定積分のモデル：領域・切る向き・断面積と単位をそろえる
準備14問と、生徒が領域・回転軸や断面を図にし、面積または体積の積分を組み立てる主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(3)ア(ウ)・イ(イ)、冊子81〜82/PDF93〜94のいろいろな曲線の面積・立体の体積と定積分の共通性を踏まえた独自活動です。三角・指数・対数関数の面積と、断面積から体積を組み立てる例を扱います。曲線の長さ・数学Ⅲ全体・固定学年や実物の測量、学習効果は主張しません。
解説を読む
積分する式を決める前に、求める量と小さな部分の形を確かめます。平面の面積なら上下の差、立体の体積なら切る向きに対応した断面積を足し合わせます。曲線の高さと円の断面積を混ぜず、範囲・単位とともに式へ戻します。
必要な予備知識
指数・自然対数と弧度法の三角関数、根号の実数の定義域、基本的な定積分と端点の差、曲線の上下と符号、円・正方形の面積。eは自然対数の底、lnは自然対数です。∫e^x dx=e^x+C、∫dx/x=ln x+C（x>0）、∫sin x dx=−cos x+C、∫x^(1/2)dx=(2/3)x^(3/2)+C（x>0）を使います。 x=0を端点に含む定積分では、この原始関数を0まで連続に延ばして端点の差を計算します。
- 最初に求める量を面積か体積か区別し、座標の範囲・元の定義域を確認します。生徒の図に端の直線や曲線、回転軸、切る向きを示します。図は式の条件と対応させ、見た目だけで上下や半径を決めません。
- 平面で上がf、下がgとなる範囲では、縦の細い部分の高さはf(x)−g(x)です。上下が替わる点で分けて非負の差を積分します。x軸との間なら∫|f(x)|dxで、符号付き積分の絶対値だけでは一般に面積になりません。
- 立体をx軸に垂直な平面で切り、その断面積をS(x)と表せるとき、体積はV=∫[a,b]S(x)dxです。連続な断面積をもつここでのモデルでは、薄い部分S(x)Δxの和の極限として考えます。Sが既に面積なら、さらに二乗したりπを掛けたりしません。
- x軸の上側で0≦y≦f(x)となる部分をx軸のまわりに回転すると、断面は半径f(x)の円でS=πf(x)²です。半径は軸からの距離であり、直径を半径として代入しません。曲線の高さそのものを体積の被積分関数にしません。
- 同じ軸からの距離が0≦r(x)≦R(x)となる二曲線の間を回転すると、断面は外円から内円を除く輪です。S=π(R²−r²)で、π(R−r)²ではありません。半径の大小と非負を全区間で確認します。
- 回転体以外でも断面の形からSを作れます。たとえば正方形の一辺がs(x)ならS=s(x)²です。与えられた形が円ではないのに、πを付けません。どの向きの断面と変数を組み合わせているかを書きます。
- 座標の長さをcmで扱いSの値をcm²で表すと、S(x)dxの体積の単位はcm³です。平面の面積の単位cm²と区別します。式に使う数値が何の長さ・面積を表すかを説明します。
- 根号・対数の定義域と積分区間の連続性を確認します。1/xを0をまたぐ区間で通常の端点代入だけで積分しません。この教材では有限区間に連続な高さ・断面積をもつモデルを選び、広義積分は扱いません。
- 準備は指定有理数と選択だけを自動採点します。主課題の生徒の図・上下と半径の根拠・断面積S・積分の計算全体、e・ln・πを含む式と単位は手動確認します。正しい同値式・別の切り方や計算法も、条件と全ての対応を説明できれば認めます。
- モデルの条件から得た面積・体積は、実物を実測した結果とは別です。生徒の自作条件は一組を確認します。8条件は確認用で8題と数えません。曲線の長さ・表面積・多変数積分や一般の積分理論の網羅は加えません。
解き方の例
1≦x≦2でy=1/xとx軸の間は、上が1/x>0なので面積∫[1,2]dx/x=ln2です。同じ領域をx軸のまわりに回転すると断面積はπ/x²、体積π∫[1,2]x^(−2)dx=π/2です。面積と体積では足す量が違います。
x軸に垂直な断面が円環で、各位置の外半径が2cm、内半径が1cm、長さが3cmなら、断面積はπ(2²−1²)=3πcm²。体積∫[0,3]3πdx=9πcm³です。半径の差1を二乗したπcm²にはしません。
よくある間違い
- 符号付き積分の絶対値を、いつでも面積とする。
- 曲線の高さをそのまま円の断面積にする。
- 既に与えられた断面積Sをもう一度二乗する。
- 断面が正方形でもπを掛ける。
- 輪の面積を半径の差の二乗にする。
- 回転軸や切る向きを図に書かない。
- 直径を半径として使う。
- 元の定義域や途中の上下の入れ替わりを見ない。
- 面積と体積の単位、モデルと実測を混ぜる。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の領域図・軸と切る向き、元の範囲・上下や半径、非負の高さまたは断面積、全積分と単位を確認します。T1は符号付き積分と三角関数の面積、T2は指数関数と直線の差、T3は対数の積分と定義域、T4は既に与えられた断面積、T5は正方形断面のモデル、T6は同じ領域の面積と回転体積、T7は輪の二乗の差、T8は球の断面積、T9は高さと断面積を混ぜた説明の修正、T10は生徒の一組と全対応を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。生徒の図、自由な積分式全体、e・ln・πの正確な値、上下・半径・断面積と単位は手動確認します。有限区間に連続な関数で表せるモデルを扱い、広義積分・曲線の長さ・表面積・多変数積分、実測結果の保証は扱いません。
練習する
自動採点は準備の有理数・選択だけです。自分の領域・軸・断面の図、積分の計算全体とe・ln・πの式、根拠や単位は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
0≦x≦2で、x軸に垂直な断面積の数値がS(x)=2+xです。xの長さをcm、Sをcm²で表すとき、体積をcm³の数値で求めてください。
答えと解説
6
V=∫[0,2](2+x)dx=[2x+x²/2]の差=6cm³。Sは既に断面積なので二乗しません。
半径3の球を中心を通るx軸に垂直に切ります。図の縦座標yは断面積をπで割った数値S(x)/π=9−x²です。x=1のときS(1)/πを求めてください。図は断面積の数値のグラフで、立体の外形図ではありません。
図を準備しています。
答えと解説
8
中心からxだけ離れた断面の半径の二乗は9−x²です。x=1でS(1)/π=8。
弧度法で0≦x≦π/2にあるy=cos xとx軸の間の面積を求めてください。
答えと解説
1
指定範囲でcos x≧0なので、面積∫[0,π/2]cos x dx=[sin x]の差=1です。
符号付きの定積分I=∫[0,2π]sin x dxを求めてください。面積の合計とは区別します。
答えと解説
0
[−cos x]の0から2πの差は−1−(−1)=0です。正と負の部分が打ち消します。
弧度法で0≦x≦2πのy=sin xとx軸の間の面積の合計を求めてください。
答えと解説
4
0からπはsin x、πから2πは−sin xを積分し、2+2=4です。符号付き積分0の絶対値ではありません。
0≦x≦2でy=√xとx軸の間をx軸のまわりに回転します。体積VについてV/πを求めてください。
答えと解説
2
断面積はπ(√x)²=πxなのでV/π=∫[0,2]x dx=2です。
外半径3、内半径1の輪の面積をSとします。S/πを求めてください。
答えと解説
8
S/π=3²−1²=8です。(3−1)²=4とは異なります。
0≦x≦2πでsin xとx軸の間の面積を表す式はどれですか。
- |∫[0,2π]sin x dx|
- ∫[0,π]sin x dx−∫[π,2π]sin x dx
- ∫[0,2π]sin x dx
- −∫[0,2π]sin x dx
答えと解説
∫[0,π]sin x dx−∫[π,2π]sin x dx
負の範囲は上下を逆にして正の面積へ直します。
x軸に垂直な断面積S(x)が既に与えられています。連続なS(x)をもつ立体の体積を表す式はどれですか。
- π∫[a,b]S(x)dx
- ∫[a,b]S(x)²dx
- ∫[a,b]S(x)dx
- π∫[a,b]S(x)²dx
答えと解説
∫[a,b]S(x)dx
Sそのものが面積なので、小さな体積S(x)dxを足します。
0≦r(x)≦R(x)の二つの半径の間を回転してできる輪の断面積はどれですか。
- π(R−r)²
- π(R+r)²
- π(R−r)
- π(R²−r²)
答えと解説
π(R²−r²)
外円の面積から内円の面積を引きます。
0≦x≦4でy=√xとx軸の間をx軸のまわりに回転します。断面積はどれですか。
- πx
- π√x
- x
- 2π√x
答えと解説
πx
半径√xの円の面積はπ(√x)²=πxです。
xをcm、断面積S(x)をcm²で表して∫S(x)dxを求めました。結果の単位はどれですか。
- cm
- cm²
- cm³
- cm⁴
答えと解説
cm³
断面積cm²に薄い部分の長さcmを掛け、体積cm³になります。
同じ領域でも、回転軸を変えるときに最初に確認することはどれですか。
- 前の断面積を必ずそのまま使う
- 新しい軸からの距離と切る向き、断面の形を図にする
- どの軸でも半径は常にyとする
- 体積の単位をcm²へ変える
答えと解説
新しい軸からの距離と切る向き、断面の形を図にする
半径は回転軸からの距離です。変数と切る向きも新しい図に対応させます。
y=1/xについて、区間を選んで通常の有限な面積積分を考えます。この教材の範囲に合うものはどれですか。
- 0をまたいでもln|x|の端点差だけでよい
- 分母0を図から消せばどの区間でも連続
- 定義域を確認せず任意の両端を使う
- たとえば[1,e]を選び、全体で連続かつ正と確かめる
答えと解説
たとえば[1,e]を選び、全体で連続かつ正と確かめる
1/xは0で定義されません。ここでは連続な有限区間を選び、広義積分は扱いません。
考え方を説明する
0≦x≦2πでy=sin xとx軸の間を図にし、全ての零点と区間の符号を示してください。符号付き積分、上下を分けた面積の合計、符号付き積分の絶対値をそれぞれ求め、何が打ち消されるか説明します。弧度法を使います。
答えと解説
零点は0,π,2π。0<x<πで正、π<x<2πで負。符号付き積分は[−cos x]の差0、絶対値も0。面積は∫[0,π]sin x dx+∫[π,2π](−sin x)dx=2+2=4。生徒の図に両部分を示し、負の符号は位置を表すが面積そのものは負にならないと説明する。
生徒の軸・三零点・二つの符号と領域、二つの全積分・面積4、打ち消しと絶対値0の区別を見ます。
0≦x≦ln3でy=e^xとy=1の間の面積を求めます。両端・交点と上下の根拠を図にし、非負の差を積分してください。原始関数の微分と元の端点の値で確かめます。
答えと解説
e^x=1の交点はx=0で、指定範囲ではe^x≧1。生徒の図は左端x=0、右端x=ln3、上e^x、下1。面積∫[0,ln3](e^x−1)dx=[e^x−x]の差=(3−ln3)−1=2−ln3。微分はe^x−1で元の差に戻る。右端の高さは3−1=2だが、それを面積そのものにしない。
生徒の図・両端・上下と非負の理由、全積分と2−ln3・微分検算を見ます。
両座標の長さをcmで表し、1≦x≦e²でy=1/xとx軸の間の面積を求めます。定義域・指定区間の連続性と上下を説明し、図と全積分、正確な値・単位を示してください。0をまたぐ別の区間には広げません。
答えと解説
1/xの元の定義域はx≠0で、指定区間はx>0の連続な部分。上が1/x>0、下が0。面積∫[1,e²]dx/x=[ln x]の差=2−0=2cm²。図では左右端1,e²と正の曲線・x軸の間を示す。原始関数ln xの微分は1/x（x>0）。これは与えた座標モデルの面積で、実測の保証ではない。
生徒の元の除外点・指定した正の範囲と図、連続性・上下、全積分2cm²と微分検算を見ます。
架空の立体をx軸に垂直に切ると、0≦x≦ln2で断面積の数値がS(x)=4e^xです。xの長さをcm、Sをcm²で表します。切る向きと薄い部分を模式図にし、体積を積分で求めてください。断面の具体的な形を追加で仮定する必要があるかも説明します。
答えと解説
断面の面積が既に与えられており、形が円や正方形かは体積の計算に追加で必要ない。薄い部分の体積はS(x)Δxで、その和の極限からV=∫[0,ln2]4e^x dx=4(2−1)=4cm³。Sは連続かつ正。4e^xを二乗したりπを掛けたりしない。生徒の模式図ではx軸に垂直な断面と薄い長さΔxを区別する。
生徒の切る向き・薄い部分の説明、既存のSを保つ全積分・4cm³、断面の形を勝手に仮定しないことを見ます。
0≦x≦3でx軸に垂直な断面が正方形、その一辺の長さの数値が2√xです。xと一辺をcmで表します。断面を図にし、元の根号の範囲、一辺から作る断面積S(x)、全積分と体積・単位を示してください。
答えと解説
元の根号はx≧0で、指定区間の一辺は非負。正方形なのでS(x)=(2√x)²=4x cm²。V=∫[0,3]4x dx=[2x²]の差=18cm³。図には正方形の一辺2√xとx軸に垂直な切る向きを示す。断面が円ではないのでπは付かない。x=0では断面は面積0へ縮む。
生徒の根号の範囲・正方形の図と一辺、S=4xと連続性、πを付けない全積分・18cm³を見ます。
両座標の長さをcmで表し、0≦x≦4でy=√xとx軸の間の領域を考えます。領域と回転軸・代表する断面を図にし、平面の面積Aと、この領域をx軸のまわりに回転した立体の体積Vを求めてください。それぞれの積分する量と単位を説明します。
答えと解説
元の範囲x≧0で指定区間は連続、領域の高さ√x≧0。A=∫[0,4]√x dx=[(2/3)x^(3/2)]の差=16/3cm²。回転の断面は半径√xの円なのでS=πx、V=π∫[0,4]x dx=8πcm³。生徒の図は軸からの半径と薄い円板を示す。面積では高さ、体積では円の断面積を足し合わせる。
生徒の領域・両端と回転軸、半径√xの断面、異なる二つの全積分と16/3cm²・8πcm³を見ます。
0≦x≦4でy=√xとy=x/2の間をx軸のまわりに回転します。両座標はcmです。全交点と上下、回転軸・断面の外半径と内半径を図にし、体積の全積分と値を求めてください。π(√x−x/2)²を使ってよいかも説明します。
答えと解説
全交点は(0,0),(4,2)。指定区間で両方非負、x−x²/4≧0より√x≧x/2なのでR=√x、r=x/2。断面は輪でS=π(x−x²/4)。V=π∫[0,4](x−x²/4)dx=π[x²/2−x³/12]の差=8π/3cm³。π(R−r)²は半径の差を持つ別の円の面積で、輪の面積ではない。端では両半径が一致し断面積0。
生徒の全交点・非負と上下の根拠、外内半径の図、二乗の差・全積分と8π/3cm³、誤式の修正を見ます。
半径3cmの球を、上半円y=√(9−x²)、−3≦x≦3とx軸の間をx軸のまわりに回転して作ります。元の範囲・回転軸と位置xでの断面を図にし、半径・断面積から体積を積分で求めてください。既知の球の体積の公式とも照合します。
答えと解説
元の根号は−3≦x≦3。各断面は半径√(9−x²)の円でS=π(9−x²)。V=π∫[−3,3](9−x²)dx=π[9x−x³/3]の差=36πcm³。既知の(4/3)π3³=36πとも一致。生徒の図は球の半径3と断面の半径√(9−x²)を区別し、両端の断面積0・中心9πを示す。準備の放物線図はS/πの変化で、球の外形ではない。
生徒の範囲・球と断面の半径の区別、Sと全積分・36πcm³、既知の公式による照合を見ます。
友達は0≦x≦ln2でy=e^xとx軸の間をx軸のまわりに回転する体積を「V=π∫[0,ln2]e^x dx=π」としました。両座標はcmです。領域・回転軸と断面を図にし、使う量の誤りを説明して正しい全積分・値・単位へ直してください。
答えと解説
e^x>0で、円の半径はe^xだが、断面積はπ(e^x)²=πe^(2x)。友達は半径を二乗せず断面積の代わりに使った。V=π∫[0,ln2]e^(2x)dx=(π/2)(4−1)=3π/2cm³。元の平面の面積は∫[0,ln2]e^x dx=1cm²で、πを掛けただけでは回転体の体積の式にならない。生徒の図には円の半径e^xを示す。
生徒の断面の図・半径と面積の区別、二乗を保つ全積分・3π/2cm³、元の面積との違いを見ます。
aを1,2から、bを0,1から、Lを1,2から一つずつ選び、0≦x≦Lでy=√(ax+b)とx軸の間をx軸のまわりに回転する立体を作ります。両座標はcmです。選んだ一組・元の範囲、領域と断面の図・半径とS(x)、全積分と正確な体積を示してください。全8条件は必須にしません。
答えと解説
どの条件の組合せでもa>0,b≧0,L>0なので指定区間でax+b≧0、半径は√(ax+b)。円の断面積S=π(ax+b)、V=π∫[0,L](ax+b)dx=π(aL²/2+bL)cm³。作例a=2,b=1,L=2ならV=6πcm³。生徒の図にx=0とL、回転軸・円板の半径を示す。b=0では左端が面積0へ縮むが連続。生徒の一組を確認し8条件を8題と数えない。
生徒の選んだ一組と具体式・根号の条件、領域と軸・断面の図、Sと全積分・正確な体積と単位を見る。同値式・別解を認める。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(3)ア(ウ)・イ(イ)、冊子81〜82/PDF93〜94のいろいろな曲線の面積・立体の体積と定積分の共通性を踏まえた独自活動です。三角・指数・対数関数の面積と、断面積から体積を組み立てる例を扱います。曲線の長さ・数学Ⅲ全体・固定学年や実物の測量、学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 定積分のモデル：領域・切る向き・断面積と単位をそろえる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/model-areas-and-volumes-with-nonnegative-slices/
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の領域図・軸と切る向き、元の範囲・上下や半径、非負の高さまたは断面積、全積分と単位を確認します。T1は符号付き積分と三角関数の面積、T2は指数関数と直線の差、T3は対数の積分と定義域、T4は既に与えられた断面積、T5は正方形断面のモデル、T6は同じ領域の面積と回転体積、T7は輪の二乗の差、T8は球の断面積、T9は高さと断面積を混ぜた説明の修正、T10は生徒の一組と全対応を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
0≦x≦2で、x軸に垂直な断面積の数値がS(x)=2+xです。xの長さをcm、Sをcm²で表すとき、体積をcm³の数値で求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
半径3の球を中心を通るx軸に垂直に切ります。図の縦座標yは断面積をπで割った数値S(x)/π=9−x²です。x=1のときS(1)/πを求めてください。図は断面積の数値のグラフで、立体の外形図ではありません。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
弧度法で0≦x≦π/2にあるy=cos xとx軸の間の面積を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
符号付きの定積分I=∫[0,2π]sin x dxを求めてください。面積の合計とは区別します。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
弧度法で0≦x≦2πのy=sin xとx軸の間の面積の合計を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0≦x≦2でy=√xとx軸の間をx軸のまわりに回転します。体積VについてV/πを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
外半径3、内半径1の輪の面積をSとします。S/πを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0≦x≦2πでsin xとx軸の間の面積を表す式はどれですか。
- |∫[0,2π]sin x dx|
- ∫[0,π]sin x dx−∫[π,2π]sin x dx
- ∫[0,2π]sin x dx
- −∫[0,2π]sin x dx
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x軸に垂直な断面積S(x)が既に与えられています。連続なS(x)をもつ立体の体積を表す式はどれですか。
- π∫[a,b]S(x)dx
- ∫[a,b]S(x)²dx
- ∫[a,b]S(x)dx
- π∫[a,b]S(x)²dx
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0≦r(x)≦R(x)の二つの半径の間を回転してできる輪の断面積はどれですか。
- π(R−r)²
- π(R+r)²
- π(R−r)
- π(R²−r²)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
0≦x≦4でy=√xとx軸の間をx軸のまわりに回転します。断面積はどれですか。
- πx
- π√x
- x
- 2π√x
途中の計算・単位・理由・確認答え:
xをcm、断面積S(x)をcm²で表して∫S(x)dxを求めました。結果の単位はどれですか。
- cm
- cm²
- cm³
- cm⁴
途中の計算・単位・理由・確認答え:
同じ領域でも、回転軸を変えるときに最初に確認することはどれですか。
- 前の断面積を必ずそのまま使う
- 新しい軸からの距離と切る向き、断面の形を図にする
- どの軸でも半径は常にyとする
- 体積の単位をcm²へ変える
途中の計算・単位・理由・確認答え:
y=1/xについて、区間を選んで通常の有限な面積積分を考えます。この教材の範囲に合うものはどれですか。
- 0をまたいでもln|x|の端点差だけでよい
- 分母0を図から消せばどの区間でも連続
- 定義域を確認せず任意の両端を使う
- たとえば[1,e]を選び、全体で連続かつ正と確かめる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
0≦x≦2πでy=sin xとx軸の間を図にし、全ての零点と区間の符号を示してください。符号付き積分、上下を分けた面積の合計、符号付き積分の絶対値をそれぞれ求め、何が打ち消されるか説明します。弧度法を使います。
0≦x≦ln3でy=e^xとy=1の間の面積を求めます。両端・交点と上下の根拠を図にし、非負の差を積分してください。原始関数の微分と元の端点の値で確かめます。
両座標の長さをcmで表し、1≦x≦e²でy=1/xとx軸の間の面積を求めます。定義域・指定区間の連続性と上下を説明し、図と全積分、正確な値・単位を示してください。0をまたぐ別の区間には広げません。
架空の立体をx軸に垂直に切ると、0≦x≦ln2で断面積の数値がS(x)=4e^xです。xの長さをcm、Sをcm²で表します。切る向きと薄い部分を模式図にし、体積を積分で求めてください。断面の具体的な形を追加で仮定する必要があるかも説明します。
0≦x≦3でx軸に垂直な断面が正方形、その一辺の長さの数値が2√xです。xと一辺をcmで表します。断面を図にし、元の根号の範囲、一辺から作る断面積S(x)、全積分と体積・単位を示してください。
両座標の長さをcmで表し、0≦x≦4でy=√xとx軸の間の領域を考えます。領域と回転軸・代表する断面を図にし、平面の面積Aと、この領域をx軸のまわりに回転した立体の体積Vを求めてください。それぞれの積分する量と単位を説明します。
0≦x≦4でy=√xとy=x/2の間をx軸のまわりに回転します。両座標はcmです。全交点と上下、回転軸・断面の外半径と内半径を図にし、体積の全積分と値を求めてください。π(√x−x/2)²を使ってよいかも説明します。
半径3cmの球を、上半円y=√(9−x²)、−3≦x≦3とx軸の間をx軸のまわりに回転して作ります。元の範囲・回転軸と位置xでの断面を図にし、半径・断面積から体積を積分で求めてください。既知の球の体積の公式とも照合します。
友達は0≦x≦ln2でy=e^xとx軸の間をx軸のまわりに回転する体積を「V=π∫[0,ln2]e^x dx=π」としました。両座標はcmです。領域・回転軸と断面を図にし、使う量の誤りを説明して正しい全積分・値・単位へ直してください。
aを1,2から、bを0,1から、Lを1,2から一つずつ選び、0≦x≦Lでy=√(ax+b)とx軸の間をx軸のまわりに回転する立体を作ります。両座標はcmです。選んだ一組・元の範囲、領域と断面の図・半径とS(x)、全積分と正確な体積を示してください。全8条件は必須にしません。
解答: 定積分のモデル：領域・切る向き・断面積と単位をそろえる
6
V=∫[0,2](2+x)dx=[2x+x²/2]の差=6cm³。Sは既に断面積なので二乗しません。
8
中心からxだけ離れた断面の半径の二乗は9−x²です。x=1でS(1)/π=8。
1
指定範囲でcos x≧0なので、面積∫[0,π/2]cos x dx=[sin x]の差=1です。
0
[−cos x]の0から2πの差は−1−(−1)=0です。正と負の部分が打ち消します。
4
0からπはsin x、πから2πは−sin xを積分し、2+2=4です。符号付き積分0の絶対値ではありません。
2
断面積はπ(√x)²=πxなのでV/π=∫[0,2]x dx=2です。
8
S/π=3²−1²=8です。(3−1)²=4とは異なります。
∫[0,π]sin x dx−∫[π,2π]sin x dx
負の範囲は上下を逆にして正の面積へ直します。
∫[a,b]S(x)dx
Sそのものが面積なので、小さな体積S(x)dxを足します。
π(R²−r²)
外円の面積から内円の面積を引きます。
πx
半径√xの円の面積はπ(√x)²=πxです。
cm³
断面積cm²に薄い部分の長さcmを掛け、体積cm³になります。
新しい軸からの距離と切る向き、断面の形を図にする
半径は回転軸からの距離です。変数と切る向きも新しい図に対応させます。
たとえば[1,e]を選び、全体で連続かつ正と確かめる
1/xは0で定義されません。ここでは連続な有限区間を選び、広義積分は扱いません。
記述問題の解答・確認の観点
0≦x≦2πでy=sin xとx軸の間を図にし、全ての零点と区間の符号を示してください。符号付き積分、上下を分けた面積の合計、符号付き積分の絶対値をそれぞれ求め、何が打ち消されるか説明します。弧度法を使います。
零点は0,π,2π。0<x<πで正、π<x<2πで負。符号付き積分は[−cos x]の差0、絶対値も0。面積は∫[0,π]sin x dx+∫[π,2π](−sin x)dx=2+2=4。生徒の図に両部分を示し、負の符号は位置を表すが面積そのものは負にならないと説明する。
生徒の軸・三零点・二つの符号と領域、二つの全積分・面積4、打ち消しと絶対値0の区別を見ます。
0≦x≦ln3でy=e^xとy=1の間の面積を求めます。両端・交点と上下の根拠を図にし、非負の差を積分してください。原始関数の微分と元の端点の値で確かめます。
e^x=1の交点はx=0で、指定範囲ではe^x≧1。生徒の図は左端x=0、右端x=ln3、上e^x、下1。面積∫[0,ln3](e^x−1)dx=[e^x−x]の差=(3−ln3)−1=2−ln3。微分はe^x−1で元の差に戻る。右端の高さは3−1=2だが、それを面積そのものにしない。
生徒の図・両端・上下と非負の理由、全積分と2−ln3・微分検算を見ます。
両座標の長さをcmで表し、1≦x≦e²でy=1/xとx軸の間の面積を求めます。定義域・指定区間の連続性と上下を説明し、図と全積分、正確な値・単位を示してください。0をまたぐ別の区間には広げません。
1/xの元の定義域はx≠0で、指定区間はx>0の連続な部分。上が1/x>0、下が0。面積∫[1,e²]dx/x=[ln x]の差=2−0=2cm²。図では左右端1,e²と正の曲線・x軸の間を示す。原始関数ln xの微分は1/x（x>0）。これは与えた座標モデルの面積で、実測の保証ではない。
生徒の元の除外点・指定した正の範囲と図、連続性・上下、全積分2cm²と微分検算を見ます。
架空の立体をx軸に垂直に切ると、0≦x≦ln2で断面積の数値がS(x)=4e^xです。xの長さをcm、Sをcm²で表します。切る向きと薄い部分を模式図にし、体積を積分で求めてください。断面の具体的な形を追加で仮定する必要があるかも説明します。
断面の面積が既に与えられており、形が円や正方形かは体積の計算に追加で必要ない。薄い部分の体積はS(x)Δxで、その和の極限からV=∫[0,ln2]4e^x dx=4(2−1)=4cm³。Sは連続かつ正。4e^xを二乗したりπを掛けたりしない。生徒の模式図ではx軸に垂直な断面と薄い長さΔxを区別する。
生徒の切る向き・薄い部分の説明、既存のSを保つ全積分・4cm³、断面の形を勝手に仮定しないことを見ます。
0≦x≦3でx軸に垂直な断面が正方形、その一辺の長さの数値が2√xです。xと一辺をcmで表します。断面を図にし、元の根号の範囲、一辺から作る断面積S(x)、全積分と体積・単位を示してください。
元の根号はx≧0で、指定区間の一辺は非負。正方形なのでS(x)=(2√x)²=4x cm²。V=∫[0,3]4x dx=[2x²]の差=18cm³。図には正方形の一辺2√xとx軸に垂直な切る向きを示す。断面が円ではないのでπは付かない。x=0では断面は面積0へ縮む。
生徒の根号の範囲・正方形の図と一辺、S=4xと連続性、πを付けない全積分・18cm³を見ます。
両座標の長さをcmで表し、0≦x≦4でy=√xとx軸の間の領域を考えます。領域と回転軸・代表する断面を図にし、平面の面積Aと、この領域をx軸のまわりに回転した立体の体積Vを求めてください。それぞれの積分する量と単位を説明します。
元の範囲x≧0で指定区間は連続、領域の高さ√x≧0。A=∫[0,4]√x dx=[(2/3)x^(3/2)]の差=16/3cm²。回転の断面は半径√xの円なのでS=πx、V=π∫[0,4]x dx=8πcm³。生徒の図は軸からの半径と薄い円板を示す。面積では高さ、体積では円の断面積を足し合わせる。
生徒の領域・両端と回転軸、半径√xの断面、異なる二つの全積分と16/3cm²・8πcm³を見ます。
0≦x≦4でy=√xとy=x/2の間をx軸のまわりに回転します。両座標はcmです。全交点と上下、回転軸・断面の外半径と内半径を図にし、体積の全積分と値を求めてください。π(√x−x/2)²を使ってよいかも説明します。
全交点は(0,0),(4,2)。指定区間で両方非負、x−x²/4≧0より√x≧x/2なのでR=√x、r=x/2。断面は輪でS=π(x−x²/4)。V=π∫[0,4](x−x²/4)dx=π[x²/2−x³/12]の差=8π/3cm³。π(R−r)²は半径の差を持つ別の円の面積で、輪の面積ではない。端では両半径が一致し断面積0。
生徒の全交点・非負と上下の根拠、外内半径の図、二乗の差・全積分と8π/3cm³、誤式の修正を見ます。
半径3cmの球を、上半円y=√(9−x²)、−3≦x≦3とx軸の間をx軸のまわりに回転して作ります。元の範囲・回転軸と位置xでの断面を図にし、半径・断面積から体積を積分で求めてください。既知の球の体積の公式とも照合します。
元の根号は−3≦x≦3。各断面は半径√(9−x²)の円でS=π(9−x²)。V=π∫[−3,3](9−x²)dx=π[9x−x³/3]の差=36πcm³。既知の(4/3)π3³=36πとも一致。生徒の図は球の半径3と断面の半径√(9−x²)を区別し、両端の断面積0・中心9πを示す。準備の放物線図はS/πの変化で、球の外形ではない。
生徒の範囲・球と断面の半径の区別、Sと全積分・36πcm³、既知の公式による照合を見ます。
友達は0≦x≦ln2でy=e^xとx軸の間をx軸のまわりに回転する体積を「V=π∫[0,ln2]e^x dx=π」としました。両座標はcmです。領域・回転軸と断面を図にし、使う量の誤りを説明して正しい全積分・値・単位へ直してください。
e^x>0で、円の半径はe^xだが、断面積はπ(e^x)²=πe^(2x)。友達は半径を二乗せず断面積の代わりに使った。V=π∫[0,ln2]e^(2x)dx=(π/2)(4−1)=3π/2cm³。元の平面の面積は∫[0,ln2]e^x dx=1cm²で、πを掛けただけでは回転体の体積の式にならない。生徒の図には円の半径e^xを示す。
生徒の断面の図・半径と面積の区別、二乗を保つ全積分・3π/2cm³、元の面積との違いを見ます。
aを1,2から、bを0,1から、Lを1,2から一つずつ選び、0≦x≦Lでy=√(ax+b)とx軸の間をx軸のまわりに回転する立体を作ります。両座標はcmです。選んだ一組・元の範囲、領域と断面の図・半径とS(x)、全積分と正確な体積を示してください。全8条件は必須にしません。
どの条件の組合せでもa>0,b≧0,L>0なので指定区間でax+b≧0、半径は√(ax+b)。円の断面積S=π(ax+b)、V=π∫[0,L](ax+b)dx=π(aL²/2+bL)cm³。作例a=2,b=1,L=2ならV=6πcm³。生徒の図にx=0とL、回転軸・円板の半径を示す。b=0では左端が面積0へ縮むが連続。生徒の一組を確認し8条件を8題と数えない。
生徒の選んだ一組と具体式・根号の条件、領域と軸・断面の図、Sと全積分・正確な体積と単位を見る。同値式・別解を認める。