三角形の面積：垂線と二辺の間の角を使う観察記録

得られる結果

垂直な高さと斜めの辺、二辺に対応しない角、同じ面積から一つの角を決める判断を、生徒の図・式と全ての条件で区別できます。

操作手順

1. 底辺・垂線と挟角を分けて見る

   生徒が底辺の直線と垂線・直角を示し、高さの足が線分の外側でもよい理由を説明します。二辺を選んだ場合はその間の角を示し、使う三角比と式を対応させます。

2. 紙や授業用ボードへ写す12項目

   生徒に与えた辺・角・面積と求める量：[ ] 生徒が選んだ底辺とその直線：[ ] 生徒の垂線・直角と足の位置：[ ] 生徒が選んだ二辺とその間の角：[ ] 高さを三角比で表す具体式：[ ] 「底辺×高さ÷2」に数値を代入した式：[ ] 二辺とその間の角による面積の具体式：[ ] 根号・分数の厳密値と長さの単位：[ ] 面積の単位と元の高さへの検算：[ ] 分割・重なりや複数角と追加条件：[ ] 講師の見本・支援と生徒の判断・未確認：[ ] 生徒の別の数からの図と比較・検算：[ ]

3. 作例A：鋭角と鈍角の高さに戻す

   見本のAB=8cm、BC=15cm、B=30度と150度では高さ4cm、面積30cm²です。150度では垂線の足がB側の延長上。生徒の二つの図と底辺・高さ、挟角による式を照合し、同じ面積と同じ角を区別します。

4. 作例B：底辺を変えた三つの式を見る

   見本の直角B、9cm・12cm・15cmの三角形では面積54cm²。角Aなら二辺9cmと15cm、sinA=4/5です。底辺15cmへの高さは36/5cm。生徒の各挟角と垂線、三つの具体式を確認し、9×12×sinA÷2を直す理由を図へ戻します。

5. 作例C：分割した二つの面積を見る

   見本のAC=12cm、BとDが直線ACの反対側で、AB=6cm、角BAC=30度、AD=8cm、角DAC=60度です。二つの高さ3cmと4√3cmから面積18cm²と24√3cm²を求め、重ならない内部を示して和を取ります。生徒の対角線・垂線と式を確認します。

6. 作例D：別の鈍角の数で独立に確かめる

   別の見本はAB=11cm、BC=8cm、B=150度です。高さ11/2cm、面積8×(11/2)÷2=22cm²で、挟角の式も(1/2)×11×8×(1/2)=22cm²。足はB側の延長上です。ボードC3では生徒の異なる数・外側の垂線と式を確かめます。

7. 作例E：別の斜辺を底辺にして戻す

   別の見本は直角BでAB=8cm、BC=15cm、AC=17cmです。面積60cm²、sinA=15/17。底辺ACへの高さは8×15/17=120/17cmで、17×(120/17)÷2も60cm²です。ボードC5では生徒の別の与条件と三通りの図・式を見ます。

8. 別解・追加条件と未確認へ戻る

   正しい別の底辺・式や同値な根号・分数を認めます。同じsinと面積から角を一つとせず、追加の鈍角条件などを別に調べます。講師が与えた図や式、生徒が示した対応とまだ確認していない条件を分けます。

知っておきたいこと

• 文部科学省の数学Ⅰ(2)ア(ウ)・イ(ア)とPDF52の考えられる面積の活動を踏まえた独自作例です。独立の必修細目や特定学年・試験全範囲への対応を主張しません。
• 辺の長さ次第で鋭角でも垂線の足が辺の外側に出るため、直線への高さを図へ戻します。図を動かしても高さや式は自動再計算されません。
• 自由式・生徒の図は手動確認です。12項目は紙や授業用ボードへ写し、観察欄の自動保存や自動採点を示すものではありません。
• 生徒の試用・実測・学習効果は未確認です。講師の見本と生徒の判断・未確認を区別します。

関連ガイド

• 垂線と挟角から面積を導く授業用ボード
• 三角比と面積の練習
• 文部科学省・数学Ⅰ：図形の計量と面積の活動