数列の極限を、式変形・評価と収束の条件から求める
準備14問と、生徒が式変形・上下の評価・収束と発散の理由を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(1)ア(ア)・イ(ア)、冊子73–74/PDF85–86を踏まえた独自活動です。簡単な数列の極限、r^nの収束条件、目的に応じた式変形を扱います。評価・はさみうちは出版社の公開評価規準でも確認しましたが、全てを一律の必修問題形式とはしません。数学Ⅲ全体・固定学年、無限級数の和、関数の極限・微積分や学習効果は主張しません。
解説を読む
項番号nを大きくしたときの数列の振る舞いを調べます。最初の数項からの予想と、全ての十分大きいnに通用する式や評価を分け、有限な極限・無限大への発散・振動を説明します。
必要な予備知識
正の整数の項番号、分数と式の計算、因数分解、平方根と有理化、整数指数、等比数列の一般項、不等式と絶対値。有限の和の計算と極限を区別します。数列の収束・発散、極限の四則の条件、はさみうち、r^nの分類は本文で導入します。微分・積分、無限級数の和、形式的なε-N論法は前提にしません。
- この教材ではn=1,2,3,…とします。a_nが有限な数Lに限りなく近付くときLに収束するといい、lim_{n→∞}a_n=Lと書きます。最終的にLと等しくなる必要も、単調に近付く必要もありません。
- 有限な数へ収束しない数列を発散といいます。+∞や−∞への発散と、例えば(−1)^nのような振動を分けます。+∞へ発散するとは、どんな実数の基準も、十分先の全ての項が上回ることです。−∞は下回る場合です。∞は代入して四則計算する実数ではありません。
- a_n→A、b_n→BでA,Bが有限なら、和・差・積の極限を各極限で計算できます。商はさらにB≠0が必要です。B=0の場合や∞−∞、∞/∞という形だけで結論を決めず、元の式を調べます。
- nの多項式の分数は、分子・分母を同じnの適切なべきで割り、1/nや1/n²が0へ近付くことを使います。定義される正の整数の範囲と、変形後の分母の極限が0でないことを確かめます。
- 平方根の差は共役な和を掛けて有理化すると、隠れた差を取り出せることがあります。n>0なので√(n²)=nです。変形の等号と、最後に極限を取る段階を分けます。
- l_n≦a_n≦u_nが十分先の全てのnで成り立ち、l_n,u_nが同じ有限なLへ収束するなら、a_nもLへ収束します。図や数値表の数点だけを、全nについての上下の評価の代わりにしません。
- 実数rに対するr^nは、r=1なら1、|r|<1なら0に収束します。r>1なら+∞へ発散、r=−1なら−1と1の間で振動、r<−1なら符号が交代して絶対値が限りなく大きくなります。従って収束する条件は−1<r≦1です。r=0もn≧1で定義されます。
- 符号が交代しても、大きさが0へ近付けば0に収束することがあります。反対に、偶数番目と奇数番目が異なる有限な値に近付くなら、数列全体は一つの有限な値へ収束しません。
- 最初の有限個の項が同じでも、その後の定義によって極限は変わります。逆に、全ての十分先の項が同じ二つの数列では、最初の有限個を変更しても収束・発散の振る舞いは変わりません。
- 極限値の予想に加え、式変形、分母やrの条件、全nに通用する評価などの根拠を残します。具体的な誤差の基準を与えた課題では、その基準を満たす項番号以降を不等式で確かめます。数値実験の代行や自由な証明の自動採点はしません。
解き方の例
例えば(6n+1)/(2n+3)=(6+1/n)/(2+3/n)なので、分母の極限2≠0を確かめると極限は3です。nを∞という実数に置き換えて分数を計算したわけではありません。
例えば−2/n≦2(−1)^n/n≦2/nで、両端が0へ収束するので中央も0へ収束します。符号の交代だけでは発散と決まりません。一方、(−1)^nそのものは偶数項1と奇数項−1を持ち、収束しません。
よくある間違い
- 最初の数項だけで、全ての先の項の極限を証明したとする。
- ∞を実数として引き算や割り算へ代入する。
- 分母の極限0でも商の極限の公式をそのまま使う。
- 分子と分母を違う式で割って等号で結ぶ。
- n>0という条件を見ず√(n²)を扱う。
- 平方根の差の有理化で分子の差を落とす。
- 符号が交代すれば常に発散するとする。
- r=1やr=−1を|r|<1の場合と同じにする。
- r<−1で符号が交代するのに、一方向の無限大へ発散とする。
- 上下の極限が異なる場合にも、はさみうちで一つの値が決まるとする。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は式と計算過程・分母とrの条件・上下の評価・有限値と発散の向き・元の定義へ戻した理由を手動確認します。T1は有理式と誤差の最小番号、T2は次数と下の評価、T3は二つの有理化、T4は振動する誤差とはさみうち、T5は公比七分類と境界、T6は指数の比と発散の評価、T7は適用できない四則の具体例、T8は有限の観察と先の定義、T9は二つの誤差基準、T10は生徒が選ぶ一つの数列です。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な式変形・表全体・上下の評価・収束と発散の根拠・全ての十分先の項の保証は手動確認します。nは正の整数で、有限な極限の四則の条件を確認します。無限級数の和、関数の極限・連続性、微積分、形式的なε-N論法、自由な証明の自動採点、実測や学習効果、新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自分で書いた式と計算過程・表全体・上下の評価・収束や発散の理由と保証は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
nは正の整数です。n→∞のとき、(7n−4)/(3n+5)の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
分子・分母をnで割ると(7−4/n)/(3+5/n)となり、分母の極限3≠0から7/3です。
nは正の整数です。n→∞のとき、(4n²+n)/(9n²−2)の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
分子・分母をn²で割り、(4+1/n)/(9−2/n²)の極限を求めます。
nは正の整数です。n→∞のとき、(5n+2)/(n²+4)の極限値を求めてください。
答えと解説
0
n²で割ると(5/n+2/n²)/(1+4/n²)なので0です。
nは正の整数です。n→∞のとき、√(9n²+12n)−3nの有限な極限値を求めてください。
答えと解説
2
有理化して12n/(√(9n²+12n)+3n)=12/(√(9+12/n)+3)なので12/6=2です。
nは正の整数です。n→∞のとき、(−3/5)^nの極限値を求めてください。
答えと解説
0
公比の絶対値3/5<1なので、符号が交代しても0へ収束します。
nは正の整数です。n→∞のとき、8+(−1)^n/nの極限値を求めてください。
答えと解説
8
−1/n≦(−1)^n/n≦1/nから中央は0へ収束し、全体は8へ収束します。
nは正の整数です。n→∞のとき、(2×5^n+3^n)/(4×5^n−3^n)の有限な極限値を求めてください。
答えと解説
5^nで割り、(2+(3/5)^n)/(4−(3/5)^n)→2/4です。
実数rについて、数列r^n（n=1,2,…）が有限な数に収束する条件はどれですか。
- −1≦r≦1
- −1<r≦1
- |r|<1だけでr=1は除く
- 全ての実数r
答えと解説
−1<r≦1
|r|<1の0への収束に、r=1の定数列を加えます。r=−1は振動します。
数列(−1)^n（n=1,2,…）の振る舞いはどれですか。
- 0へ収束する
- +∞へ発散する
- −∞へ発散する
- 偶数項1と奇数項−1を取り、収束しない
答えと解説
偶数項1と奇数項−1を取り、収束しない
二つの異なる値を交互に取り、一つの有限な値へ近付きません。
a_n=n、b_n=nのとき、a_n−b_nの極限を調べる適切な方法はどれですか。
- 各nでa_n−b_n=0と整理して、極限0を得る
- ∞−∞は必ず1とする
- 各項が+∞へ発散するので差も必ず+∞とする
- 二つの数列の式を見ず∞−∞=0という実数の計算を使う
答えと解説
各nでa_n−b_n=0と整理して、極限0を得る
元の式が各nで0になることが根拠です。∞−∞という形だけから0とは決まりません。
a_n→0、b_n→0、各b_n≠0とだけ分かるとき、a_n/b_nの極限について適切なのはどれですか。
- 必ず0
- 必ず1
- これだけでは決まらず、元の数列を調べる
- 必ず+∞
答えと解説
これだけでは決まらず、元の数列を調べる
例えばa_n=b_n=1/nなら1ですが、a_n=1/n²、b_n=1/nなら0です。
数列が有限な値へ収束するために、必ずしも必要でないものはどれですか。
- 十分先の項がその値にいくらでも近付くこと
- 全ての項が単調に近付くこと
- 数列全体について一つの有限な極限を持つこと
- 最初の数項だけではなく先の振る舞いも定義されること
答えと解説
全ての項が単調に近付くこと
例えば8+(−1)^n/nは単調ではありませんが8へ収束します。
数列(−2)^n（n=1,2,…）の振る舞いはどれですか。
- 0へ収束する
- +∞だけへ発散する
- −∞だけへ発散する
- 偶数項は+∞、奇数項は−∞へ向かい、数列全体は一方向の無限大へ向かわない
答えと解説
偶数項は+∞、奇数項は−∞へ向かい、数列全体は一方向の無限大へ向かわない
絶対値は大きくなりますが、符号が交代します。
最初の6項が1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6だった数列について、適切なのはどれですか。
- その情報だけでは、先の定義と極限は決まらない
- 必ず全てのnで1/n
- 必ず0へ収束する
- 必ず+∞へ発散する
答えと解説
その情報だけでは、先の定義と極限は決まらない
有限個の値からだけでは、その後の一般項や極限は決まりません。
考え方を説明する
a_n=(7n−4)/(3n+5)、n=1,2,…です。nで割った式と分母の条件から極限を求め、a_n−7/3も一つの分数に整理してください。さらに|a_n−7/3|<1/100が全てのn≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを求め、直前のnでも確かめます。
答えと解説
(7−4/n)/(3+5/n)→7/3、分母の極限3≠0。差は−47/(9n+15)、絶対値47/(9n+15)。47/(9n+15)<1/100は9n+15>4700、n>4685/9なので最小N=521。n=521では47/4704<1/100、直前520では47/4695>1/100。分母はnとともに増すため全n≧521で成り立つ。
生徒の全変形・分母の条件・極限・差の符号・不等式・最小整数と直前の確認、全ての先のnへ通用する理由を見ます。
正の整数nに対し、A_n=(4n²+n)/(9n²−2)、B_n=(5n+2)/(n²+4)、C_n=(n²+1)/(2n+3)を比べます。適切なnのべきで同じように分子・分母を割り、有限な極限又は発散の向きと根拠を示してください。C_nではn≧1での下からの評価も一つ残します。
答えと解説
A_n=(4+1/n)/(9−2/n²)→4/9、B_n=(5/n+2/n²)/(1+4/n²)→0。C_n=n(1+1/n²)/(2+3/n)で大きくなるだけでなく、n≧1で2n+3≦5n、n²+1≧n²だからC_n≧n/5→+∞。全て元の分母は正。∞/∞という形だけでは三つの違いは決まらない。
生徒の三つの同値変形、分母や正のnの条件、二つの有限値とCの全nでの下の評価・+∞への説明を見ます。
正の整数nに対し、u_n=√(9n²+12n)−3n、v_n=√(n²+5)−nです。それぞれを有理化し、根号からnを取り出す条件も示して極限を求めてください。「両方∞−∞なので同じ値だ」という説明を直します。
答えと解説
u_n=12n/(√(9n²+12n)+3n)=12/(√(9+12/n)+3)→2。v_n=5/(√(n²+5)+n)=(5/n)/(√(1+5/n²)+1)→0。n>0で√(n²)=n、変形の分母は正。∞−∞という形だけでは値は決まらず、有理化で残る量が異なる。
生徒の両方の共役と分子の差、全同値式・正のnと分母、2と0、元の式に基づく修正文を見ます。
a_n=8+(−1)^n/n、n=1,2,…です。誤差a_n−8の上下の評価を全nについて示し、はさみうちから極限を説明してください。偶数番目と奇数番目の式も書き、(−1)^nそのものと比べて「符号が交代すれば収束しない」という主張を直します。
答えと解説
−1/n≦a_n−8≦1/nで両端は0、従ってa_n→8。a_{2k}=8+1/(2k)、a_{2k−1}=8−1/(2k−1)でどちらも8へ向かう。(−1)^nは偶数項1、奇数項−1で違う値に留まり収束しない。交代する符号だけでなく、誤差の大きさが0になるかを見る。
生徒の全nの二不等式と両端の極限、全体8、偶奇両式と二極限、比較に基づく修正を見ます。
rを2,1,3/5,0,−3/5,−1,−2とした七つの数列r^n（n=1,2,…）について、最初の3項と、有限な極限・+∞への発散・振動の分類を全て表にしてください。負の公比では絶対値と偶数・奇数を区別し、実数r全体で有限な値に収束する条件をまとめます。
答えと解説
r=2は2,4,8で+∞、r=1は1,1,1で極限1、r=3/5は3/5,9/25,27/125で0、r=0は0,0,0で0、r=−3/5は−3/5,9/25,−27/125で0、r=−1は−1,1,−1で振動、r=−2は−2,4,−8で偶数項+∞・奇数項−∞へ向かい振動。収束条件は−1<r≦1。分類の根拠は一般のr^nの条件で、三項の観察だけを証明にはしない。
生徒の七行全21項・分類と極限、r=0/±1の境界、負の二種類の振る舞い、条件の正しい開閉端を見ます。
正の整数nに対し、a_n=(2×5^n+3^n)/(4×5^n−3^n)、b_n=5^n/(3^n+1)です。指数の共通因数で割り、残る公比の大きさと元の分母を確かめて極限又は発散の向きを説明してください。b_nでは十分先の全ての項に通用する評価を一つ示します。
答えと解説
a_n=(2+(3/5)^n)/(4−(3/5)^n)、0<(3/5)^n<1なので分母は正、極限1/2。b_n=(5/3)^n/(1+(1/3)^n)。1+(1/3)^n≦2だからb_n≧(1/2)(5/3)^n→+∞。数列の公比と分子分母の項の比を混同しない。
生徒の二つの等号による変形、正の分母・公比の条件、aの有限値とbの全nに通用する下の評価と発散を見ます。
二つの安易な計算を具体例で検討します。(i)∞−∞を一つの数と決める説明に対し、n−n、n−(n+7)、n−2nを整理して比べます。(ii)a_n,b_nが共に0へ近付けば商も0になるという説明に対し、(1/n)/(1/n)、(1/n²)/(1/n)、(1/√n)/(1/n)を調べます。全てnは正の整数です。適用できない公式の条件も書いてください。
答えと解説
(i)各式は0、−7、−nで、極限0、−7、−∞と異なる。∞−∞という形だけでは決まらない。(ii)各商は1、1/n、√nで、極限1、0、+∞と異なる。分母1/nは各nで0ではないが極限は0なので、分母の極限B≠0を条件とする商の公式はそのまま適用できない。差の公式も二つの有限な極限を前提とする。
生徒の六つの正確な整理・極限と向き、有限極限という前提と分母の極限非0の条件、各項で非0との違いを見ます。
最初の6項が1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6の三つの数列を考えます。Aは全nで1/n、Bはn≦6で1/n、n≧7で4+(−1)^n、Cはn≦6で1/n、n≧7でnです。三つの先の振る舞いを根拠とともに説明してください。さらにAの最初の6項だけを全て100へ変更したDの極限を調べ、「表の6点で全体が決まる」という説明を直します。
答えと解説
Aは0へ収束。Bの十分先の偶数項は5、奇数項は3なので一つの有限値にも一方向の無限大にも向かわず、振動して発散。Cは十分先でnなので+∞へ発散。Dはn≧7でAと同じ1/nだから0へ収束。最初の有限個の一致だけでは先の定義は決まらず、逆に有限個だけの変更は同じ十分先の振る舞いを変えない。
生徒の四つの分類と根拠、Bの異なる偶奇値、共通の最初6項と共通の十分先の項を区別した修正文を見ます。
a_n=3+(−1)^n/(2n+1)、n=1,2,…です。極限と|a_n−3|の正確な式を求め、誤差<1/100を全n≧Nで保証する最小Nと、誤差<1/1000を全n≧Mで保証する最小Mを求めてください。それぞれ直前の項で不等式が満たされないことも確かめます。
答えと解説
−1/(2n+1)≦a_n−3≦1/(2n+1)から極限3。絶対誤差は1/(2n+1)。1/(2n+1)<1/100は2n+1>100なのでN=50、直前49では1/99>1/100。1/(2n+1)<1/1000は2n+1>1000なのでM=500、直前499では1/999>1/1000。分母の増加から各番号以降の全項で保証できる。
生徒の全nの評価・極限、誤差の絶対値、二つの厳密不等式・最小整数・直前の否定と全ての先への説明を見ます。
Lを−2,5から、cを1,3から、dを2,4から一つずつ選び、a_n=L+c/(dn+1)（n=1,2,…）を作ります。最初の3項、分数をまとめた一般項と極限、その条件を残してください。さらに|a_n−L|<1/100が全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを求め、直前でも確認します。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
作例L=5,c=3,d=4なら最初は28/5,16/3,68/13、一般項(20n+8)/(4n+1)→5。誤差3/(4n+1)<1/100は4n+1>300なので最小N=75、直前74では3/297>1/100、75では3/301<1/100。一般に(dLn+L+c)/(dn+1)→L、分母は正、c/(dn+1)<1/100はdn+1>100c。許された一つの選択と正しい式と計算過程・最小番号を認め、全8条件は生徒の課題数を増やさない。
生徒の一つの三数の選択・三項全て・元と同値の一般項と分母・極限、不等式の正しい向きと最小整数・直前の確認を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(1)ア(ア)・イ(ア)、冊子73–74/PDF85–86を踏まえた独自活動です。簡単な数列の極限、r^nの収束条件、目的に応じた式変形を扱います。評価・はさみうちは出版社の公開評価規準でも確認しましたが、全てを一律の必修問題形式とはしません。数学Ⅲ全体・固定学年、無限級数の和、関数の極限・微積分や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は式と計算過程・分母とrの条件・上下の評価・有限値と発散の向き・元の定義へ戻した理由を手動確認します。T1は有理式と誤差の最小番号、T2は次数と下の評価、T3は二つの有理化、T4は振動する誤差とはさみうち、T5は公比七分類と境界、T6は指数の比と発散の評価、T7は適用できない四則の具体例、T8は有限の観察と先の定義、T9は二つの誤差基準、T10は生徒が選ぶ一つの数列です。正しい同値式・別解を認めます。
nは正の整数です。n→∞のとき、(7n−4)/(3n+5)の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは正の整数です。n→∞のとき、(4n²+n)/(9n²−2)の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは正の整数です。n→∞のとき、(5n+2)/(n²+4)の極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは正の整数です。n→∞のとき、√(9n²+12n)−3nの有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは正の整数です。n→∞のとき、(−3/5)^nの極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは正の整数です。n→∞のとき、8+(−1)^n/nの極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
nは正の整数です。n→∞のとき、(2×5^n+3^n)/(4×5^n−3^n)の有限な極限値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
実数rについて、数列r^n（n=1,2,…）が有限な数に収束する条件はどれですか。
- −1≦r≦1
- −1<r≦1
- |r|<1だけでr=1は除く
- 全ての実数r
途中の計算・単位・理由・確認答え:
数列(−1)^n（n=1,2,…）の振る舞いはどれですか。
- 0へ収束する
- +∞へ発散する
- −∞へ発散する
- 偶数項1と奇数項−1を取り、収束しない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_n=n、b_n=nのとき、a_n−b_nの極限を調べる適切な方法はどれですか。
- 各nでa_n−b_n=0と整理して、極限0を得る
- ∞−∞は必ず1とする
- 各項が+∞へ発散するので差も必ず+∞とする
- 二つの数列の式を見ず∞−∞=0という実数の計算を使う
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a_n→0、b_n→0、各b_n≠0とだけ分かるとき、a_n/b_nの極限について適切なのはどれですか。
- 必ず0
- 必ず1
- これだけでは決まらず、元の数列を調べる
- 必ず+∞
途中の計算・単位・理由・確認答え:
数列が有限な値へ収束するために、必ずしも必要でないものはどれですか。
- 十分先の項がその値にいくらでも近付くこと
- 全ての項が単調に近付くこと
- 数列全体について一つの有限な極限を持つこと
- 最初の数項だけではなく先の振る舞いも定義されること
途中の計算・単位・理由・確認答え:
数列(−2)^n（n=1,2,…）の振る舞いはどれですか。
- 0へ収束する
- +∞だけへ発散する
- −∞だけへ発散する
- 偶数項は+∞、奇数項は−∞へ向かい、数列全体は一方向の無限大へ向かわない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
最初の6項が1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6だった数列について、適切なのはどれですか。
- その情報だけでは、先の定義と極限は決まらない
- 必ず全てのnで1/n
- 必ず0へ収束する
- 必ず+∞へ発散する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
a_n=(7n−4)/(3n+5)、n=1,2,…です。nで割った式と分母の条件から極限を求め、a_n−7/3も一つの分数に整理してください。さらに|a_n−7/3|<1/100が全てのn≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを求め、直前のnでも確かめます。
正の整数nに対し、A_n=(4n²+n)/(9n²−2)、B_n=(5n+2)/(n²+4)、C_n=(n²+1)/(2n+3)を比べます。適切なnのべきで同じように分子・分母を割り、有限な極限又は発散の向きと根拠を示してください。C_nではn≧1での下からの評価も一つ残します。
正の整数nに対し、u_n=√(9n²+12n)−3n、v_n=√(n²+5)−nです。それぞれを有理化し、根号からnを取り出す条件も示して極限を求めてください。「両方∞−∞なので同じ値だ」という説明を直します。
a_n=8+(−1)^n/n、n=1,2,…です。誤差a_n−8の上下の評価を全nについて示し、はさみうちから極限を説明してください。偶数番目と奇数番目の式も書き、(−1)^nそのものと比べて「符号が交代すれば収束しない」という主張を直します。
rを2,1,3/5,0,−3/5,−1,−2とした七つの数列r^n（n=1,2,…）について、最初の3項と、有限な極限・+∞への発散・振動の分類を全て表にしてください。負の公比では絶対値と偶数・奇数を区別し、実数r全体で有限な値に収束する条件をまとめます。
正の整数nに対し、a_n=(2×5^n+3^n)/(4×5^n−3^n)、b_n=5^n/(3^n+1)です。指数の共通因数で割り、残る公比の大きさと元の分母を確かめて極限又は発散の向きを説明してください。b_nでは十分先の全ての項に通用する評価を一つ示します。
二つの安易な計算を具体例で検討します。(i)∞−∞を一つの数と決める説明に対し、n−n、n−(n+7)、n−2nを整理して比べます。(ii)a_n,b_nが共に0へ近付けば商も0になるという説明に対し、(1/n)/(1/n)、(1/n²)/(1/n)、(1/√n)/(1/n)を調べます。全てnは正の整数です。適用できない公式の条件も書いてください。
最初の6項が1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6の三つの数列を考えます。Aは全nで1/n、Bはn≦6で1/n、n≧7で4+(−1)^n、Cはn≦6で1/n、n≧7でnです。三つの先の振る舞いを根拠とともに説明してください。さらにAの最初の6項だけを全て100へ変更したDの極限を調べ、「表の6点で全体が決まる」という説明を直します。
a_n=3+(−1)^n/(2n+1)、n=1,2,…です。極限と|a_n−3|の正確な式を求め、誤差<1/100を全n≧Nで保証する最小Nと、誤差<1/1000を全n≧Mで保証する最小Mを求めてください。それぞれ直前の項で不等式が満たされないことも確かめます。
Lを−2,5から、cを1,3から、dを2,4から一つずつ選び、a_n=L+c/(dn+1)（n=1,2,…）を作ります。最初の3項、分数をまとめた一般項と極限、その条件を残してください。さらに|a_n−L|<1/100が全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを求め、直前でも確認します。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 数列の極限を、式変形・評価と収束の条件から求める
分子・分母をnで割ると(7−4/n)/(3+5/n)となり、分母の極限3≠0から7/3です。
分子・分母をn²で割り、(4+1/n)/(9−2/n²)の極限を求めます。
0
n²で割ると(5/n+2/n²)/(1+4/n²)なので0です。
2
有理化して12n/(√(9n²+12n)+3n)=12/(√(9+12/n)+3)なので12/6=2です。
0
公比の絶対値3/5<1なので、符号が交代しても0へ収束します。
8
−1/n≦(−1)^n/n≦1/nから中央は0へ収束し、全体は8へ収束します。
5^nで割り、(2+(3/5)^n)/(4−(3/5)^n)→2/4です。
−1<r≦1
|r|<1の0への収束に、r=1の定数列を加えます。r=−1は振動します。
偶数項1と奇数項−1を取り、収束しない
二つの異なる値を交互に取り、一つの有限な値へ近付きません。
各nでa_n−b_n=0と整理して、極限0を得る
元の式が各nで0になることが根拠です。∞−∞という形だけから0とは決まりません。
これだけでは決まらず、元の数列を調べる
例えばa_n=b_n=1/nなら1ですが、a_n=1/n²、b_n=1/nなら0です。
全ての項が単調に近付くこと
例えば8+(−1)^n/nは単調ではありませんが8へ収束します。
偶数項は+∞、奇数項は−∞へ向かい、数列全体は一方向の無限大へ向かわない
絶対値は大きくなりますが、符号が交代します。
その情報だけでは、先の定義と極限は決まらない
有限個の値からだけでは、その後の一般項や極限は決まりません。
記述問題の解答・確認の観点
a_n=(7n−4)/(3n+5)、n=1,2,…です。nで割った式と分母の条件から極限を求め、a_n−7/3も一つの分数に整理してください。さらに|a_n−7/3|<1/100が全てのn≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを求め、直前のnでも確かめます。
(7−4/n)/(3+5/n)→7/3、分母の極限3≠0。差は−47/(9n+15)、絶対値47/(9n+15)。47/(9n+15)<1/100は9n+15>4700、n>4685/9なので最小N=521。n=521では47/4704<1/100、直前520では47/4695>1/100。分母はnとともに増すため全n≧521で成り立つ。
生徒の全変形・分母の条件・極限・差の符号・不等式・最小整数と直前の確認、全ての先のnへ通用する理由を見ます。
正の整数nに対し、A_n=(4n²+n)/(9n²−2)、B_n=(5n+2)/(n²+4)、C_n=(n²+1)/(2n+3)を比べます。適切なnのべきで同じように分子・分母を割り、有限な極限又は発散の向きと根拠を示してください。C_nではn≧1での下からの評価も一つ残します。
A_n=(4+1/n)/(9−2/n²)→4/9、B_n=(5/n+2/n²)/(1+4/n²)→0。C_n=n(1+1/n²)/(2+3/n)で大きくなるだけでなく、n≧1で2n+3≦5n、n²+1≧n²だからC_n≧n/5→+∞。全て元の分母は正。∞/∞という形だけでは三つの違いは決まらない。
生徒の三つの同値変形、分母や正のnの条件、二つの有限値とCの全nでの下の評価・+∞への説明を見ます。
正の整数nに対し、u_n=√(9n²+12n)−3n、v_n=√(n²+5)−nです。それぞれを有理化し、根号からnを取り出す条件も示して極限を求めてください。「両方∞−∞なので同じ値だ」という説明を直します。
u_n=12n/(√(9n²+12n)+3n)=12/(√(9+12/n)+3)→2。v_n=5/(√(n²+5)+n)=(5/n)/(√(1+5/n²)+1)→0。n>0で√(n²)=n、変形の分母は正。∞−∞という形だけでは値は決まらず、有理化で残る量が異なる。
生徒の両方の共役と分子の差、全同値式・正のnと分母、2と0、元の式に基づく修正文を見ます。
a_n=8+(−1)^n/n、n=1,2,…です。誤差a_n−8の上下の評価を全nについて示し、はさみうちから極限を説明してください。偶数番目と奇数番目の式も書き、(−1)^nそのものと比べて「符号が交代すれば収束しない」という主張を直します。
−1/n≦a_n−8≦1/nで両端は0、従ってa_n→8。a_{2k}=8+1/(2k)、a_{2k−1}=8−1/(2k−1)でどちらも8へ向かう。(−1)^nは偶数項1、奇数項−1で違う値に留まり収束しない。交代する符号だけでなく、誤差の大きさが0になるかを見る。
生徒の全nの二不等式と両端の極限、全体8、偶奇両式と二極限、比較に基づく修正を見ます。
rを2,1,3/5,0,−3/5,−1,−2とした七つの数列r^n（n=1,2,…）について、最初の3項と、有限な極限・+∞への発散・振動の分類を全て表にしてください。負の公比では絶対値と偶数・奇数を区別し、実数r全体で有限な値に収束する条件をまとめます。
r=2は2,4,8で+∞、r=1は1,1,1で極限1、r=3/5は3/5,9/25,27/125で0、r=0は0,0,0で0、r=−3/5は−3/5,9/25,−27/125で0、r=−1は−1,1,−1で振動、r=−2は−2,4,−8で偶数項+∞・奇数項−∞へ向かい振動。収束条件は−1<r≦1。分類の根拠は一般のr^nの条件で、三項の観察だけを証明にはしない。
生徒の七行全21項・分類と極限、r=0/±1の境界、負の二種類の振る舞い、条件の正しい開閉端を見ます。
正の整数nに対し、a_n=(2×5^n+3^n)/(4×5^n−3^n)、b_n=5^n/(3^n+1)です。指数の共通因数で割り、残る公比の大きさと元の分母を確かめて極限又は発散の向きを説明してください。b_nでは十分先の全ての項に通用する評価を一つ示します。
a_n=(2+(3/5)^n)/(4−(3/5)^n)、0<(3/5)^n<1なので分母は正、極限1/2。b_n=(5/3)^n/(1+(1/3)^n)。1+(1/3)^n≦2だからb_n≧(1/2)(5/3)^n→+∞。数列の公比と分子分母の項の比を混同しない。
生徒の二つの等号による変形、正の分母・公比の条件、aの有限値とbの全nに通用する下の評価と発散を見ます。
二つの安易な計算を具体例で検討します。(i)∞−∞を一つの数と決める説明に対し、n−n、n−(n+7)、n−2nを整理して比べます。(ii)a_n,b_nが共に0へ近付けば商も0になるという説明に対し、(1/n)/(1/n)、(1/n²)/(1/n)、(1/√n)/(1/n)を調べます。全てnは正の整数です。適用できない公式の条件も書いてください。
(i)各式は0、−7、−nで、極限0、−7、−∞と異なる。∞−∞という形だけでは決まらない。(ii)各商は1、1/n、√nで、極限1、0、+∞と異なる。分母1/nは各nで0ではないが極限は0なので、分母の極限B≠0を条件とする商の公式はそのまま適用できない。差の公式も二つの有限な極限を前提とする。
生徒の六つの正確な整理・極限と向き、有限極限という前提と分母の極限非0の条件、各項で非0との違いを見ます。
最初の6項が1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6の三つの数列を考えます。Aは全nで1/n、Bはn≦6で1/n、n≧7で4+(−1)^n、Cはn≦6で1/n、n≧7でnです。三つの先の振る舞いを根拠とともに説明してください。さらにAの最初の6項だけを全て100へ変更したDの極限を調べ、「表の6点で全体が決まる」という説明を直します。
Aは0へ収束。Bの十分先の偶数項は5、奇数項は3なので一つの有限値にも一方向の無限大にも向かわず、振動して発散。Cは十分先でnなので+∞へ発散。Dはn≧7でAと同じ1/nだから0へ収束。最初の有限個の一致だけでは先の定義は決まらず、逆に有限個だけの変更は同じ十分先の振る舞いを変えない。
生徒の四つの分類と根拠、Bの異なる偶奇値、共通の最初6項と共通の十分先の項を区別した修正文を見ます。
a_n=3+(−1)^n/(2n+1)、n=1,2,…です。極限と|a_n−3|の正確な式を求め、誤差<1/100を全n≧Nで保証する最小Nと、誤差<1/1000を全n≧Mで保証する最小Mを求めてください。それぞれ直前の項で不等式が満たされないことも確かめます。
−1/(2n+1)≦a_n−3≦1/(2n+1)から極限3。絶対誤差は1/(2n+1)。1/(2n+1)<1/100は2n+1>100なのでN=50、直前49では1/99>1/100。1/(2n+1)<1/1000は2n+1>1000なのでM=500、直前499では1/999>1/1000。分母の増加から各番号以降の全項で保証できる。
生徒の全nの評価・極限、誤差の絶対値、二つの厳密不等式・最小整数・直前の否定と全ての先への説明を見ます。
Lを−2,5から、cを1,3から、dを2,4から一つずつ選び、a_n=L+c/(dn+1)（n=1,2,…）を作ります。最初の3項、分数をまとめた一般項と極限、その条件を残してください。さらに|a_n−L|<1/100が全n≧Nで成り立つ最小の正の整数Nを求め、直前でも確認します。全8条件を解くことは必須にしません。
作例L=5,c=3,d=4なら最初は28/5,16/3,68/13、一般項(20n+8)/(4n+1)→5。誤差3/(4n+1)<1/100は4n+1>300なので最小N=75、直前74では3/297>1/100、75では3/301<1/100。一般に(dLn+L+c)/(dn+1)→L、分母は正、c/(dn+1)<1/100はdn+1>100c。許された一つの選択と正しい式と計算過程・最小番号を認め、全8条件は生徒の課題数を増やさない。
生徒の一つの三数の選択・三項全て・元と同値の一般項と分母・極限、不等式の正しい向きと最小整数・直前の確認を見ます。