空間の位置関係を、正射影と断面の根拠から考える
直方体の直線と平面を、見取図の見た目と実際の条件に分けて考えます。準備の選択14問と、生徒が図・反例・断面の全ての交線を作る主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ａ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ａ(1)ア(ウ)・イ(ア)、冊子88〜90/PDF100〜102の空間図形と論理的考察を踏まえた独自課題です。直線・平面の位置、直方体の正射影、基本的な断面に限定します。一般の切断ソルバー・立体回転ソフト・数学Ｃのベクトル・固定学年の履修・実際の授業結果を主張せず、原典の問題や図版も写していません。
解説を読む
空間では、交わらない二直線が必ず平行とは限らず、同じ正射影から元の位置関係が一意に決まるとも限りません。直方体に一貫した名前を付け、どの面にあるか、直角を何から言えるか、切り口がどの面を通るかを説明します。
必要な予備知識
中学校の直方体・平行と垂直・ねじれの位置・投影図、三角形と長方形の基本、中点と平行線。全ての辺の長さが正の直方体を扱います。ベクトル・外積・座標の一般公式は履修の前提にせず、紙・定規や既存ボードで自分の図と幾何の理由を確認します。
- 直方体は下の面をABCD、各頂点A・B・C・Dの真上を順にE・F・G・Hと名付けます。ABCDとEFGHは向かい合う面、AE・BF・CG・DHは高さの方向の辺です。見取図の画面上の角や長さを、そのまま実際の角や長さとしません。
- 異なる二直線が同じ平面内にあれば、交わるか平行です。同じ平面に含められない二直線はねじれの位置です。空間で交わらないというだけで平行とせず、共通の平面の有無も確認します。直線は両方向に無限に延ばしたものとして考えます。
- 直線と平面は、直線が平面内に含まれる、一点で交わる、共通点を持たず平行である場合を区別します。この教材で直線と平面が平行というときは、直線がその平面内にある場合を含めません。線分の端点だけでなく、それを含む直線を調べます。
- 平面内の一点で交わる異なる二直線の両方に、その交点を通る別の直線が垂直なら、その直線は平面に垂直です。使う二本が同じ平面内にあり、同じ足で交わることを確かめます。
- 平面内の一本の直線に垂直なだけでは、平面全体への垂直は言えません。例えば平面の中にも、その一本に垂直に交わる別の直線を選べます。その直線自身は同じ平面に含まれます。何本のどの直線を、どの交点で使ったかを記録します。
- 空間で同じ直線に垂直な二直線が、互いに平行とは限りません。一つの平面内で交わる異なる二直線をとり、その交点を通ってその平面に垂直な直線を考えると、前の二直線はどちらもこの直線に垂直でも、互いに平行ではありません。平面内の性質を使うときは、関係する全ての直線が同じ平面にある条件を確認します。
- 二つの異なる平面について、一方の平面内で交わる二直線が、他方の平面内で交わる二直線にそれぞれ平行なら、その二平面は平行です。どの二本がどの点で交わるかと、二つの面が同じ面ではないことを明記します。
- 正射影では、各点から対象の平面に下ろした垂線の足を使います。直方体の上の頂点の底面への足は、E→A、F→B、G→C、H→Dです。元の線分とその正射影の線分を、同じ線そのものとはしません。投影された図で交わることだけから、元の二直線の交わりも決めません。
- 切断では、切る平面が各面と交わる線をたどり、隣の面とのつながりと全ての辺の交点を確かめます。三点を結んだだけで切り口全体と決めません。平面が辺や頂点を含む場合も、同じ点を重複して新しい頂点に数えないようにします。
- 断面が底面に平行だと説明するときも、二本の交わる線と平行の条件を示します。正射影が同じという事実と、元の直線が平面に平行・垂直・交わるという事実は別です。主課題では生徒の図と全ての根拠を残し、準備の選択結果だけで終わりにしません。
解き方の例
ADとBFは平行ではなく、交わりもしません。BFが底面と交わるのはBですがBはAD上にありません。もしADとBFを同じ平面に含められるなら、その平面はADとBを含む底面ABDと同じになり、底面外のFまで含むことになって矛盾します。従ってADとBFはねじれの位置です。
上面の対角線FHの両端の底面への足はB・Dなので、その正射影はBDです。FHは底面と平行な上面内にあり、底面と共通点を持たないので、直線FHは底面と平行です。一方、底面内の対角線BDそのものは底面に含まれ、この教材でいう「直線と平面が平行」とは区別します。
よくある間違い
- 空間で交わらない二直線を、共通の平面を調べず平行とする。
- 一本の平面内の直線に垂直なだけで、平面全体にも垂直とする。
- 同じ直線に垂直な二直線は、空間でも必ず平行だとする。
- 平面に含まれる直線を、共通点がない意味でその平面に平行とする。
- 投影図の交点や同じ射影だけで、元の直線の位置関係を決める。
- 断面を三点だけで決めつけ、他の面の交線や辺の交点を落とす。
考え方を説明する
準備の選択14問は位置と条件を読む足場です。主課題では生徒の一貫した頂点名、直線・平面の全ての条件、同一平面の有無、垂線の足、断面の全ての交線、反例と理由を手動確認します。T1は六組の直線の位置と根拠、T2は二本の交わる線による垂直、T3とT4は二つの誤った一般化の反例、T5は前後の二平面の平行と、指定した面に対する直線の位置、T6は正射影と実際の交点の違い、T7は四つの側面を通る断面、T8は三頂点を通る切り口の全体、T9は高さを変えた二配置の比較、T10は生徒の具体的な直方体と切断を見ます。正しい別の図や幾何の証明を認め、見取図の角度の測定や最終的な名称だけで達成としません。
準備は一つの選択だけを自動採点します。生徒の立体の見取図・平面図・正射影・断面・反例・全ての説明は講師が手動確認します。座標や外積を用いた自動切断・自動証明機能を生徒に要求しません。図中の点や辺以外に、未指定の完成した切り口を読み込ませません。
練習する
準備の選択だけを自動採点します。自分の図・位置関係・反例・正射影と断面の全体・理由は手動確認し、準備の点数だけを主課題の達成にしません。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。異なる直線ABとEFの位置関係はどれですか。
- ねじれの位置
- 一点で交わる
- 同じ平面内で平行
- 同じ直線として重なる
答えと解説
同じ平面内で平行
ABとEFは同じ面ABFEの向かい合う辺なので、同一平面内の平行な異なる直線です。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直線ABとCGの位置関係はどれですか。
図を準備しています。
- ねじれの位置
- 同じ平面内で平行
- 一点で交わる
- 同じ直線として重なる
答えと解説
ねじれの位置
CGと底面の交点CはAB上にありません。ABとCGを同一平面に含めるとABとCの定める底面にGも入ることになり矛盾するので、ねじれの位置です。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。異なる直線ABとBCの位置関係はどれですか。
- 同じ平面内で平行
- ねじれの位置
- 同じ直線として重なる
- 同じ平面内でBで交わる
答えと解説
同じ平面内でBで交わる
二直線は同じ底面内でBを共有し、直方体の隣り合う辺として直角に交わります。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直線AEと底面ABCDの位置関係はどれですか。
- 直線が底面内に含まれる
- Aで底面に垂直に交わる
- 共通点を持たず平行である
- 垂直ではない角で一点で交わる
答えと解説
Aで底面に垂直に交わる
AEは底面内でAで交わるABとADの両方に垂直なので、底面に垂直です。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直線ABと底面ABCDの位置関係はどれですか。
- 直線ABが底面内に含まれる
- 共通点を持たず平行である
- Aだけで底面に垂直に交わる
- Bだけで底面に垂直に交わる
答えと解説
直線ABが底面内に含まれる
ABは底面の辺を含む直線で、底面内にあります。共通点がない意味の平行とは分けます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。上面の対角線を含む直線EGと底面ABCDの位置関係はどれですか。
- 直線EGが底面内に含まれる
- 一点で底面に垂直に交わる
- 共通点を持たず底面に平行である
- 垂直ではない角で底面と交わる
答えと解説
共通点を持たず底面に平行である
EGは底面と平行な上面内にあり、底面と共通点を持ちません。従って底面と平行です。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AEが底面に垂直であることを、底面内でAで交わる二直線への垂直から説明します。その二条件の組はどれですか。
- AE⊥ABとAE⊥CD
- AE⊥ABとAE⊥AD
- AE⊥ABとAE⊥EF
- AE⊥ADとAE⊥EH
答えと解説
AE⊥ABとAE⊥AD
ABとADは両方とも底面内にあり、Aで交わる異なる直線です。ABとCDは平行で交わらず、EFやEHは底面内の直線ではありません。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AD⊥ABという一本の直線への垂直だけから、ADが底面全体にも垂直だとする主張を調べます。ADについて実際に成り立つ事実はどれですか。
- ADは底面全体に垂直である
- ADは底面と共通点を持たない
- ADは底面の外にある直線である
- ADは底面内に含まれる直線である
答えと解説
ADは底面内に含まれる直線である
AD自体は底面内にあり、一本の底面内の直線ABに垂直なことは、平面全体への垂直を意味しません。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。ABとADはどちらもAEに垂直です。この二直線AB・ADについて正しい説明はどれですか。
- Aで交わるので、互いに平行ではない
- 互いに平行なので、どこでも交わらない
- 同じ直線なので、全ての点で重なっている
- ねじれの位置なので、どこでも交わらない
答えと解説
Aで交わるので、互いに平行ではない
ABとADは同じ底面内でAで交わる別の直線です。同じAEに垂直でも、空間で互いに平行とは限りません。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。線分AGの底面ABCDへの正射影はどの線分ですか。
図を準備しています。
- AB
- AE
- AC
- CG
答えと解説
AC
Aの足はA自身、Gの足はCなので、線分AGの正射影はACです。CGそのものは垂線で、射影の線分ではありません。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AGとEGの底面への正射影と、元の直線の底面に対する関係を正しく述べたものはどれですか。
- 両者の射影はACで、AGもEGも底面と平行
- 両者の射影はACで、AGはAで交わりEGは平行
- AGの射影はCG、EGの射影はACで、両者平行
- AGの射影はAC、EGの射影はEGで、両者垂直
答えと解説
両者の射影はACで、AGはAで交わりEGは平行
Gの足はC、AとEの足はどちらもAなので射影は両方AC。一方、AGはAで底面に交わり、EGは底面と共通点を持たず平行です。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。P・Q・RはAE・BF・CGの中点です。この三点を通る平面が残る高さの辺DHと交わる点はどれですか。
図を準備しています。
- DからDHの1/3の高さの点
- DからDHの2/3の高さの点
- DからDHの1/4の高さの点
- DからDHの1/2の高さの点
答えと解説
DからDHの1/2の高さの点
各側面で同じ高さの中点を結ぶ線は底面の辺に平行です。切る平面は底面と平行で、DHでも同じ半分の高さ、すなわち中点で交わります。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。三点A・F・Hを通る平面で切った断面の、異なる頂点の数はどれですか。
図を準備しています。
- 6
- 5
- 3
- 4
答えと解説
3
前の面のAF、左の面のAH、上の面のFHが切り口を閉じます。残る三面とはそれぞれ頂点F・H・Aだけで接し、新しい辺上の頂点は増えないので三角形です。
二つの異なる空間の直線の、ある平面への正射影が同じ直線でした。この情報だけから言えることはどれですか。
- 元の直線の平面との位置関係は、それだけでは決まらない
- 元の二直線は、必ずどちらもその平面と平行である
- 元の二直線は、必ずどちらもその平面に垂直である
- 元の二直線は、必ず空間でも同じ直線として重なる
答えと解説
元の直線の平面との位置関係は、それだけでは決まらない
例えば直方体のAGとEGは、底面への射影が同じACでも、前者は底面と交わり後者は平行です。元の高さや交点などの条件が必要です。
考え方を説明する
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。自分の見取図に頂点を記し、直線の六組ABとEF、ABとCG、ABとBC、AEとCG、AGとEC、ABとGHを、平行・交わる・ねじれの位置に分類してください。それぞれについて同じ平面に含められるか、交点があるか、その根拠を説明します。AGとECでは、対角線を含む長方形も自分の図に加えます。
答えと解説
ABとEFは面ABFE内で平行。ABとCGは交わらず、ABとCの定める底面にGを含められないためねじれ。ABとBCは底面内でBで交わる。AEとCGは長方形ACGEの向かい合う辺で平行。AGとECは同じ長方形ACGEの対角線なので、その中心で交わる。ABとGHは、AB∥EFとEF∥GHから平行で、二直線を含む面ABGHにも表せる。
生徒の一貫した八頂点、六組全ての分類と共通平面・交点の幾何の理由を見る。AGとECの画面上の交差だけを根拠にしない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。底面内でCで交わる二本の異なる直線を選び、CGが底面ABCDに垂直なことを説明してください。二本が底面内であること、交点、直角の根拠を図と文章で記録します。底面内のABとCDだけを使って十分とする説明では、どの条件が欠けるかも示してください。
答えと解説
CBとCDは底面内でCで交わる。直方体の辺の条件からCG⊥CB、CG⊥CD。従って、平面内の交わる二直線の両方にその交点で垂直な直線としてCG⊥平面ABCD。ABとCDは底面内でも平行で交わらず、ABはCを通らないので、Cで交わる二直線というこの基準の条件を満たさない。
生徒の二直線・Cの交点・二つの直角と基準の全ての条件、平行な二線だけでは同じ基準を使えない理由を見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。友達は「EF⊥FGでFGは上面EFGH内だから、EFは上面全体に垂直だ」としました。EF・FGと上面を図示し、実際のEFの位置から反例を説明してください。平面全体への垂直を言うために、平面内の何本の直線とどの交点・直角の条件が必要なのかも、一般の言葉で示します。
答えと解説
EFは上面の辺を含む直線で、上面内にある。EF⊥FGでも上面全体への垂直ではないので、友達の一般化の反例。平面内の一点で交わる異なる二直線の両方に、その交点を通る直線が垂直である、という条件なら平面への垂直の基準を満たす。
生徒の上面内の具体的な反例の図と、一本への垂直を平面への垂直へ広げられない理由、正しい一般の基準の全ての条件を見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。友達は「同じ直線に垂直な二直線は、空間でも必ず平行だ」としました。EAと、それに垂直なEF・EHを図示し、反例として三直線の交点・平面と実際の位置関係を説明してください。平面内だけの性質を使う場合に、どの条件を明記すべきかも書いてください。
答えと解説
EFとEHはどちらもEAにEで垂直だが、EFとEHは上面内でEで交わる異なる直線で、平行ではない。EA・EFを含む面ABFEとEA・EHを含む面ADHEは異なるため、三直線を同じ一平面内に置いた状況ではない。同じ平面内で同じ直線に垂直な異なる二直線を扱う性質には、三直線が同一平面内という条件が必要。
生徒のEでの二つの直角、EFとEHの交点、三直線の同一平面性が欠けることを幾何の根拠とともに見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。前の面ABFEと後ろの面DCGHが平行なことを、各面内の交わる二直線どうしの二組の平行から説明してください。その上で直線DGと前の面ABFEの位置関係を決め、前の面内の直線AFとの違いを、共通点の有無を使って説明します。
答えと解説
ABとBFは前の面内でBで交わり、DCとCGは後ろの面内でCで交わる。AB∥DC、BF∥CGで二つの面は異なるので、二平面は平行。DGは前の面と平行で交わらない後ろの面内にあり、前の面と共通点を持たないので直線DGは前の面と平行。AFは前の面内に含まれ、共通点を持つので、同じ意味の平行とはしない。
生徒の二組の平行と各交点、面が異なる条件、DGとAFを共通点の有無で分けた説明を見る。平行な一組だけで二平面を決めない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AGの底面への正射影を、両端からの垂線の足と、対角線を含む長方形から作図してください。次にABとFGも底面に正射影し、その投影された線が交わる点を示します。その交差だけで元の直線ABとFGも交わると言えるか、実際の点の高さ・共通平面を調べて説明してください。
答えと解説
Aの足はA、Gの足はCで、AGを含む長方形ACGEを使うと射影はAC。ABの射影はAB、FGの射影はBCで、投影図ではBで交わる。しかしABは底面、FGは上面内なので共通点を持たず、向きも異なる。仮にABとFGを同一平面に含めるとABとFを含む前の面ABFEにGも入る矛盾があり、ねじれの位置。投影図の交差は元の二直線の交点の証明にならない。
生徒の三つの射影と垂線の足、投影図のBと実際のFの高さの違い、非平行・非交点・同一平面に含められない理由を見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。P・Q・Rは辺AE・BF・CGの中点です。三点を通る平面の切り口全体を作図し、残る高さの辺DHとの交点を新たにSと名付けて位置を決めてください。四つの側面上の交線を全て示し、底面や上面と新たに交わるか、切り口の形を何から言えるかを説明します。
答えと解説
同じ高さの中点を結ぶPQはABに平行、QRはBCに平行で、PQ・QRはQで交わる。従って切る平面は底面と平行で、側面ADHEでもDHの中点Sを通る。前・右・後・左の側面の交線はPQ・QR・RS・SP。底面・上面には交わらない。向かい合う辺が平行で、PQ⊥QRも底面の対応する辺の直角から言えるので、断面は長方形PQRS。
生徒の第四の点の位置の根拠、四側面の完全な交線、上下の面との関係、二つの交わる線の平行と直角からの長方形の説明を見る。Sや完成線の転記だけでなく作図と理由を確認する。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。三点A・F・Hを通る平面で切った切り口全体を作図し、各線分がどの面上にあるかを記録してください。残る三つの面も調べ、他の辺上に新しい交点がないことを説明します。三点を結んだから完成とせず、異なる全ての頂点と切り口の形を、その面の交線から決めてください。
答えと解説
前の面ABFEの交線はAF、左の面ADHEはAH、上面EFGHはFH。右の面BCGFとの交線はFを通りAHに平行で、Fから一方へ進むと上面外、反対へ進むと前の面の外へ出るため、この面内ではFだけ。後の面DCGHもHを通りAFに平行な線がH以外では面外へ出る。底面はAを通りFHに平行な線がA以外では底面の外へ出る。従って新しい辺上の頂点はなく、断面は三角形AFHである。
生徒の三つの面上の線分と、残る三面の頂点だけの交わりを含む完全な確認を見る。幾何の別の正しい説明も認め、座標の一般式や外積を必須にしない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AB=6、AD=4、AE=3とします。PをAE上のAからの高さ1の点、QをCG上のCからの高さ2の点、Q′をCG上のCからの高さ1の点とします。PとQの配置、PとQ′の配置をそれぞれ描いてください。各線分を含む直線と底面ABCDの位置関係を決め、底面への正射影も作図し、幾何の理由を説明します。二つの正射影が一致するか、その情報だけで元の直線と底面の平行を判定できるかも調べてください。
答えと解説
Pの足はA、QとQ′の足はCなので、両線分の正射影はAC。長方形ACGE内でPとQは高さが異なり、直線PQをP側へ延ばすと底面に交わるので平行でない。この例では高さ1の差だけ戻すと、AからCと反対へACと同じ長さ進んだ底面上の点に達する。一方PとQ′は等しい高さ1にあり、PQ′はACと平行で底面とは共通点を持たない。射影が同じでも、一方は底面と交わり他方は平行なので、同じ射影という情報だけでは判定できない。
生徒の異なる二つの高さの配置、各直線を延長した場合の位置、三つの足と射影、等しい射影と異なる結論の反例を手動で見る。問いの中に結論や射影の名前を先に与えない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直方体の三辺を(4,3,2)、(6,4,3)、(8,6,4)から一組選び、全てをk=1または2倍します。底面をABCD、上面をEFGHと名付け、高さAEに対する割合hを1/2または1/3から一つ選びます。AE・BF・CG上の下の頂点から同じ割合hだけ進んだ点をP・Q・Rとしてください。この三点を通る断面全体、DH上の残る交点S、実際の高さ、断面の底面への正射影を作図し、直線PQと底面の位置関係を根拠とともに説明します。全12条件を解く必要はありません。
答えと解説
作例は三辺(4,3,2)、k=2、h=1/3。実際の三辺は8・6・4、各点の高さは4/3で、SもDH上のDからの高さ4/3。各側面で等しい高さの点を結ぶ線は底面の辺に平行になり、断面は長方形PQRSで底面と平行。四点の足は順にA・B・C・Dなので、断面の正射影は長方形ABCD全体。PQは高さ4/3の切断平面内にあり、底面と共通点を持たず平行。生徒の別の許された一条件と根拠も認める。
生徒が選んだ三辺・倍率・割合と実際の高さ、四側面の全ての交線と第四点、足と射影の全体、直線と平面の平行の条件を見る。単に作例を写したり、選ばなかった全12例を必須にしたりしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ａ(1)ア(ウ)・イ(ア)、冊子88〜90/PDF100〜102の空間図形と論理的考察を踏まえた独自課題です。直線・平面の位置、直方体の正射影、基本的な断面に限定します。一般の切断ソルバー・立体回転ソフト・数学Ｃのベクトル・固定学年の履修・実際の授業結果を主張せず、原典の問題や図版も写していません。 · 2026-11-04
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/reason-about-spatial-positions-with-projections-and-sections/
準備の選択14問は位置と条件を読む足場です。主課題では生徒の一貫した頂点名、直線・平面の全ての条件、同一平面の有無、垂線の足、断面の全ての交線、反例と理由を手動確認します。T1は六組の直線の位置と根拠、T2は二本の交わる線による垂直、T3とT4は二つの誤った一般化の反例、T5は前後の二平面の平行と、指定した面に対する直線の位置、T6は正射影と実際の交点の違い、T7は四つの側面を通る断面、T8は三頂点を通る切り口の全体、T9は高さを変えた二配置の比較、T10は生徒の具体的な直方体と切断を見ます。正しい別の図や幾何の証明を認め、見取図の角度の測定や最終的な名称だけで達成としません。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。異なる直線ABとEFの位置関係はどれですか。
- ねじれの位置
- 一点で交わる
- 同じ平面内で平行
- 同じ直線として重なる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直線ABとCGの位置関係はどれですか。
図を準備しています。
- ねじれの位置
- 同じ平面内で平行
- 一点で交わる
- 同じ直線として重なる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。異なる直線ABとBCの位置関係はどれですか。
- 同じ平面内で平行
- ねじれの位置
- 同じ直線として重なる
- 同じ平面内でBで交わる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直線AEと底面ABCDの位置関係はどれですか。
- 直線が底面内に含まれる
- Aで底面に垂直に交わる
- 共通点を持たず平行である
- 垂直ではない角で一点で交わる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直線ABと底面ABCDの位置関係はどれですか。
- 直線ABが底面内に含まれる
- 共通点を持たず平行である
- Aだけで底面に垂直に交わる
- Bだけで底面に垂直に交わる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。上面の対角線を含む直線EGと底面ABCDの位置関係はどれですか。
- 直線EGが底面内に含まれる
- 一点で底面に垂直に交わる
- 共通点を持たず底面に平行である
- 垂直ではない角で底面と交わる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AEが底面に垂直であることを、底面内でAで交わる二直線への垂直から説明します。その二条件の組はどれですか。
- AE⊥ABとAE⊥CD
- AE⊥ABとAE⊥AD
- AE⊥ABとAE⊥EF
- AE⊥ADとAE⊥EH
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AD⊥ABという一本の直線への垂直だけから、ADが底面全体にも垂直だとする主張を調べます。ADについて実際に成り立つ事実はどれですか。
- ADは底面全体に垂直である
- ADは底面と共通点を持たない
- ADは底面の外にある直線である
- ADは底面内に含まれる直線である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。ABとADはどちらもAEに垂直です。この二直線AB・ADについて正しい説明はどれですか。
- Aで交わるので、互いに平行ではない
- 互いに平行なので、どこでも交わらない
- 同じ直線なので、全ての点で重なっている
- ねじれの位置なので、どこでも交わらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。線分AGの底面ABCDへの正射影はどの線分ですか。
図を準備しています。
- AB
- AE
- AC
- CG
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AGとEGの底面への正射影と、元の直線の底面に対する関係を正しく述べたものはどれですか。
- 両者の射影はACで、AGもEGも底面と平行
- 両者の射影はACで、AGはAで交わりEGは平行
- AGの射影はCG、EGの射影はACで、両者平行
- AGの射影はAC、EGの射影はEGで、両者垂直
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。P・Q・RはAE・BF・CGの中点です。この三点を通る平面が残る高さの辺DHと交わる点はどれですか。
図を準備しています。
- DからDHの1/3の高さの点
- DからDHの2/3の高さの点
- DからDHの1/4の高さの点
- DからDHの1/2の高さの点
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。三点A・F・Hを通る平面で切った断面の、異なる頂点の数はどれですか。
図を準備しています。
- 6
- 5
- 3
- 4
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二つの異なる空間の直線の、ある平面への正射影が同じ直線でした。この情報だけから言えることはどれですか。
- 元の直線の平面との位置関係は、それだけでは決まらない
- 元の二直線は、必ずどちらもその平面と平行である
- 元の二直線は、必ずどちらもその平面に垂直である
- 元の二直線は、必ず空間でも同じ直線として重なる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。自分の見取図に頂点を記し、直線の六組ABとEF、ABとCG、ABとBC、AEとCG、AGとEC、ABとGHを、平行・交わる・ねじれの位置に分類してください。それぞれについて同じ平面に含められるか、交点があるか、その根拠を説明します。AGとECでは、対角線を含む長方形も自分の図に加えます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。底面内でCで交わる二本の異なる直線を選び、CGが底面ABCDに垂直なことを説明してください。二本が底面内であること、交点、直角の根拠を図と文章で記録します。底面内のABとCDだけを使って十分とする説明では、どの条件が欠けるかも示してください。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。友達は「EF⊥FGでFGは上面EFGH内だから、EFは上面全体に垂直だ」としました。EF・FGと上面を図示し、実際のEFの位置から反例を説明してください。平面全体への垂直を言うために、平面内の何本の直線とどの交点・直角の条件が必要なのかも、一般の言葉で示します。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。友達は「同じ直線に垂直な二直線は、空間でも必ず平行だ」としました。EAと、それに垂直なEF・EHを図示し、反例として三直線の交点・平面と実際の位置関係を説明してください。平面内だけの性質を使う場合に、どの条件を明記すべきかも書いてください。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。前の面ABFEと後ろの面DCGHが平行なことを、各面内の交わる二直線どうしの二組の平行から説明してください。その上で直線DGと前の面ABFEの位置関係を決め、前の面内の直線AFとの違いを、共通点の有無を使って説明します。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AGの底面への正射影を、両端からの垂線の足と、対角線を含む長方形から作図してください。次にABとFGも底面に正射影し、その投影された線が交わる点を示します。その交差だけで元の直線ABとFGも交わると言えるか、実際の点の高さ・共通平面を調べて説明してください。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。P・Q・Rは辺AE・BF・CGの中点です。三点を通る平面の切り口全体を作図し、残る高さの辺DHとの交点を新たにSと名付けて位置を決めてください。四つの側面上の交線を全て示し、底面や上面と新たに交わるか、切り口の形を何から言えるかを説明します。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。三点A・F・Hを通る平面で切った切り口全体を作図し、各線分がどの面上にあるかを記録してください。残る三つの面も調べ、他の辺上に新しい交点がないことを説明します。三点を結んだから完成とせず、異なる全ての頂点と切り口の形を、その面の交線から決めてください。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AB=6、AD=4、AE=3とします。PをAE上のAからの高さ1の点、QをCG上のCからの高さ2の点、Q′をCG上のCからの高さ1の点とします。PとQの配置、PとQ′の配置をそれぞれ描いてください。各線分を含む直線と底面ABCDの位置関係を決め、底面への正射影も作図し、幾何の理由を説明します。二つの正射影が一致するか、その情報だけで元の直線と底面の平行を判定できるかも調べてください。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直方体の三辺を(4,3,2)、(6,4,3)、(8,6,4)から一組選び、全てをk=1または2倍します。底面をABCD、上面をEFGHと名付け、高さAEに対する割合hを1/2または1/3から一つ選びます。AE・BF・CG上の下の頂点から同じ割合hだけ進んだ点をP・Q・Rとしてください。この三点を通る断面全体、DH上の残る交点S、実際の高さ、断面の底面への正射影を作図し、直線PQと底面の位置関係を根拠とともに説明します。全12条件を解く必要はありません。
解答: 空間の位置関係を、正射影と断面の根拠から考える
同じ平面内で平行
ABとEFは同じ面ABFEの向かい合う辺なので、同一平面内の平行な異なる直線です。
ねじれの位置
CGと底面の交点CはAB上にありません。ABとCGを同一平面に含めるとABとCの定める底面にGも入ることになり矛盾するので、ねじれの位置です。
同じ平面内でBで交わる
二直線は同じ底面内でBを共有し、直方体の隣り合う辺として直角に交わります。
Aで底面に垂直に交わる
AEは底面内でAで交わるABとADの両方に垂直なので、底面に垂直です。
直線ABが底面内に含まれる
ABは底面の辺を含む直線で、底面内にあります。共通点がない意味の平行とは分けます。
共通点を持たず底面に平行である
EGは底面と平行な上面内にあり、底面と共通点を持ちません。従って底面と平行です。
AE⊥ABとAE⊥AD
ABとADは両方とも底面内にあり、Aで交わる異なる直線です。ABとCDは平行で交わらず、EFやEHは底面内の直線ではありません。
ADは底面内に含まれる直線である
AD自体は底面内にあり、一本の底面内の直線ABに垂直なことは、平面全体への垂直を意味しません。
Aで交わるので、互いに平行ではない
ABとADは同じ底面内でAで交わる別の直線です。同じAEに垂直でも、空間で互いに平行とは限りません。
AC
Aの足はA自身、Gの足はCなので、線分AGの正射影はACです。CGそのものは垂線で、射影の線分ではありません。
両者の射影はACで、AGはAで交わりEGは平行
Gの足はC、AとEの足はどちらもAなので射影は両方AC。一方、AGはAで底面に交わり、EGは底面と共通点を持たず平行です。
DからDHの1/2の高さの点
各側面で同じ高さの中点を結ぶ線は底面の辺に平行です。切る平面は底面と平行で、DHでも同じ半分の高さ、すなわち中点で交わります。
3
前の面のAF、左の面のAH、上の面のFHが切り口を閉じます。残る三面とはそれぞれ頂点F・H・Aだけで接し、新しい辺上の頂点は増えないので三角形です。
元の直線の平面との位置関係は、それだけでは決まらない
例えば直方体のAGとEGは、底面への射影が同じACでも、前者は底面と交わり後者は平行です。元の高さや交点などの条件が必要です。
記述問題の解答・確認の観点
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。自分の見取図に頂点を記し、直線の六組ABとEF、ABとCG、ABとBC、AEとCG、AGとEC、ABとGHを、平行・交わる・ねじれの位置に分類してください。それぞれについて同じ平面に含められるか、交点があるか、その根拠を説明します。AGとECでは、対角線を含む長方形も自分の図に加えます。
ABとEFは面ABFE内で平行。ABとCGは交わらず、ABとCの定める底面にGを含められないためねじれ。ABとBCは底面内でBで交わる。AEとCGは長方形ACGEの向かい合う辺で平行。AGとECは同じ長方形ACGEの対角線なので、その中心で交わる。ABとGHは、AB∥EFとEF∥GHから平行で、二直線を含む面ABGHにも表せる。
生徒の一貫した八頂点、六組全ての分類と共通平面・交点の幾何の理由を見る。AGとECの画面上の交差だけを根拠にしない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。底面内でCで交わる二本の異なる直線を選び、CGが底面ABCDに垂直なことを説明してください。二本が底面内であること、交点、直角の根拠を図と文章で記録します。底面内のABとCDだけを使って十分とする説明では、どの条件が欠けるかも示してください。
CBとCDは底面内でCで交わる。直方体の辺の条件からCG⊥CB、CG⊥CD。従って、平面内の交わる二直線の両方にその交点で垂直な直線としてCG⊥平面ABCD。ABとCDは底面内でも平行で交わらず、ABはCを通らないので、Cで交わる二直線というこの基準の条件を満たさない。
生徒の二直線・Cの交点・二つの直角と基準の全ての条件、平行な二線だけでは同じ基準を使えない理由を見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。友達は「EF⊥FGでFGは上面EFGH内だから、EFは上面全体に垂直だ」としました。EF・FGと上面を図示し、実際のEFの位置から反例を説明してください。平面全体への垂直を言うために、平面内の何本の直線とどの交点・直角の条件が必要なのかも、一般の言葉で示します。
EFは上面の辺を含む直線で、上面内にある。EF⊥FGでも上面全体への垂直ではないので、友達の一般化の反例。平面内の一点で交わる異なる二直線の両方に、その交点を通る直線が垂直である、という条件なら平面への垂直の基準を満たす。
生徒の上面内の具体的な反例の図と、一本への垂直を平面への垂直へ広げられない理由、正しい一般の基準の全ての条件を見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。友達は「同じ直線に垂直な二直線は、空間でも必ず平行だ」としました。EAと、それに垂直なEF・EHを図示し、反例として三直線の交点・平面と実際の位置関係を説明してください。平面内だけの性質を使う場合に、どの条件を明記すべきかも書いてください。
EFとEHはどちらもEAにEで垂直だが、EFとEHは上面内でEで交わる異なる直線で、平行ではない。EA・EFを含む面ABFEとEA・EHを含む面ADHEは異なるため、三直線を同じ一平面内に置いた状況ではない。同じ平面内で同じ直線に垂直な異なる二直線を扱う性質には、三直線が同一平面内という条件が必要。
生徒のEでの二つの直角、EFとEHの交点、三直線の同一平面性が欠けることを幾何の根拠とともに見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。前の面ABFEと後ろの面DCGHが平行なことを、各面内の交わる二直線どうしの二組の平行から説明してください。その上で直線DGと前の面ABFEの位置関係を決め、前の面内の直線AFとの違いを、共通点の有無を使って説明します。
ABとBFは前の面内でBで交わり、DCとCGは後ろの面内でCで交わる。AB∥DC、BF∥CGで二つの面は異なるので、二平面は平行。DGは前の面と平行で交わらない後ろの面内にあり、前の面と共通点を持たないので直線DGは前の面と平行。AFは前の面内に含まれ、共通点を持つので、同じ意味の平行とはしない。
生徒の二組の平行と各交点、面が異なる条件、DGとAFを共通点の有無で分けた説明を見る。平行な一組だけで二平面を決めない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AGの底面への正射影を、両端からの垂線の足と、対角線を含む長方形から作図してください。次にABとFGも底面に正射影し、その投影された線が交わる点を示します。その交差だけで元の直線ABとFGも交わると言えるか、実際の点の高さ・共通平面を調べて説明してください。
Aの足はA、Gの足はCで、AGを含む長方形ACGEを使うと射影はAC。ABの射影はAB、FGの射影はBCで、投影図ではBで交わる。しかしABは底面、FGは上面内なので共通点を持たず、向きも異なる。仮にABとFGを同一平面に含めるとABとFを含む前の面ABFEにGも入る矛盾があり、ねじれの位置。投影図の交差は元の二直線の交点の証明にならない。
生徒の三つの射影と垂線の足、投影図のBと実際のFの高さの違い、非平行・非交点・同一平面に含められない理由を見ます。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。P・Q・Rは辺AE・BF・CGの中点です。三点を通る平面の切り口全体を作図し、残る高さの辺DHとの交点を新たにSと名付けて位置を決めてください。四つの側面上の交線を全て示し、底面や上面と新たに交わるか、切り口の形を何から言えるかを説明します。
同じ高さの中点を結ぶPQはABに平行、QRはBCに平行で、PQ・QRはQで交わる。従って切る平面は底面と平行で、側面ADHEでもDHの中点Sを通る。前・右・後・左の側面の交線はPQ・QR・RS・SP。底面・上面には交わらない。向かい合う辺が平行で、PQ⊥QRも底面の対応する辺の直角から言えるので、断面は長方形PQRS。
生徒の第四の点の位置の根拠、四側面の完全な交線、上下の面との関係、二つの交わる線の平行と直角からの長方形の説明を見る。Sや完成線の転記だけでなく作図と理由を確認する。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。三点A・F・Hを通る平面で切った切り口全体を作図し、各線分がどの面上にあるかを記録してください。残る三つの面も調べ、他の辺上に新しい交点がないことを説明します。三点を結んだから完成とせず、異なる全ての頂点と切り口の形を、その面の交線から決めてください。
前の面ABFEの交線はAF、左の面ADHEはAH、上面EFGHはFH。右の面BCGFとの交線はFを通りAHに平行で、Fから一方へ進むと上面外、反対へ進むと前の面の外へ出るため、この面内ではFだけ。後の面DCGHもHを通りAFに平行な線がH以外では面外へ出る。底面はAを通りFHに平行な線がA以外では底面の外へ出る。従って新しい辺上の頂点はなく、断面は三角形AFHである。
生徒の三つの面上の線分と、残る三面の頂点だけの交わりを含む完全な確認を見る。幾何の別の正しい説明も認め、座標の一般式や外積を必須にしない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。AB=6、AD=4、AE=3とします。PをAE上のAからの高さ1の点、QをCG上のCからの高さ2の点、Q′をCG上のCからの高さ1の点とします。PとQの配置、PとQ′の配置をそれぞれ描いてください。各線分を含む直線と底面ABCDの位置関係を決め、底面への正射影も作図し、幾何の理由を説明します。二つの正射影が一致するか、その情報だけで元の直線と底面の平行を判定できるかも調べてください。
Pの足はA、QとQ′の足はCなので、両線分の正射影はAC。長方形ACGE内でPとQは高さが異なり、直線PQをP側へ延ばすと底面に交わるので平行でない。この例では高さ1の差だけ戻すと、AからCと反対へACと同じ長さ進んだ底面上の点に達する。一方PとQ′は等しい高さ1にあり、PQ′はACと平行で底面とは共通点を持たない。射影が同じでも、一方は底面と交わり他方は平行なので、同じ射影という情報だけでは判定できない。
生徒の異なる二つの高さの配置、各直線を延長した場合の位置、三つの足と射影、等しい射影と異なる結論の反例を手動で見る。問いの中に結論や射影の名前を先に与えない。
直方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上に順にE・F・G・Hがあります。直方体の三辺を(4,3,2)、(6,4,3)、(8,6,4)から一組選び、全てをk=1または2倍します。底面をABCD、上面をEFGHと名付け、高さAEに対する割合hを1/2または1/3から一つ選びます。AE・BF・CG上の下の頂点から同じ割合hだけ進んだ点をP・Q・Rとしてください。この三点を通る断面全体、DH上の残る交点S、実際の高さ、断面の底面への正射影を作図し、直線PQと底面の位置関係を根拠とともに説明します。全12条件を解く必要はありません。
作例は三辺(4,3,2)、k=2、h=1/3。実際の三辺は8・6・4、各点の高さは4/3で、SもDH上のDからの高さ4/3。各側面で等しい高さの点を結ぶ線は底面の辺に平行になり、断面は長方形PQRSで底面と平行。四点の足は順にA・B・C・Dなので、断面の正射影は長方形ABCD全体。PQは高さ4/3の切断平面内にあり、底面と共通点を持たず平行。生徒の別の許された一条件と根拠も認める。
生徒が選んだ三辺・倍率・割合と実際の高さ、四側面の全ての交線と第四点、足と射影の全体、直線と平面の平行の条件を見る。単に作例を写したり、選ばなかった全12例を必須にしたりしない。