二辺と含角から高さを作り、三角形の面積を確かめる

練習問題と解答

1. 三角形ABCでAB=6cm、BC=10cm、挟角B=30度、sin30度=1/2です。面積をcm²で答えてください。

   図を準備しています。

   答えと解説

   15

   高さは6×1/2=3cm、面積は10×3/2=15cm²。

2. AB=8cm、BC=7cm、挟角B=90度の三角形です。面積をcm²で答えてください。

   答えと解説

   28

   sin90度=1なので高さ8cm、面積8×7/2=28cm²。

3. AB=9cm、BC=10cm、挟角B=150度、sin150度=1/2の三角形です。面積をcm²で答えてください。

   図を準備しています。

   答えと解説

   $\frac{\text{45}}{\text{2}}$

   外部の高さは9×1/2=9/2cm、面積は10×(9/2)/2=45/2cm²。

4. AB=12cm、BC=8cm、挟角B=60度、sin60度=√3/2です。面積をa√3cm²と表すとき、係数aを答えてください。

   答えと解説

   24

   高さ6√3cm、面積8×6√3/2=24√3cm²なのでa=24。

5. 三角形ABCでBCを底辺とし、AB=10cm、挟角B=30度、sin30度=1/2です。Aから直線BCまでの高さをcmで答えてください。

   答えと解説

   5

   高さh=AB sinB=10×1/2=5cm。

6. 三角形で二辺の長さが8cmと10cm、その間の角をθとし、面積が20cm²です。sinθを答えてください。

   答えと解説

   $\frac{\text{1}}{\text{2}}$

   20=(8×10×sinθ)/2よりsinθ=40/80=1/2。

7. 面積7cm²の三角形と相似で、全ての辺を3倍にした三角形の面積をcm²で答えてください。

   答えと解説

   63

   高さも3倍なので面積は3²=9倍、7×9=63cm²。

8. CA=a、CB=b、その間の角C=θの三角形で、正しい面積式はどれですか。

   • S=ab cosθ/2
   • S=ab sinθ
   • S=ab sinθ/2
   • S=(a+b)sinθ/2
   答えと解説

   S=ab sinθ/2

   底辺bに対する高さa sinθを使い、S=b×a sinθ/2。

9. 同じ二辺4cm,9cmで、挟角が60度と120度の二つの三角形を作ります。sin60度=sin120度=√3/2です。面積について正しいものはどれですか。

   • どちらも9√3cm²
   • 120度の方が2倍
   • 60度の方が2倍
   • 120度では面積が負
   答えと解説

   どちらも9√3cm²

   (4×9×√3/2)/2=9√3cm²で両方同じ。挟角や形まで同じとはしません。

10. 二辺BC=10cm、CA=6cmと角A=30度が与えられました。この二辺の積を使う面積式で、角の対応について正しいものはどれですか。

    • そのままsinAを使う
    • そのままcosAを使う
    • どの角を使っても同じ
    • 二辺BC,CAの挟角はCで、Aをそのまま入れられない
    答えと解説

    二辺BC,CAの挟角はCで、Aをそのまま入れられない

    BCとCAが交わるCが挟角。面積をこの二辺で表すならS=10×6×sinC/2で、Aをそのまま入れません。面積が全く求まらないという断定ではありません。

11. 鈍角Bの三角形ABCで、BCを底辺にします。Aから直線BCへの高さhについて正しいものはどれですか。

    • h=AB cosBで負になる
    • h=AB sin(180度−B)=AB sinB>0
    • hは辺BC上に足がないので存在しない
    • h=ABなので角は関係ない
    答えと解説

    h=AB sin(180度−B)=AB sinB>0

    垂線の足はBの外側の延長上にあり、鋭角180度−Bと補角のsinの関係を使います。

12. 二辺AB=4cm、BC=6cm、面積6cm²です。sinB=1/2となる挟角Bの候補として30度と150度が挙がりました。どれが与条件に合いますか。

    • 30度だけ
    • 150度だけ
    • 両方
    • 両方とも不可
    答えと解説

    両方

    (4×6×1/2)/2=6で、どちらの挟角も0〜180度の内側。両方が同じ面積を与えます。

13. AB=6cm、BC=8cm、挟角B=120度、sin120度=√3/2の三角形です。面積はどれですか。

    図を準備しています。

    • 12√3cm²
    • 24√3cm²
    • −12√3cm²
    • 24cm²
    答えと解説

    12√3cm²

    高さ3√3cm、底辺8cmから面積12√3cm²。

14. 同じ長さ8cmの底辺を持つ二つの三角形が、底辺の両側に重ならずに並びます。高さは3cmと7cmです。二つを合わせた図形の面積はどれですか。

    • 20cm²
    • 80cm²
    • 28cm²
    • 40cm²
    答えと解説

    40cm²

    8×3/2+8×7/2=12+28=40cm²。二つとも底辺と高さの積の半分です。

考え方を説明する

三角形ABCでAB=7cm、BC=12cm、挟角B=30度、sin30度=1/2です。BCを底辺に取り、Aから直線BCへの垂線と足Dを描いてください。高さを三角比で表す式から面積式を導き、実際の高さと面積・単位を求め、二辺とその間の角の式と照合します。

三角形ABCでAB=9cm、BC=14cm、挟角B=90度です。底辺BCと高さを図に示し、三角比からの高さ・面積式と通常の直角三角形の面積の二方法を計算します。なぜ一致するかをsin90度で説明し、単位と正の面積を確かめてください。

AB=8cm、BC=11cm、挟角B=150度です。sin30度=1/2とsin150度=sin30度を使えます。Aから直線BCへ垂線を下ろし、足DがBの外側にある図を描きます。鋭角30度の直角三角形で高さを導いて面積を求め、補角の式との一致・正の値と単位を確かめてください。

AB=10cm、BC=9cm、挟角B=60度、sin60度=√3/2の三角形です。底辺と垂線を図に示し、高さを厳密値で導いて面積を求めます。根号を小数へ置き換えず、二辺とその間の角の式でも照合し、高さの平方と単位も確かめてください。

直角Bの三角形ABCでAB=6cm、BC=8cm、AC=10cmです。BCを底辺にした図、ABを底辺にした図、ACを底辺にしてBから下ろした高さBDの図を作ります。最初の二つの面積を計算し、角Aのsinを使ってBDを求め、三つ目の面積も一致することを具体式で確かめてください。

二辺AB=6cm、BC=13cmで、挟角Bが30度と150度の二つの三角形を別々に描きます。sin30度=sin150度=1/2を使い、それぞれの高さと面積を導いてください。なぜ面積が等しくても形が同じとは限らないか、二つの挟角と図に戻して説明します。

二辺AB=10cm、BC=12cm、面積30cm²です。0度<B<180度でsinB=1/2となる角の候補は30度と150度です。面積式からsinBを求め、各候補の高さ・面積を二つの図と式で確かめてください。さらに「Bは鈍角」という条件を加えるとどちらが残るか、理由を書きます。

四角形ABCDを対角線AC=10cmで二つの三角形に分けます。BとDは直線ACの反対側、AB=6cm、AD=8cm、角BAC=60度、角DAC=30度です。sin60度=√3/2、sin30度=1/2を使えます。対角線と両側の高さを図に示し、各高さから二つの面積と合計を厳密値で求め、重なりと単位を確認してください。

直角Bの三角形ABCでAB=12cm、BC=5cm、AC=13cm、sinA=5/13です。友達は「面積はAB×BC×sinA/2=150/13cm²」と言いました。使った二辺とその間の角を図に示して誤りを直し、ABとBCを使う式、角Aを使う別の二辺の式の両方で同じ面積を確かめてください。

a=BCを4,7cmから一つ、b=CAを6,9cmから一つ、挟角Cを30,90,150度から一つ選びます。sin30度=sin150度=1/2、sin90度=1です。底辺BCと高さを図に示し、高さから面積を求めて二辺とその間の角の式と照合します。次に二辺をともに2倍、角を同じにして、高さと面積を再計算し、倍率の理由と単位を説明してください。