標本から母平均・母比率を区間で推定し、信頼度の意味を説明する
準備14問と、生徒が標本分布・信頼区間・幅と条件、結論の限界を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学B。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学B(2)ア(ア)(エ)・イ(ア)(イ)、冊子105–108/PDF117–120の標本調査・標本分布・区間推定と方法の批判的考察を踏まえた独自活動です。母比率に関連した応用は、現行の東京書籍002-903の公開評価規準でも確認しています。固定学年、数学B全体、仮説検定、t分布や学習効果は主張しません。
解説を読む
標本から求めた平均や割合と、母集団の未知の値を区別します。標本ごとの変動を標準誤差で捉え、条件を明記して信頼区間を作り、得られた一つの区間と繰り返しの方法の信頼度を分けて説明します。
必要な予備知識
分数・小数、平方根、一次不等式、平均・分散・標準偏差、確率変数と独立、二項分布、正規分布N(μ,σ²)と標準化。標本平均・標準誤差・信頼区間とその解釈は本文で導入します。母標準偏差既知のモデルと、大標本での母比率の近似を使います。t分布、積分、仮説検定や実在の人への調査は前提にしません。
- 母平均μ・母比率pは、調べたい母集団を定めたときの固定した未知の値です。標本平均X̄=(X₁+…+Xₙ)/nや標本比率p̂=成功数/nは、標本を取り直すと変わる量です。観測した値はx̄やp̂で記し、母数と同一視しません。
- 独立で同じ母集団分布に従うX₁,…,Xₙについて、母平均μ、母分散σ²ならE(X̄)=μ、V(X̄)=σ²/n、標本平均の標準偏差（標準誤差）はσ/√nです。個々の値の標準偏差σと、標本平均の標準誤差σ/√nを区別します。
- 母集団が正規分布なら、この独立なモデルのX̄はN(μ,σ²/n)に従います。一般の分布を正規分布で近似するときは標本の大きさや分布の形などの条件が必要で、「nが何以上なら常に正確」という一律の保証にはしません。有限母集団から非復元抽出で多くを取り出す場合にも、この独立なモデルをそのまま当てはめません。
- この教材の母平均の計算課題は、母標準偏差σが既知の正規・独立なモデルです。観測したx̄について、95%信頼区間を[x̄−1.96σ/√n, x̄+1.96σ/√n]、99%を[x̄−2.58σ/√n, x̄+2.58σ/√n]という指定の係数で求めます。1.96と2.58は丸めた標準正規分布の係数で、被覆する割合はそれぞれ約95%・約99%です。
- 信頼度は、同じ母集団から同じ方法で標本を取り直して区間を作る手続きを繰り返したとき、母数を含む区間ができる割合についての説明です。得られた区間が決まった後に、母数がその区間に含まれる確率が95%であるという意味ではありません。100回なら必ず95本が含むとも限りません。
- 区間の中心と半幅hを分け、全幅は2hとします。同じ信頼度・母標準偏差なら、nを4倍にすると半幅も全幅も1/2です。同じnなら信頼度を上げると区間は広がります。狭い区間が必ず真の母数を含むことや、広い区間なら必ず含むことを保証しません。
- 独立で同じ成功確率pの0・1の観測では、標本比率p̂の平均はp、分散はp(1−p)/nです。大標本で正規近似が妥当とみなせる場合、未知のpをp̂で置いた標準誤差の推定値√(p̂(1−p̂)/n)を用い、母比率の近似95%信頼区間をp̂±1.96√(p̂(1−p̂)/n)とします。割合と百分率の単位も分けます。
- 母比率のこの近似では、抽出・独立・同じpの仮定と、成功・不成功の観測数が共に十分あるかを点検します。成功0個などで式の半幅が0になっても、母比率が0と確定したことにはなりません。小標本や端に近い割合での別の区間法はここでは導入しません。
- 標本の数を増やしても、選び方の偏り・対象の欠落・無回答・測定の誤りが自動的に解消するわけではありません。式からの区間だけで代表性を認定せず、調べたい母集団と実際の対象・方法を点検します。
- 課題の数値や標本の一覧は架空の計算用データです。与えられた標本を使う計算と、生徒が新たに抽出を実施した記録を混ぜません。生徒の自由な結論では、母集団・方法の仮定、使用した係数、区間、言える範囲を一緒に残します。
解き方の例
既知の母標準偏差σ=3、独立な正規モデルでn=36、観測平均x̄=80なら、標準誤差3/6=0.5、指定の95%半幅1.96×0.5=0.98、区間[79.02,80.98]です。79.02から80.98に個々の観測の約95%が入る、という区間ではありません。
同じ母集団への同じ調査で、同じ信頼度・既知のσを使うなら、n=25から100へ4倍にするとσ/√nはσ/5からσ/10へ半分になります。中心のx̄自体は別の標本で変わり得るので、新しい二つの区間が必ず入れ子になるとは限りません。
よくある間違い
- 母平均μと一回の標本平均x̄を同じものとする。
- 標準誤差をσ/n、又はσ²/nとする。
- 母分散と母標準偏差を取り違える。
- 95%信頼区間を個々の観測値の95%が入る範囲とする。
- 区間が決まった後に、母数がその区間に含まれる確率が95%だとする。
- 100回なら必ず95本の区間が母数を含むとする。
- 半幅と全幅を混ぜ、nを2倍にすれば幅が半分になるとする。
- 信頼度を上げれば区間は狭くなるとする。
- 標本比率の近似を成功0個にもそのまま使い、母比率0と確定する。
- 大きい標本なら選び方・無回答の偏りもなくなるとする。
考え方を説明する
準備14問は指定数値・選択です。主課題は生徒の全標本分布、標準誤差と分散、信頼区間の両端/半幅/全幅、適用したモデル、信頼度の解釈と限界を手動確認します。T1は小さい全分布と公式、T2は母平均の区間と説明、T3はσ/nの誤り、T4は四区間の比較、T5は母比率と百分率、T6は幅と境界の近似破綻、T7は調査方法の批判的点検、T8は全十区間と実際の包含本数、T9は幅から最小nの設計、T10は生徒の一つのモデルと4倍設計です。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定数値・選択だけです。生徒の表全体・自由な区間/式・条件・調査方法の検討・解釈は手動確認します。母平均は既知σの独立な正規モデル、母比率は条件付きの大標本近似です。丸めた係数を使う指定計算で、区間の端点を正確に計算しても被覆割合の厳密な95/99%を主張しません。t分布・別の区間法・仮説検定・実測/実験の代行・学習効果・新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定数値と選択だけです。自分の表全体・自由な区間や式・適用条件・信頼度と調査方法の説明は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
独立で同じ分布に従う64個の観測について、既知の母標準偏差は8です。標本平均の標準誤差を求めてください。
答えと解説
1
8/√64=8/8=1です。8/64ではありません。
独立で同じ分布に従う100個の観測について、母標準偏差は6です。標本平均の分散を求めてください。
答えと解説
V(X̄)=6²/100=36/100=9/25です。標準誤差は6/10で別の量です。
母平均30の同じ分布から、独立に25個を観測します。標本平均X̄の期待値を求めてください。
答えと解説
30
E(X̄)=μ=30です。一回の観測平均が必ず30という意味ではありません。
独立な正規モデルで、既知の母標準偏差10、n=100、観測平均150です。係数1.96で求める母平均の95%信頼区間の下端を答えてください。
答えと解説
148.04
標準誤差10/10=1、半幅1.96なので下端150−1.96=148.04です。
独立な正規モデルで、既知の母標準偏差8、n=64です。係数1.96で求める母平均の95%信頼区間の半幅を答えてください。
答えと解説
1.96
半幅1.96×8/8=1.96です。全幅3.92とは区別します。
独立で同じ成功確率の400回の観測で、成功は144回でした。母比率の点推定に使う標本比率を、百分率ではなく0から1の割合で答えてください。
答えと解説
0.36
144/400=0.36です。36という百分率の数値とは単位を分けます。
独立な正規モデルで既知の母標準偏差5を使い、係数1.96の95%信頼区間の半幅を0.7以下にしたいとします。必要な標本の大きさnの最小の整数を求めてください。
答えと解説
196
1.96×5/√n≦0.7より√n≧14、n≧196です。
独立な同一分布のモデルで、母平均を推定する際の母平均μと標本平均X̄について適切なのはどれですか。
- 標本を取り直すとX̄が変わるため、それに合わせて推定対象のμも標本ごとに変わる
- μは定めた母集団の固定した値で、X̄は標本で変わる
- X̄は常にμと一致する固定値
- μは観測したX̄に合わせて書き換える値
答えと解説
μは定めた母集団の固定した値で、X̄は標本で変わる
母集団を固定したときの母数と、抽出で変わる統計量を区別します。
95%信頼区間という手続きの説明として適切なのはどれですか。
- 同じ方法で繰り返すと必ず100本中95本が母数を含む
- 一つの標本から作った区間の中に、その標本を構成する個々の観測値が約95%入る
- 得られた一つの区間に母数が含まれる確率が95%である
- 同じ方法を繰り返すと約95%の区間が固定した母数を含む
答えと解説
同じ方法を繰り返すと約95%の区間が固定した母数を含む
繰り返したときの方法の被覆割合です。有限の100回で本数を固定しません。
同じ信頼度・既知の母標準偏差で、標本の大きさをnから4nへ増やすと、母平均の信頼区間の全幅はどうなりますか。
- 1/2倍
- 1/4倍
- 2倍
- 変わらない
答えと解説
1/2倍
幅は1/√nに比例するので、4倍の標本で半分です。
同じ観測平均・n・既知の母標準偏差で、指定係数を1.96から2.58へ変えるとどうなりますか。
- 中心が必ず上がる
- 区間が狭くなる
- 中心は同じで区間が広がる
- 標本サイズが同じなので幅は同じにし、係数が増えた分だけ両端を上へずらす
答えと解説
中心は同じで区間が広がる
同じ中心により大きな半幅を取ります。
母比率の近似95%信頼区間をp̂±1.96√(p̂(1−p̂)/n)で求めるとき、先に確かめる方針はどれですか。
- 成功数が0でも母比率0と決める
- 抽出の仮定と成功・不成功の両観測数を点検する
- nが大きければ選び方は自由
- 割合の分母に母集団の大きさを必ず入れる
答えと解説
抽出の仮定と成功・不成功の両観測数を点検する
標本の方法と大標本近似の条件を確認します。
自発的に回答した5000件の結果へ95%区間の式を当てはめれば、回答しなかった人も含む全体を無条件で代表するといえますか。
- 回答者が5000人いれば回答しなかった人の割合や特徴を考えなくても、全体を代表すると言える
- 区間の小数を増やせば必ずいえる
- 信頼度を99%にすれば必ずいえる
- いえない。対象や回答の偏りとモデルの仮定を点検する
答えと解説
いえない。対象や回答の偏りとモデルの仮定を点検する
標本数や区間の式だけで選択・無回答の偏りは解消しません。
観測平均50、既知の標準誤差1から[48.04,51.96]を母平均の95%信頼区間として得ました。適切なのはどれですか。
- 母平均についての区間推定で、個々の観測値の95%範囲ではない
- 個々の観測値は全てこの中にある
- 母平均は必ず50に等しい
- 標本の大きさは必ず1である
答えと解説
母平均についての区間推定で、個々の観測値の95%範囲ではない
母平均の推定と個々の観測の分布の範囲は別です。
考え方を説明する
Xは0と4を各確率1/2で取ります。X₁,X₂はこの分布から独立に取る二つの値です。順序付きの全四結果とその確率、標本平均X̄=(X₁+X₂)/2の全分布を表にし、E(X̄)・V(X̄)・標準誤差を求めてください。元のXの平均・分散・標準偏差と比べ、σ²/nとσ/√nの両方で確かめます。この小標本を正規分布と決めません。
答えと解説
全四結果(0,0),(0,4),(4,0),(4,4)は各1/4。X̄は0,2,4を確率1/4,1/2,1/4で取り、平均2、二乗平均0+4×1/2+16×1/4=6、分散6−2²=2、標準誤差√2。元のXは平均2、分散4、標準偏差2なので4/2=2、2/√2=√2と一致。三値の離散分布で、正規分布そのものではない。
生徒の四結果と三値表全体・確率の和、二つの平均/分散と標準偏差、二公式との照合、離散分布と正規モデルの区別を見ます。
独立な正規モデルで、母標準偏差σ=8は既知、n=64、観測平均x̄=50です。標準誤差・95%半幅・全幅・母平均の区間を係数1.96で求めてください。「この区間に個々の値の95%が入る」という友人の説明を、何の母数を推定したかと繰り返しの意味を含む全文に直します。
答えと解説
標準誤差8/8=1、半幅1.96、全幅3.92、母平均の区間[48.04,51.96]。個々の観測の95%範囲ではない。同じ独立・正規モデル、既知σで同じ方法の標本抽出と区間作成を繰り返すと、約95%の区間が固定したμを含むという説明へ直す。既に得た一つの区間にμが含まれる確率が95%だとはしない。
生徒の各量と全計算、推定対象の母平均、個々の値との区別、繰り返しに関する修正文と係数の丸めを見ます。
独立な正規モデル、既知の母標準偏差8、n=64、観測平均50です。友人は標準誤差を8/64として、95%半幅1.96×8/64=0.245、区間[49.755,50.245]としました。分散と標準誤差を別々に求め、式と両端を直してください。誤った半幅が正しい半幅の何倍かも求め、狭いだけで信頼性が高いとはいえない理由を説明します。
答えと解説
標本平均の分散64/64=1、標準誤差√1=1。正しい半幅1.96、区間[48.04,51.96]。誤った半幅0.245は1.96の1/8で、分散にも標準誤差にも8/64を使えない。指定の95%手続きより狭く書き換えただけで同じ被覆割合を得たとはいえない。
生徒のV(X̄)と標準誤差、正しい式と計算過程/両端、比1/8、誤りの原因と狭さを信頼性に置き換えない説明を見ます。
独立な正規モデルで母標準偏差8が既知です。計算比較のため、n=64と256のどちらも観測平均50だったとします。それぞれの95%区間（係数1.96）と99%区間（係数2.58）の計四区間・半幅・全幅を表にしてください。nと信頼度を一つずつ変えた効果を説明し、別の標本でも平均50になるという保証とは区別します。
答えと解説
n64は標準誤差1、95%半幅1.96/幅3.92/区間[48.04,51.96]、99%半幅2.58/幅5.16/区間[47.42,52.58]。n256は標準誤差1/2、95%半幅0.98/幅1.96/区間[49.02,50.98]、99%半幅1.29/幅2.58/区間[48.71,51.29]。同じ信頼度でnが4倍なら幅半分、同じnで99%へ上げると広がる。中心が同じなのは比較の指定で、別標本の一般的保証ではない。
生徒の四行の全量と全端点、比較する際に固定した条件、指定の中心と別標本の中心の変動、約95/99%の区別を見ます。
独立で同じ未知の成功確率pをもつ0・1の観測400回で成功144回、不成功256回でした。この課題では両観測数が大きく、標本比率の正規近似を使うモデルとします。p̂、標準誤差の推定値、係数1.96による母比率の近似95%区間を求め、百分率でも両端を示してください。区間内の全ての値が同じ確率だという意味ではないことも説明します。
答えと解説
p̂=144/400=0.36、p̂(1−p̂)=0.2304、標準誤差の推定値√(0.2304/400)=0.024。半幅1.96×0.024=0.04704、近似区間[0.31296,0.40704]、百分率[31.296%,40.704%]。独立・同じpと成功/不成功144/256を明記。未知のpを標本で置く大標本近似であり、pの区間内の一様分布を与えたものではない。
生徒の割合の単位、全積/平方根/半幅/両端と百分率、両観測数・モデルの仮定、近似と一様分布でない解釈を見ます。
独立で同じ成功確率の各400回の仮想調査A,Bを比べます。Aは成功200、不成功200、Bは成功40、不成功360で、どちらも大標本近似を用いるとします。標本比率・標準誤差の推定値・近似95%半幅と全幅を求め、同じnでも幅が違う理由を説明してください。別にCでn=20・成功0なら、この近似式の半幅0を母比率0の確定とできるか検討します。
答えと解説
Aはp̂=0.5、標準誤差√(0.25/400)=0.025、半幅0.049、全幅0.098。Bはp̂=0.1、標準誤差√(0.09/400)=0.015、半幅0.0294、全幅0.0588。同じnでもp̂(1−p̂)が違う。Cは代入だけなら0だが成功数0・小標本でこの正規近似の見通しを満たさず、母比率0と確定できない。例えばp=0.1でも全20回不成功の確率0.9²⁰は正である。
生徒のA/Bの全量と比較、p̂に依存する理由、Cの近似条件の破綻と反例の正の確率を見る。他の区間法の計算は必須にしない。
架空の自治体の全成人の、ある二択への比率pを推定したいとします。方法Aは広告を見て自発的に回答した5000人、方法Bは対象者リストから無作為に選んだ400人へ依頼し、全員が回答したという仮定です。両方法で95%区間の式だけを示す報告の不足を指摘し、母集団・抽出・独立や同じpのモデル・対象の漏れ/回答の偏りを点検する報告の骨組みを書いてください。Bも無条件で正しいと断定しません。
答えと解説
Aは自発的な選択・広告が届く範囲が目的の全成人を代表するとは限らず、5000という数と狭い計算区間だけでは正当化できない。Bはリストの対象範囲・更新・抽出の実施と全員回答の仮定を点検し、有限集団からの抽出と独立近似の妥当性も確かめる。目的の母集団、実際の対象/方法、成功/不成功数、使うモデルと適用条件、得た区間と一般化の限界を並べる。未提示の割合や欠落者の意見を勝手に補わない。
生徒のA/Bの具体的な違いと点検事項、式の前のモデル・対象の確認、未知の回答を捏造しない報告の項目を見る。新たな実在の人への調査や個人情報収集は要求しない。
既知の母標準偏差8、独立な正規モデルでn=64の標本を五回得たという架空の一覧です。観測平均は順に48,49,50,51,53、確認用の真の母平均は50です。各回の95%区間（係数1.96）と99%区間（2.58）を全て表にし、それぞれ母平均50を含む本数を求めてください。この五回の割合を手続きの正確な信頼度に置き換えない理由と、「100回なら必ず95本」の誤りを説明します。
答えと解説
95%半幅1.96で、[46.04,49.96],[47.04,50.96],[48.04,51.96],[49.04,52.96],[51.04,54.96]。50を含むのは第2,3,4の3本。99%半幅2.58で、[45.42,50.58],[46.42,51.58],[47.42,52.58],[48.42,53.58],[50.42,55.58]。含むのは第1〜4の4本。この架空の五回での3/5,4/5は観察した一覧の割合で、一般の被覆割合を60%/80%へ書き換えない。約95/99%は同じ手続きの繰り返しの性質で、有限回の本数を必ず固定しない。
生徒の五回×二種の全端点・含むかの判定・本数、与えた一覧と実施記録/一般の信頼度の区別、100回の必然ではない説明を見ます。
独立な正規モデルで既知の母標準偏差5を用います。係数1.96の95%半幅を0.7以下にするためのnの条件を不等式で導き、最小の整数nを求めてください。その一つ前の整数では条件を満たさないことと、nをさらに4倍にしたときの半幅・全幅も確かめます。この設計だけで抽出の偏りが消えるとはしません。
答えと解説
h=9.8/√n≦0.7より√n≧14、n≧196、最小196。n195ならh²=96.04/195>0.49なのでh>0.7、n196ではh=0.7・全幅1.4。n784ではh=9.8/28=0.35・全幅0.7。正規・独立・既知σと指定信頼度を固定した幅の設計であり、対象の漏れや選び方の偏りを解消した証明ではない。
生徒の正の量に関する不等式と整数の選択、一つ前の不成立/最小性、4倍時の半幅と全幅、設計の仮定と偏りの限界を見ます。
観測平均x̄を40,70から、既知の母標準偏差σを4,6から、nを100,400から一つずつ選び、独立な正規モデルの母平均の95%区間を係数1.96で作ります。標準誤差・半幅・全幅・両端を残してください。同じ平均とσでnを4倍にした別の設計とも比べ、信頼度の意味と抽出方法に残る点検を説明します。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
作例x̄=70,σ=6,n=100なら標準誤差0.6、半幅1.176、全幅2.352、区間[68.824,71.176]。n400なら標準誤差0.3、半幅0.588、全幅1.176、区間[69.412,70.588]。一般に半幅1.96σ/√n、nが4倍なら半分。同じ平均は設計比較の指定で、別の標本でも中心が同じとは保証しない。独立・正規・既知σと抽出の範囲を示し、約95%は同じ手続きの繰り返しに関する説明とする。他の許された一つの選択と4倍設計も認める。
生徒の一つの選択・式と計算過程と二設計の端点、nを4倍にしたときの関係と固定した平均の意味、信頼度と抽出の点検を見る。全8条件は講師確認用で、生徒の課題数を増やさない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学B(2)ア(ア)(エ)・イ(ア)(イ)、冊子105–108/PDF117–120の標本調査・標本分布・区間推定と方法の批判的考察を踏まえた独自活動です。母比率に関連した応用は、現行の東京書籍002-903の公開評価規準でも確認しています。固定学年、数学B全体、仮説検定、t分布や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/estimate-population-means-and-proportions-with-confidence-intervals/
準備14問は指定数値・選択です。主課題は生徒の全標本分布、標準誤差と分散、信頼区間の両端/半幅/全幅、適用したモデル、信頼度の解釈と限界を手動確認します。T1は小さい全分布と公式、T2は母平均の区間と説明、T3はσ/nの誤り、T4は四区間の比較、T5は母比率と百分率、T6は幅と境界の近似破綻、T7は調査方法の批判的点検、T8は全十区間と実際の包含本数、T9は幅から最小nの設計、T10は生徒の一つのモデルと4倍設計です。正しい同値式・別解を認めます。
独立で同じ分布に従う64個の観測について、既知の母標準偏差は8です。標本平均の標準誤差を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立で同じ分布に従う100個の観測について、母標準偏差は6です。標本平均の分散を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
母平均30の同じ分布から、独立に25個を観測します。標本平均X̄の期待値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な正規モデルで、既知の母標準偏差10、n=100、観測平均150です。係数1.96で求める母平均の95%信頼区間の下端を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な正規モデルで、既知の母標準偏差8、n=64です。係数1.96で求める母平均の95%信頼区間の半幅を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立で同じ成功確率の400回の観測で、成功は144回でした。母比率の点推定に使う標本比率を、百分率ではなく0から1の割合で答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な正規モデルで既知の母標準偏差5を使い、係数1.96の95%信頼区間の半幅を0.7以下にしたいとします。必要な標本の大きさnの最小の整数を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
独立な同一分布のモデルで、母平均を推定する際の母平均μと標本平均X̄について適切なのはどれですか。
- 標本を取り直すとX̄が変わるため、それに合わせて推定対象のμも標本ごとに変わる
- μは定めた母集団の固定した値で、X̄は標本で変わる
- X̄は常にμと一致する固定値
- μは観測したX̄に合わせて書き換える値
途中の計算・単位・理由・確認答え:
95%信頼区間という手続きの説明として適切なのはどれですか。
- 同じ方法で繰り返すと必ず100本中95本が母数を含む
- 一つの標本から作った区間の中に、その標本を構成する個々の観測値が約95%入る
- 得られた一つの区間に母数が含まれる確率が95%である
- 同じ方法を繰り返すと約95%の区間が固定した母数を含む
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ信頼度・既知の母標準偏差で、標本の大きさをnから4nへ増やすと、母平均の信頼区間の全幅はどうなりますか。
- 1/2倍
- 1/4倍
- 2倍
- 変わらない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ観測平均・n・既知の母標準偏差で、指定係数を1.96から2.58へ変えるとどうなりますか。
- 中心が必ず上がる
- 区間が狭くなる
- 中心は同じで区間が広がる
- 標本サイズが同じなので幅は同じにし、係数が増えた分だけ両端を上へずらす
途中の計算・単位・理由・確認答え:
母比率の近似95%信頼区間をp̂±1.96√(p̂(1−p̂)/n)で求めるとき、先に確かめる方針はどれですか。
- 成功数が0でも母比率0と決める
- 抽出の仮定と成功・不成功の両観測数を点検する
- nが大きければ選び方は自由
- 割合の分母に母集団の大きさを必ず入れる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
自発的に回答した5000件の結果へ95%区間の式を当てはめれば、回答しなかった人も含む全体を無条件で代表するといえますか。
- 回答者が5000人いれば回答しなかった人の割合や特徴を考えなくても、全体を代表すると言える
- 区間の小数を増やせば必ずいえる
- 信頼度を99%にすれば必ずいえる
- いえない。対象や回答の偏りとモデルの仮定を点検する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
観測平均50、既知の標準誤差1から[48.04,51.96]を母平均の95%信頼区間として得ました。適切なのはどれですか。
- 母平均についての区間推定で、個々の観測値の95%範囲ではない
- 個々の観測値は全てこの中にある
- 母平均は必ず50に等しい
- 標本の大きさは必ず1である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
Xは0と4を各確率1/2で取ります。X₁,X₂はこの分布から独立に取る二つの値です。順序付きの全四結果とその確率、標本平均X̄=(X₁+X₂)/2の全分布を表にし、E(X̄)・V(X̄)・標準誤差を求めてください。元のXの平均・分散・標準偏差と比べ、σ²/nとσ/√nの両方で確かめます。この小標本を正規分布と決めません。
独立な正規モデルで、母標準偏差σ=8は既知、n=64、観測平均x̄=50です。標準誤差・95%半幅・全幅・母平均の区間を係数1.96で求めてください。「この区間に個々の値の95%が入る」という友人の説明を、何の母数を推定したかと繰り返しの意味を含む全文に直します。
独立な正規モデル、既知の母標準偏差8、n=64、観測平均50です。友人は標準誤差を8/64として、95%半幅1.96×8/64=0.245、区間[49.755,50.245]としました。分散と標準誤差を別々に求め、式と両端を直してください。誤った半幅が正しい半幅の何倍かも求め、狭いだけで信頼性が高いとはいえない理由を説明します。
独立な正規モデルで母標準偏差8が既知です。計算比較のため、n=64と256のどちらも観測平均50だったとします。それぞれの95%区間（係数1.96）と99%区間（係数2.58）の計四区間・半幅・全幅を表にしてください。nと信頼度を一つずつ変えた効果を説明し、別の標本でも平均50になるという保証とは区別します。
独立で同じ未知の成功確率pをもつ0・1の観測400回で成功144回、不成功256回でした。この課題では両観測数が大きく、標本比率の正規近似を使うモデルとします。p̂、標準誤差の推定値、係数1.96による母比率の近似95%区間を求め、百分率でも両端を示してください。区間内の全ての値が同じ確率だという意味ではないことも説明します。
独立で同じ成功確率の各400回の仮想調査A,Bを比べます。Aは成功200、不成功200、Bは成功40、不成功360で、どちらも大標本近似を用いるとします。標本比率・標準誤差の推定値・近似95%半幅と全幅を求め、同じnでも幅が違う理由を説明してください。別にCでn=20・成功0なら、この近似式の半幅0を母比率0の確定とできるか検討します。
架空の自治体の全成人の、ある二択への比率pを推定したいとします。方法Aは広告を見て自発的に回答した5000人、方法Bは対象者リストから無作為に選んだ400人へ依頼し、全員が回答したという仮定です。両方法で95%区間の式だけを示す報告の不足を指摘し、母集団・抽出・独立や同じpのモデル・対象の漏れ/回答の偏りを点検する報告の骨組みを書いてください。Bも無条件で正しいと断定しません。
既知の母標準偏差8、独立な正規モデルでn=64の標本を五回得たという架空の一覧です。観測平均は順に48,49,50,51,53、確認用の真の母平均は50です。各回の95%区間（係数1.96）と99%区間（2.58）を全て表にし、それぞれ母平均50を含む本数を求めてください。この五回の割合を手続きの正確な信頼度に置き換えない理由と、「100回なら必ず95本」の誤りを説明します。
独立な正規モデルで既知の母標準偏差5を用います。係数1.96の95%半幅を0.7以下にするためのnの条件を不等式で導き、最小の整数nを求めてください。その一つ前の整数では条件を満たさないことと、nをさらに4倍にしたときの半幅・全幅も確かめます。この設計だけで抽出の偏りが消えるとはしません。
観測平均x̄を40,70から、既知の母標準偏差σを4,6から、nを100,400から一つずつ選び、独立な正規モデルの母平均の95%区間を係数1.96で作ります。標準誤差・半幅・全幅・両端を残してください。同じ平均とσでnを4倍にした別の設計とも比べ、信頼度の意味と抽出方法に残る点検を説明します。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 標本から母平均・母比率を区間で推定し、信頼度の意味を説明する
1
8/√64=8/8=1です。8/64ではありません。
V(X̄)=6²/100=36/100=9/25です。標準誤差は6/10で別の量です。
30
E(X̄)=μ=30です。一回の観測平均が必ず30という意味ではありません。
148.04
標準誤差10/10=1、半幅1.96なので下端150−1.96=148.04です。
1.96
半幅1.96×8/8=1.96です。全幅3.92とは区別します。
0.36
144/400=0.36です。36という百分率の数値とは単位を分けます。
196
1.96×5/√n≦0.7より√n≧14、n≧196です。
μは定めた母集団の固定した値で、X̄は標本で変わる
母集団を固定したときの母数と、抽出で変わる統計量を区別します。
同じ方法を繰り返すと約95%の区間が固定した母数を含む
繰り返したときの方法の被覆割合です。有限の100回で本数を固定しません。
1/2倍
幅は1/√nに比例するので、4倍の標本で半分です。
中心は同じで区間が広がる
同じ中心により大きな半幅を取ります。
抽出の仮定と成功・不成功の両観測数を点検する
標本の方法と大標本近似の条件を確認します。
いえない。対象や回答の偏りとモデルの仮定を点検する
標本数や区間の式だけで選択・無回答の偏りは解消しません。
母平均についての区間推定で、個々の観測値の95%範囲ではない
母平均の推定と個々の観測の分布の範囲は別です。
記述問題の解答・確認の観点
Xは0と4を各確率1/2で取ります。X₁,X₂はこの分布から独立に取る二つの値です。順序付きの全四結果とその確率、標本平均X̄=(X₁+X₂)/2の全分布を表にし、E(X̄)・V(X̄)・標準誤差を求めてください。元のXの平均・分散・標準偏差と比べ、σ²/nとσ/√nの両方で確かめます。この小標本を正規分布と決めません。
全四結果(0,0),(0,4),(4,0),(4,4)は各1/4。X̄は0,2,4を確率1/4,1/2,1/4で取り、平均2、二乗平均0+4×1/2+16×1/4=6、分散6−2²=2、標準誤差√2。元のXは平均2、分散4、標準偏差2なので4/2=2、2/√2=√2と一致。三値の離散分布で、正規分布そのものではない。
生徒の四結果と三値表全体・確率の和、二つの平均/分散と標準偏差、二公式との照合、離散分布と正規モデルの区別を見ます。
独立な正規モデルで、母標準偏差σ=8は既知、n=64、観測平均x̄=50です。標準誤差・95%半幅・全幅・母平均の区間を係数1.96で求めてください。「この区間に個々の値の95%が入る」という友人の説明を、何の母数を推定したかと繰り返しの意味を含む全文に直します。
標準誤差8/8=1、半幅1.96、全幅3.92、母平均の区間[48.04,51.96]。個々の観測の95%範囲ではない。同じ独立・正規モデル、既知σで同じ方法の標本抽出と区間作成を繰り返すと、約95%の区間が固定したμを含むという説明へ直す。既に得た一つの区間にμが含まれる確率が95%だとはしない。
生徒の各量と全計算、推定対象の母平均、個々の値との区別、繰り返しに関する修正文と係数の丸めを見ます。
独立な正規モデル、既知の母標準偏差8、n=64、観測平均50です。友人は標準誤差を8/64として、95%半幅1.96×8/64=0.245、区間[49.755,50.245]としました。分散と標準誤差を別々に求め、式と両端を直してください。誤った半幅が正しい半幅の何倍かも求め、狭いだけで信頼性が高いとはいえない理由を説明します。
標本平均の分散64/64=1、標準誤差√1=1。正しい半幅1.96、区間[48.04,51.96]。誤った半幅0.245は1.96の1/8で、分散にも標準誤差にも8/64を使えない。指定の95%手続きより狭く書き換えただけで同じ被覆割合を得たとはいえない。
生徒のV(X̄)と標準誤差、正しい式と計算過程/両端、比1/8、誤りの原因と狭さを信頼性に置き換えない説明を見ます。
独立な正規モデルで母標準偏差8が既知です。計算比較のため、n=64と256のどちらも観測平均50だったとします。それぞれの95%区間（係数1.96）と99%区間（係数2.58）の計四区間・半幅・全幅を表にしてください。nと信頼度を一つずつ変えた効果を説明し、別の標本でも平均50になるという保証とは区別します。
n64は標準誤差1、95%半幅1.96/幅3.92/区間[48.04,51.96]、99%半幅2.58/幅5.16/区間[47.42,52.58]。n256は標準誤差1/2、95%半幅0.98/幅1.96/区間[49.02,50.98]、99%半幅1.29/幅2.58/区間[48.71,51.29]。同じ信頼度でnが4倍なら幅半分、同じnで99%へ上げると広がる。中心が同じなのは比較の指定で、別標本の一般的保証ではない。
生徒の四行の全量と全端点、比較する際に固定した条件、指定の中心と別標本の中心の変動、約95/99%の区別を見ます。
独立で同じ未知の成功確率pをもつ0・1の観測400回で成功144回、不成功256回でした。この課題では両観測数が大きく、標本比率の正規近似を使うモデルとします。p̂、標準誤差の推定値、係数1.96による母比率の近似95%区間を求め、百分率でも両端を示してください。区間内の全ての値が同じ確率だという意味ではないことも説明します。
p̂=144/400=0.36、p̂(1−p̂)=0.2304、標準誤差の推定値√(0.2304/400)=0.024。半幅1.96×0.024=0.04704、近似区間[0.31296,0.40704]、百分率[31.296%,40.704%]。独立・同じpと成功/不成功144/256を明記。未知のpを標本で置く大標本近似であり、pの区間内の一様分布を与えたものではない。
生徒の割合の単位、全積/平方根/半幅/両端と百分率、両観測数・モデルの仮定、近似と一様分布でない解釈を見ます。
独立で同じ成功確率の各400回の仮想調査A,Bを比べます。Aは成功200、不成功200、Bは成功40、不成功360で、どちらも大標本近似を用いるとします。標本比率・標準誤差の推定値・近似95%半幅と全幅を求め、同じnでも幅が違う理由を説明してください。別にCでn=20・成功0なら、この近似式の半幅0を母比率0の確定とできるか検討します。
Aはp̂=0.5、標準誤差√(0.25/400)=0.025、半幅0.049、全幅0.098。Bはp̂=0.1、標準誤差√(0.09/400)=0.015、半幅0.0294、全幅0.0588。同じnでもp̂(1−p̂)が違う。Cは代入だけなら0だが成功数0・小標本でこの正規近似の見通しを満たさず、母比率0と確定できない。例えばp=0.1でも全20回不成功の確率0.9²⁰は正である。
生徒のA/Bの全量と比較、p̂に依存する理由、Cの近似条件の破綻と反例の正の確率を見る。他の区間法の計算は必須にしない。
架空の自治体の全成人の、ある二択への比率pを推定したいとします。方法Aは広告を見て自発的に回答した5000人、方法Bは対象者リストから無作為に選んだ400人へ依頼し、全員が回答したという仮定です。両方法で95%区間の式だけを示す報告の不足を指摘し、母集団・抽出・独立や同じpのモデル・対象の漏れ/回答の偏りを点検する報告の骨組みを書いてください。Bも無条件で正しいと断定しません。
Aは自発的な選択・広告が届く範囲が目的の全成人を代表するとは限らず、5000という数と狭い計算区間だけでは正当化できない。Bはリストの対象範囲・更新・抽出の実施と全員回答の仮定を点検し、有限集団からの抽出と独立近似の妥当性も確かめる。目的の母集団、実際の対象/方法、成功/不成功数、使うモデルと適用条件、得た区間と一般化の限界を並べる。未提示の割合や欠落者の意見を勝手に補わない。
生徒のA/Bの具体的な違いと点検事項、式の前のモデル・対象の確認、未知の回答を捏造しない報告の項目を見る。新たな実在の人への調査や個人情報収集は要求しない。
既知の母標準偏差8、独立な正規モデルでn=64の標本を五回得たという架空の一覧です。観測平均は順に48,49,50,51,53、確認用の真の母平均は50です。各回の95%区間（係数1.96）と99%区間（2.58）を全て表にし、それぞれ母平均50を含む本数を求めてください。この五回の割合を手続きの正確な信頼度に置き換えない理由と、「100回なら必ず95本」の誤りを説明します。
95%半幅1.96で、[46.04,49.96],[47.04,50.96],[48.04,51.96],[49.04,52.96],[51.04,54.96]。50を含むのは第2,3,4の3本。99%半幅2.58で、[45.42,50.58],[46.42,51.58],[47.42,52.58],[48.42,53.58],[50.42,55.58]。含むのは第1〜4の4本。この架空の五回での3/5,4/5は観察した一覧の割合で、一般の被覆割合を60%/80%へ書き換えない。約95/99%は同じ手続きの繰り返しの性質で、有限回の本数を必ず固定しない。
生徒の五回×二種の全端点・含むかの判定・本数、与えた一覧と実施記録/一般の信頼度の区別、100回の必然ではない説明を見ます。
独立な正規モデルで既知の母標準偏差5を用います。係数1.96の95%半幅を0.7以下にするためのnの条件を不等式で導き、最小の整数nを求めてください。その一つ前の整数では条件を満たさないことと、nをさらに4倍にしたときの半幅・全幅も確かめます。この設計だけで抽出の偏りが消えるとはしません。
h=9.8/√n≦0.7より√n≧14、n≧196、最小196。n195ならh²=96.04/195>0.49なのでh>0.7、n196ではh=0.7・全幅1.4。n784ではh=9.8/28=0.35・全幅0.7。正規・独立・既知σと指定信頼度を固定した幅の設計であり、対象の漏れや選び方の偏りを解消した証明ではない。
生徒の正の量に関する不等式と整数の選択、一つ前の不成立/最小性、4倍時の半幅と全幅、設計の仮定と偏りの限界を見ます。
観測平均x̄を40,70から、既知の母標準偏差σを4,6から、nを100,400から一つずつ選び、独立な正規モデルの母平均の95%区間を係数1.96で作ります。標準誤差・半幅・全幅・両端を残してください。同じ平均とσでnを4倍にした別の設計とも比べ、信頼度の意味と抽出方法に残る点検を説明します。全8条件を解くことは必須にしません。
作例x̄=70,σ=6,n=100なら標準誤差0.6、半幅1.176、全幅2.352、区間[68.824,71.176]。n400なら標準誤差0.3、半幅0.588、全幅1.176、区間[69.412,70.588]。一般に半幅1.96σ/√n、nが4倍なら半分。同じ平均は設計比較の指定で、別の標本でも中心が同じとは保証しない。独立・正規・既知σと抽出の範囲を示し、約95%は同じ手続きの繰り返しに関する説明とする。他の許された一つの選択と4倍設計も認める。
生徒の一つの選択・式と計算過程と二設計の端点、nを4倍にしたときの関係と固定した平均の意味、信頼度と抽出の点検を見る。全8条件は講師確認用で、生徒の課題数を増やさない。