漸化式を一段ずつ開き、初期条件と一般項へ戻す
準備14問と、生徒が漸化式の一段の変化・初期条件と一般項を対応させ、元のすべての条件へ戻して確認する主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学B。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学B(1)ア(ウ)・イ(イ)、冊子102–104/PDF114–116を踏まえた独自活動です。一次の隣接二項の漸化式、初期条件、等差・等比型と定数を引く変形、簡単な階差と明示した仮定の場面を扱います。数学B全体・固定学年・任意の漸化式や数学的帰納法、実測や学習効果は主張しません。
解説を読む
一つ前の項から次を作る規則だけでは、最初の値は決まりません。初期条件から実際の項を作り、同じ一段の変化を一般項にも代入して確かめます。一定値からの差を使う変形では、その差の最初の値も一緒に移します。
必要な予備知識
正負の数・分数、文字式と一次方程式、整数指数、等差・等比数列の一般項、初めの自然数の和。漸化式の意味・初期条件と、定数を引く変形は本文で導入します。数学的帰納法・無限級数・極限や隣接三項の漸化式は前提にしません。
- 漸化式は、項と次の項などの関係で数列を表す式です。例えばa_(n+1)=a_n+3では、前の値に3を足して次の値を作ります。ここでnは正の整数。a_1という初期条件もあれば、a_2,a_3,…が順に一つずつ決まります。規則だけから最初の値を勝手に置きません。
- a_1=c、a_(n+1)=a_n+dならa_n=c+(n−1)dです。初項から第n項までの変化はn−1回。a_1=c、a_(n+1)=r a_nなら、r≠0ではa_n=c r^(n−1)です。負の公比にはかっこと整数指数を使います。
- 一般項の候補を確かめるには、n=1で初期条件に合うかと、任意の正の整数nで一段の漸化式に合うかの両方へ戻します。初めの数項だけの一致を、全ての項で成り立つ理由とはしません。一段の規則と同じ最初の値から、後続の項が順に決まることも説明します。
- a_(n+1)=p a_n+qでp≠1なら、α=pα+qを満たすα=q/(1−p)を求めます。両辺からαを引くとa_(n+1)−α=p(a_n−α)。b_n=a_n−αと置いたらb_1=a_1−αで、初期条件も移します。
- p≠0,1ではb_n=(a_1−α)p^(n−1)なので、a_n=α+(a_1−α)p^(n−1)です。負や分数のpでも定義域は正の整数です。αは元の式へ代入して変化しない値であり、必ず数列の初項や全項の値になるとは限りません。
- p=1ならα=q/(1−p)を計算せず、a_(n+1)=a_n+qの等差型へ戻します。p=0ならa_1は与えられた値で、n≧2の全項はqです。0の0乗を式へ押し込まずに分けます。a_1=αなら全項αとなり、初期値も確かめます。
- a_(n+1)−a_n=f(n)なら、n≧2でa_n=a_1+Σ_{k=1}^{n−1}f(k)です。足すのは第1項から第n項へのn−1段。n=1は変化を一回も足さず初期値です。添字のnと、和の上限n−1を取り違えません。
- 同じp,qで初期値だけが異なる二数列a_n,c_nなら、差d_n=a_n−c_nはd_(n+1)=p d_nを満たします。初めの差も残し、元の二つの数列で確かめます。p=−1の例なら差の符号が交互でも、初期値の違いが消えたとは限りません。
- 場面を漸化式にするときは、いつの量をx_nとするかと、一段の操作の順を決めます。例えば先に一定割合を残してから一定量を足す規則と、先に足してから同じ割合を残す規則は別です。仮定した有限の操作を扱い、実測や無限時間後の状態を結論しません。
- 自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な一般項・変形・初期条件への代入、任意のnでの一段の確認、表全体やモデルの理由は紙や既存ボードで手動確認します。正しい同値式や別解を認め、式を解釈する新しいパーサーは追加しません。
解き方の例
a_1=2、a_(n+1)=3a_n+2ならα=−1です。b_n=a_n+1としてb_1=3、b_(n+1)=3b_nよりb_n=3^n、a_n=3^n−1。初めの4項は2,8,26,80。n=1では2、一段でも3(3^n−1)+2=3^(n+1)−1となり両方の条件に合います。
a_1=−3、a_(n+1)=a_n+2nなら、n−1段の差を足してa_n=−3+2Σ_{k=1}^{n−1}k=n(n−1)−3。n=1は−3、n=4は9で、直接にも−3,−1,3,9です。任意のnで差a_(n+1)−a_n=2nも確かめます。
よくある間違い
- 漸化式だけから初項を勝手に決める。
- 第n項までの変化をn回とする。
- 負の公比をかっこへ入れない。
- 定数を引いた後の初期条件を移さない。
- α=q/(1−p)でp=1を別にしない。
- p=0の初項と第2項以降を同じにする。
- 一般項の候補が一段に合うだけで初項を確かめない。
- 階差を第n段まで足し過ぎる。
- 場面の操作順や時点を変える。
- 初めの数項の一致だけで全項の理由とする。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の一段の変化・初期条件、項番号とn−1回の対応、基準からの差と移した初期値、自由な一般項・元の全ての条件への確認を手動で見ます。T1は等差型、T2は負の等比型、T3とT4は正負の係数と基準、T5は階差のn−1段、T6は操作順、T7は初期条件を外す候補、T8は初期値が違う二数列の差、T9は明示した仮のモデル、T10は生徒の係数・初期値と直接表です。正しい同値式・別解を認め、有限な数例だけを全項の理由とはしません。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な一般項・式変形の全過程、生徒の初期条件と任意のnの一段の確認、表全体・モデルの理由は手動確認します。一次の隣接二項と簡単な階差を扱い、任意の漸化式や隣接三項、数学的帰納法・無限級数・極限、実測・学習効果、新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自由な一般項・自分の式変形の全過程、初期条件と任意のnの確認・理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
a_1=−4、a_(n+1)=a_n+5です。a_4を求めてください。
答えと解説
11
−4から3回5を足して−4+15=11。直接は−4,1,6,11です。
a_1=3、a_(n+1)=−2a_nです。a_5を求めてください。
答えと解説
48
4回掛けて3(−2)⁴=48。項は3,−6,12,−24,48です。
a_1=−1、a_(n+1)=3a_n+4です。a_3を求めてください。
答えと解説
7
a_2=3(−1)+4=1、a_3=3×1+4=7です。
a_1=10、a_(n+1)=a_n/2+2です。a_4を求めてください。
答えと解説
順に10,7,11/2,19/4です。先に半分にしてから2を足します。
a_1=2、a_(n+1)=a_n+2n+1です。a_5を求めてください。
答えと解説
26
変化はn=1,2,3,4の3,5,7,9で、2+3+5+7+9=26。
α=2α−6を満たすαの値を求めてください。
答えと解説
6
移項してα=6。元に戻すと2×6−6=6で変わりません。
x_0=20です。各回で前の量の半分を残した後4を足します。2回後のx_2を求めてください。
答えと解説
11
x_1=20/2+4=14、x_2=14/2+4=11です。x_0は操作前です。
a_(n+1)=2a_n−1でnは正の整数です。数列を一つに定める追加条件として十分なものはどれですか。
- 最初の値a_1=4
- 初めの値は指定しない
- 添字nは正の整数ともう一度書く
- 第1項は何かの実数とだけ書く
答えと解説
最初の値a_1=4
一段の規則に初期値a_1=4が加われば、後の項が順に決まります。
a_(n+1)=2a_n+3でb_n=a_n+3と置きます。正しい関係はどれですか。
- b_(n+1)=2b_n+3
- b_(n+1)=2b_n
- b_(n+1)=b_n+3
- b_(n+1)=2b_n−3
答えと解説
b_(n+1)=2b_n
a_(n+1)+3=2a_n+6=2(a_n+3)なので2b_nです。
a_1=c、a_(n+1)=a_n−4です。一般項はどれですか。
- c−4n
- c+4(n−1)
- c−4(n−1)
- c(−4)^(n−1)
答えと解説
c−4(n−1)
第1項から第n項まではn−1回、4を引きます。
a_n=5·2^(n−1)+3です。この一般項が満たす初期条件と漸化式はどれですか。
- a_1=5、a_(n+1)=2a_n+3
- a_1=8、a_(n+1)=2a_n+3
- a_1=3、a_(n+1)=2a_n−3
- a_1=8、a_(n+1)=2a_n−3
答えと解説
a_1=8、a_(n+1)=2a_n−3
初項は5+3=8。一段では2a_n−3=5·2^n+3=a_(n+1)です。
一般項の候補を、全ての正の整数nで確かめる説明として必要な組はどれですか。
- 初期条件と、任意のnで一段の規則に合うことを確かめる
- 最初の二項だけが合えば十分とする
- 大きいnで一回合うことだけを見る
- 漸化式を確かめれば初期条件は不要とする
答えと解説
初期条件と、任意のnで一段の規則に合うことを確かめる
同じ初期値と一段の規則から後の項が順に決まります。有限な数例だけでは全項の理由になりません。
a_(n+1)−a_n=2n、a_1=cです。n≧2でa_nを表す式はどれですか。
- c+Σ_{k=1}^{n}2k
- c+Σ_{k=1}^{n−1}2k
- c+Σ_{k=2}^{n}2k
- c+2n
答えと解説
c+Σ_{k=1}^{n−1}2k
第1項から第n項へ進むn−1段の差を足します。n=1は初項cです。
a_1=7、a_(n+1)=0·a_n+5です。正しい数列の説明はどれですか。
- 初項から全項5
- 初項から全項7
- 初項7で、第2項以降は5
- 初項5で、第2項以降は7
答えと解説
初項7で、第2項以降は5
前の値を0倍して5を足すので第2項以降5。与えられた初項7を消しません。
考え方を説明する
a_1=−2、a_(n+1)=a_n+4です。最初の5項と一般項、a_8を示してください。初期条件と任意のnでの一段の変化へ戻し、加える回数を説明します。
答えと解説
初めは−2,2,6,10,14、a_n=−2+4(n−1)=4n−6、a_8=26。n=1は−2、a_(n+1)−a_n=4で規則に合う。第n項までn−1回加える。生徒の全5項と式と計算過程・両条件を見る。
生徒の全5項、一般項とa_8、初期値・任意のnの差とn−1回の対応を見ます。
a_1=6、a_(n+1)=−a_n/2です。最初の5項と一般項、a_5を示し、元の初期条件と一段の式で確かめてください。項番号の範囲と負の公比のかっこも残します。
答えと解説
項は6,−3,3/2,−3/4,3/8。a_n=6(−1/2)^(n−1)、a_5=3/8。n=1は6、一段は−1/2倍で一致。nは正の整数、負の公比全体を整数乗する。生徒の同値な式と元への確認を見る。
生徒の全5項・一般項・初期値と任意のnの一段、整数の番号と符号を見ます。
a_1=1、a_(n+1)=3a_n+4です。α=3α+4を解き、b_n=a_n−αとしてb_1と一段の式を示してください。元の一般項と最初の5項を求め、初期条件と任意のnの規則へ戻します。
答えと解説
α=−2、b_n=a_n+2、b_1=3、b_(n+1)=3b_n。b_n=3·3^(n−1)=3^n、a_n=3^n−2。初めは1,7,25,79,241。初項1、一段は3(3^n−2)+4=3^(n+1)−2。生徒の移した初期値・全変形を見る。
生徒のα・b_1・等比型への全変形と、元の全5項・一般項・両条件の確認を見ます。
a_1=−1、a_(n+1)=−2a_n+6です。変わらない値αからの差を用い、一般項と最初の5項を示してください。初期条件と任意のnの一段へ戻し、αと初項が違うことも説明します。
答えと解説
α=−2α+6よりα=2。b_n=a_n−2、b_1=−3、b_(n+1)=−2b_n。a_n=2−3(−2)^(n−1)。項は−1,8,−10,26,−46。初項−1、一段でも−2a_n+6=2+6(−2)^(n−1)=2−3(−2)^n。αは不変な基準で初項そのものではない。
生徒の基準2・初期差−3・負の比、式と計算過程・全5項と元の両条件を見ます。
a_1=5、a_(n+1)=a_n+2n+3です。第1項から第n項への差の和を用いて一般項を導き、最初の5項を示してください。n=1を別に確かめ、任意のnで元の差に戻します。
答えと解説
n≧2ではa_n=5+Σ_{k=1}^{n−1}(2k+3)=5+n(n−1)+3(n−1)=n²+2n+2。初めは5,10,17,26,37。n=1は変化0回で5、差(n+1)²+2(n+1)+2−(n²+2n+2)=2n+3。生徒の範囲n−1・全導出を見る。
生徒の差の上限n−1と全変形・全5項、n=1と任意のnの差を見ます。
初期値はいずれもa_1=0です。規則Aはa_(n+1)=2a_n+5、規則Bはa_(n+1)=2(a_n+5)です。各規則の最初の4項と一般項を求め、操作の順と全ての定数を示して元の両条件へ戻してください。
答えと解説
Aの項は0,5,15,35、a_n=5·2^(n−1)−5。Bは0,10,30,70、a_n=10·2^(n−1)−10。Aは2倍後5を足し、Bは5を足してから2倍するので定数10。両一般項は初項0、対応する一段の式へ戻る。生徒の両方の式と計算過程と順を見る。
生徒の各全4項・二つの一般項、2(a_n+5)=2a_n+10と初期値・任意のnの確認を見ます。
a_1=4、a_(n+1)=2a_n−3について、友人はa_n=3+2^nとしました。この候補の初期値と任意のnの一段を別々に確かめ、全ての条件を満たす一般項へ直してください。最初の4項でも確認します。
答えと解説
友人の式はn=1で5となり初項4に合わないが、2(3+2^n)−3=3+2^(n+1)で一段には合う。正しくはa_n=3+2^(n−1)、項4,5,7,11。初項4、一段2(3+2^(n−1))−3=3+2^n。生徒の初期条件と規則の別々の検証を見る。
生徒の友人の初項5・規則には合うこと、修正した式と計算過程・全4項と両条件を見ます。
二数列a_n,c_nは同じ規則u_(n+1)=−u_n+8を満たし、a_1=3、c_1=7です。両方の最初の6項と一般項を求め、差d_n=a_n−c_nの規則・一般項を示してください。初期値の違いが消えたかも説明します。
答えと解説
aは3,5,3,5,3,5でa_n=4−(−1)^(n−1)。cは7,1,7,1,7,1でc_n=4+3(−1)^(n−1)。差はd_1=−4、d_(n+1)=−d_n、d_n=−4(−1)^(n−1)。差の大きさ4は消えず符号が交互。生徒の両方の初期値・任意のnの規則と差を見る。
生徒の全6項ずつ・二つの一般項・初期差と一段の差、違いが消えない理由を見ます。
仮の操作モデルです。最初の量x_0=24Lで、各回で前の量の半分を残した後3Lを足します。漸化式とx_1,x_2,x_3、非負の整数n回後の式を示してください。先に3Lを足してから半分を残す場合のx_1とも比較し、量の時点・仮定を説明します。
答えと解説
x_(n+1)=x_n/2+3、x_0=24。x_1=15、x_2=21/2、x_3=33/4。α=6からの差よりx_n=6+18(1/2)^nでn=0も24、一段も一致。逆順の最初は(24+3)/2=27/2で15と違う。各回の比と追加量が一定で他の増減なしとした有限のモデルで、実測・無限時間後は結論しない。
生徒のn=0の時点・規則・全3回と一般式、操作順の比較と明示した仮定を見ます。
初項cを−1,5から、係数pを−2,3から、確かめる番号Nを4,6から一つずつ選びます。a_1=c、a_(n+1)=p a_n+6について、基準α・一般項とa_Nを求め、初めから第N項まで直接計算して確認してください。初期条件と任意のnの一段も示し、全8条件は必須にしません。
答えと解説
作例c=5,p=−2,N=4ならα=2、a_n=2+3(−2)^(n−1)、項5,−4,14,−22でa_4=−22。一般にα=6/(1−p)、a_n=α+(c−α)p^(n−1)。n=1はc、pα+6=αから一段に合う。生徒の別の許された一例・直接表・両条件も認める。
生徒の三つの選択・基準と初期差、式と計算過程と第N項、直接の全N項・元の両条件を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学B(1)ア(ウ)・イ(イ)、冊子102–104/PDF114–116を踏まえた独自活動です。一次の隣接二項の漸化式、初期条件、等差・等比型と定数を引く変形、簡単な階差と明示した仮定の場面を扱います。数学B全体・固定学年・任意の漸化式や数学的帰納法、実測や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 漸化式を一段ずつ開き、初期条件と一般項へ戻す
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/derive-sequences-from-recurrences-and-initial-conditions/
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の一段の変化・初期条件、項番号とn−1回の対応、基準からの差と移した初期値、自由な一般項・元の全ての条件への確認を手動で見ます。T1は等差型、T2は負の等比型、T3とT4は正負の係数と基準、T5は階差のn−1段、T6は操作順、T7は初期条件を外す候補、T8は初期値が違う二数列の差、T9は明示した仮のモデル、T10は生徒の係数・初期値と直接表です。正しい同値式・別解を認め、有限な数例だけを全項の理由とはしません。
a_1=−4、a_(n+1)=a_n+5です。a_4を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_1=3、a_(n+1)=−2a_nです。a_5を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_1=−1、a_(n+1)=3a_n+4です。a_3を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_1=10、a_(n+1)=a_n/2+2です。a_4を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_1=2、a_(n+1)=a_n+2n+1です。a_5を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
α=2α−6を満たすαの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x_0=20です。各回で前の量の半分を残した後4を足します。2回後のx_2を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_(n+1)=2a_n−1でnは正の整数です。数列を一つに定める追加条件として十分なものはどれですか。
- 最初の値a_1=4
- 初めの値は指定しない
- 添字nは正の整数ともう一度書く
- 第1項は何かの実数とだけ書く
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_(n+1)=2a_n+3でb_n=a_n+3と置きます。正しい関係はどれですか。
- b_(n+1)=2b_n+3
- b_(n+1)=2b_n
- b_(n+1)=b_n+3
- b_(n+1)=2b_n−3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_1=c、a_(n+1)=a_n−4です。一般項はどれですか。
- c−4n
- c+4(n−1)
- c−4(n−1)
- c(−4)^(n−1)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_n=5·2^(n−1)+3です。この一般項が満たす初期条件と漸化式はどれですか。
- a_1=5、a_(n+1)=2a_n+3
- a_1=8、a_(n+1)=2a_n+3
- a_1=3、a_(n+1)=2a_n−3
- a_1=8、a_(n+1)=2a_n−3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
一般項の候補を、全ての正の整数nで確かめる説明として必要な組はどれですか。
- 初期条件と、任意のnで一段の規則に合うことを確かめる
- 最初の二項だけが合えば十分とする
- 大きいnで一回合うことだけを見る
- 漸化式を確かめれば初期条件は不要とする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_(n+1)−a_n=2n、a_1=cです。n≧2でa_nを表す式はどれですか。
- c+Σ_{k=1}^{n}2k
- c+Σ_{k=1}^{n−1}2k
- c+Σ_{k=2}^{n}2k
- c+2n
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_1=7、a_(n+1)=0·a_n+5です。正しい数列の説明はどれですか。
- 初項から全項5
- 初項から全項7
- 初項7で、第2項以降は5
- 初項5で、第2項以降は7
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
a_1=−2、a_(n+1)=a_n+4です。最初の5項と一般項、a_8を示してください。初期条件と任意のnでの一段の変化へ戻し、加える回数を説明します。
a_1=6、a_(n+1)=−a_n/2です。最初の5項と一般項、a_5を示し、元の初期条件と一段の式で確かめてください。項番号の範囲と負の公比のかっこも残します。
a_1=1、a_(n+1)=3a_n+4です。α=3α+4を解き、b_n=a_n−αとしてb_1と一段の式を示してください。元の一般項と最初の5項を求め、初期条件と任意のnの規則へ戻します。
a_1=−1、a_(n+1)=−2a_n+6です。変わらない値αからの差を用い、一般項と最初の5項を示してください。初期条件と任意のnの一段へ戻し、αと初項が違うことも説明します。
a_1=5、a_(n+1)=a_n+2n+3です。第1項から第n項への差の和を用いて一般項を導き、最初の5項を示してください。n=1を別に確かめ、任意のnで元の差に戻します。
初期値はいずれもa_1=0です。規則Aはa_(n+1)=2a_n+5、規則Bはa_(n+1)=2(a_n+5)です。各規則の最初の4項と一般項を求め、操作の順と全ての定数を示して元の両条件へ戻してください。
a_1=4、a_(n+1)=2a_n−3について、友人はa_n=3+2^nとしました。この候補の初期値と任意のnの一段を別々に確かめ、全ての条件を満たす一般項へ直してください。最初の4項でも確認します。
二数列a_n,c_nは同じ規則u_(n+1)=−u_n+8を満たし、a_1=3、c_1=7です。両方の最初の6項と一般項を求め、差d_n=a_n−c_nの規則・一般項を示してください。初期値の違いが消えたかも説明します。
仮の操作モデルです。最初の量x_0=24Lで、各回で前の量の半分を残した後3Lを足します。漸化式とx_1,x_2,x_3、非負の整数n回後の式を示してください。先に3Lを足してから半分を残す場合のx_1とも比較し、量の時点・仮定を説明します。
初項cを−1,5から、係数pを−2,3から、確かめる番号Nを4,6から一つずつ選びます。a_1=c、a_(n+1)=p a_n+6について、基準α・一般項とa_Nを求め、初めから第N項まで直接計算して確認してください。初期条件と任意のnの一段も示し、全8条件は必須にしません。
解答: 漸化式を一段ずつ開き、初期条件と一般項へ戻す
11
−4から3回5を足して−4+15=11。直接は−4,1,6,11です。
48
4回掛けて3(−2)⁴=48。項は3,−6,12,−24,48です。
7
a_2=3(−1)+4=1、a_3=3×1+4=7です。
順に10,7,11/2,19/4です。先に半分にしてから2を足します。
26
変化はn=1,2,3,4の3,5,7,9で、2+3+5+7+9=26。
6
移項してα=6。元に戻すと2×6−6=6で変わりません。
11
x_1=20/2+4=14、x_2=14/2+4=11です。x_0は操作前です。
最初の値a_1=4
一段の規則に初期値a_1=4が加われば、後の項が順に決まります。
b_(n+1)=2b_n
a_(n+1)+3=2a_n+6=2(a_n+3)なので2b_nです。
c−4(n−1)
第1項から第n項まではn−1回、4を引きます。
a_1=8、a_(n+1)=2a_n−3
初項は5+3=8。一段では2a_n−3=5·2^n+3=a_(n+1)です。
初期条件と、任意のnで一段の規則に合うことを確かめる
同じ初期値と一段の規則から後の項が順に決まります。有限な数例だけでは全項の理由になりません。
c+Σ_{k=1}^{n−1}2k
第1項から第n項へ進むn−1段の差を足します。n=1は初項cです。
初項7で、第2項以降は5
前の値を0倍して5を足すので第2項以降5。与えられた初項7を消しません。
記述問題の解答・確認の観点
a_1=−2、a_(n+1)=a_n+4です。最初の5項と一般項、a_8を示してください。初期条件と任意のnでの一段の変化へ戻し、加える回数を説明します。
初めは−2,2,6,10,14、a_n=−2+4(n−1)=4n−6、a_8=26。n=1は−2、a_(n+1)−a_n=4で規則に合う。第n項までn−1回加える。生徒の全5項と式と計算過程・両条件を見る。
生徒の全5項、一般項とa_8、初期値・任意のnの差とn−1回の対応を見ます。
a_1=6、a_(n+1)=−a_n/2です。最初の5項と一般項、a_5を示し、元の初期条件と一段の式で確かめてください。項番号の範囲と負の公比のかっこも残します。
項は6,−3,3/2,−3/4,3/8。a_n=6(−1/2)^(n−1)、a_5=3/8。n=1は6、一段は−1/2倍で一致。nは正の整数、負の公比全体を整数乗する。生徒の同値な式と元への確認を見る。
生徒の全5項・一般項・初期値と任意のnの一段、整数の番号と符号を見ます。
a_1=1、a_(n+1)=3a_n+4です。α=3α+4を解き、b_n=a_n−αとしてb_1と一段の式を示してください。元の一般項と最初の5項を求め、初期条件と任意のnの規則へ戻します。
α=−2、b_n=a_n+2、b_1=3、b_(n+1)=3b_n。b_n=3·3^(n−1)=3^n、a_n=3^n−2。初めは1,7,25,79,241。初項1、一段は3(3^n−2)+4=3^(n+1)−2。生徒の移した初期値・全変形を見る。
生徒のα・b_1・等比型への全変形と、元の全5項・一般項・両条件の確認を見ます。
a_1=−1、a_(n+1)=−2a_n+6です。変わらない値αからの差を用い、一般項と最初の5項を示してください。初期条件と任意のnの一段へ戻し、αと初項が違うことも説明します。
α=−2α+6よりα=2。b_n=a_n−2、b_1=−3、b_(n+1)=−2b_n。a_n=2−3(−2)^(n−1)。項は−1,8,−10,26,−46。初項−1、一段でも−2a_n+6=2+6(−2)^(n−1)=2−3(−2)^n。αは不変な基準で初項そのものではない。
生徒の基準2・初期差−3・負の比、式と計算過程・全5項と元の両条件を見ます。
a_1=5、a_(n+1)=a_n+2n+3です。第1項から第n項への差の和を用いて一般項を導き、最初の5項を示してください。n=1を別に確かめ、任意のnで元の差に戻します。
n≧2ではa_n=5+Σ_{k=1}^{n−1}(2k+3)=5+n(n−1)+3(n−1)=n²+2n+2。初めは5,10,17,26,37。n=1は変化0回で5、差(n+1)²+2(n+1)+2−(n²+2n+2)=2n+3。生徒の範囲n−1・全導出を見る。
生徒の差の上限n−1と全変形・全5項、n=1と任意のnの差を見ます。
初期値はいずれもa_1=0です。規則Aはa_(n+1)=2a_n+5、規則Bはa_(n+1)=2(a_n+5)です。各規則の最初の4項と一般項を求め、操作の順と全ての定数を示して元の両条件へ戻してください。
Aの項は0,5,15,35、a_n=5·2^(n−1)−5。Bは0,10,30,70、a_n=10·2^(n−1)−10。Aは2倍後5を足し、Bは5を足してから2倍するので定数10。両一般項は初項0、対応する一段の式へ戻る。生徒の両方の式と計算過程と順を見る。
生徒の各全4項・二つの一般項、2(a_n+5)=2a_n+10と初期値・任意のnの確認を見ます。
a_1=4、a_(n+1)=2a_n−3について、友人はa_n=3+2^nとしました。この候補の初期値と任意のnの一段を別々に確かめ、全ての条件を満たす一般項へ直してください。最初の4項でも確認します。
友人の式はn=1で5となり初項4に合わないが、2(3+2^n)−3=3+2^(n+1)で一段には合う。正しくはa_n=3+2^(n−1)、項4,5,7,11。初項4、一段2(3+2^(n−1))−3=3+2^n。生徒の初期条件と規則の別々の検証を見る。
生徒の友人の初項5・規則には合うこと、修正した式と計算過程・全4項と両条件を見ます。
二数列a_n,c_nは同じ規則u_(n+1)=−u_n+8を満たし、a_1=3、c_1=7です。両方の最初の6項と一般項を求め、差d_n=a_n−c_nの規則・一般項を示してください。初期値の違いが消えたかも説明します。
aは3,5,3,5,3,5でa_n=4−(−1)^(n−1)。cは7,1,7,1,7,1でc_n=4+3(−1)^(n−1)。差はd_1=−4、d_(n+1)=−d_n、d_n=−4(−1)^(n−1)。差の大きさ4は消えず符号が交互。生徒の両方の初期値・任意のnの規則と差を見る。
生徒の全6項ずつ・二つの一般項・初期差と一段の差、違いが消えない理由を見ます。
仮の操作モデルです。最初の量x_0=24Lで、各回で前の量の半分を残した後3Lを足します。漸化式とx_1,x_2,x_3、非負の整数n回後の式を示してください。先に3Lを足してから半分を残す場合のx_1とも比較し、量の時点・仮定を説明します。
x_(n+1)=x_n/2+3、x_0=24。x_1=15、x_2=21/2、x_3=33/4。α=6からの差よりx_n=6+18(1/2)^nでn=0も24、一段も一致。逆順の最初は(24+3)/2=27/2で15と違う。各回の比と追加量が一定で他の増減なしとした有限のモデルで、実測・無限時間後は結論しない。
生徒のn=0の時点・規則・全3回と一般式、操作順の比較と明示した仮定を見ます。
初項cを−1,5から、係数pを−2,3から、確かめる番号Nを4,6から一つずつ選びます。a_1=c、a_(n+1)=p a_n+6について、基準α・一般項とa_Nを求め、初めから第N項まで直接計算して確認してください。初期条件と任意のnの一段も示し、全8条件は必須にしません。
作例c=5,p=−2,N=4ならα=2、a_n=2+3(−2)^(n−1)、項5,−4,14,−22でa_4=−22。一般にα=6/(1−p)、a_n=α+(c−α)p^(n−1)。n=1はc、pα+6=αから一段に合う。生徒の別の許された一例・直接表・両条件も認める。
生徒の三つの選択・基準と初期差、式と計算過程と第N項、直接の全N項・元の両条件を見ます。