無限等比級数を、部分和の極限と収束の条件から確かめる
無限等比級数の収束と和を、部分和の極限と収束条件から確かめます。準備14問と、部分和・収束条件・誤差や量の意味を自分で書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子73–74/PDF85–86を踏まえた独自活動です。無限級数の収束・発散、無限等比級数の条件と和、循環小数や図形の量の解釈を扱います。出版社の公開評価規準でも関連を確認しましたが、数学Ⅲ全体・固定学年・一般の判定法や学習効果は主張しません。
解説を読む
無限個を足す記号を、初めのn項の和がどこへ近付くかという意味へ戻します。項そのものの極限と部分和の極限を分け、公式を使える条件、0や負の公比、残る量と打切り誤差を説明します。
必要な予備知識
分数・小数、整数指数、等比数列と有限和、数列の極限とr^nの分類、不等式と絶対値。無限級数と部分和の意味、無限等比級数の条件、循環小数との対応は本文で導入します。図形の課題では正方形の面積・周の長さを使います。微積分、一般の級数の判定法や和の並べ替えは前提にしません。
- 数列u₁,u₂,…の初めのn項の和をS_n=u₁+…+u_nとします。無限級数が和Sへ収束するとは、数列S_nが有限なSへ収束することです。ある有限回でSと等しくなる、又は無限回の操作を現実に実施するという意味ではありません。
- 等比の項はu₁=a、u_(k+1)=r u_k（k≧1）で定め、a,rは実数とします。r≠0ならu_k=a r^(k−1)。r=0では初項a、その後は全て0と直接読めば、0⁰を使う必要がありません。a=0ならどのrでも全項0です。
- 有限の部分和ではr≠1ならS_n=a(1−r^n)/(1−r)です。r=1はS_n=naです。同じ中間項をそろえてS_n−rS_nを引く導出と、分母が0でない条件を残します。
- a≠0の無限等比級数が収束する必要十分条件は|r|<1です。このときr^n→0なので和はS=a/(1−r)。a=0は全てのrで和0となる別の場合です。公式の分母が0でなくても、|r|<1を確かめず無限和に使いません。
- r=1,a≠0ではS_n=naで有限な値へ収束しません。r=−1,a≠0では部分和がa,0,a,0,…と振動します。|r|>1,a≠0でも有限な和には収束しません。項の数列r^nがr=1で収束することと、級数の部分和の収束を混同しません。
- 級数が収束するなら各項u_nは0へ近付きます。n≧2でu_n=S_n−S_(n−1)だからです。しかし、各項が0へ近付くことだけで部分和の収束が決まるわけではありません。本文の課題で反例を確かめます。
- a≠0、|r|<1でS=a/(1−r)ならS−S_n=Sr^n、誤差の大きさは|S| |r|^nです。負のrでは符号付きの差は交代します。厳密に誤差<εと求める課題では、等号が入る場合と最小の整数番号を区別します。
- 循環小数は、同じ桁数の循環節が何回も繰り返されることを部分和で表します。例えば循環節が2桁なら、次の項は1/100倍です。途中に0がある循環節も桁数を保持し、有限の打切り小数とその極限を分けます。
- 図形で相似比がqなら、周の長さはq倍、面積はq²倍です。何の量を足すかと単位を残します。別々の図形の周の長さの和を、図形をまとめた外側の境界の長さと無条件に同じにしません。
- この教材の和は、指定順の通常の部分和の極限で判断します。架空の図形・量の計画は数学的なモデルで、実測や操作を実施した記録ではありません。生徒の自由な導出・条件・図・理由は手動確認し、正しい同値式や別解を認めます。
解き方の例
初項4、公比1/3ならS_n=6(1−(1/3)^n)です。|1/3|<1だからS_n→6で、無限和は6です。項u_n→0と和S_n→6は別の数列について述べています。
初項3、公比−1なら部分和は3,0,3,0,…です。3/(1−(−1))=3/2という計算だけでは、通常の部分和が3/2へ収束する根拠になりません。この級数には通常の有限な和はありません。
よくある間違い
- 項の極限を、そのまま無限和の値にする。
- 有限の部分和の公式と、無限和に使える条件を混同する。
- r=1でも分母1−rで割る。
- a≠0という条件を忘れ、a=0でも|r|<1を必要とする。
- r=0の最初の項で0⁰を計算しようとする。
- r=−1でも分母が0でないから和があるとする。
- 各項が0へ近付くなら全ての級数が収束するとする。
- 負のrの符号付き誤差と、誤差の絶対値を混ぜる。
- 循環節の先頭の0を落として、公比の桁数を変える。
- 相似比と面積比、面積の和と周の長さの和を混ぜる。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は生徒の項と部分和・導出と条件・有限和から極限への段階・誤差や量の意味を手動確認します。T1は二段の導出と残り、T2は負の公比と厳密な誤差、T3は8行の項と部分和・例外、T4は実数パラメータと端、T5は循環節の桁数、T6は面積と周の異なる比、T7は必要条件と調和級数の反例、T8は不適切な公式適用の修正、T9は総量と残量・将来の量、T10は生徒が選ぶ一つの級数です。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な式・部分和の二段の導出・表全体・図・収束の条件や理由・打切り誤差とモデルの解釈は手動確認します。無限和は指定順の通常の部分和の有限な極限とします。初項0と公比0、r=±1を別に確かめます。調和級数は必要条件の逆が偽である具体例としてブロックの下界で扱い、一般の収束判定法・並べ替え・別の総和法・微積分・形式的なε-N論法・実測や学習効果・新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自分の自由な部分和・表全体・図・条件と理由・誤差や量の解釈は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
初項6、公比2/3の無限等比級数の和を、収束条件を確かめて求めてください。
答えと解説
18
|2/3|<1なので、6/(1−2/3)=18です。
初項5、公比−1/4の無限等比級数の和を求めてください。
答えと解説
4
|−1/4|<1なので、5/(1+1/4)=4です。
u₁=7、u_(k+1)=0×u_kとします。この級数の通常の無限和を求めてください。
答えと解説
7
項は7,0,0,…なので、全ての部分和は7です。0⁰を使いません。
2桁の27を繰り返す小数0.272727…を、正確な分数で答えてください。
答えと解説
27/100を初項、公比1/100とする和は27/99=3/11です。
互いに内部が重ならない正方形の面積が16,4,1,1/4,…cm²と続きます。この指定した面積の無限和を、数値だけで答えてください。
答えと解説
公比1/4、和16/(1−1/4)=64/3cm²です。
別々の正方形の周の長さが16,8,4,2,…cmと続きます。各正方形の周の長さを足した無限和を、数値だけで答えてください。
答えと解説
32
公比1/2、和16/(1−1/2)=32cmです。図形をまとめた境界とは主張しません。
初項3、公比2です。無限和ではなく、初めの3項の有限な和S₃を求めてください。
答えと解説
21
有限の和は3+6+12=21です。この級数が収束するという意味ではありません。
無限級数が有限な和Sへ収束するという、この教材の意味はどれですか。
- 各項u_nが必ずSになる
- 最初の3項だけ足せばSになる
- 部分和S_nがn→∞で有限なSへ近付く
- ∞を実数として項数へ代入する
答えと解説
部分和S_nがn→∞で有限なSへ近付く
無限和は部分和の数列の極限で定義します。
u₁=0、u_(k+1)=2u_kです。この級数について適切なのはどれですか。
- 全項0で、部分和も全て0、和0に収束する
- |2|>1なので必ず+∞へ発散する
- 0⁰が必要なので定義できない
- 和は必ず−1
答えと解説
全項0で、部分和も全て0、和0に収束する
初項が0という例外で、全項0です。非0の初項の収束条件を無条件に移しません。
初項a≠0、公比rが実数の無限等比級数が有限な和へ収束する条件はどれですか。
- −1<r≦1
- r≠1だけ
- |r|≦1
- |r|<1
答えと解説
|r|<1
r=1は部分和na、r=−1は部分和a,0,…で、どちらもa≠0なら収束しません。
u₁=2、公比r=1のとき、部分和について適切なのはどれですか。
- S_n→2
- S_n=2nで+∞へ発散する
- S_n=0で収束する
- r^n→1だから和も1になる
答えと解説
S_n=2nで+∞へ発散する
各項は2でも、n項の和は2nです。項と部分和を分けます。
無限級数の各項u_nが0へ近付くと分かったとき、一般にいえるのはどれですか。
- 必ず収束する
- 無限和は必ず0
- 収束のために必要だが、これだけで十分とはいえない
- 必ず発散する
答えと解説
収束のために必要だが、これだけで十分とはいえない
各項が0に近付く場合にも、部分和が発散する例があります。
初項3、公比−1の級数について、適切なのはどれですか。
- 部分和3,0,3,0,…は収束せず、通常の有限な和はない
- 3/(1+1)=3/2だから通常の和は3/2
- 各項の絶対値3だから無限和は3
- 部分和が0を取るので和は0
答えと解説
部分和3,0,3,0,…は収束せず、通常の有限な和はない
有限の分母を持つ計算だけでは、部分和の極限の存在を示しません。
初項2、公比−1/2の級数で、和Sと部分和S_nの差を調べます。適切なのはどれですか。
- S−S_nは全てのnで正
- S−S_nは全てのnで負
- 誤差の大きさは符号付きのr^nのままでよい
- 差の符号は交代するので、誤差の大きさは|S| |r|^nで調べる
答えと解説
差の符号は交代するので、誤差の大きさは|S| |r|^nで調べる
S−S_n=Sr^nで、S=4/3>0、r<0です。大きさには絶対値を使います。
考え方を説明する
初項6、公比2/3の級数について、最初の3項とS₁,S₂,S₃を求めます。S_nと(2/3)S_nを同じ項がそろう二段に書き、部分和の一般式を導いてください。収束条件と無限和、S−S_nの式、n=3で残る和も示します。有限の和とその極限を同じ段階の計算にはしません。
答えと解説
最初の3項は6,4,8/3、部分和は6,10,38/3。二段を引くと(1−2/3)S_n=6−6(2/3)^n、S_n=18(1−(2/3)^n)。|2/3|<1だからS_n→18で無限和18。残る和はS−S_n=18(2/3)^n、n=3では16/3。38/3+16/3=18で照合できる。
生徒の三項・三部分和、二段と残る両端・同値式、条件を確かめた極限、残りの一般式とn=3での照合を見ます。
初項5、公比−1/4の級数です。S₁,S₂,S₃と無限和Sを求め、S−S_nの符号付きの式と、その絶対値を分けてください。誤差|S−S_n|<1/100が全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを、直前のnとともに確かめます。対数は使わず、整数のべきの比較でもかまいません。
答えと解説
S₁=5、S₂=15/4、S₃=65/16。|−1/4|<1なのでS=5/(5/4)=4、S_n=4(1−(−1/4)^n)。差は4(−1/4)^n、絶対値4/4^n。4/4^n<1/100は4^n>400。4⁴=256、4⁵=1024なので最小N=5。n=4の誤差1/64>1/100、n=5は1/256<1/100で、その後は小さくなる。差は奇数nで負、偶数nで正。
生徒の三部分和・条件と和、符号付きと絶対値の二式、厳密不等式・最小Nと直前、全ての先の保証と符号の説明を見ます。
初項a=2で公比rを2,1,1/2,0,−1/2,−1,−2とした七つの場合を比べます。さらに初項a=0、公比2の場合を加え、全8行について最初の3項・S₁,S₂,S₃・有限な無限和又は発散の振る舞いを表にしてください。r=0は最初の項から直接読み、非0の初項の条件と例外を分けます。
答えと解説
a=2で、r=2は項2,4,8・部分和2,6,14で+∞。r=1は項2,2,2・部分和2,4,6で+∞。r=1/2は項2,1,1/2・部分和2,3,7/2で和4。r=0は項2,0,0・部分和2,2,2で和2。r=−1/2は項2,−1,1/2・部分和2,1,3/2で和4/3。r=−1は項2,−2,2・部分和2,0,2で振動。r=−2は項2,−4,8・部分和2,−2,6で、偶数番目の部分和は−∞、奇数番目は+∞へ向かう。a=0,r=2では全項・全部分和0で和0。a≠0なら|r|<1が収束条件、a=0は別の場合。三つの観察だけを証明とせず、一般の部分和や条件を根拠にする。
生徒の8行全48個の初期値・部分和、有限和と発散の分類、負の大きな公比の部分和の偶奇、0と±1の境界、非0の条件と例外の区別を見ます。
初項3、公比r=(t−1)/2の級数を、実数tについて考えます。収束するtの範囲を求め、収束する場合に限って和をtの式で表してください。t=−1,3という両端とt=2を実際の部分和で確かめ、端を含めてよいかも説明します。
答えと解説
初項3≠0なので|(t−1)/2|<1、すなわち−1<t<3で収束し、和は3/{1−(t−1)/2}=6/(3−t)。t=−1はr=−1、部分和3,0,3,0,…で収束しない。t=3はr=1、S_n=3nで+∞へ発散。t=2はr=1/2でS_n=6(1−(1/2)^n)→6。式6/(3−t)を、収束範囲の外へ無条件に無限和として適用しない。
生徒の絶対値不等式・正しい開いた範囲、条件付きの和の式と計算過程、両端の部分和と内部の一点、公式の範囲の説明を見ます。
小数0.272727…（2桁27を繰り返す）と0.045045045…（3桁045を繰り返す）を、それぞれ等比級数として表してください。最初の3項、循環節n回分までの有限な和、その極限の正確な分数を残します。二つ目の先頭の0を消して2桁の45として扱うと、どこが変わるかも説明します。
答えと解説
最初は27/100,27/10000,27/1000000、公比1/100。循環節n回分の和は(27/99)(1−(1/100)^n)で、極限27/99=3/11。二つ目は45/1000,45/1000000,45/1000000000、公比1/1000。有限和は(45/999)(1−(1/1000)^n)、極限45/999=5/111。045の0を落とすと初項45/100・公比1/100の別の小数0.454545…になり、元の定義を変えてしまう。有限の打切り値と無限に繰り返す小数の値を分ける。
生徒が示した、二つの小数それぞれの最初の3項・循環節の桁数と公比・部分和の式と計算過程・条件と約分後の分数、0を落とした別の定義との違いを確認します。
辺の長さ4cmの正方形から始め、次の正方形の辺は前の1/2にします。それぞれ別々の正方形で、内部が重ならないと仮定します。最初の3図を描き、辺・面積・周の長さの表を作ってください。全ての面積の和と、各図の周の長さを足した和を、それぞれ部分和の式と極限から求めます。二つの公比と単位を区別し、周の和を図形全体の外側の境界と同一視しません。
答えと解説
辺は4,2,1cm、面積は16,4,1cm²、各周は16,8,4cm。面積比は1/4で、初めのn図の面積A_n=(64/3)(1−(1/4)^n)→64/3cm²。周の比は1/2で、各周の和P_n=32(1−(1/2)^n)→32cm。面積では相似比を二乗する。これは別々の図の各周を足した値で、配置や共有する辺などを考えず外側の境界の長さと同じにはしない。
生徒の三図と9個の量、面積比と周の比・単位、二部分和の式と収束条件・極限、各周の和という対象の説明を見ます。
「各項が0へ近付けば、級数は必ず収束する」という説明を検討します。収束する級数ではu_n=S_n−S_(n−1)からu_n→0となる理由を示してください。逆が成り立たない例として1+1/2+1/3+…を使います。n=2^mまでの部分和を、最初の1と、k=2^(j−1)+1から2^jまでのブロック（j=1,…,m）に分け、各ブロックの項数と下からの評価を示します。積分は使いません。
答えと解説
S_n→SならS_(n−1)→Sなのでu_n→S−S=0。ただし逆は別で、1/n→0でも調和級数は発散する。第jブロックは2^(j−1)項で、各項1/k≧1/2^j、和は少なくとも1/2。よって2^mまでの部分和は1+m/2以上で、m→∞で大きくなる。各項は正で部分和全体が増加するので、部分和の数列は+∞へ発散する。項の極限0は必要条件であって十分条件ではない。
生徒の収束から項の極限を導く二つの部分和、任意のjでの項数・全項の評価とブロック1/2、任意のmの下界と正の項による単調性、必要と十分の違いを見る。有限の数値表だけを証明にはしない。
友人は「無限等比級数はいつもa/(1−r)でよい。初項3・公比2なら和−3、初項3・公比−1なら和3/2だ」と言いました。両方のS₁,S₂,S₃,S₄と一般の部分和を調べて、説明を直してください。別に初項0・公比2ならどうなるかも示し、非0の初項の条件とその例外を区別します。
答えと解説
初項3・r=2では部分和3,9,21,45、S_n=3(2^n−1)→+∞で、通常の和−3はない。初項3・r=−1では3,0,3,0、S_n=(3/2)(1−(−1)^n)で振動し、3/2へ収束しない。どちらも非0の初項で|r|<1を満たさず、有限和の公式から無限和への移行はできない。初項0・r=2は全項・全部分和0なので和0。a≠0の収束条件と、a=0の例外を混ぜない。
生徒の両方の全4部分和・一般式と振る舞い、公式を使えない理由、0の初項を直接確かめた例外と正しい条件への修正を見ます。
1Lの液体から、第k回に5/(2×4^k)Lずつ取り出す架空の計画を考えます（k=1,2,…）。他の増減はない理想的な計算モデルです。最初の3回の量・その合計・3回後の残量を求め、n回までに取り出す量と残る量を式にしてください。無限和で表す取り出し量と、残量の極限、3回後に将来取り出す量の和も分けて求めます。どの有限段階でも不足しない理由を示し、無限回を実施した記録とはしません。
答えと解説
最初の量は5/8,5/32,5/128L、合計105/128L、3回後の残量23/128L。取り出す量は初項5/8・公比1/4なのでS_n=(5/6)(1−(1/4)^n)L、残量は{1/6+(5/6)(1/4)^n}L。取り出す無限和5/6L、残量の極限1/6L。3回後に将来取り出す量の和は5/6−105/128=5/384Lで、残量23/128Lそのものではない。S_n<5/6<1で全ての有限段階で不足せず、残りから将来取り出しても1/6Lは極限で残る。数学的な極限の計算で、無限回の操作を実施した主張ではない。
生徒の三量と合計・残量、二一般式と単位、取り出す総量・残る極限・将来だけの量の区別、全nの上界による実行可能性とモデルの説明を見ます。
初項aを2,6から、公比rを1/2,−1/3から、誤差の基準eを1/10,1/100から一つずつ選びます。u₁=a、u_(k+1)=ru_kとして、最初の3項・部分和S_nの一般式・無限和Sと収束条件を残してください。|S−S_n|<eが全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを、直前の誤差も使って確かめます。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
作例a=6,r=−1/3,e=1/100なら最初の3項は6,−2,2/3、S_n=(9/2)(1−(−1/3)^n)、S=9/2。|r|=1/3<1で、絶対誤差(9/2)/3^n<1/100は3^n>450。3⁵=243、3⁶=729なので最小N=6、直前の誤差1/54>1/100、n=6は1/162<1/100。その後も減少する。一般にS=a/(1−r)、S_n=S(1−r^n)、絶対誤差|S| |r|^n。許された一組の選択と全計算・条件・最小番号を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組の選択・三項・部分和の式と計算過程と条件付きの無限和、絶対値と厳密不等式、最小整数と直前・全ての先の保証を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(1)ア(イ)・イ(ア)、冊子73–74/PDF85–86を踏まえた独自活動です。無限級数の収束・発散、無限等比級数の条件と和、循環小数や図形の量の解釈を扱います。出版社の公開評価規準でも関連を確認しましたが、数学Ⅲ全体・固定学年・一般の判定法や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は生徒の項と部分和・導出と条件・有限和から極限への段階・誤差や量の意味を手動確認します。T1は二段の導出と残り、T2は負の公比と厳密な誤差、T3は8行の項と部分和・例外、T4は実数パラメータと端、T5は循環節の桁数、T6は面積と周の異なる比、T7は必要条件と調和級数の反例、T8は不適切な公式適用の修正、T9は総量と残量・将来の量、T10は生徒が選ぶ一つの級数です。正しい同値式・別解を認めます。
初項6、公比2/3の無限等比級数の和を、収束条件を確かめて求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項5、公比−1/4の無限等比級数の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
u₁=7、u_(k+1)=0×u_kとします。この級数の通常の無限和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
2桁の27を繰り返す小数0.272727…を、正確な分数で答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
互いに内部が重ならない正方形の面積が16,4,1,1/4,…cm²と続きます。この指定した面積の無限和を、数値だけで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
別々の正方形の周の長さが16,8,4,2,…cmと続きます。各正方形の周の長さを足した無限和を、数値だけで答えてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項3、公比2です。無限和ではなく、初めの3項の有限な和S₃を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
無限級数が有限な和Sへ収束するという、この教材の意味はどれですか。
- 各項u_nが必ずSになる
- 最初の3項だけ足せばSになる
- 部分和S_nがn→∞で有限なSへ近付く
- ∞を実数として項数へ代入する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
u₁=0、u_(k+1)=2u_kです。この級数について適切なのはどれですか。
- 全項0で、部分和も全て0、和0に収束する
- |2|>1なので必ず+∞へ発散する
- 0⁰が必要なので定義できない
- 和は必ず−1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項a≠0、公比rが実数の無限等比級数が有限な和へ収束する条件はどれですか。
- −1<r≦1
- r≠1だけ
- |r|≦1
- |r|<1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
u₁=2、公比r=1のとき、部分和について適切なのはどれですか。
- S_n→2
- S_n=2nで+∞へ発散する
- S_n=0で収束する
- r^n→1だから和も1になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
無限級数の各項u_nが0へ近付くと分かったとき、一般にいえるのはどれですか。
- 必ず収束する
- 無限和は必ず0
- 収束のために必要だが、これだけで十分とはいえない
- 必ず発散する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項3、公比−1の級数について、適切なのはどれですか。
- 部分和3,0,3,0,…は収束せず、通常の有限な和はない
- 3/(1+1)=3/2だから通常の和は3/2
- 各項の絶対値3だから無限和は3
- 部分和が0を取るので和は0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
初項2、公比−1/2の級数で、和Sと部分和S_nの差を調べます。適切なのはどれですか。
- S−S_nは全てのnで正
- S−S_nは全てのnで負
- 誤差の大きさは符号付きのr^nのままでよい
- 差の符号は交代するので、誤差の大きさは|S| |r|^nで調べる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
初項6、公比2/3の級数について、最初の3項とS₁,S₂,S₃を求めます。S_nと(2/3)S_nを同じ項がそろう二段に書き、部分和の一般式を導いてください。収束条件と無限和、S−S_nの式、n=3で残る和も示します。有限の和とその極限を同じ段階の計算にはしません。
初項5、公比−1/4の級数です。S₁,S₂,S₃と無限和Sを求め、S−S_nの符号付きの式と、その絶対値を分けてください。誤差|S−S_n|<1/100が全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを、直前のnとともに確かめます。対数は使わず、整数のべきの比較でもかまいません。
初項a=2で公比rを2,1,1/2,0,−1/2,−1,−2とした七つの場合を比べます。さらに初項a=0、公比2の場合を加え、全8行について最初の3項・S₁,S₂,S₃・有限な無限和又は発散の振る舞いを表にしてください。r=0は最初の項から直接読み、非0の初項の条件と例外を分けます。
初項3、公比r=(t−1)/2の級数を、実数tについて考えます。収束するtの範囲を求め、収束する場合に限って和をtの式で表してください。t=−1,3という両端とt=2を実際の部分和で確かめ、端を含めてよいかも説明します。
小数0.272727…（2桁27を繰り返す）と0.045045045…（3桁045を繰り返す）を、それぞれ等比級数として表してください。最初の3項、循環節n回分までの有限な和、その極限の正確な分数を残します。二つ目の先頭の0を消して2桁の45として扱うと、どこが変わるかも説明します。
辺の長さ4cmの正方形から始め、次の正方形の辺は前の1/2にします。それぞれ別々の正方形で、内部が重ならないと仮定します。最初の3図を描き、辺・面積・周の長さの表を作ってください。全ての面積の和と、各図の周の長さを足した和を、それぞれ部分和の式と極限から求めます。二つの公比と単位を区別し、周の和を図形全体の外側の境界と同一視しません。
「各項が0へ近付けば、級数は必ず収束する」という説明を検討します。収束する級数ではu_n=S_n−S_(n−1)からu_n→0となる理由を示してください。逆が成り立たない例として1+1/2+1/3+…を使います。n=2^mまでの部分和を、最初の1と、k=2^(j−1)+1から2^jまでのブロック（j=1,…,m）に分け、各ブロックの項数と下からの評価を示します。積分は使いません。
友人は「無限等比級数はいつもa/(1−r)でよい。初項3・公比2なら和−3、初項3・公比−1なら和3/2だ」と言いました。両方のS₁,S₂,S₃,S₄と一般の部分和を調べて、説明を直してください。別に初項0・公比2ならどうなるかも示し、非0の初項の条件とその例外を区別します。
1Lの液体から、第k回に5/(2×4^k)Lずつ取り出す架空の計画を考えます（k=1,2,…）。他の増減はない理想的な計算モデルです。最初の3回の量・その合計・3回後の残量を求め、n回までに取り出す量と残る量を式にしてください。無限和で表す取り出し量と、残量の極限、3回後に将来取り出す量の和も分けて求めます。どの有限段階でも不足しない理由を示し、無限回を実施した記録とはしません。
初項aを2,6から、公比rを1/2,−1/3から、誤差の基準eを1/10,1/100から一つずつ選びます。u₁=a、u_(k+1)=ru_kとして、最初の3項・部分和S_nの一般式・無限和Sと収束条件を残してください。|S−S_n|<eが全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを、直前の誤差も使って確かめます。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 無限等比級数を、部分和の極限と収束の条件から確かめる
18
|2/3|<1なので、6/(1−2/3)=18です。
4
|−1/4|<1なので、5/(1+1/4)=4です。
7
項は7,0,0,…なので、全ての部分和は7です。0⁰を使いません。
27/100を初項、公比1/100とする和は27/99=3/11です。
公比1/4、和16/(1−1/4)=64/3cm²です。
32
公比1/2、和16/(1−1/2)=32cmです。図形をまとめた境界とは主張しません。
21
有限の和は3+6+12=21です。この級数が収束するという意味ではありません。
部分和S_nがn→∞で有限なSへ近付く
無限和は部分和の数列の極限で定義します。
全項0で、部分和も全て0、和0に収束する
初項が0という例外で、全項0です。非0の初項の収束条件を無条件に移しません。
|r|<1
r=1は部分和na、r=−1は部分和a,0,…で、どちらもa≠0なら収束しません。
S_n=2nで+∞へ発散する
各項は2でも、n項の和は2nです。項と部分和を分けます。
収束のために必要だが、これだけで十分とはいえない
各項が0に近付く場合にも、部分和が発散する例があります。
部分和3,0,3,0,…は収束せず、通常の有限な和はない
有限の分母を持つ計算だけでは、部分和の極限の存在を示しません。
差の符号は交代するので、誤差の大きさは|S| |r|^nで調べる
S−S_n=Sr^nで、S=4/3>0、r<0です。大きさには絶対値を使います。
記述問題の解答・確認の観点
初項6、公比2/3の級数について、最初の3項とS₁,S₂,S₃を求めます。S_nと(2/3)S_nを同じ項がそろう二段に書き、部分和の一般式を導いてください。収束条件と無限和、S−S_nの式、n=3で残る和も示します。有限の和とその極限を同じ段階の計算にはしません。
最初の3項は6,4,8/3、部分和は6,10,38/3。二段を引くと(1−2/3)S_n=6−6(2/3)^n、S_n=18(1−(2/3)^n)。|2/3|<1だからS_n→18で無限和18。残る和はS−S_n=18(2/3)^n、n=3では16/3。38/3+16/3=18で照合できる。
生徒の三項・三部分和、二段と残る両端・同値式、条件を確かめた極限、残りの一般式とn=3での照合を見ます。
初項5、公比−1/4の級数です。S₁,S₂,S₃と無限和Sを求め、S−S_nの符号付きの式と、その絶対値を分けてください。誤差|S−S_n|<1/100が全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを、直前のnとともに確かめます。対数は使わず、整数のべきの比較でもかまいません。
S₁=5、S₂=15/4、S₃=65/16。|−1/4|<1なのでS=5/(5/4)=4、S_n=4(1−(−1/4)^n)。差は4(−1/4)^n、絶対値4/4^n。4/4^n<1/100は4^n>400。4⁴=256、4⁵=1024なので最小N=5。n=4の誤差1/64>1/100、n=5は1/256<1/100で、その後は小さくなる。差は奇数nで負、偶数nで正。
生徒の三部分和・条件と和、符号付きと絶対値の二式、厳密不等式・最小Nと直前、全ての先の保証と符号の説明を見ます。
初項a=2で公比rを2,1,1/2,0,−1/2,−1,−2とした七つの場合を比べます。さらに初項a=0、公比2の場合を加え、全8行について最初の3項・S₁,S₂,S₃・有限な無限和又は発散の振る舞いを表にしてください。r=0は最初の項から直接読み、非0の初項の条件と例外を分けます。
a=2で、r=2は項2,4,8・部分和2,6,14で+∞。r=1は項2,2,2・部分和2,4,6で+∞。r=1/2は項2,1,1/2・部分和2,3,7/2で和4。r=0は項2,0,0・部分和2,2,2で和2。r=−1/2は項2,−1,1/2・部分和2,1,3/2で和4/3。r=−1は項2,−2,2・部分和2,0,2で振動。r=−2は項2,−4,8・部分和2,−2,6で、偶数番目の部分和は−∞、奇数番目は+∞へ向かう。a=0,r=2では全項・全部分和0で和0。a≠0なら|r|<1が収束条件、a=0は別の場合。三つの観察だけを証明とせず、一般の部分和や条件を根拠にする。
生徒の8行全48個の初期値・部分和、有限和と発散の分類、負の大きな公比の部分和の偶奇、0と±1の境界、非0の条件と例外の区別を見ます。
初項3、公比r=(t−1)/2の級数を、実数tについて考えます。収束するtの範囲を求め、収束する場合に限って和をtの式で表してください。t=−1,3という両端とt=2を実際の部分和で確かめ、端を含めてよいかも説明します。
初項3≠0なので|(t−1)/2|<1、すなわち−1<t<3で収束し、和は3/{1−(t−1)/2}=6/(3−t)。t=−1はr=−1、部分和3,0,3,0,…で収束しない。t=3はr=1、S_n=3nで+∞へ発散。t=2はr=1/2でS_n=6(1−(1/2)^n)→6。式6/(3−t)を、収束範囲の外へ無条件に無限和として適用しない。
生徒の絶対値不等式・正しい開いた範囲、条件付きの和の式と計算過程、両端の部分和と内部の一点、公式の範囲の説明を見ます。
小数0.272727…（2桁27を繰り返す）と0.045045045…（3桁045を繰り返す）を、それぞれ等比級数として表してください。最初の3項、循環節n回分までの有限な和、その極限の正確な分数を残します。二つ目の先頭の0を消して2桁の45として扱うと、どこが変わるかも説明します。
最初は27/100,27/10000,27/1000000、公比1/100。循環節n回分の和は(27/99)(1−(1/100)^n)で、極限27/99=3/11。二つ目は45/1000,45/1000000,45/1000000000、公比1/1000。有限和は(45/999)(1−(1/1000)^n)、極限45/999=5/111。045の0を落とすと初項45/100・公比1/100の別の小数0.454545…になり、元の定義を変えてしまう。有限の打切り値と無限に繰り返す小数の値を分ける。
生徒が示した、二つの小数それぞれの最初の3項・循環節の桁数と公比・部分和の式と計算過程・条件と約分後の分数、0を落とした別の定義との違いを確認します。
辺の長さ4cmの正方形から始め、次の正方形の辺は前の1/2にします。それぞれ別々の正方形で、内部が重ならないと仮定します。最初の3図を描き、辺・面積・周の長さの表を作ってください。全ての面積の和と、各図の周の長さを足した和を、それぞれ部分和の式と極限から求めます。二つの公比と単位を区別し、周の和を図形全体の外側の境界と同一視しません。
辺は4,2,1cm、面積は16,4,1cm²、各周は16,8,4cm。面積比は1/4で、初めのn図の面積A_n=(64/3)(1−(1/4)^n)→64/3cm²。周の比は1/2で、各周の和P_n=32(1−(1/2)^n)→32cm。面積では相似比を二乗する。これは別々の図の各周を足した値で、配置や共有する辺などを考えず外側の境界の長さと同じにはしない。
生徒の三図と9個の量、面積比と周の比・単位、二部分和の式と収束条件・極限、各周の和という対象の説明を見ます。
「各項が0へ近付けば、級数は必ず収束する」という説明を検討します。収束する級数ではu_n=S_n−S_(n−1)からu_n→0となる理由を示してください。逆が成り立たない例として1+1/2+1/3+…を使います。n=2^mまでの部分和を、最初の1と、k=2^(j−1)+1から2^jまでのブロック（j=1,…,m）に分け、各ブロックの項数と下からの評価を示します。積分は使いません。
S_n→SならS_(n−1)→Sなのでu_n→S−S=0。ただし逆は別で、1/n→0でも調和級数は発散する。第jブロックは2^(j−1)項で、各項1/k≧1/2^j、和は少なくとも1/2。よって2^mまでの部分和は1+m/2以上で、m→∞で大きくなる。各項は正で部分和全体が増加するので、部分和の数列は+∞へ発散する。項の極限0は必要条件であって十分条件ではない。
生徒の収束から項の極限を導く二つの部分和、任意のjでの項数・全項の評価とブロック1/2、任意のmの下界と正の項による単調性、必要と十分の違いを見る。有限の数値表だけを証明にはしない。
友人は「無限等比級数はいつもa/(1−r)でよい。初項3・公比2なら和−3、初項3・公比−1なら和3/2だ」と言いました。両方のS₁,S₂,S₃,S₄と一般の部分和を調べて、説明を直してください。別に初項0・公比2ならどうなるかも示し、非0の初項の条件とその例外を区別します。
初項3・r=2では部分和3,9,21,45、S_n=3(2^n−1)→+∞で、通常の和−3はない。初項3・r=−1では3,0,3,0、S_n=(3/2)(1−(−1)^n)で振動し、3/2へ収束しない。どちらも非0の初項で|r|<1を満たさず、有限和の公式から無限和への移行はできない。初項0・r=2は全項・全部分和0なので和0。a≠0の収束条件と、a=0の例外を混ぜない。
生徒の両方の全4部分和・一般式と振る舞い、公式を使えない理由、0の初項を直接確かめた例外と正しい条件への修正を見ます。
1Lの液体から、第k回に5/(2×4^k)Lずつ取り出す架空の計画を考えます（k=1,2,…）。他の増減はない理想的な計算モデルです。最初の3回の量・その合計・3回後の残量を求め、n回までに取り出す量と残る量を式にしてください。無限和で表す取り出し量と、残量の極限、3回後に将来取り出す量の和も分けて求めます。どの有限段階でも不足しない理由を示し、無限回を実施した記録とはしません。
最初の量は5/8,5/32,5/128L、合計105/128L、3回後の残量23/128L。取り出す量は初項5/8・公比1/4なのでS_n=(5/6)(1−(1/4)^n)L、残量は{1/6+(5/6)(1/4)^n}L。取り出す無限和5/6L、残量の極限1/6L。3回後に将来取り出す量の和は5/6−105/128=5/384Lで、残量23/128Lそのものではない。S_n<5/6<1で全ての有限段階で不足せず、残りから将来取り出しても1/6Lは極限で残る。数学的な極限の計算で、無限回の操作を実施した主張ではない。
生徒の三量と合計・残量、二一般式と単位、取り出す総量・残る極限・将来だけの量の区別、全nの上界による実行可能性とモデルの説明を見ます。
初項aを2,6から、公比rを1/2,−1/3から、誤差の基準eを1/10,1/100から一つずつ選びます。u₁=a、u_(k+1)=ru_kとして、最初の3項・部分和S_nの一般式・無限和Sと収束条件を残してください。|S−S_n|<eが全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを、直前の誤差も使って確かめます。全8条件を解くことは必須にしません。
作例a=6,r=−1/3,e=1/100なら最初の3項は6,−2,2/3、S_n=(9/2)(1−(−1/3)^n)、S=9/2。|r|=1/3<1で、絶対誤差(9/2)/3^n<1/100は3^n>450。3⁵=243、3⁶=729なので最小N=6、直前の誤差1/54>1/100、n=6は1/162<1/100。その後も減少する。一般にS=a/(1−r)、S_n=S(1−r^n)、絶対誤差|S| |r|^n。許された一組の選択と全計算・条件・最小番号を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組の選択・三項・部分和の式と計算過程と条件付きの無限和、絶対値と厳密不等式、最小整数と直前・全ての先の保証を見ます。