空間の図：面・垂線の足と全交線の観察記録

得られる結果

交わらない二直線の非平行、平面への垂直の二直線条件、正射影と斜めの長さ、全ての面をつなぐ断面とその射影を生徒の図から区別できます。

操作手順

1. 面の条件と輪郭全体を、最終数から分ける

   長さや断面の名前が合ったことだけで、生徒が直線の延長・垂線の足・全ての面の交線を説明した証拠にしません。上の頂点の対応、生徒の図の仮定と幾何の理由を、講師の見本や見た目から分けます。

2. 紙や既存ボードへ写す12項目

   生徒が示す直方体の上下の対応と正の三辺：[ ] 調べる二直線の延長と共通点：[ ] 直線が面に含まれる場合と共通点のない平行：[ ] 面内の交わる二直線への垂直と理由：[ ] 生徒がとった二端点の垂線の足：[ ] 元の線分・正射影・平面までの距離の区別：[ ] 二つの直角三角形と正の長さ：[ ] 切断平面の三点とそれぞれの面：[ ] 各面の全交線と第四点の根拠：[ ] 面の範囲で閉じた輪郭と除く延長：[ ] 断面全体の正射影が点・線・面のどれか：[ ] 生徒の修正・講師の支援と未確認：[ ]

3. 作例A：二つの面と延長から、ねじれに戻す

   見本ABCD-EFGHではAB∥EF、ABとBFはBで交わります。ABは底面内、FHは平行な上面内なので交わらず、FHはEFとFで交わるので、EFと平行なABにも平行ではありません。従ってABとFHはねじれ。生徒が延長を含む共通点と非平行の両方を示し、交わらないだけで平行としないかを見ます。

4. 作例B：二端点の足と、三つの長さに戻す

   見本AB=6,AD=8,AE=24では、AEは底面の交わるAB・ADに垂直なので底面に垂直です。Gの足はC、Aの足はAで、AGの正射影はAC。AC=10、AG=26、Gから底面の距離はCG=24です。生徒が二つの直角三角形の根拠と足を示し、斜めの長さ・正射影・垂線の距離を混ぜないかを見ます。

5. 作例C：面の交線を閉じて、三点だけの判断から戻す

   見本の平面AFHでは、前面ABFEのAF、上面EFGHのFH、左面ADHEのHAが端点を共有して閉じ、断面は三角形AFHです。A,F,HはEから出る三辺の各先端で、E側の角を切り分けます。生徒が面の範囲で全交線をつなぎ、図で重なった対角線や平面外のGを勝手に加えないかを見ます。

6. 作例D：別の一本への垂直から、足りない条件を戻す

   別の見本で友達は「AF⊥ADだからAF⊥底面」としました。ADはAで交わるAB・AEに垂直なので前面ABFEに垂直で、AF⊥ADは正しい。しかし直角三角形ABFの∠BAFは鋭角で、AFはABに垂直ではありません。従って底面への垂直という結論は誤りです。生徒が仮定を満たす実際の線と、面内のもう一本に垂直でない理由を両方示したかを見ます。

7. 作例E：別の縦の断面と、その正射影に戻す

   別の見本AB=8,AD=15,AE=12で平面AEGを考えます。上面のEGと底面のACは平行で、縦の辺AE・CGと合わせて長方形AEGCが断面全体です。AC=17、AE=12ですが、底面への足はA,A,C,Cとなるので断面の正射影は線分ACです。生徒が各面の交線と輪郭全体を示し、断面が長方形だから射影も面積をもつ長方形と決めないかを見ます。

8. 正しい別の図と未確認へ戻る

   正しい別の向きの図や補助線、幾何の証明を認めます。傾いた平面AFGのように第四点を追加するときも、平行な直線と各面の交線から輪郭全体を確かめます。生徒が12通りから選ぶ一例と理由を、講師の支援・未確認から分け、全例を必須にしません。自由な図や証明の自動採点と、観察欄の自動保存はありません。

知っておきたいこと

• 現行数学Ａ(1)ア(ウ)・イ(ア)、冊子88〜90/PDF100〜102の空間図形と論理的考察を踏まえた独自活動です。直線と平面の位置、直方体の正射影、基本的な断面に限り、固定学年や空間図形全体の履修を主張しません。
• 直線は延長を含みます。この教材では、平面と平行な直線はその平面と共通点を持たない場合とし、平面に含まれる場合を分けます。一本への垂直と、面内の交わる二直線への垂直を区別します。
• 図は配置の模式図です。線分・文字を編集しても平行・垂直・足・断面は自動拘束・自動更新されません。12項目は紙や授業用ボードに手動で記録します。断面を自動で求める機能、立体を回転させる機能、証明の自動判定、観察欄の自動保存はありません。
• 座標・ベクトル・外積は生徒の履修や証明の前提にしません。生徒の図・足・全ての交線と幾何の理由を講師の見本・支援から分け、実際の生徒との試用・学習効果は未確認です。

関連ガイド

• 面・垂線の足と閉じた断面を確かめる授業用ボード
• 空間の位置・正射影と断面の練習
• 文部科学省・数学Ａ：空間図形と論理的考察