記述問題の解答・確認の観点
Σ_{k=3}^{7}(2k−1)をΣなしの全ての項へ開き、項数と値を求めてください。次に7+9+11+13+15+17+19を、Σを用いた一つの式に表し、最初と最後の項を確認します。別の正しい添字の付け方も認めます。
最初は5+7+9+11+13=45で、7−3+1=5項。後は例えばΣ_{j=1}^{7}(2j+5)で、j=1は7、j=7は19、7項。Σ_{k=4}^{10}(2k−1)も同じ後の和を表す。生徒の全項・両端と項数の対応を確かめる。
生徒の最初の全5項と45、後の7項に合うΣ・両端・項数を見る。正しい別の添字も認める。
Σ_{k=1}^{n}(3k²−2k+4)を、平方・一次・定数の和へ分け、全ての正の整数nの式にまとめてください。各定数倍と項数の理由を示し、n=4の直接和でも確認します。
3Σk²−2Σk+4n=n(n+1)(2n+1)/2−n(n+1)+4n=n(2n²+n+7)/2。n=4では項5,12,25,44で和86、公式でも4(32+4+7)/2=86。定数4もn項分ある。生徒の同値な未展開の式と計算過程も認める。
生徒の三つの和・定数4n、式と計算過程の同値性とn=4の全4項・一致を見ます。
Σ_{k=1}^{n}(2k−1)²を展開して平方・一次・定数の和へ分け、nの式を導いてください。n=5で各奇数を二乗した直接和を計算し、和全体を二乗したものとの違いも説明します。
4Σk²−4Σk+n=n(4n²−1)/3。n=5で1+9+25+49+81=165、公式でも5×99/3=165。奇数の和1+3+5+7+9=25を二乗した625とは異なる。各項の二乗と全体の二乗を分ける。
生徒の完全な展開・三つの和・式と計算過程、直接和165と全体の二乗625の区別を見ます。
Σ_{k=4}^{10}k²を、初めからの二つの平方和の差へ直して求めてください。最初の必要な項を落とさないためにどこまでを引くかを示し、7項の直接和でも確認します。
Σ_{k=1}^{10}k²−Σ_{k=1}^{3}k²=385−14=371。引くのは第3項までで、第4項の16は残す。直接も16+25+36+49+64+81+100=371、項数10−4+1=7。
生徒の範囲・S_10−S_3に相当する式と計算過程、両端を含む7項と直接和を見ます。
Σ_{k=1}^{n}(k+2)²でj=k+2と置き、jの範囲と同じ和を示してください。平方和の差と、元の項を展開した和の二通りでnの式を求め、n=3の全項で確認します。
jは3,…,n+2なのでΣ_{j=3}^{n+2}j²=(n+2)(n+3)(2n+5)/6−5。一方でΣ(k²+4k+4)=n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)+4n。両方ともn(2n²+15n+37)/6。n=3は3²+4²+5²=50で両式も50。名前変更だけでなく範囲も変える。
生徒の両端3とn+2・二つの式と同値性、n=3の全3項を見ます。
等式(k+1)³−k³=3k²+3k+1を使います。k=1,…,nの両辺を足し、中間の立方が消えることを全体の式で示してください。自然数の和n(n+1)/2を用い、Σ_{k=1}^{n}k²の公式を導き、n=1,3で確認します。帰納法は必須にしません。
B=Σ_{k=1}^{n}k²とすると、左は(n+1)³−1、右は3B+3n(n+1)/2+n。従って3B=(n+1)³−1−3n(n+1)/2−n、整理してB=n(n+1)(2n+1)/6。n=1は1、n=3は1+4+9=14と一致。有限な全nの等式を足した導出であり、二つの数例だけを証明とはしない。
生徒の消去される立方と両端、右の三つの和・Bについての全変形、二つの確認と一般の導出の違いを見ます。
友達はΣ_{k=1}^{n}(3k+2)=3n(n+1)/2+2としました。n=4の全項と友達の式を別々に計算して誤りを示し、全ての正の整数nで正しい式へ直してください。定数2が何回含まれるかを説明します。
n=4で元は5+8+11+14=38、友達の式は30+2=32。定数2はn回現れるため、正しくは3n(n+1)/2+2n。n=4で30+8=38。n=1だけでは両式が同じでも、全nの式の根拠にはならない。
生徒の元の全4項と二つの値38・32、定数の項数nと修正した式と計算過程を確認します。
友達は「同じ範囲ならΣ f(k)g(k)=(Σ f(k))(Σ g(k))」としました。k=1,2、f(k)=k、g(k)=2k−1で両辺を計算し、余計に入る積を説明してください。その後、Σ_{k=1}^{n}k(2k−1)を正しく分解してnの式へ直します。
左は1×1+2×3=7、右は(1+2)(1+3)=12。右には異なる添字の積1×3と2×1が余分に入り、計5。正しく各項を展開して2Σk²−Σk=n(n+1)(4n−1)/6。n=2なら7に一致する。生徒の同値な式も認める。
生徒の反例の両辺7・12、交差する二積と、正しい二つの和への分解・一般式を見ます。
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)を通分で確かめ、Σ_{k=1}^{n}1/{k(k+1)}の有限和を求めてください。消える項と残る両端を示し、n=6で確認します。分母の条件と、無限個の和を求めていないことも残します。
通分すると{(k+1)−k}/{k(k+1)}=1/{k(k+1)}。有限和は(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+{1/n−1/(n+1)}=1−1/(n+1)=n/(n+1)。n=6なら6/7。kは正の整数なので分母は0でない。任意の有限なnの結果であり、無限級数や極限は結論しない。
生徒の通分・全体の消去と両端、n/(n+1)と6/7、分母が0でないことと有限範囲を見ます。
Aを−2,3から、Bを−1,4から、Nを3,6から一つずつ選びます。Σ_{k=1}^{N}(Ak²+B)の具体式を作り、平方和と定数の和へ分けた式と計算過程、直接に足す全項と結果を示してください。全8条件は必須にしません。
作例A=3,B=−1,N=3ならΣ_{k=1}^{3}(3k²−1)=3×14−3=39。直接は2+11+26=39。一般にはA N(N+1)(2N+1)/6+BNで、A,Bはkによらない定数。生徒の別の許された選択・具体式と直接和も認め、全8条件は要求しない。
生徒の三数・上下の範囲、平方和の係数と定数BN、全項を足した結果との一致を見ます。