関数の極限・その点の値・連続性を、定義域と左右から判断する
関数の極限・その点での値・連続性を、定義域と左右の極限から確かめます。準備14問と、左右の極限・点の値・式変形の条件を自分で書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(1)ア(オ)・イ(ア)、冊子73・75/PDF85・87の関数値の極限と関連する連続性を踏まえた独自活動です。出版社の公開評価規準でも関連を確認しました。左右の極限、点の値、簡単な分数・無理関数や与えた三角関数の評価を扱い、数学Ⅲ全体・固定学年・微分による計算法・学習効果は主張しません。
解説を読む
近付けるxと、その点での値を分けます。穴を埋める値、左右で異なる近付き方、定義域の端を具体的な式と図で確かめ、数表だけで連続性を決めない理由を説明します。
必要な予備知識
分数式の定義域・因数分解と約分、平方根と有理化、絶対値と不等式、場合分けした関数、数列の極限の初歩。三角関数は弧度法と−1≦sin t≦1、対数は底2の意味を使います。関数の極限・左右の極限・連続の条件は本文で導入します。微分・積分や形式的なε-δ論法は前提にしません。
- x→aでf(x)→Lとは、xをaそのものにせず、定義域内でaへ十分近付けたときにf(x)が有限なLへ近付くことです。この教材では、aの左右どちらからも定義域内のxをaへ近付けられる場合に、左右両側から近付くときの極限を考えます。f(a)が未定義でも、又はLと違っていても、極限が存在することがあります。
- x→a−はxがaの左側から、x→a＋は右側から近付くことを表します。左右とも近付けるとき、x→aで有限な極限値が存在するための必要十分条件は、左極限と右極限がともに有限で、同じ値になることです。片方だけの値や、左右の平均をこの極限値とはしません。
- 定義域の内部の点aでfが連続とは、f(a)が定義され、左極限と右極限が同じ有限の値となり、lim(x→a)f(x)=f(a)となることです。この三つを別々に確認します。極限があるだけ、又はその点の値があるだけでは、連続とはいえません。
- 定義域が閉じた端を含む場合、この教材では定義域の側からの極限と端の値が等しいことを、その端で連続といいます。例えば√xはx≧0で、0では右極限0と値0を比べます。定義域にない側へ実数xを無理に取らず、開いた端に値があるとも仮定しません。
- 多項式は実数全体で連続です。分数式は分母が0でない点で、平方根は中身が0以上という実数の定義域に注意して、連続性を用います。底2の対数関数log₂xはx>0で連続で、x→0＋では−∞へ発散します。0での関数値は定義されません。
- 0/0という代入結果は、商の極限を決める値ではありません。因数分解や有理化で、aの近くのx≠aについて等しい式に直し、分母が0でない条件を残します。約分後の式がaで定義されても、元の関数のaでの値や定義域を自動で変更しません。
- 有限な極限の和・差・積は各極限から求められ、商は分母の極限が0でないときに使えます。∞を実数のように代入したり、∞−∞や0/0だけから一つの答えを決めたりしません。x→＋∞とx→−∞では同じ式でも結果が異なることがあります。
- x→aの近くでf(x)が上限なく大きくなることを＋∞へ発散するといい、有限な極限値があるとは区別します。例えば1/(x−a)は左で−∞、右で＋∞です。1/(x−a)²は両側で＋∞へ発散しますが、aでの有限な値を得たわけではありません。
- g(x)≦f(x)≦h(x)がaの近くで成り立ち、g,hが同じ有限なLへ近付けば、fもLへ近付きます。例えば|sin t|≦1から|x²sin(1/x)|≦x²（x≠0）。このような全ての近くのxへの評価と、数個の表やグラフ画面の観察を区別します。三角関数の角は弧度法です。
- 生徒の自由な式変形、左右の全計算、定義域・穴と点の図、連続性の理由は手動確認します。数列の整数番号nを進めることと、実数xを両側から近付けることを混ぜません。正しい同値式・別解を認め、ここでは微分やロピタルの定理を用いません。
解き方の例
f(x)=(x²−4)/(x−2)（x≠2）、f(2)=9なら、x≠2でf(x)=x+2です。左右の極限は4で一致しますが、点の値9とは違い、2では連続ではありません。点の値だけを4にすると、2でも連続になるように穴を埋められます。
g(x)=1（x<0）、g(x)=3（x≧0）なら、0での左極限1、右極限3、値3です。左右が違うためx→0での極限はありません。g(0)の値だけを2にしても、0以外での左右の振る舞いは変わりません。
よくある間違い
- 極限値を、確かめずその点の値とする。
- 分母0なら極限も必ず存在しないと決める。
- 約分で消した点を、元の定義域に無条件で戻す。
- 左右の極限が違うのに、その平均を極限値とする。
- 一点の値を変えれば、左右が異なる跳びも必ず直るとする。
- 定義域の端で、実数では定義されない側からも近付ける。
- √(x²)=xを全ての実数で使い、|x|を忘れる。
- ＋∞への発散を有限な極限値やその点の値と呼ぶ。
- 数個の表の値だけで、全ての近くのxの振る舞いを決める。
- sin(1/x)が振動するという理由だけで、x²を掛けた関数の極限もないとする。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は生徒の左右の式と計算過程・極限と点の値・定義域と連続の条件・白丸と黒丸を使い分けた図を手動確認します。T1は数表と一点変更、T2は二つの有理化、T3は跳びと直せる穴、T4は場合分けの二条件と自由度、T5は片側の符号と発散、T6は正負の無限大と絶対値、T7は振動を抑える評価と二つの近付き方、T8は有限表の反例、T9は定義域の端と内部、T10は生徒が選ぶ一関数です。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点の対象は、準備問題の数値（有理数）の答えと選択問題だけです。生徒の自由な式・左右の計算の全過程・定義域・グラフの白丸と黒丸の使い分け・連続の理由は手動確認します。実数xの極限と正の整数nの列を区別し、左右から近付くときの有限な極限・片側の極限・±∞への発散を分けます。端の連続性は定義域側からの有限な極限と端の値の一致という約束を明示します。三角関数の評価と対数の定義域内の連続性を使いますが、微分・ロピタルの定理・形式的なε-δ論法・一般の中間値の定理の証明・実測や学習効果・新しい式や図のパーサーは扱いません。
練習する
自動採点の対象は、準備問題の数値（有理数）の答えと選択問題だけです。自分の自由な式・左右の計算の全過程・定義域や図と連続性の理由は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
実数x→3で、(x²−9)/(x−3)の有限な極限値を求めてください。元の式ではx≠3です。
答えと解説
6
x≠3でx+3に等しく、左右とも6へ近付きます。元の式の3での値とは別です。
実数x→1で、(√(x+8)−3)/(x−1)の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
近くのx≠1で有理化すると1/(√(x+8)+3)に等しく、分母の極限は6です。
実数x→−2で、(x²+3x+2)/(x+2)の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
−1
x≠−2でx+1に等しいので、極限は−1です。
実数x→＋∞で、(5x²−x+7)/(2x²+3)の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
分子・分母をx²で割ると(5−1/x+7/x²)/(2+3/x²)で、極限は5/2です。
x≠0で−x²≦x²sin(1/x)≦x²です。実数x→0で、この関数の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
0
両端が0へ近付くため、はさみうちで極限0です。三角関数の角は弧度法です。
f(x)=3x−1（x≠2）、f(2)=kです。fが2で連続となるkを求めてください。
答えと解説
5
左右の極限は3×2−1=5です。その点の値kを5に合わせます。
g(x)=ax+2（x<1）、g(x)=x²+4（x≧1）です。1で連続となるaを求めてください。
答えと解説
3
左極限a+2と、右極限・g(1)の5を等しくするとa=3です。
定義域の内部の点aで連続というための条件はどれですか。
- f(a)があることだけ
- 左右の極限が同じ有限値なら、点aでの値が定義されていない場合も、その点で連続とみなす
- f(a)が定義され、左極限と右極限が同じ有限の値となり、その値がf(a)と等しいこと
- aを表に一度含めることだけ
答えと解説
f(a)が定義され、左極限と右極限が同じ有限の値となり、その値がf(a)と等しいこと
点の値、左右の極限が同じ有限の値であること、その値がf(a)と一致することを確認します。
f(x)=|x|/x（x≠0）のx→0での振る舞いはどれですか。
- 左右とも1へ近付く
- 左極限は−1、右極限は1で異なるため、x→0での有限な極限はない
- 左の極限−1と右の極限1の平均が0なので、x→0での極限値として0を採用する
- f(0)を0にすれば必ず極限0になる
答えと解説
左極限は−1、右極限は1で異なるため、x→0での有限な極限はない
0以外の左と右で値が異なります。一点の値を決めても左右の極限は変わりません。
1/x²の実数x→0での振る舞いとして適切なのはどれですか。
- 有限な極限値0をもつ
- 左は−∞、右は＋∞へ発散する
- 0での値は必ず＋∞という実数になる
- 両側で＋∞へ発散し、有限な極限値はもたない
答えと解説
両側で＋∞へ発散し、有限な極限値はもたない
正の値が両側で上限なく大きくなります。＋∞は有限な値ではありません。
f(x)=√(x−2)、定義域x≧2です。この教材の端での連続性の確認として適切なのはどれですか。
- 2より左に実数の値がないので、右極限と端の値が一致しても端での連続性は確かめられない
- 定義域側からの右極限0とf(2)=0を照合する
- 2が端なので必ず不連続とする
- 右極限とf(2)が違っても連続とする
答えと解説
定義域側からの右極限0とf(2)=0を照合する
端では定義域側からの極限と、定義されている端の値を比べます。
x→＋∞で有理関数の極限を調べるとき、適切な考え方はどれですか。
- 分子と分母がともに大きくなる場合、成長の速さを比べず∞/∞を1と計算する
- ∞は代入できる最大の実数である
- 分子・分母を適切なxのべきで割り、分母の極限の条件を確かめる
- 分母が大きくなる式は全て0に近付く
答えと解説
分子・分母を適切なxのべきで割り、分母の極限の条件を確かめる
式の形を整理して極限の性質を使います。∞を実数の代入値にはしません。
h(x)=xsin(1/x)（x≠0）、h(0)=0です。0での連続性について適切なのはどれですか。
- |h(x)|≦|x|から極限0で、h(0)=0なので連続である
- sin(1/x)が振動するので極限はない
- h(0)があることだけで連続と決まる
- 左右の値は全て0なので連続である
答えと解説
|h(x)|≦|x|から極限0で、h(0)=0なので連続である
値が全て0なのではなく、大きさが|x|以下という評価で0へ近付きます。
x≠aで約分後の式と元の式が等しいとき、必ずいえるのはどれですか。
- 元の式もaで必ず定義される
- 元の式のaでの値が自動で変わる
- 数個の点が一致すれば、どんな関数でも全体で同じになる
- aの近くのx≠aの値が同じなので、そこでの極限の考察に使える
答えと解説
aの近くのx≠aの値が同じなので、そこでの極限の考察に使える
一点での定義と、近くの点で等しいことを区別します。
考え方を説明する
f(x)=(x²−9)/(x−3)（x≠3）、f(3)=11です。x=2,29/10,299/100,301/100,31/10,4での値を正確に表にし、近くで等しい一次式を条件とともに書きます。左極限・右極限・f(3)と連続性を分け、x=3で左極限・右極限が示す位置を白丸（○）、関数値f(3)の位置を黒丸（●）で図に示してください。f(3)だけを変更して連続にする値も求めます。
答えと解説
x≠3でf(x)=x+3。表は順に5,59/10,599/100,601/100,61/10,7。左右の極限は6、f(3)=11なので3では不連続。図では(3,6)が白丸、(3,11)が関数値を表す黒丸。f(3)を6に変更すれば3でも連続になる。表の数例だけでなく、近くの全x≠3でx+3と等しいことが理由。
生徒の6値・条件付き一次式・左右と点の値の区別、白丸と黒丸を使い分けた図、連続化の値とその理由を見ます。
x→1で、A(x)=(√(x+8)−3)/(x−1)とB(x)=(√(x²+8)−3)/(x−1)を比べます。それぞれの実数の定義域を求め、共役な式で有理化し、近くのx≠1で等しい式と計算過程と有限な極限を残してください。友人の「どちらも0/0なので同じ極限」という判断を直します。
答えと解説
Aの定義域はx≧−8かつx≠1、Bは実数全体から1を除く。A=1/(√(x+8)+3)、B=(x+1)/(√(x²+8)+3)（各元の定義域）。分母は近くで正、x→1で6へ近付くので、A→1/6、B→1/3。0/0という形だけでは極限は決まらず、有理化後の分子も異なる。約分しても元の1での値は未定義のまま。
生徒の二定義域・二つの有理化と条件・二極限、元の点が未定義のままという説明と友人への修正文を見ます。
F(x)=|x|/x（x≠0）、F(0)=kと、G(x)=|x|（x≠0）、G(0)=kを比べます。x<0とx>0でそれぞれの式を場合分けし、0での左右の極限と連続になるkの有無を求めてください。二つの図には、xが0に近付くときのグラフの端を白丸（○）、x=0での関数値を黒丸（●）で示してください。重なる位置は黒丸にします。一点の値を変えるだけで直せるものを区別します。
答えと解説
Fはx<0で−1、x>0で1。左極限と右極限が異なるため、x→0での極限はなく、どの実数kでも0で連続にはならない。Gはx<0で−x、x>0でx、左右とも0へ近付き、k=0のときだけ0でも連続。Fの左右の枝の端とGのV字の端を白丸、(0,k)を黒丸で示し、重なる位置は黒丸にする。一点の変更は近くの0以外の値や左右の極限を変えない。
生徒の四つの式・左右の値、Fでは不可能/Gではk=0という結論、二図と一点変更の限界の説明を見ます。
H(x)=ax+1（x<2）、H(x)=x²+b（x≧2）です。2で連続、かつH(2)=7となるa,bを全て求め、左右の極限と点の値を確認してください。さらにH(2)=7という条件を外し、連続だけならa,bの関係はどうなるかを示します。
答えと解説
点の値H(2)=4+b=7からb=3。左極限2a+1、右極限4+bなので、連続には2a+1=4+b=7、a=3。従って(a,b)=(3,3)が唯一。連続だけならb=2a−3でaは任意の実数となり、一組には決まらない。枝は各側で多項式なので、2以外では連続である。
生徒の点の値・左右の二式と連立、唯一の組の再確認、条件を外した全実数の関係と自由度を見ます。
P(x)=1/(x−2)、Q(x)=1/(x−2)²です。x→2−とx→2＋での符号と大きさを式で調べ、それぞれの左右の振る舞い、x→2での有限な極限が存在するかどうかを全て残し、縦の漸近線を示す図を描いてください。＋∞を2での関数値と呼べるかも説明します。
答えと解説
両方の定義域はx≠2。Pは左で負で大きさ1/|x−2|が上限なく増すため−∞、右は＋∞。左右で発散の向きが異なるため、x→2での有限な極限はない。Qは両側で正、大きさ1/|x−2|²が上限なく増すので両側＋∞へ発散し、有限な極限値はない。両方とも縦の漸近線x=2、2での値は未定義。＋∞は実数の値ではなく、Q(2)=＋∞と定義されたことにはならない。
生徒の定義域・四つの片側の符号と大きさ・有限性の区別、図の左右の方向、未定義の点と発散の記号の区別を見ます。
R(x)=(5x²−x+7)/(2x²+3)、S(x)=√(x²+4x)−xです。各定義域を求め、x→＋∞とx→−∞の両方を式変形と符号の根拠で調べてください。Sでは√(x²)をどう扱うかを明記し、正側と負側を無条件に同じにする説明を直します。
答えと解説
Rは全実数で定義され、x²で割ってx→+∞、x→−∞のどちらでも5/2。Sはx(x+4)≧0よりx≦−4又はx≧0。正側x>0では有理化してS=4/(√(1+4/x)+1)→2。負側x≦−4では√(x²)=−xだからS=−x(√(1+4/x)+1)。これは−x以上で、x→−∞のとき＋∞へ発散する。負側も正側も同じとするのは√(x²)=|x|の符号を落としている。
生徒の二定義域・Rをx→+∞とx→−∞のそれぞれについて変形した式、Sの正側有理化・負側絶対値と下からの評価、正負それぞれの無限大に向かうときの違いを説明する修正文を見ます。
U(x)=x²sin(1/x)（x≠0）、U(0)=cです。全てのx≠0への上下の評価から0での極限と連続になるcを求めます。対してV(x)=sin(1/x)（x≠0）は、x_n=1/(π/2+2πn)、y_n=1/(3π/2+2πn)（n=1,2,…）での値を調べ、x→0で有限な極限をもつか説明してください。角は弧度法です。
答えと解説
−1≦sin(1/x)≦1より−x²≦U(x)≦x²。両端が0へ近付き、U→0、連続にはc=0。x_n,y_nはどちらも正で0へ近付くが、V(x_n)=1、V(y_n)=−1。二つの近付き方で異なる値になるため、Vには0での有限な右極限さえなく、x→0での有限な極限もない。Uでは−x²≦U(x)≦x²から0への極限があるのに対し、Vでは振動が収まらず極限がない。この違いを区別する。
生徒の全xへの評価・はさみうち・c、二列が0へ向かうことと正確な二値、有限な極限がない根拠と二関数の違いを見ます。
実数全体でG(x)=xとし、F(0)=0、0<|x|<1/100ではF(x)=1、|x|≧1/100ではF(x)=xと定めます。x=−1,−1/10,−1/100,1/100,1/10,1で二関数の値を表にし、0での二つの極限と連続性を求めてください。「この表で一致したから0の近くでも同じ」という推論を、この定義から直します。
答えと解説
六つの標本点では両方とも順に−1,−1/10,−1/100,1/100,1/10,1。しかし0<|x|<1/100ではF(x)=1なのでFの左右の極限は1、F(0)=0で0では不連続。Gは左右の極限0とG(0)=0が一致して連続。表の六点は全て内側の小区間を調べていない。例えばx=1/1000ならF=1、G=1/1000で異なり、近くの全点への定義が極限を決める。
生徒の六点の二表・区間の境界の扱い、左右の極限と各点の値・連続性、内側の具体的反例と有限表の限界を見ます。
A(x)=√(x−2)とB(x)=log₂xを比べます。実数の定義域を示し、Aの2での右極限と点の値、Bの0での右側の振る舞いと値があるか、Bの1での極限と値を分けてください。この教材の「端では定義域側から確認する」という約束に基づき、どの点で連続といえるか説明します。
答えと解説
Aはx≧2、A(2)=0、x→2＋でA→0なので、定義域の閉じた端2で右側から連続。x<2の実数値を使わない。Bはx>0、B(0)は未定義でx→0＋では−∞へ発散するので、0で連続とはいえない。Bは定義域内の1では連続で、x→1でB→log₂1=0、B(1)=0。閉じた端の有限な値と一致する場合、開いた端の未定義、定義域内部の点を区別する。
生徒が二つの定義域と三つの点での極限・関数の値を区別できたかを確認します。Aでx<2の値を使わず、Bではxが0に右から近づくと負の無限大に発散することを説明します。
aを−1,2から、bを1,3から、cを1,5から一つずつ選び、H(x)=(x²−a²)/(x−a)+b（x≠a）、H(a)=cを作ります。x=a−1/10,a+1/10の値、近くで等しい一次式、左右の極限と点の値、連続性を求め、極限値の位置と関数値の位置を、必要に応じて白丸と黒丸で区別して図にしてください。不連続なら一点だけを直す値も残します。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
一般にx≠aでH(x)=x+a+b、二点の値は2a+b−1/10、2a+b+1/10、左右の極限L=2a+b。点の値cとLが等しいときだけaで連続。違えば(a,L)に白丸、(a,c)に関数値を表す黒丸があり、H(a)をLに直す。作例a=2,b=1,c=5なら二点49/10,51/10、L=5=cで連続。一組の選択と全計算・図と理由を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組・二点の正確な値・条件付きの一次式、左右と点の値の区別、図と連続性・必要な一点修正を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(1)ア(オ)・イ(ア)、冊子73・75/PDF85・87の関数値の極限と関連する連続性を踏まえた独自活動です。出版社の公開評価規準でも関連を確認しました。左右の極限、点の値、簡単な分数・無理関数や与えた三角関数の評価を扱い、数学Ⅲ全体・固定学年・微分による計算法・学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/distinguish-function-limits-point-values-and-continuity/
準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は生徒の左右の式と計算過程・極限と点の値・定義域と連続の条件・白丸と黒丸を使い分けた図を手動確認します。T1は数表と一点変更、T2は二つの有理化、T3は跳びと直せる穴、T4は場合分けの二条件と自由度、T5は片側の符号と発散、T6は正負の無限大と絶対値、T7は振動を抑える評価と二つの近付き方、T8は有限表の反例、T9は定義域の端と内部、T10は生徒が選ぶ一関数です。正しい同値式・別解を認めます。
実数x→3で、(x²−9)/(x−3)の有限な極限値を求めてください。元の式ではx≠3です。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数x→1で、(√(x+8)−3)/(x−1)の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数x→−2で、(x²+3x+2)/(x+2)の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数x→＋∞で、(5x²−x+7)/(2x²+3)の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x≠0で−x²≦x²sin(1/x)≦x²です。実数x→0で、この関数の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=3x−1（x≠2）、f(2)=kです。fが2で連続となるkを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
g(x)=ax+2（x<1）、g(x)=x²+4（x≧1）です。1で連続となるaを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
定義域の内部の点aで連続というための条件はどれですか。
- f(a)があることだけ
- 左右の極限が同じ有限値なら、点aでの値が定義されていない場合も、その点で連続とみなす
- f(a)が定義され、左極限と右極限が同じ有限の値となり、その値がf(a)と等しいこと
- aを表に一度含めることだけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=|x|/x（x≠0）のx→0での振る舞いはどれですか。
- 左右とも1へ近付く
- 左極限は−1、右極限は1で異なるため、x→0での有限な極限はない
- 左の極限−1と右の極限1の平均が0なので、x→0での極限値として0を採用する
- f(0)を0にすれば必ず極限0になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
1/x²の実数x→0での振る舞いとして適切なのはどれですか。
- 有限な極限値0をもつ
- 左は−∞、右は＋∞へ発散する
- 0での値は必ず＋∞という実数になる
- 両側で＋∞へ発散し、有限な極限値はもたない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=√(x−2)、定義域x≧2です。この教材の端での連続性の確認として適切なのはどれですか。
- 2より左に実数の値がないので、右極限と端の値が一致しても端での連続性は確かめられない
- 定義域側からの右極限0とf(2)=0を照合する
- 2が端なので必ず不連続とする
- 右極限とf(2)が違っても連続とする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x→＋∞で有理関数の極限を調べるとき、適切な考え方はどれですか。
- 分子と分母がともに大きくなる場合、成長の速さを比べず∞/∞を1と計算する
- ∞は代入できる最大の実数である
- 分子・分母を適切なxのべきで割り、分母の極限の条件を確かめる
- 分母が大きくなる式は全て0に近付く
途中の計算・単位・理由・確認答え:
h(x)=xsin(1/x)（x≠0）、h(0)=0です。0での連続性について適切なのはどれですか。
- |h(x)|≦|x|から極限0で、h(0)=0なので連続である
- sin(1/x)が振動するので極限はない
- h(0)があることだけで連続と決まる
- 左右の値は全て0なので連続である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x≠aで約分後の式と元の式が等しいとき、必ずいえるのはどれですか。
- 元の式もaで必ず定義される
- 元の式のaでの値が自動で変わる
- 数個の点が一致すれば、どんな関数でも全体で同じになる
- aの近くのx≠aの値が同じなので、そこでの極限の考察に使える
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
f(x)=(x²−9)/(x−3)（x≠3）、f(3)=11です。x=2,29/10,299/100,301/100,31/10,4での値を正確に表にし、近くで等しい一次式を条件とともに書きます。左極限・右極限・f(3)と連続性を分け、x=3で左極限・右極限が示す位置を白丸（○）、関数値f(3)の位置を黒丸（●）で図に示してください。f(3)だけを変更して連続にする値も求めます。
x→1で、A(x)=(√(x+8)−3)/(x−1)とB(x)=(√(x²+8)−3)/(x−1)を比べます。それぞれの実数の定義域を求め、共役な式で有理化し、近くのx≠1で等しい式と計算過程と有限な極限を残してください。友人の「どちらも0/0なので同じ極限」という判断を直します。
F(x)=|x|/x（x≠0）、F(0)=kと、G(x)=|x|（x≠0）、G(0)=kを比べます。x<0とx>0でそれぞれの式を場合分けし、0での左右の極限と連続になるkの有無を求めてください。二つの図には、xが0に近付くときのグラフの端を白丸（○）、x=0での関数値を黒丸（●）で示してください。重なる位置は黒丸にします。一点の値を変えるだけで直せるものを区別します。
H(x)=ax+1（x<2）、H(x)=x²+b（x≧2）です。2で連続、かつH(2)=7となるa,bを全て求め、左右の極限と点の値を確認してください。さらにH(2)=7という条件を外し、連続だけならa,bの関係はどうなるかを示します。
P(x)=1/(x−2)、Q(x)=1/(x−2)²です。x→2−とx→2＋での符号と大きさを式で調べ、それぞれの左右の振る舞い、x→2での有限な極限が存在するかどうかを全て残し、縦の漸近線を示す図を描いてください。＋∞を2での関数値と呼べるかも説明します。
R(x)=(5x²−x+7)/(2x²+3)、S(x)=√(x²+4x)−xです。各定義域を求め、x→＋∞とx→−∞の両方を式変形と符号の根拠で調べてください。Sでは√(x²)をどう扱うかを明記し、正側と負側を無条件に同じにする説明を直します。
U(x)=x²sin(1/x)（x≠0）、U(0)=cです。全てのx≠0への上下の評価から0での極限と連続になるcを求めます。対してV(x)=sin(1/x)（x≠0）は、x_n=1/(π/2+2πn)、y_n=1/(3π/2+2πn)（n=1,2,…）での値を調べ、x→0で有限な極限をもつか説明してください。角は弧度法です。
実数全体でG(x)=xとし、F(0)=0、0<|x|<1/100ではF(x)=1、|x|≧1/100ではF(x)=xと定めます。x=−1,−1/10,−1/100,1/100,1/10,1で二関数の値を表にし、0での二つの極限と連続性を求めてください。「この表で一致したから0の近くでも同じ」という推論を、この定義から直します。
A(x)=√(x−2)とB(x)=log₂xを比べます。実数の定義域を示し、Aの2での右極限と点の値、Bの0での右側の振る舞いと値があるか、Bの1での極限と値を分けてください。この教材の「端では定義域側から確認する」という約束に基づき、どの点で連続といえるか説明します。
aを−1,2から、bを1,3から、cを1,5から一つずつ選び、H(x)=(x²−a²)/(x−a)+b（x≠a）、H(a)=cを作ります。x=a−1/10,a+1/10の値、近くで等しい一次式、左右の極限と点の値、連続性を求め、極限値の位置と関数値の位置を、必要に応じて白丸と黒丸で区別して図にしてください。不連続なら一点だけを直す値も残します。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 関数の極限・その点の値・連続性を、定義域と左右から判断する
6
x≠3でx+3に等しく、左右とも6へ近付きます。元の式の3での値とは別です。
近くのx≠1で有理化すると1/(√(x+8)+3)に等しく、分母の極限は6です。
−1
x≠−2でx+1に等しいので、極限は−1です。
分子・分母をx²で割ると(5−1/x+7/x²)/(2+3/x²)で、極限は5/2です。
0
両端が0へ近付くため、はさみうちで極限0です。三角関数の角は弧度法です。
5
左右の極限は3×2−1=5です。その点の値kを5に合わせます。
3
左極限a+2と、右極限・g(1)の5を等しくするとa=3です。
f(a)が定義され、左極限と右極限が同じ有限の値となり、その値がf(a)と等しいこと
点の値、左右の極限が同じ有限の値であること、その値がf(a)と一致することを確認します。
左極限は−1、右極限は1で異なるため、x→0での有限な極限はない
0以外の左と右で値が異なります。一点の値を決めても左右の極限は変わりません。
両側で＋∞へ発散し、有限な極限値はもたない
正の値が両側で上限なく大きくなります。＋∞は有限な値ではありません。
定義域側からの右極限0とf(2)=0を照合する
端では定義域側からの極限と、定義されている端の値を比べます。
分子・分母を適切なxのべきで割り、分母の極限の条件を確かめる
式の形を整理して極限の性質を使います。∞を実数の代入値にはしません。
|h(x)|≦|x|から極限0で、h(0)=0なので連続である
値が全て0なのではなく、大きさが|x|以下という評価で0へ近付きます。
aの近くのx≠aの値が同じなので、そこでの極限の考察に使える
一点での定義と、近くの点で等しいことを区別します。
記述問題の解答・確認の観点
f(x)=(x²−9)/(x−3)（x≠3）、f(3)=11です。x=2,29/10,299/100,301/100,31/10,4での値を正確に表にし、近くで等しい一次式を条件とともに書きます。左極限・右極限・f(3)と連続性を分け、x=3で左極限・右極限が示す位置を白丸（○）、関数値f(3)の位置を黒丸（●）で図に示してください。f(3)だけを変更して連続にする値も求めます。
x≠3でf(x)=x+3。表は順に5,59/10,599/100,601/100,61/10,7。左右の極限は6、f(3)=11なので3では不連続。図では(3,6)が白丸、(3,11)が関数値を表す黒丸。f(3)を6に変更すれば3でも連続になる。表の数例だけでなく、近くの全x≠3でx+3と等しいことが理由。
生徒の6値・条件付き一次式・左右と点の値の区別、白丸と黒丸を使い分けた図、連続化の値とその理由を見ます。
x→1で、A(x)=(√(x+8)−3)/(x−1)とB(x)=(√(x²+8)−3)/(x−1)を比べます。それぞれの実数の定義域を求め、共役な式で有理化し、近くのx≠1で等しい式と計算過程と有限な極限を残してください。友人の「どちらも0/0なので同じ極限」という判断を直します。
Aの定義域はx≧−8かつx≠1、Bは実数全体から1を除く。A=1/(√(x+8)+3)、B=(x+1)/(√(x²+8)+3)（各元の定義域）。分母は近くで正、x→1で6へ近付くので、A→1/6、B→1/3。0/0という形だけでは極限は決まらず、有理化後の分子も異なる。約分しても元の1での値は未定義のまま。
生徒の二定義域・二つの有理化と条件・二極限、元の点が未定義のままという説明と友人への修正文を見ます。
F(x)=|x|/x（x≠0）、F(0)=kと、G(x)=|x|（x≠0）、G(0)=kを比べます。x<0とx>0でそれぞれの式を場合分けし、0での左右の極限と連続になるkの有無を求めてください。二つの図には、xが0に近付くときのグラフの端を白丸（○）、x=0での関数値を黒丸（●）で示してください。重なる位置は黒丸にします。一点の値を変えるだけで直せるものを区別します。
Fはx<0で−1、x>0で1。左極限と右極限が異なるため、x→0での極限はなく、どの実数kでも0で連続にはならない。Gはx<0で−x、x>0でx、左右とも0へ近付き、k=0のときだけ0でも連続。Fの左右の枝の端とGのV字の端を白丸、(0,k)を黒丸で示し、重なる位置は黒丸にする。一点の変更は近くの0以外の値や左右の極限を変えない。
生徒の四つの式・左右の値、Fでは不可能/Gではk=0という結論、二図と一点変更の限界の説明を見ます。
H(x)=ax+1（x<2）、H(x)=x²+b（x≧2）です。2で連続、かつH(2)=7となるa,bを全て求め、左右の極限と点の値を確認してください。さらにH(2)=7という条件を外し、連続だけならa,bの関係はどうなるかを示します。
点の値H(2)=4+b=7からb=3。左極限2a+1、右極限4+bなので、連続には2a+1=4+b=7、a=3。従って(a,b)=(3,3)が唯一。連続だけならb=2a−3でaは任意の実数となり、一組には決まらない。枝は各側で多項式なので、2以外では連続である。
生徒の点の値・左右の二式と連立、唯一の組の再確認、条件を外した全実数の関係と自由度を見ます。
P(x)=1/(x−2)、Q(x)=1/(x−2)²です。x→2−とx→2＋での符号と大きさを式で調べ、それぞれの左右の振る舞い、x→2での有限な極限が存在するかどうかを全て残し、縦の漸近線を示す図を描いてください。＋∞を2での関数値と呼べるかも説明します。
両方の定義域はx≠2。Pは左で負で大きさ1/|x−2|が上限なく増すため−∞、右は＋∞。左右で発散の向きが異なるため、x→2での有限な極限はない。Qは両側で正、大きさ1/|x−2|²が上限なく増すので両側＋∞へ発散し、有限な極限値はない。両方とも縦の漸近線x=2、2での値は未定義。＋∞は実数の値ではなく、Q(2)=＋∞と定義されたことにはならない。
生徒の定義域・四つの片側の符号と大きさ・有限性の区別、図の左右の方向、未定義の点と発散の記号の区別を見ます。
R(x)=(5x²−x+7)/(2x²+3)、S(x)=√(x²+4x)−xです。各定義域を求め、x→＋∞とx→−∞の両方を式変形と符号の根拠で調べてください。Sでは√(x²)をどう扱うかを明記し、正側と負側を無条件に同じにする説明を直します。
Rは全実数で定義され、x²で割ってx→+∞、x→−∞のどちらでも5/2。Sはx(x+4)≧0よりx≦−4又はx≧0。正側x>0では有理化してS=4/(√(1+4/x)+1)→2。負側x≦−4では√(x²)=−xだからS=−x(√(1+4/x)+1)。これは−x以上で、x→−∞のとき＋∞へ発散する。負側も正側も同じとするのは√(x²)=|x|の符号を落としている。
生徒の二定義域・Rをx→+∞とx→−∞のそれぞれについて変形した式、Sの正側有理化・負側絶対値と下からの評価、正負それぞれの無限大に向かうときの違いを説明する修正文を見ます。
U(x)=x²sin(1/x)（x≠0）、U(0)=cです。全てのx≠0への上下の評価から0での極限と連続になるcを求めます。対してV(x)=sin(1/x)（x≠0）は、x_n=1/(π/2+2πn)、y_n=1/(3π/2+2πn)（n=1,2,…）での値を調べ、x→0で有限な極限をもつか説明してください。角は弧度法です。
−1≦sin(1/x)≦1より−x²≦U(x)≦x²。両端が0へ近付き、U→0、連続にはc=0。x_n,y_nはどちらも正で0へ近付くが、V(x_n)=1、V(y_n)=−1。二つの近付き方で異なる値になるため、Vには0での有限な右極限さえなく、x→0での有限な極限もない。Uでは−x²≦U(x)≦x²から0への極限があるのに対し、Vでは振動が収まらず極限がない。この違いを区別する。
生徒の全xへの評価・はさみうち・c、二列が0へ向かうことと正確な二値、有限な極限がない根拠と二関数の違いを見ます。
実数全体でG(x)=xとし、F(0)=0、0<|x|<1/100ではF(x)=1、|x|≧1/100ではF(x)=xと定めます。x=−1,−1/10,−1/100,1/100,1/10,1で二関数の値を表にし、0での二つの極限と連続性を求めてください。「この表で一致したから0の近くでも同じ」という推論を、この定義から直します。
六つの標本点では両方とも順に−1,−1/10,−1/100,1/100,1/10,1。しかし0<|x|<1/100ではF(x)=1なのでFの左右の極限は1、F(0)=0で0では不連続。Gは左右の極限0とG(0)=0が一致して連続。表の六点は全て内側の小区間を調べていない。例えばx=1/1000ならF=1、G=1/1000で異なり、近くの全点への定義が極限を決める。
生徒の六点の二表・区間の境界の扱い、左右の極限と各点の値・連続性、内側の具体的反例と有限表の限界を見ます。
A(x)=√(x−2)とB(x)=log₂xを比べます。実数の定義域を示し、Aの2での右極限と点の値、Bの0での右側の振る舞いと値があるか、Bの1での極限と値を分けてください。この教材の「端では定義域側から確認する」という約束に基づき、どの点で連続といえるか説明します。
Aはx≧2、A(2)=0、x→2＋でA→0なので、定義域の閉じた端2で右側から連続。x<2の実数値を使わない。Bはx>0、B(0)は未定義でx→0＋では−∞へ発散するので、0で連続とはいえない。Bは定義域内の1では連続で、x→1でB→log₂1=0、B(1)=0。閉じた端の有限な値と一致する場合、開いた端の未定義、定義域内部の点を区別する。
生徒が二つの定義域と三つの点での極限・関数の値を区別できたかを確認します。Aでx<2の値を使わず、Bではxが0に右から近づくと負の無限大に発散することを説明します。
aを−1,2から、bを1,3から、cを1,5から一つずつ選び、H(x)=(x²−a²)/(x−a)+b（x≠a）、H(a)=cを作ります。x=a−1/10,a+1/10の値、近くで等しい一次式、左右の極限と点の値、連続性を求め、極限値の位置と関数値の位置を、必要に応じて白丸と黒丸で区別して図にしてください。不連続なら一点だけを直す値も残します。全8条件を解くことは必須にしません。
一般にx≠aでH(x)=x+a+b、二点の値は2a+b−1/10、2a+b+1/10、左右の極限L=2a+b。点の値cとLが等しいときだけaで連続。違えば(a,L)に白丸、(a,c)に関数値を表す黒丸があり、H(a)をLに直す。作例a=2,b=1,c=5なら二点49/10,51/10、L=5=cで連続。一組の選択と全計算・図と理由を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組・二点の正確な値・条件付きの一次式、左右と点の値の区別、図と連続性・必要な一点修正を見ます。