確率分布の表から平均・分散へ、条件を確かめて正規近似へ
準備14問と、生徒が確率分布の表全体・平均と分散、標準化・近似の条件を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学B。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学B(2)ア(イ)(ウ)・イ(ア)、冊子105–108/PDF117–120を踏まえた独自活動です。確率変数と分布、平均・分散・標準偏差、二項分布・正規分布と条件を確かめた正規近似を扱います。数学B全体、固定学年、信頼区間・仮説検定、連続分布の積分による理論や学習効果は主張しません。
解説を読む
起こる値とその確率を対応させた表から、平均・分散・標準偏差を求めます。独立で同じ成功確率の反復は二項分布へ、連続な量のモデルは正規分布へ整理し、正確な確率と近似値を区別します。
必要な予備知識
分数・小数、平方根、式の計算、組合せnCk、確率の和と積、期待値、条件付き確率と独立な試行。確率変数・分散・二項分布・正規分布と標準化は本文で導入します。正規分布表は課題内に与えます。確率密度の積分、信頼区間・仮説検定やポアソン近似は前提にしません。
- 確率変数Xは、試行の結果に応じて決まる数です。離散型の確率分布では、起こり得る異なる値xと確率pを全て対応させ、各p≧0、全てのpの和1を確かめます。値の単なる個数と確率の重みは別です。
- 離散型では平均（期待値）μ=E(X)=Σxpです。E(X²)=Σx²pを別に計算すると、分散V(X)=E((X−μ)²)=E(X²)−μ²が得られます。標準偏差σは分散の非負の平方根です。平均だけでは散らばりは決まりません。
- Y=aX+bではE(Y)=aE(X)+b、V(Y)=a²V(X)、標準偏差は|a|σです。分散へbを足さず、負のaでも分散は負にしません。元の値と変換した値の確率は対応させます。
- 固定した回数nで、各回が独立かつ成功確率pが同じ二結果の試行なら、成功回数Xは二項分布B(n,p)に従います。k=0,…,nでP(X=k)=nCk p^k(1−p)^(n−k)。平均np、分散np(1−p)、標準偏差はその平方根です。
- 戻さない抽出など、結果を知ると残る構成が変わる場合には、独立・同じpの条件を具体的に確かめます。同じ平均になっても分布や分散まで同じとは限りません。モデルの仮定と実物での観測を分けます。
- この教材では正規分布をN(μ,σ²)と書き、二つ目は分散、σ>0は標準偏差です。連続型のモデルでは確率は区間に対応する面積で、点一つの確率P(X=c)は0です。密度が高い点でも点の確率を正にしません。
- XがN(μ,σ²)に従うときZ=(X−μ)/σは標準正規分布N(0,1)に従います。分散σ²ではなく標準偏差σで割ります。σ>0なので不等号の向きは変わりません。区間の両端を変換します。
- 課題内の表A(z)=P(0≦Z≦z)（z≧0）を使います。対称性と左右の半分0.5を用いて区間・片側を求めます。表は小数第4位の近似値なので、そこから求めた値にも≈を使い、厳密な値と区別します。
- 二項分布の正規近似は、独立・同じpを確かめた上で、npとn(1−p)が共に十分大きいかを見ます。nが大きいだけでは足りません。これは近似の見通しで、普遍的な誤差保証や一つの絶対的な数値基準を主張しません。
- 整数の回数を連続なモデルで近似する課題では、指定した0.5の補正という約束で整数の棒の幅を対応させます。例えばa≦X≦bはa−0.5からb+0.5に対応させます。この教材内の約束であり、全ての問題や文部科学省が一律に要求する条件とはしません。厳密な二項確率と正規近似を=で結びません。
解き方の例
Xが0を確率3/4、2を確率1/4で取るなら、E(X)=0×3/4+2×1/4=1/2、E(X²)=1、V(X)=1−(1/2)²=3/4です。各値の単なる平均1とは違い、確率の重みを使います。
XがN(50,4)に従うモデルでは標準偏差2です。X=53に対応する標準化した値は(53−50)/2=3/2です。二つ目の4で割った3/4とはしません。
よくある間違い
- 確率の和1を確認せず値の単なる平均を求める。
- E(X²)とE(X)²を同じものにする。
- 標準偏差と分散を入れ替える。
- Y=aX+bの分散をaV(X)+bとする。
- 独立・同じpを確かめず二項分布へ当てはめる。
- N(μ,σ²)の二つ目を標準偏差として割る。
- 連続型の点の確率を密度の高さと同じにする。
- 正規分布表が中央からの面積かを確かめない。
- nだけが大きければ常に正規近似がよいとする。
- 指定された補正の上下を逆にし、近似値を厳密な確率とする。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数・小数と選択です。主課題は生徒の全確率分布・重み付きの平均と二乗平均、分散と標準偏差、二項モデルの条件、正規分布の記号・全端点の標準化と表の範囲、厳密値と近似値の区別を手動で見ます。T1は分散二通り、T2は値の変換、T3は全二項分布とモーメント、T4は同じ平均と違う分散、T5は区間・片側・点、T6は分散の誤用と逆変換、T7は指定補正の比較、T8はnだけでの判断の修正、T9は小さいモデルの厳密値との比較、T10は生徒の分布・端点と標準化を扱います。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・小数と選択だけです。生徒の表全体・式、自由な分布の説明、標準化・近似の条件と理由は手動確認します。二項分布の正規近似を直観と具体例で扱い、厳密な誤差保証、連続分布の積分理論、信頼区間・仮説検定やポアソン近似、実測・学習効果、新しい式・確率パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・小数と選択だけです。自分の分布全体・式・標準化、モデルと近似の条件や理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
表の確率分布の平均E(X)を求めてください。
離散型の確率変数Xの全ての値と確率 Xの値 −1 1 3 確率 1/4 1/2 1/4 答えと解説
1
(−1)×1/4+1×1/2+3×1/4=1です。
表の確率分布の分散V(X)を求めてください。
離散型の確率変数Xの全ての値と確率 Xの値 −1 1 3 確率 1/4 1/2 1/4 答えと解説
2
平均1、E(X²)=1/4+1/2+9/4=3なので、3−1²=2です。
Xが二項分布B(12,1/4)に従います。平均E(X)を求めてください。
答えと解説
3
平均np=12×1/4=3です。
Xが二項分布B(12,1/4)に従います。分散V(X)を求めてください。
答えと解説
np(1−p)=12×1/4×3/4=9/4です。
Xが正規分布N(30,16)に従います。X=38に対応するZ=(X−μ)/σの値を求めてください。
答えと解説
2
標準偏差は4なので、(38−30)/4=2です。
Zは標準正規分布に従います。表の近似値P(0≦Z≦1)≈0.3413を用い、P(−1≦Z≦1)の近似値を小数第4位まで答えてください。
答えと解説
0.6826
対称性により表の値を2倍し、2×0.3413=0.6826です。元の確率は近似です。
XはB(100,0.5)に従います。P(X≦60)をN(50,25)で近似する際、指定された0.5補正で上端を60.5とします。その上端に対応する標準化した値を答えてください。
答えと解説
標準偏差5で割り、(60.5−50)/5=2.1=21/10です。これは上端の変換値で、確率そのものではありません。
離散型の全ての値について、確率の表として必要な条件はどれですか。
- 確率の和が0で各値は非負
- 各確率が非負で、確率の和が1
- 値xの和が1なら確率は自由
- 異なる値の確率は必ず全て等しい
答えと解説
各確率が非負で、確率の和が1
確率は非負で、全ての起こり得る値の確率を足すと1です。
成功回数を二項分布B(n,p)として扱う条件はどれですか。
- 成功確率が同じなら独立は不要
- 回数が固定なら成功確率は回ごとに変えてよい
- 各回独立なら回数も結果によって決めてよい
- 回数固定、各回独立、同じ成功確率の二結果
答えと解説
回数固定、各回独立、同じ成功確率の二結果
固定n、独立、同じpの二結果という条件を揃えます。
正規分布N(8,25)の標準偏差はどれですか。
- 5
- 25
- 625
- 8
答えと解説
5
二つ目は分散25で、その正の平方根5が標準偏差です。
連続型の正規分布N(8,25)に従うXについて、P(X=8)の値はどれですか。
- 分布の中心だから1/2
- 密度の最大値と同じ正の数
- 0
- 平均8と同じ8
答えと解説
0
点一つの面積は0です。密度の高さとは区別します。
二項分布の正規近似の条件を確かめる方針として適切なものはどれですか。
- nが大きければpの値は問わない
- npとn(1−p)の両方を見て、モデルの仮定も確かめる
- npだけが大きければ常に誤差0
- 独立かどうかは近似なら確認不要
答えと解説
npとn(1−p)の両方を見て、モデルの仮定も確かめる
両側の期待回数と二項モデルの仮定を確認します。普遍的な誤差保証にはしません。
丸めた正規分布表から得た二項確率の近似値について、適切な記録はどれですか。
- 近似でも元の厳密な確率と=で結ぶ
- nが大きければ表の丸め誤差も必ず0
- 小数4桁ならどの分布でも厳密値になる
- 用いたモデル・補正・表を記し≈で区別する
答えと解説
用いたモデル・補正・表を記し≈で区別する
何を近似し何を丸めたかを残し、厳密な二項確率と区別します。
XがN(μ,σ²)、σ>0に従います。標準正規分布へ移す式はどれですか。
- (X−μ)/σ
- (X−μ)/σ²
- X/σ−μ
- (X+μ)/σ
答えと解説
(X−μ)/σ
中心μを引いて、標準偏差σで割ります。
考え方を説明する
Xは−1,1,3をそれぞれ確率1/4,1/2,1/4で取ります。全分布表を作り、確率の和、E(X)、E(X²)、V(X)、標準偏差を求めてください。別にΣ(x−μ)²pも計算し、二通りの分散が一致する理由を説明します。
答えと解説
確率の和1、E(X)=−1/4+1/2+3/4=1、E(X²)=1/4+1/2+9/4=3。V(X)=3−1²=2、標準偏差√2。偏差二乗の重みは4×1/4,0×1/2,4×1/4で和2。
生徒の全三値と確率、重み付きの式と計算過程、E(X²)とμ²の区別、分散二通りと非負の平方根を見ます。
Xは−1,1,3を確率1/4,1/2,1/4で取ります。Y=−2X+5について、Yの全ての値と確率を表にし、平均・分散・標準偏差を直接計算してください。Xの平均1・分散2からの変換公式とも照合し、負の係数と定数5の役割を説明します。
答えと解説
対応するYは7,3,−1、確率は順に1/4,1/2,1/4。E(Y)=7/4+3/2−1/4=3、E(Y²)=49/4+9/2+1/4=17、V(Y)=17−9=8、標準偏差2√2。公式でも−2×1+5=3、(−2)²×2=8、|−2|√2=2√2。
生徒の対応表・全重み付き計算と二つの照合、分散に5を足さない理由と負の係数を二乗する理由を見ます。
独立で成功確率1/3の同じ二結果の試行を四回行います。Xを成功回数とし、k=0,1,2,3,4の全ての確率分布を作ってください。その表全体から平均・分散を計算し、二項分布の公式とも照合します。P(X=2)も元の成功回数へ戻して説明します。
答えと解説
k=0,1,2,3,4の確率は16/81,32/81,24/81,8/81,1/81で和1。平均(32+48+24+4)/81=108/81=4/3。E(X²)=(32+96+72+16)/81=216/81=8/3、分散8/3−16/9=8/9。np=4/3、np(1−p)=8/9と一致。P(X=2)=24/81=8/27。
生徒の全五行と組合せ・積、確率の和、表からの二つのモーメントと分散、公式の条件・値への照合を見る。単に既知の一確率を数えるだけで終えない。
区別できる赤3個・青2個から、その時点の各個を公平に選び、戻さず二個引きます。Xは赤の個数です。X=0,1,2の全分布、平均・分散を求め、B(2,3/5)の全分布・平均・分散と比較してください。同じ平均でも分布が違うことを示し、無断で二項分布にできない理由を条件後の確率から説明します。
答えと解説
戻さないモデルはP0=1/10,P1=3/5,P2=3/10。E(X)=3/5+6/10=6/5、E(X²)=3/5+12/10=9/5、V(X)=9/5−36/25=9/25。B(2,3/5)はP0=4/25,P1=12/25,P2=9/25、平均6/5、分散12/25。前者で最初が赤なら次の赤は2/4=1/2、最初が青なら3/4で、同じ3/5の独立反復ではない。平均が同じでも分散9/25と12/25は違う。
生徒の二つの全分布と確率和・重み付き全計算、同じ平均と違う分散、条件後の構成・成功確率の違いを見る。単なる戻す/戻さないの数え直しではなく、二分布のモーメント比較を求める。
XはN(64,16)に従います。標準正規分布の表A(1)=P(0≦Z≦1)≈0.3413、A(2)≈0.4772を使います。P(60≦X≦72)とP(X≧72)の区間を標準化して近似値を求めてください。P(X=64)とも比べ、点の確率と密度の高さの違いを説明します。
答えと解説
標準偏差4で、60はZ=−1、72はZ=2。P(60≦X≦72)≈0.3413+0.4772=0.8185。P(X≧72)≈0.5−0.4772=0.0228。連続型の点の確率P(X=64)=0。中心の密度が高くても点一つの面積は0である。
生徒の標準偏差4・両端の全変換、対称性と半分0.5による区間/片側の計算、≈と点確率0の区別を見ます。
XはN(40,9)に従います。友人は標準化をZ=(X−40)/9としてP(34≦X≦43)を調べました。分散と標準偏差を分けて式を直し、表A(1)≈0.3413、A(2)≈0.4772から正しい近似値を求めてください。さらにZ≦−1に対応するXの範囲を求め、元の式へ戻して確かめます。
答えと解説
標準偏差3なのでZ=(X−40)/3。端点34,43は−2,1で、近似値0.4772+0.3413=0.8185。Z≦−1は(X−40)/3≦−1、X≦37。X=37でZ=−1へ戻る。9は分散で、標準化の分母ではない。
生徒の全文修正・標準偏差3と全ての端点、正規表の向き/≈、不等号と逆変換・元の式での確認を見ます。
Xは独立な100回の同じ試行の成功回数でp=0.5です。平均・分散・標準偏差を求め、P(40≦X≦60)を正規分布で近似してください。この課題では0.5補正で39.5≦Y≦60.5に対応させます。表A(2.1)≈0.4821を使い、補正しない端点ならA(2)≈0.4772で得る近似値とも比べます。モデルと二つの近似を厳密な二項確率から区別します。
答えと解説
平均50、分散25、標準偏差5。np=n(1−p)=50で両側の期待回数を確認する。N(50,25)を用い、補正後はZ=−2.1から2.1、近似値2×0.4821=0.9642。補正しない40..60は−2..2で≈0.9544。厳密値はΣ_{k=40}^{60}100Ck(1/2)^100であり、表の近似と=で結ばない。補正は課題内の約束で、普遍的な誤差保証ではない。
生徒の全モーメントと仮定/両期待回数、指定補正・両端の標準化/表、二つの≈と厳密な確率の区別を見る。厳密和の小数計算や独自の一律基準は必須にしない。
友人は「XがB(1000,0.001)ならnが1000で大きいので、条件を見ずに正規近似してよい」としました。平均・分散とnp,n(1−p)を計算し、B(100,0.5)とも比較して説明を直してください。B(1000,0.001)のP(X=0)は二項分布の厳密な式で残し、別の近似法を新たに導入する必要はありません。
答えと解説
B(1000,0.001)は平均np=1、n(1−p)=999、分散1000×0.001×0.999=0.999。nが大きくてもnp=1は小さく、両側の期待回数が大きいという見通しを満たさない。B(100,0.5)はnp=n(1−p)=50、分散25。元のP(X=0)=(999/1000)^1000で厳密に表せる。nだけで決めず、pと両期待回数・モデルの仮定を確かめるという全文へ直す。
生徒の二つのモデルの値と条件の比較、普遍的な誤差保証としない説明、0回成功の厳密な式を見る。ポアソン近似やその小数計算は要求しない。
XはB(4,0.5)に従います。P(1≦X≦3)の厳密な確率を求めてください。比較用としてN(2,1)と、指定された0.5補正で0.5から3.5の区間を使い、表A(1.5)≈0.4332から近似値とその絶対差を求めます。小さいnp,n(1−p)も確認し、二つの値を同一視しない説明を残します。
答えと解説
厳密値は(4+6+4)/16=14/16=7/8=0.875。N(2,1)の標準偏差1で補正端点のZは−1.5,1.5、表による近似は2×0.4332=0.8664。示した近似値との絶対差は0.0086。np=n(1−p)=2は小さく、この比較を一般に良い近似と認めたことにはしない。近似値・表の丸めと厳密値を分ける。
生徒の厳密な全該当確率、指定された比較モデル/補正/両端、表による≈とその差、両期待回数と近似の限界を見る。0.0086は提示表の丸め値との比較である。
μを20,50から、標準偏差σを2,5から、rを1,2から一つずつ選び、XがN(μ,σ²)に従うモデルを作ります。μ−rσ≦X≦μ+rσの実際の端点を求め、両端を標準化してください。表A(1)≈0.3413、A(2)≈0.4772から近似確率を求め、選んだμ,σの異なる別のモデルと、標準化した区間が同じになる理由も説明します。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
作例μ=20,σ=5,r=2ならXはN(20,25)、端点10,30、Zは−2..2で近似確率0.9544。一般に端点はμ±rσ、標準化で±rとなり、r=1なら≈0.6826、r=2なら≈0.9544。別のモデルμ=50,σ=2、同じr=2なら端点46,54、Zは同じ−2..2。生徒の許された一つの選択と別モデル、同値な計算・説明を認め、実測分布の認定にはしない。
生徒のμ,σ,rと二つ目がσ²の分布記号、実際の両端/全標準化、表の近似値、同じrで中心・尺度が消える理由と別モデルを見る。全8条件は講師確認用で、生徒の必須課題数を増やさない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学B(2)ア(イ)(ウ)・イ(ア)、冊子105–108/PDF117–120を踏まえた独自活動です。確率変数と分布、平均・分散・標準偏差、二項分布・正規分布と条件を確かめた正規近似を扱います。数学B全体、固定学年、信頼区間・仮説検定、連続分布の積分による理論や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 確率分布の表から平均・分散へ、条件を確かめて正規近似へ
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/use-probability-distributions-and-normal-approximation-with-conditions/
準備14問は指定有理数・小数と選択です。主課題は生徒の全確率分布・重み付きの平均と二乗平均、分散と標準偏差、二項モデルの条件、正規分布の記号・全端点の標準化と表の範囲、厳密値と近似値の区別を手動で見ます。T1は分散二通り、T2は値の変換、T3は全二項分布とモーメント、T4は同じ平均と違う分散、T5は区間・片側・点、T6は分散の誤用と逆変換、T7は指定補正の比較、T8はnだけでの判断の修正、T9は小さいモデルの厳密値との比較、T10は生徒の分布・端点と標準化を扱います。正しい同値式・別解を認めます。
表の確率分布の平均E(X)を求めてください。
離散型の確率変数Xの全ての値と確率 Xの値 −1 1 3 確率 1/4 1/2 1/4 途中の計算・単位・理由・確認答え:
表の確率分布の分散V(X)を求めてください。
離散型の確率変数Xの全ての値と確率 Xの値 −1 1 3 確率 1/4 1/2 1/4 途中の計算・単位・理由・確認答え:
Xが二項分布B(12,1/4)に従います。平均E(X)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Xが二項分布B(12,1/4)に従います。分散V(X)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Xが正規分布N(30,16)に従います。X=38に対応するZ=(X−μ)/σの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
Zは標準正規分布に従います。表の近似値P(0≦Z≦1)≈0.3413を用い、P(−1≦Z≦1)の近似値を小数第4位まで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
XはB(100,0.5)に従います。P(X≦60)をN(50,25)で近似する際、指定された0.5補正で上端を60.5とします。その上端に対応する標準化した値を答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
離散型の全ての値について、確率の表として必要な条件はどれですか。
- 確率の和が0で各値は非負
- 各確率が非負で、確率の和が1
- 値xの和が1なら確率は自由
- 異なる値の確率は必ず全て等しい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
成功回数を二項分布B(n,p)として扱う条件はどれですか。
- 成功確率が同じなら独立は不要
- 回数が固定なら成功確率は回ごとに変えてよい
- 各回独立なら回数も結果によって決めてよい
- 回数固定、各回独立、同じ成功確率の二結果
途中の計算・単位・理由・確認答え:
正規分布N(8,25)の標準偏差はどれですか。
- 5
- 25
- 625
- 8
途中の計算・単位・理由・確認答え:
連続型の正規分布N(8,25)に従うXについて、P(X=8)の値はどれですか。
- 分布の中心だから1/2
- 密度の最大値と同じ正の数
- 0
- 平均8と同じ8
途中の計算・単位・理由・確認答え:
二項分布の正規近似の条件を確かめる方針として適切なものはどれですか。
- nが大きければpの値は問わない
- npとn(1−p)の両方を見て、モデルの仮定も確かめる
- npだけが大きければ常に誤差0
- 独立かどうかは近似なら確認不要
途中の計算・単位・理由・確認答え:
丸めた正規分布表から得た二項確率の近似値について、適切な記録はどれですか。
- 近似でも元の厳密な確率と=で結ぶ
- nが大きければ表の丸め誤差も必ず0
- 小数4桁ならどの分布でも厳密値になる
- 用いたモデル・補正・表を記し≈で区別する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
XがN(μ,σ²)、σ>0に従います。標準正規分布へ移す式はどれですか。
- (X−μ)/σ
- (X−μ)/σ²
- X/σ−μ
- (X+μ)/σ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
Xは−1,1,3をそれぞれ確率1/4,1/2,1/4で取ります。全分布表を作り、確率の和、E(X)、E(X²)、V(X)、標準偏差を求めてください。別にΣ(x−μ)²pも計算し、二通りの分散が一致する理由を説明します。
Xは−1,1,3を確率1/4,1/2,1/4で取ります。Y=−2X+5について、Yの全ての値と確率を表にし、平均・分散・標準偏差を直接計算してください。Xの平均1・分散2からの変換公式とも照合し、負の係数と定数5の役割を説明します。
独立で成功確率1/3の同じ二結果の試行を四回行います。Xを成功回数とし、k=0,1,2,3,4の全ての確率分布を作ってください。その表全体から平均・分散を計算し、二項分布の公式とも照合します。P(X=2)も元の成功回数へ戻して説明します。
区別できる赤3個・青2個から、その時点の各個を公平に選び、戻さず二個引きます。Xは赤の個数です。X=0,1,2の全分布、平均・分散を求め、B(2,3/5)の全分布・平均・分散と比較してください。同じ平均でも分布が違うことを示し、無断で二項分布にできない理由を条件後の確率から説明します。
XはN(64,16)に従います。標準正規分布の表A(1)=P(0≦Z≦1)≈0.3413、A(2)≈0.4772を使います。P(60≦X≦72)とP(X≧72)の区間を標準化して近似値を求めてください。P(X=64)とも比べ、点の確率と密度の高さの違いを説明します。
XはN(40,9)に従います。友人は標準化をZ=(X−40)/9としてP(34≦X≦43)を調べました。分散と標準偏差を分けて式を直し、表A(1)≈0.3413、A(2)≈0.4772から正しい近似値を求めてください。さらにZ≦−1に対応するXの範囲を求め、元の式へ戻して確かめます。
Xは独立な100回の同じ試行の成功回数でp=0.5です。平均・分散・標準偏差を求め、P(40≦X≦60)を正規分布で近似してください。この課題では0.5補正で39.5≦Y≦60.5に対応させます。表A(2.1)≈0.4821を使い、補正しない端点ならA(2)≈0.4772で得る近似値とも比べます。モデルと二つの近似を厳密な二項確率から区別します。
友人は「XがB(1000,0.001)ならnが1000で大きいので、条件を見ずに正規近似してよい」としました。平均・分散とnp,n(1−p)を計算し、B(100,0.5)とも比較して説明を直してください。B(1000,0.001)のP(X=0)は二項分布の厳密な式で残し、別の近似法を新たに導入する必要はありません。
XはB(4,0.5)に従います。P(1≦X≦3)の厳密な確率を求めてください。比較用としてN(2,1)と、指定された0.5補正で0.5から3.5の区間を使い、表A(1.5)≈0.4332から近似値とその絶対差を求めます。小さいnp,n(1−p)も確認し、二つの値を同一視しない説明を残します。
μを20,50から、標準偏差σを2,5から、rを1,2から一つずつ選び、XがN(μ,σ²)に従うモデルを作ります。μ−rσ≦X≦μ+rσの実際の端点を求め、両端を標準化してください。表A(1)≈0.3413、A(2)≈0.4772から近似確率を求め、選んだμ,σの異なる別のモデルと、標準化した区間が同じになる理由も説明します。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 確率分布の表から平均・分散へ、条件を確かめて正規近似へ
1
(−1)×1/4+1×1/2+3×1/4=1です。
2
平均1、E(X²)=1/4+1/2+9/4=3なので、3−1²=2です。
3
平均np=12×1/4=3です。
np(1−p)=12×1/4×3/4=9/4です。
2
標準偏差は4なので、(38−30)/4=2です。
0.6826
対称性により表の値を2倍し、2×0.3413=0.6826です。元の確率は近似です。
標準偏差5で割り、(60.5−50)/5=2.1=21/10です。これは上端の変換値で、確率そのものではありません。
各確率が非負で、確率の和が1
確率は非負で、全ての起こり得る値の確率を足すと1です。
回数固定、各回独立、同じ成功確率の二結果
固定n、独立、同じpの二結果という条件を揃えます。
5
二つ目は分散25で、その正の平方根5が標準偏差です。
0
点一つの面積は0です。密度の高さとは区別します。
npとn(1−p)の両方を見て、モデルの仮定も確かめる
両側の期待回数と二項モデルの仮定を確認します。普遍的な誤差保証にはしません。
用いたモデル・補正・表を記し≈で区別する
何を近似し何を丸めたかを残し、厳密な二項確率と区別します。
(X−μ)/σ
中心μを引いて、標準偏差σで割ります。
記述問題の解答・確認の観点
Xは−1,1,3をそれぞれ確率1/4,1/2,1/4で取ります。全分布表を作り、確率の和、E(X)、E(X²)、V(X)、標準偏差を求めてください。別にΣ(x−μ)²pも計算し、二通りの分散が一致する理由を説明します。
確率の和1、E(X)=−1/4+1/2+3/4=1、E(X²)=1/4+1/2+9/4=3。V(X)=3−1²=2、標準偏差√2。偏差二乗の重みは4×1/4,0×1/2,4×1/4で和2。
生徒の全三値と確率、重み付きの式と計算過程、E(X²)とμ²の区別、分散二通りと非負の平方根を見ます。
Xは−1,1,3を確率1/4,1/2,1/4で取ります。Y=−2X+5について、Yの全ての値と確率を表にし、平均・分散・標準偏差を直接計算してください。Xの平均1・分散2からの変換公式とも照合し、負の係数と定数5の役割を説明します。
対応するYは7,3,−1、確率は順に1/4,1/2,1/4。E(Y)=7/4+3/2−1/4=3、E(Y²)=49/4+9/2+1/4=17、V(Y)=17−9=8、標準偏差2√2。公式でも−2×1+5=3、(−2)²×2=8、|−2|√2=2√2。
生徒の対応表・全重み付き計算と二つの照合、分散に5を足さない理由と負の係数を二乗する理由を見ます。
独立で成功確率1/3の同じ二結果の試行を四回行います。Xを成功回数とし、k=0,1,2,3,4の全ての確率分布を作ってください。その表全体から平均・分散を計算し、二項分布の公式とも照合します。P(X=2)も元の成功回数へ戻して説明します。
k=0,1,2,3,4の確率は16/81,32/81,24/81,8/81,1/81で和1。平均(32+48+24+4)/81=108/81=4/3。E(X²)=(32+96+72+16)/81=216/81=8/3、分散8/3−16/9=8/9。np=4/3、np(1−p)=8/9と一致。P(X=2)=24/81=8/27。
生徒の全五行と組合せ・積、確率の和、表からの二つのモーメントと分散、公式の条件・値への照合を見る。単に既知の一確率を数えるだけで終えない。
区別できる赤3個・青2個から、その時点の各個を公平に選び、戻さず二個引きます。Xは赤の個数です。X=0,1,2の全分布、平均・分散を求め、B(2,3/5)の全分布・平均・分散と比較してください。同じ平均でも分布が違うことを示し、無断で二項分布にできない理由を条件後の確率から説明します。
戻さないモデルはP0=1/10,P1=3/5,P2=3/10。E(X)=3/5+6/10=6/5、E(X²)=3/5+12/10=9/5、V(X)=9/5−36/25=9/25。B(2,3/5)はP0=4/25,P1=12/25,P2=9/25、平均6/5、分散12/25。前者で最初が赤なら次の赤は2/4=1/2、最初が青なら3/4で、同じ3/5の独立反復ではない。平均が同じでも分散9/25と12/25は違う。
生徒の二つの全分布と確率和・重み付き全計算、同じ平均と違う分散、条件後の構成・成功確率の違いを見る。単なる戻す/戻さないの数え直しではなく、二分布のモーメント比較を求める。
XはN(64,16)に従います。標準正規分布の表A(1)=P(0≦Z≦1)≈0.3413、A(2)≈0.4772を使います。P(60≦X≦72)とP(X≧72)の区間を標準化して近似値を求めてください。P(X=64)とも比べ、点の確率と密度の高さの違いを説明します。
標準偏差4で、60はZ=−1、72はZ=2。P(60≦X≦72)≈0.3413+0.4772=0.8185。P(X≧72)≈0.5−0.4772=0.0228。連続型の点の確率P(X=64)=0。中心の密度が高くても点一つの面積は0である。
生徒の標準偏差4・両端の全変換、対称性と半分0.5による区間/片側の計算、≈と点確率0の区別を見ます。
XはN(40,9)に従います。友人は標準化をZ=(X−40)/9としてP(34≦X≦43)を調べました。分散と標準偏差を分けて式を直し、表A(1)≈0.3413、A(2)≈0.4772から正しい近似値を求めてください。さらにZ≦−1に対応するXの範囲を求め、元の式へ戻して確かめます。
標準偏差3なのでZ=(X−40)/3。端点34,43は−2,1で、近似値0.4772+0.3413=0.8185。Z≦−1は(X−40)/3≦−1、X≦37。X=37でZ=−1へ戻る。9は分散で、標準化の分母ではない。
生徒の全文修正・標準偏差3と全ての端点、正規表の向き/≈、不等号と逆変換・元の式での確認を見ます。
Xは独立な100回の同じ試行の成功回数でp=0.5です。平均・分散・標準偏差を求め、P(40≦X≦60)を正規分布で近似してください。この課題では0.5補正で39.5≦Y≦60.5に対応させます。表A(2.1)≈0.4821を使い、補正しない端点ならA(2)≈0.4772で得る近似値とも比べます。モデルと二つの近似を厳密な二項確率から区別します。
平均50、分散25、標準偏差5。np=n(1−p)=50で両側の期待回数を確認する。N(50,25)を用い、補正後はZ=−2.1から2.1、近似値2×0.4821=0.9642。補正しない40..60は−2..2で≈0.9544。厳密値はΣ_{k=40}^{60}100Ck(1/2)^100であり、表の近似と=で結ばない。補正は課題内の約束で、普遍的な誤差保証ではない。
生徒の全モーメントと仮定/両期待回数、指定補正・両端の標準化/表、二つの≈と厳密な確率の区別を見る。厳密和の小数計算や独自の一律基準は必須にしない。
友人は「XがB(1000,0.001)ならnが1000で大きいので、条件を見ずに正規近似してよい」としました。平均・分散とnp,n(1−p)を計算し、B(100,0.5)とも比較して説明を直してください。B(1000,0.001)のP(X=0)は二項分布の厳密な式で残し、別の近似法を新たに導入する必要はありません。
B(1000,0.001)は平均np=1、n(1−p)=999、分散1000×0.001×0.999=0.999。nが大きくてもnp=1は小さく、両側の期待回数が大きいという見通しを満たさない。B(100,0.5)はnp=n(1−p)=50、分散25。元のP(X=0)=(999/1000)^1000で厳密に表せる。nだけで決めず、pと両期待回数・モデルの仮定を確かめるという全文へ直す。
生徒の二つのモデルの値と条件の比較、普遍的な誤差保証としない説明、0回成功の厳密な式を見る。ポアソン近似やその小数計算は要求しない。
XはB(4,0.5)に従います。P(1≦X≦3)の厳密な確率を求めてください。比較用としてN(2,1)と、指定された0.5補正で0.5から3.5の区間を使い、表A(1.5)≈0.4332から近似値とその絶対差を求めます。小さいnp,n(1−p)も確認し、二つの値を同一視しない説明を残します。
厳密値は(4+6+4)/16=14/16=7/8=0.875。N(2,1)の標準偏差1で補正端点のZは−1.5,1.5、表による近似は2×0.4332=0.8664。示した近似値との絶対差は0.0086。np=n(1−p)=2は小さく、この比較を一般に良い近似と認めたことにはしない。近似値・表の丸めと厳密値を分ける。
生徒の厳密な全該当確率、指定された比較モデル/補正/両端、表による≈とその差、両期待回数と近似の限界を見る。0.0086は提示表の丸め値との比較である。
μを20,50から、標準偏差σを2,5から、rを1,2から一つずつ選び、XがN(μ,σ²)に従うモデルを作ります。μ−rσ≦X≦μ+rσの実際の端点を求め、両端を標準化してください。表A(1)≈0.3413、A(2)≈0.4772から近似確率を求め、選んだμ,σの異なる別のモデルと、標準化した区間が同じになる理由も説明します。全8条件を解くことは必須にしません。
作例μ=20,σ=5,r=2ならXはN(20,25)、端点10,30、Zは−2..2で近似確率0.9544。一般に端点はμ±rσ、標準化で±rとなり、r=1なら≈0.6826、r=2なら≈0.9544。別のモデルμ=50,σ=2、同じr=2なら端点46,54、Zは同じ−2..2。生徒の許された一つの選択と別モデル、同値な計算・説明を認め、実測分布の認定にはしない。
生徒のμ,σ,rと二つ目がσ²の分布記号、実際の両端/全標準化、表の近似値、同じrで中心・尺度が消える理由と別モデルを見る。全8条件は講師確認用で、生徒の必須課題数を増やさない。