等差数列を、項番号・公差と和の条件へ戻す
項の値と項番号、公差と増加回数を分けます。準備14問と、生徒が一般項・和の導出や元の条件、自然数の範囲を示す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学B。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学B(1)数列ア(ア)・イ(ア)、冊子102–103/PDF114–115を踏まえた独自活動です。等差数列の一般項と和、和の公式を導く組合せ、自然数を定義域とする関係を扱います。数学B全体・固定学年・Σや漸化式の網羅・実際の観察や学習効果は主張しません。
解説を読む
第n項までに公差を加える回数はn回ではなくn−1回です。項番号と値を対応させ、同じ和を逆順に足す工夫から和の式を導きます。二つの項や和から条件を戻し、有限の並びだけで全ての項を決めないことも確かめます。
必要な予備知識
正負の数・分数の計算、文字式、一次・二次方程式と連立方程式、一次関数の表と座標。数列の初項・公差・一般項と和は本文で導入します。Σの一般計算、漸化式の一般解法、数学的帰納法は前提にしません。
- nは1,2,3,…という正の整数の項番号とします。前の項へ同じ数dを次々に足してできる数列が等差数列で、dを公差といいます。初項a₁から第n項までに足す回数はn−1回なので、a_n=a₁+(n−1)dです。dは負や0でもかまいません。
- 二つの項a_p,a_qが分かりp≠qなら、a_q−a_p=(q−p)dです。値の差を、同じ向きに取った項番号の差で割って公差を求めます。初項を一方の条件から戻し、元の二つの項へ両方代入して確かめます。
- S_nは初項から第n項までの和です。同じ和を逆順に並べて足すと、各列の和はa₁+a_nで、その列がn個あります。したがって2S_n=n(a₁+a_n)、S_n=n{2a₁+(n−1)d}/2です。nが奇数でも二つの和全体を足すので、中央の項を落としません。
- 第p項から第q項まで（1≦p≦q）の項数はq−p+1です。この部分も等差数列なので、和は(q−p+1)(a_p+a_q)/2。S_q−S_(p−1)でも表せますが、p=1のときに使うS_0は空の和0と明記します。
- ある値が第何項か、何項までの和かを求めるとき、得た解が正の整数の項番号かを確かめます。分数や負の解を、そのまま「第何項」の答えにしません。元の項又は和へ戻して照合します。
- 最初の数項の差がそろっていても、その後の全ての項が同じ差になるとは限りません。「等差数列である」という条件や、全ての項を定める規則が必要です。表の有限な確認と、一般項から全ての差を説明することを区別します。
- S_n−S_(n−1)=a_nです（n≧2）。和が増えるか減るかは、次に加える項の符号で判断できます。公差が負のときも、項の値と和の値を混ぜず、0の項があれば同じ和が続く可能性も確かめます。
- 点(n,a_n)を表すとき、横軸の項番号は正の整数です。一般項がnの一次式でも、実数全体を定義域とする直線と数列の定義域は同じではありません。生徒の表・点・式と、扱う項番号を対応させます。
- 列ごとの席数などを等差数列とするのは、各列で同じ数ずつ変わるというモデルの仮定です。列数・席数の整数条件や単位を残します。一部の列だけ変えたら、元の和を修正するなどして条件に合わせ、実際の観察をしたことにはしません。
- 自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な一般項・和の式と計算過程、条件の連立、項番号の可否、生徒の表・点・反例・理由は紙や既存ボードで講師が手動確認します。正しい同値な式や別解を認め、新しい式パーサーは追加しません。
解き方の例
初項−6、公差5ならa_n=−6+5(n−1)=5n−11です。a_7=24で、初めの7項の和はS_7=7(−6+24)/2=63。第7項までの増加は6回で、逆順の和との組は全て18になります。
等差数列でa_3=4、a_8=19なら、5d=15からd=3、a₁=4−2×3=−2。一般項はa_n=3n−5です。n=3,8で元の値へ戻り、S_5=5(−2+10)/2=20と求まります。
よくある間違い
- 第n項までに公差をn回足す。
- 二つの項の間隔を無視し、値の差をそのまま公差にする。
- 和の項数nと、最初から最後までの増加回数n−1を混ぜる。
- 奇数項の和で中央の項を落とす。
- 途中の項からの和で、両端を含む項数の1を落とす。
- 方程式の分数・負の解を項番号として採用する。
- 最初の数項だけで以後の全ての規則が証明されたと考える。
- 負の公差なら和も初めから必ず減ると決める。
- 数列の点を実数全体の定義域と混同する。
- モデルの条件が変わっても同じ等差数列の式を無条件に当てはめる。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数・選択です。主課題は生徒の項番号・初項・公差、一般項と和の式と計算過程、元の全ての条件への確認を手動で見ます。T1は二項の条件、T2は逆順の組と奇数、T3は途中からの両端を含む和、T4は二つの和の条件、T5は二次方程式の全解と正の整数、T6は生徒の二つの続け方、T7は離散的な表と点、T8は架空モデルの変更、T9は全項の符号による最大、T10は生徒の三数と和の確認を扱います。正しい同値な式・別表記・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な一般項・和の式と計算過程、全ての条件の連立、項番号の可否、生徒の表・点・反例・証明とモデルの仮定は手動確認します。等差数列とその和を中心とし、Σの一般計算・漸化式や数学的帰納法の網羅、新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な一般項・和の式と計算過程、自分の表・点・反例と理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
初項−4、公差3の等差数列の第9項を求めてください。
答えと解説
20
a_9=−4+(9−1)×3=20。公差を加える回数は8回です。
等差数列で第4項が11、第9項が31です。公差を求めてください。
答えと解説
4
項番号の差は5、値の差は20なので、公差は20/5=4です。
等差数列でa_3=13、a_8=−2です。初項a₁を求めてください。
答えと解説
19
5d=−15からd=−3。初項は13−2×(−3)=19で、a_8=19+7×(−3)=−2です。
初項5、公差−2の等差数列について、初めの12項の和を求めてください。
答えと解説
−72
第12項は5−22=−17。和は12(5−17)/2=−72です。
等差数列でa_6=17、a_14=49です。初めの10項の和を求めてください。
答えと解説
150
8d=32よりd=4、a₁=−3、a_10=33。S_10=10(−3+33)/2=150です。
1以上120以下の整数のうち、7で割ると3余る数の総和を求めてください。
答えと解説
1003
3,10,…,115で、項数は(115−3)/7+1=17。和は17(3+115)/2=1003です。
初項7/2、公差−3/4の等差数列について、初めの8項の和を求めてください。
答えと解説
7
a_8=7/2−21/4=−7/4。S_8=8(7/2−7/4)/2=7です。
初項6、公差−5の等差数列の一般項はどれですか。
- a_n=6−5n
- a_n=11−5n
- a_n=5n+1
- a_n=6−5(n+1)
答えと解説
a_n=11−5n
6−5(n−1)=11−5n。n=1で初項6となり、隣り合う項の差は−5です。
初めのn項の和S_nを、逆順に並べた同じ和と足します。等差数列について正しい等式はどれですか。
- 2S_n=(n−1)(a₁+a_n)
- S_n=n(a₁+a_n)
- 2S_n=n(a₁+a_n)
- 2S_n=n(a₁−a_n)
答えと解説
2S_n=n(a₁+a_n)
両方の和を足すとa₁+a_nとなる組がn個できるので、2S_n=n(a₁+a_n)です。
初項−2、公差0の等差数列について、一般項と初めのn項の和の組はどれですか。
- a_n=−2、S_n=−2n
- a_n=0、S_n=0
- a_n=−2n、S_n=−2
- a_n=−2、S_n=−2(n−1)
答えと解説
a_n=−2、S_n=−2n
全ての項が−2で、同じ−2をn個足した和は−2nです。公差0も等差数列です。
初項2、公差4の等差数列において、23の位置について正しいものはどれですか。
- 第6項である
- 第7項である
- 第25/4項である
- この数列の項ではない
答えと解説
この数列の項ではない
2+4(n−1)=23ならn=25/4ですが、項番号は正の整数です。第6項22と第7項26の間に23という項はありません。
ある数列の最初の三項だけが7,12,17と分かっています。以後の規則は与えられていません。正しい判断はどれですか。
- 以後も差が5であると分かる
- a_n=5n+2が全ての項に成り立つ
- 次の項は必ず22になる
- 三項の差だけでは以後を決められない
答えと解説
三項の差だけでは以後を決められない
その後も公差5で続く条件はありません。同じ三項から別の規則で続く数列も作れるので、全ての項の規則は一つには決まりません。
等差数列について、公差によらず常にa_2+a_8に等しいものはどれですか。
- a_5
- 2a_5
- 2a_4
- 2a_6
答えと解説
2a_5
a_2+a_8=2a₁+8d=2(a₁+4d)=2a_5です。特定の公差だけで合う式と、常に成り立つ式を分けます。
一般項a_n=29−4n（n=1,2,3,…）の数列で、初めて負になる項の項番号はどれですか。
- 6
- 7
- 8
- 9
答えと解説
8
29−4n<0ならn>29/4=7.25。最初の正の整数は8で、a_7=1、a_8=−3です。
考え方を説明する
等差数列でa_2=−1、a_7=19です。初項・公差・一般項と初めの9項の和を求め、元の二つの項と和の式へ戻して確かめてください。項番号の差をどのように使ったかも残します。
答えと解説
5d=20よりd=4、a₁=−1−4=−5。a_n=−5+4(n−1)=4n−9。a_2=−1、a_7=19、a_9=27でS_9=9(−5+27)/2=99。生徒の二条件・初項と公差・式と計算過程を照合する。
生徒の項番号の差5と値の差20、一般項全体、元の二項への代入、9項の和99を見ます。
初項3、公差4の等差数列の初めの7項を、順序と逆順に二段へ書いてください。縦の組から和を求め、同じ工夫で初項a₁・公差dの一般のS_nを導きます。nが奇数のときも中央の項を落とさない理由を説明してください。
答えと解説
3,7,11,15,19,23,27と逆順を足すと、全て30の列が7個で2S_7=210、S_7=105。一般にも各列a₁+a_n、n列なので2S_n=n(a₁+a_n)、S_n=n{2a₁+(n−1)d}/2。奇数でも二つの和を丸ごと足しており、中央の項は二度含むから2で割った後に一度分が残る。
生徒の二段と全7列、2SからSへの区別、一般のn列の導出と奇数の中央の説明を見ます。
一般項a_n=5n−8の等差数列について、第4項から第16項までの和を求めてください。両端を含む項数を説明し、この部分だけの等差数列の和と、初項からの二つの和の差で照合します。
答えと解説
項数は16−4+1=13、両端はa_4=12、a_16=72で部分の和13(12+72)/2=546。初項−3よりS_16=16(−3+72)/2=552、S_3=3(−3+7)/2=6で、S_16−S_3=546。第4項を落とさないため引くのはS_3である。
生徒の両端を含む13項、両端値と部分の和、S_16−S_3の二つの式と一致を見ます。
等差数列の初めの4項の和が10、初めの9項の和が135です。初項と公差を条件の二式から求め、一般項・初めの12項の和を示してください。元の二つの和へも代入して確かめます。
答えと解説
S_4=4a₁+6d=10、S_9=9a₁+36d=135を連立しd=5、a₁=−5。a_n=5n−10、a_12=50、S_12=12(−5+50)/2=270。S_4=−20+30=10、S_9=−45+180=135で両条件を満たす。
生徒の和を表す二式・連立の過程、初項と公差、一般項とS_12、元の両方の和への確認を見ます。
初項4、公差3の等差数列で、初めのn項の和が175です。nを求める方程式とその全ての解を示し、項番号として採用できるものを選んで元の和へ戻してください。
答えと解説
S_n=n{8+3(n−1)}/2=n(3n+5)/2。175より3n²+5n−350=(n−10)(3n+35)=0でn=10,−35/3。正の整数は10だけ。a_10=31、S_10=10(4+31)/2=175。負の分数を項番号とはしない。
生徒の和の式と計算過程・二次方程式と二解、正の整数という条件、n=10の元の和への確認を見ます。
最初の三項が3,7,11とだけ分かる数列について、友達は「以後の一般項は必ずa_n=4n−1だ」としました。三項を共通にもつ異なる二つの続け方を作り、友達の説明を直してください。等差数列という条件を加えた場合の一般項も説明します。
答えと解説
例えば3,7,11,15,19,…と、3,7,11,16,16,…は最初の三項が同じだが第4項から異なる。有限な三項だけでは以後は一つに決まらない。全ての隣接項の差が4という等差数列の条件を加えればa_n=3+4(n−1)=4n−1と説明できる。生徒の別の明示した続け方も認める。
生徒の共通する三項・異なる第4項以降の二つの規則、有限な確認の限界、等差条件を加えた一般項の説明を見ます。
a_n=−2n+9（n=1,2,3,…）の数列で、最初の6項の表と点(n,a_n)をかいてください。公差と一般項を照合し、点を実数全体の直線と同じ定義域とはしない理由を説明します。n=1.5がこの数列の項番号になるかも示してください。
答えと解説
n=1,2,3,4,5,6に対して7,5,3,1,−1,−3で公差−2、初項7。a_n=7−2(n−1)=−2n+9。表の6点の横座標は正の整数で、n=1.5の項は定義しない。同じ一次式の実数変数の直線を比較用にかくなら、数列の点とその定義域を区別する。
生徒の全6組と点、初項7・公差−2と式、正の整数の定義域と1.5を項番号にしない説明を見ます。
架空の座席モデルで、第1列が14席、その後の列は前の列より2席ずつ多く、全部で9列です。列番号と席数の式・表を作り、総席数を求めてください。その後、第5列だけを元の計画より3席少なくした場合の総席数を求め、等差の条件と実際の観察を区別します。
答えと解説
元の計画a_n=14+2(n−1)=2n+12（n=1,…,9）、第9列30席、総数9(14+30)/2=198席。第5列は元22席から19席になり、総数198−3=195席。変更後は全ての隣接列が2席差ではないので、元の計画の和から変更分を引く。与えられた架空モデルの計算であり、実際の会場を観察・測定した値ではない。
生徒の列と席数の対応・整数条件、元の一般項と198席、変更分と195席、等差条件の変更・架空モデルの区別を見ます。
初項31、公差−4の等差数列で、nは全ての正の整数とします。初めのn項の和S_nが最大になるnと最大値を求めてください。項の符号が変わる前後と、その後の全ての項の符号から理由を示し、二次式の和でも照合します。
答えと解説
a_n=31−4(n−1)=35−4n。a_8=3>0、a_9=−1<0で、1〜8は全て正、9以降は全て負。第8項まで足すと増え、その後は毎回減るためn=8だけで最大。S_n=n{62−4(n−1)}/2=33n−2n²、S_8=136、S_9=135。頂点のn=33/4=8.25は整数の項番号ではない。
生徒のすべての符号の理由・8と9の項、最大がn=8の一意性と136、和の二次式と整数条件の照合を見ます。
初項aを−2,5から、公差dを−3,2から、項数Nを6,9から一つずつ選び、等差数列を作ります。選んだ数と一般項・第2項・第5項・S_Nの式と計算過程を示し、逆順の組でも和を確かめてください。全8条件は必須にしません。
答えと解説
作例a=−2,d=2,N=9ならa_n=2n−4、a_2=0、a_5=6、a_9=14。S_9=9(−2+14)/2=54で、逆順との各組は12、2S_9=9×12=108。一般にa_n=a+(n−1)d、S_N=N{2a+(N−1)d}/2。生徒の別の許された三数・具体式と確認も認める。全8条件は必須にしない。
生徒の三数と式と計算過程、第2項と第5項への代入、N項の和と逆順の組の一致を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学B(1)数列ア(ア)・イ(ア)、冊子102–103/PDF114–115を踏まえた独自活動です。等差数列の一般項と和、和の公式を導く組合せ、自然数を定義域とする関係を扱います。数学B全体・固定学年・Σや漸化式の網羅・実際の観察や学習効果は主張しません。 · 2026-11-04
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準備14問は指定された有理数・選択です。主課題は生徒の項番号・初項・公差、一般項と和の式と計算過程、元の全ての条件への確認を手動で見ます。T1は二項の条件、T2は逆順の組と奇数、T3は途中からの両端を含む和、T4は二つの和の条件、T5は二次方程式の全解と正の整数、T6は生徒の二つの続け方、T7は離散的な表と点、T8は架空モデルの変更、T9は全項の符号による最大、T10は生徒の三数と和の確認を扱います。正しい同値な式・別表記・別解を認めます。
初項−4、公差3の等差数列の第9項を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
等差数列で第4項が11、第9項が31です。公差を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
等差数列でa_3=13、a_8=−2です。初項a₁を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項5、公差−2の等差数列について、初めの12項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
等差数列でa_6=17、a_14=49です。初めの10項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1以上120以下の整数のうち、7で割ると3余る数の総和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項7/2、公差−3/4の等差数列について、初めの8項の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項6、公差−5の等差数列の一般項はどれですか。
- a_n=6−5n
- a_n=11−5n
- a_n=5n+1
- a_n=6−5(n+1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初めのn項の和S_nを、逆順に並べた同じ和と足します。等差数列について正しい等式はどれですか。
- 2S_n=(n−1)(a₁+a_n)
- S_n=n(a₁+a_n)
- 2S_n=n(a₁+a_n)
- 2S_n=n(a₁−a_n)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項−2、公差0の等差数列について、一般項と初めのn項の和の組はどれですか。
- a_n=−2、S_n=−2n
- a_n=0、S_n=0
- a_n=−2n、S_n=−2
- a_n=−2、S_n=−2(n−1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項2、公差4の等差数列において、23の位置について正しいものはどれですか。
- 第6項である
- 第7項である
- 第25/4項である
- この数列の項ではない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ある数列の最初の三項だけが7,12,17と分かっています。以後の規則は与えられていません。正しい判断はどれですか。
- 以後も差が5であると分かる
- a_n=5n+2が全ての項に成り立つ
- 次の項は必ず22になる
- 三項の差だけでは以後を決められない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
等差数列について、公差によらず常にa_2+a_8に等しいものはどれですか。
- a_5
- 2a_5
- 2a_4
- 2a_6
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一般項a_n=29−4n（n=1,2,3,…）の数列で、初めて負になる項の項番号はどれですか。
- 6
- 7
- 8
- 9
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
等差数列でa_2=−1、a_7=19です。初項・公差・一般項と初めの9項の和を求め、元の二つの項と和の式へ戻して確かめてください。項番号の差をどのように使ったかも残します。
初項3、公差4の等差数列の初めの7項を、順序と逆順に二段へ書いてください。縦の組から和を求め、同じ工夫で初項a₁・公差dの一般のS_nを導きます。nが奇数のときも中央の項を落とさない理由を説明してください。
一般項a_n=5n−8の等差数列について、第4項から第16項までの和を求めてください。両端を含む項数を説明し、この部分だけの等差数列の和と、初項からの二つの和の差で照合します。
等差数列の初めの4項の和が10、初めの9項の和が135です。初項と公差を条件の二式から求め、一般項・初めの12項の和を示してください。元の二つの和へも代入して確かめます。
初項4、公差3の等差数列で、初めのn項の和が175です。nを求める方程式とその全ての解を示し、項番号として採用できるものを選んで元の和へ戻してください。
最初の三項が3,7,11とだけ分かる数列について、友達は「以後の一般項は必ずa_n=4n−1だ」としました。三項を共通にもつ異なる二つの続け方を作り、友達の説明を直してください。等差数列という条件を加えた場合の一般項も説明します。
a_n=−2n+9（n=1,2,3,…）の数列で、最初の6項の表と点(n,a_n)をかいてください。公差と一般項を照合し、点を実数全体の直線と同じ定義域とはしない理由を説明します。n=1.5がこの数列の項番号になるかも示してください。
架空の座席モデルで、第1列が14席、その後の列は前の列より2席ずつ多く、全部で9列です。列番号と席数の式・表を作り、総席数を求めてください。その後、第5列だけを元の計画より3席少なくした場合の総席数を求め、等差の条件と実際の観察を区別します。
初項31、公差−4の等差数列で、nは全ての正の整数とします。初めのn項の和S_nが最大になるnと最大値を求めてください。項の符号が変わる前後と、その後の全ての項の符号から理由を示し、二次式の和でも照合します。
初項aを−2,5から、公差dを−3,2から、項数Nを6,9から一つずつ選び、等差数列を作ります。選んだ数と一般項・第2項・第5項・S_Nの式と計算過程を示し、逆順の組でも和を確かめてください。全8条件は必須にしません。
解答: 等差数列を、項番号・公差と和の条件へ戻す
20
a_9=−4+(9−1)×3=20。公差を加える回数は8回です。
4
項番号の差は5、値の差は20なので、公差は20/5=4です。
19
5d=−15からd=−3。初項は13−2×(−3)=19で、a_8=19+7×(−3)=−2です。
−72
第12項は5−22=−17。和は12(5−17)/2=−72です。
150
8d=32よりd=4、a₁=−3、a_10=33。S_10=10(−3+33)/2=150です。
1003
3,10,…,115で、項数は(115−3)/7+1=17。和は17(3+115)/2=1003です。
7
a_8=7/2−21/4=−7/4。S_8=8(7/2−7/4)/2=7です。
a_n=11−5n
6−5(n−1)=11−5n。n=1で初項6となり、隣り合う項の差は−5です。
2S_n=n(a₁+a_n)
両方の和を足すとa₁+a_nとなる組がn個できるので、2S_n=n(a₁+a_n)です。
a_n=−2、S_n=−2n
全ての項が−2で、同じ−2をn個足した和は−2nです。公差0も等差数列です。
この数列の項ではない
2+4(n−1)=23ならn=25/4ですが、項番号は正の整数です。第6項22と第7項26の間に23という項はありません。
三項の差だけでは以後を決められない
その後も公差5で続く条件はありません。同じ三項から別の規則で続く数列も作れるので、全ての項の規則は一つには決まりません。
2a_5
a_2+a_8=2a₁+8d=2(a₁+4d)=2a_5です。特定の公差だけで合う式と、常に成り立つ式を分けます。
8
29−4n<0ならn>29/4=7.25。最初の正の整数は8で、a_7=1、a_8=−3です。
記述問題の解答・確認の観点
等差数列でa_2=−1、a_7=19です。初項・公差・一般項と初めの9項の和を求め、元の二つの項と和の式へ戻して確かめてください。項番号の差をどのように使ったかも残します。
5d=20よりd=4、a₁=−1−4=−5。a_n=−5+4(n−1)=4n−9。a_2=−1、a_7=19、a_9=27でS_9=9(−5+27)/2=99。生徒の二条件・初項と公差・式と計算過程を照合する。
生徒の項番号の差5と値の差20、一般項全体、元の二項への代入、9項の和99を見ます。
初項3、公差4の等差数列の初めの7項を、順序と逆順に二段へ書いてください。縦の組から和を求め、同じ工夫で初項a₁・公差dの一般のS_nを導きます。nが奇数のときも中央の項を落とさない理由を説明してください。
3,7,11,15,19,23,27と逆順を足すと、全て30の列が7個で2S_7=210、S_7=105。一般にも各列a₁+a_n、n列なので2S_n=n(a₁+a_n)、S_n=n{2a₁+(n−1)d}/2。奇数でも二つの和を丸ごと足しており、中央の項は二度含むから2で割った後に一度分が残る。
生徒の二段と全7列、2SからSへの区別、一般のn列の導出と奇数の中央の説明を見ます。
一般項a_n=5n−8の等差数列について、第4項から第16項までの和を求めてください。両端を含む項数を説明し、この部分だけの等差数列の和と、初項からの二つの和の差で照合します。
項数は16−4+1=13、両端はa_4=12、a_16=72で部分の和13(12+72)/2=546。初項−3よりS_16=16(−3+72)/2=552、S_3=3(−3+7)/2=6で、S_16−S_3=546。第4項を落とさないため引くのはS_3である。
生徒の両端を含む13項、両端値と部分の和、S_16−S_3の二つの式と一致を見ます。
等差数列の初めの4項の和が10、初めの9項の和が135です。初項と公差を条件の二式から求め、一般項・初めの12項の和を示してください。元の二つの和へも代入して確かめます。
S_4=4a₁+6d=10、S_9=9a₁+36d=135を連立しd=5、a₁=−5。a_n=5n−10、a_12=50、S_12=12(−5+50)/2=270。S_4=−20+30=10、S_9=−45+180=135で両条件を満たす。
生徒の和を表す二式・連立の過程、初項と公差、一般項とS_12、元の両方の和への確認を見ます。
初項4、公差3の等差数列で、初めのn項の和が175です。nを求める方程式とその全ての解を示し、項番号として採用できるものを選んで元の和へ戻してください。
S_n=n{8+3(n−1)}/2=n(3n+5)/2。175より3n²+5n−350=(n−10)(3n+35)=0でn=10,−35/3。正の整数は10だけ。a_10=31、S_10=10(4+31)/2=175。負の分数を項番号とはしない。
生徒の和の式と計算過程・二次方程式と二解、正の整数という条件、n=10の元の和への確認を見ます。
最初の三項が3,7,11とだけ分かる数列について、友達は「以後の一般項は必ずa_n=4n−1だ」としました。三項を共通にもつ異なる二つの続け方を作り、友達の説明を直してください。等差数列という条件を加えた場合の一般項も説明します。
例えば3,7,11,15,19,…と、3,7,11,16,16,…は最初の三項が同じだが第4項から異なる。有限な三項だけでは以後は一つに決まらない。全ての隣接項の差が4という等差数列の条件を加えればa_n=3+4(n−1)=4n−1と説明できる。生徒の別の明示した続け方も認める。
生徒の共通する三項・異なる第4項以降の二つの規則、有限な確認の限界、等差条件を加えた一般項の説明を見ます。
a_n=−2n+9（n=1,2,3,…）の数列で、最初の6項の表と点(n,a_n)をかいてください。公差と一般項を照合し、点を実数全体の直線と同じ定義域とはしない理由を説明します。n=1.5がこの数列の項番号になるかも示してください。
n=1,2,3,4,5,6に対して7,5,3,1,−1,−3で公差−2、初項7。a_n=7−2(n−1)=−2n+9。表の6点の横座標は正の整数で、n=1.5の項は定義しない。同じ一次式の実数変数の直線を比較用にかくなら、数列の点とその定義域を区別する。
生徒の全6組と点、初項7・公差−2と式、正の整数の定義域と1.5を項番号にしない説明を見ます。
架空の座席モデルで、第1列が14席、その後の列は前の列より2席ずつ多く、全部で9列です。列番号と席数の式・表を作り、総席数を求めてください。その後、第5列だけを元の計画より3席少なくした場合の総席数を求め、等差の条件と実際の観察を区別します。
元の計画a_n=14+2(n−1)=2n+12（n=1,…,9）、第9列30席、総数9(14+30)/2=198席。第5列は元22席から19席になり、総数198−3=195席。変更後は全ての隣接列が2席差ではないので、元の計画の和から変更分を引く。与えられた架空モデルの計算であり、実際の会場を観察・測定した値ではない。
生徒の列と席数の対応・整数条件、元の一般項と198席、変更分と195席、等差条件の変更・架空モデルの区別を見ます。
初項31、公差−4の等差数列で、nは全ての正の整数とします。初めのn項の和S_nが最大になるnと最大値を求めてください。項の符号が変わる前後と、その後の全ての項の符号から理由を示し、二次式の和でも照合します。
a_n=31−4(n−1)=35−4n。a_8=3>0、a_9=−1<0で、1〜8は全て正、9以降は全て負。第8項まで足すと増え、その後は毎回減るためn=8だけで最大。S_n=n{62−4(n−1)}/2=33n−2n²、S_8=136、S_9=135。頂点のn=33/4=8.25は整数の項番号ではない。
生徒のすべての符号の理由・8と9の項、最大がn=8の一意性と136、和の二次式と整数条件の照合を見ます。
初項aを−2,5から、公差dを−3,2から、項数Nを6,9から一つずつ選び、等差数列を作ります。選んだ数と一般項・第2項・第5項・S_Nの式と計算過程を示し、逆順の組でも和を確かめてください。全8条件は必須にしません。
作例a=−2,d=2,N=9ならa_n=2n−4、a_2=0、a_5=6、a_9=14。S_9=9(−2+14)/2=54で、逆順との各組は12、2S_9=9×12=108。一般にa_n=a+(n−1)d、S_N=N{2a+(N−1)d}/2。生徒の別の許された三数・具体式と確認も認める。全8条件は必須にしない。
生徒の三数と式と計算過程、第2項と第5項への代入、N項の和と逆順の組の一致を見ます。