仮説検定で、帰無仮説の下の確率と棄却できない場合を区別する

独立な正規モデル、既知の母標準偏差10、n=100、観測平均42です。母平均が40と異なるかを、事前の有意水準5%の両側検定で調べます。表A(2)=P(0≦Z≦2)≈0.4772を使います。H₀/H₁・標準誤差・z・両側のp値・比較・結論を全て残し、棄却と真偽の証明の違いを説明してください。

H₀:μ=40、H₁:μ≠40。標準誤差10/10=1、z=(42−40)/1=2。両側p値≈2(0.5−0.4772)=0.0456<0.05なのでH₀を棄却する。このモデルと5%両側という条件の下で差を示す根拠とするが、H₁が論理的に確実、H₀が正しい確率4.56%、原因が特定されたとはしない。

生徒の全仮説・両側/αの事前指定・式/裾二つ・表と近似・比較・条件付きの結論を見ます。

独立な正規モデルでσ=10既知、n=100、観測平均41.5、H₀:μ=40、H₁:μ≠40、事前のα=0.05です。表A(1.5)≈0.4332を使い、z・両側p値と判断を求めてください。「棄却できないので母平均は40と証明された」という友人の結論を、データとモデルの限界が分かる全文に直します。

標準誤差1、z=1.5、両側p値≈2(0.5−0.4332)=0.1336>0.05で棄却できない。「この独立な正規モデル・既知σと今回の標本では、事前の5%両側基準でμ=40を棄却するだけの根拠が得られなかった」と直す。μ=40の証明や、他の標本でも必ず同じ判断になる保証ではない。

生徒の全計算・二裾・比較と棄却できない判断、H₀の真の証明に置き換えない修正文を見ます。

既知σの独立な正規モデルで得た標準化値がz=2だったとします。事前のH₁が上側、下側、両側の三つの場合を別々の設計として、表A(2)≈0.4772から各p値とα=0.05での判断を求めてください。さらにz=−2なら三つがどうなるかも全て表にします。観測後に有意な向きへ変えてよいという意味にはしません。

z=2では上側≈0.0228で棄却、下側≈0.9772で棄却できない、両側≈0.0456で棄却。z=−2では上側≈0.9772で棄却できない、下側≈0.0228で棄却、両側≈0.0456で棄却。片側の向きは先に決め、負のzの上側を小さい方の裾へ入れ替えない。六つは別々に事前設定した比較で、同じデータを見て採用する向きを選ぶ手続きではない。

生徒の符号二つ×三設計の全六確率・判断、裾の位置と二倍の理由、事前設定と後付け変更の違いを見ます。

独立で同じ成功確率pの400回の二結果で成功100回、不成功300回でした。H₀:p=0.2、H₁:p≠0.2、事前のα=0.05です。このモデルの正規近似を使う条件を、np₀とn(1−p₀)も含めて確認します。表A(2.5)≈0.4938を使い、標本比率・帰無仮説の標準誤差・z・両側p値・判断を求めてください。区間推定のp̂を分母へ使う方法と分けます。

p̂=100/400=0.25。帰無仮説ではnp₀=80、n(1−p₀)=320、両側の期待回数が大きいことと独立・同じpを確認。分母√(0.2×0.8/400)=0.02、z=(0.25−0.2)/0.02=2.5。両側p値≈2(0.5−0.4938)=0.0124<0.05で棄却。区間推定用の√(0.25×0.75/400)を無断に代入した検定ではなく、H₀の変動を使った近似である。

生徒の仮説/事前の両側5%、全観測と帰無仮説での二期待回数・条件、帰無仮説の分母/全計算と近似/結論、p₀とp̂の区別を見ます。

ある同じ指定検定で、与えた表からp値≈0.0124を得ました。データを見る前にα=0.05を定めた設計Aと、α=0.01を定めた設計Bを別々に比較します。両判断を記し、「結果が0.0124だからαを0.02へ変えて有意にしよう」という提案を検討してください。丸めた表の値を、H₀が真である確率にはしません。

Aは0.0124<0.05で棄却、Bは0.0124>0.01で棄却できない。基準を先に変えた二設計で判断が違っても矛盾ではない。観測後に0.02を選んで、事前の基準と同じ検定をしたとは報告できない。p値はH₀のモデルの下の極端な結果の確率で、H₀が真である確率1.24%ではない。

生徒の二比較・二判断と事前の設計の違い、後付け変更の問題、p値の条件を保った説明を見ます。

独立で同じ成功確率の200回で成功6回でした。H₀:p=0.01、H₁:p>0.01です。友人は「n=200で大きいので、他を確認せず正規近似のp値だけで棄却してよい」と言いました。帰無仮説での期待成功・不成功回数を求め、説明を直してください。正確な上側p値は二項分布の和の式で残します。小数計算や別の近似法は必須にしません。

np₀=2、n(1−p₀)=198。nが大きくても期待成功数2は小さいので、両側の期待回数が大きいという正規近似の見通しを満たさない。H₀の下でXはB(200,0.01)、正確な上側p値はΣ_{k=6}^{200}200Ck(1/100)^k(99/100)^(200−k)。この和を数値評価していないので、根拠なく正規近似の数値で棄却/非棄却を断定しない。独立・同じpの仮定も確認する。

生徒の二期待回数・近似条件の検討、上側の正しい範囲6..200と全二項項、未計算の値で結論を作らない修正文を見ます。

独立な6回で全て成功でした。H₀:p=1/2、事前のα=0.05です。H₁:p>1/2という上側検定の正確なp値と判断を求めてください。別の事前設計H₁:p≠1/2では「成功6回又は0回」を同程度に極端とする両側の約束を使い、正確なp値と判断も求めます。正規近似せず、H₀が正しくても今回の結果が起こり得ることを説明します。

上側はP(X≧6)=(1/2)⁶=1/64=0.015625<0.05で棄却。指定された対称な両側はP(X=0又は6)=2/64=1/32=0.03125<0.05で棄却。H₀が正しくても全成功の確率1/64は正なので、棄却は論理的矛盾による真偽の証明ではない。α=0.05のこの上側規則では棄却域はX=6だけで、H₀が真のときの棄却確率は1/64、必ずαと等しいわけではない。

生徒の二仮説/事前設計と正確な裾・二分数・判断、独立な積、H₀でも正の確率と論理的確実性の区別を見る。上側の実際の第一種確率1/64も確認する。

「H₀が正しい/H₁が正しい」と「H₀を棄却する/棄却できない」を二軸とする全四欄の表を作り、第一種・第二種の過誤と、過誤でない二欄を記してください。H₀:p=1/2、独立な6回で、上側検定の棄却域をX=6としたとき、H₀が真なのに棄却する確率も求めます。有意水準0.05と、その確率・第二種の確率を同一視しない説明を残します。

H₀真/棄却は第一種、H₁真/棄却できないは第二種、H₀真/棄却できないとH₁真/棄却はこの分類では過誤でない。指定の上側規則の第一種確率はP_{p=1/2}(X=6)=1/64=0.015625≦0.05。離散型で必ず0.05と等しくならず、第二種の確率は真の別のpなどに依存し、この情報から一律0.05とは決まらない。表の真偽欄は実際の検定で既知になったことではない。

生徒の全四欄・二過誤の正しい位置、帰無仮説の下の1/64とα以下、第二種の確率を未提示の真のpから捏造しない説明を見ます。

既知σ=1の独立な正規モデルでH₀:μ=80、H₁:μ≠80、事前のα=0.05です。仮の調査Aはn=100・観測平均80.2、Bはn=400・観測平均80.1でした。表A(2)≈0.4772を使い、各z・両側p値・判断と基準80からの実際の差を比べてください。「有意なら差は実用上大きく、原因も証明された」という結論を直します。

Aは標準誤差0.1、差0.2、z2。Bは標準誤差0.05、差0.1、z2。どちらも両側p値≈0.0456<0.05で棄却するが、基準からの差は0.2と0.1で異なる。実用上の大きさは単位・目的・許容範囲などの文脈なしには決まらず、同じp値や棄却から原因も特定できない。二つは仮想の別調査で、同じ個人の変化を測ったという説明にはしない。

生徒の二設計の標準誤差/実際の差/z/両側p値/判断、同じ統計的判断と違う絶対差、実用性・因果・架空の別調査を分ける修正文を見ます。

基準μ₀を20,60から、既知の母標準偏差σを4,6から、向きdを+1,−1から一つずつ選びます。独立な正規モデルでn=100、観測平均をμ₀+2dσ/√100とします。H₀:μ=μ₀に対し、d=+1なら上側、d=−1なら下側という事前設計です。観測平均・標準誤差・z・適切な片側p値を表A(2)≈0.4772から求め、α=0.05と0.01の二設計で判断を比較してください。全8条件を解くことは必須にしません。

作例μ₀=60,σ=6,d=−1なら標準誤差0.6、観測平均58.8、H₁:μ<60、z=(58.8−60)/0.6=−2。下側p値≈0.0228で、事前α0.05では棄却、0.01では棄却できない。一般に標準誤差σ/10、観測平均μ₀+dσ/5、z=2dで、指定向きの片側p値は≈0.0228。許された生徒の一つの選択と二設計の正しい条件付き結論を認め、H₀の確率や真偽の証明にしない。

生徒の一つの条件・H₀/H₁/向きとαの事前設定、実際の平均/全標準化・符号に合う裾、二比較・二判断と解釈を見る。全8条件は講師確認用で、生徒の課題数を増やさない。