積・商・合成関数の微分法を、式の構造と定義域から選ぶ
積・商・合成関数の微分で、使う公式と定義域の条件を確かめます。準備14問と、内側の関数の微分や式の導出を自分で書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(2)ア(ア)(イ)、冊子76–77/PDF88–89の積・商・合成関数の導関数を踏まえた独自活動です。出版社の公開評価規準でも関連を確認しました。簡単な分数・無理関数、公式の条件と平均変化率による導出を扱い、数学Ⅲ全体・固定学年・特殊関数全体や学習効果は主張しません。
解説を読む
一つの式でも、最初に見る積・商・合成の構造が違えば、途中の行が変わります。どの関数をひとまとまりにしたかを明記し、正しい別の計算順序と同値な導関数を照合します。
必要な予備知識
微分係数の平均変化率による意味、三次までの多項式の微分、積の展開・因数分解と多項式の除法、分数式の定義域、平方根・実数の関数の極限と連続性。自然数べきへの拡張、積・商・合成の公式と条件は本文で導入します。三角・指数・対数関数の導関数、二階微分や積分は前提にしません。
- 点aでの微分係数は、h≠0での平均変化率{f(a+h)−f(a)}/hについて、h→0としたときに左右どちらからも同じ有限の値に近づく場合の、その極限値です。導関数f′(x)を求める式変形と、元の関数がその点で定義され微分可能かを分けて確認します。ここでは通常の微分は定義域の内部で考えます。
- 自然数nについて(x^n)′=nx^(n−1)で、定数の微分は0です。定数倍・和・差は項ごとに微分できます。負の整数べきではx≠0を保ちます。有理数べきの公式を使う場合、この教材では正の底x>0で(x^r)′=r x^(r−1)とします。平方根の端ではこの公式を無条件に使いません。
- f,gがその点で微分可能なら、(fg)′=f′g+fg′です。一方だけを微分した二つの項を足します。f′g′という一つの積にはしません。定数倍の場合も、定数の導関数0を用いると同じ公式に合います。
- f,gがその点で微分可能で、gの値が0でなければ、(f/g)′=(f′g−fg′)/g²です。分子の順序と分母の二乗を残します。f′/g′とはしません。元の分母が0でない条件を、導関数の式を約分した後も捨てません。
- y=F(u)、u=g(x)と分け、gがxで微分可能、Fがg(x)で微分可能なら、y′=F′(g(x))g′(x)です。外側を微分した式には元の内側g(x)を戻し、さらに内側の微分を掛けます。dy/duとdu/dxという記号の見かけの約分だけを、公式が使えることの証明とはしません。
- 例えばy={u(x)}^mは、自然数mならm{u(x)}^(m−1)u′(x)です。y=√uではu(x)>0の内部でy′=u′/(2√u)を使います。u(x)=0となる点では、元の定義域と平均変化率を別に確かめます。合成された全体が連続でも、この公式の条件が自動でそろうわけではありません。
- 最初に式全体を積・商・合成のどれと見るかを決め、各まとまりに名前を付けます。途中の積や内側の関数にも必要な公式を用います。展開してから微分する、先に除法で分けるなど、条件を保つ正しい別の計算順序も認めます。
- 微分可能なら連続です。平均変化率が有限な値へ近付くとき、f(a+h)−f(a)=h×平均変化率→0となるからです。逆は成り立たず、|x|は0で連続でも、平均変化率|h|/hが左−1・右1となり、0で微分可能ではありません。
- 一般の関数の表を使うとき、合成の微分には内側の値における外側の導関数が必要です。F′(g(a))を、確かめずF′(a)と置き換えません。表に必要な点のデータがなければ、与えられた情報だけでは決められないと明記します。
- 生徒の自由な導関数の式・平均変化率の導出・点や定義域の条件・生徒の接線は手動確認します。正しい同値式・別解を認めます。自動採点は準備の指定有理数と選択だけで、公式名を選んだことだけを計算の全過程の確認にはしません。
解き方の例
y=(x+1)(x²−2)なら、積の公式からy′=(x²−2)+2x(x+1)=3x²+2x−2です。先にx³+x²−2x−2へ展開して微分しても同じ導関数になります。二つの導関数1と2xだけを掛けた2xとは違います。
y=(x²+2)^3なら、u=x²+2、外側F(u)=u³と分けます。F′(u)=3u²、u′=2xなのでy′=6x(x²+2)²です。3(x²+2)²だけでは内側の2xが抜けています。
よくある間違い
- 積の微分を二つの導関数だけの積にする。
- 商の微分をf′/g′にする。
- 商の分子の引く順序や、分母の二乗を落とす。
- 合成で内側の微分を掛け忘れる。
- 外側の導関数へ内側の値を戻さず、F′(x)で済ませる。
- 約分後の式に値があるため、元の関数の除外点でも微分係数があるとする。
- 平方根の中が0になる点で、分母0の公式をそのまま使う。
- 連続なら必ず微分可能とする。
- 点の値を変えていないつもりで、未定義の点を黙って補う。
- 関数表で合成に必要な点がないのに、別の点の導関数を代用する。
考え方を説明する
準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は生徒の公式を選ぶ順・各まとまりと内側・導関数の式・元の条件や平均変化率を手動確認します。T1は積と展開、T2は商と除法、T3は内側の違う二合成、T4は平方根の端、T5は元の関数と明示した拡張、T6は三公式の組合せ、T7は積の平均変化率による導出、T8は逆数から商の導出、T9は表の参照点と足りないデータ、T10は生徒が選ぶ一関数です。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。生徒の自由な導関数・全ての途中式と公式の条件・平均変化率の導出・接線は手動確認します。通常の微分は元の実数の定義域の内部で扱い、平方根の端はh>0の平均変化率の極限が有限かどうかを別に確認します。自然数べき・簡単な分数関数・無理関数の合成を用います。三角・指数・対数関数の導関数、二階微分、一般の逆関数の微分・陰関数・対数微分法、ロピタルの定理・形式的なε-δ論法、実測や学習効果・新しい式パーサーは扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。自分の自由な導関数の式・公式の条件・平均変化率の導出と接線は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
f(x)=(x²+1)(3x−2)です。f′(1)を求めてください。
答えと解説
8
f′=2x(3x−2)+3(x²+1)なので、f′(1)=2+6=8です。
f(x)=(x²+1)/(x+2)です。f′(1)を求めてください。
答えと解説
f′={2x(x+2)−(x²+1)}/(x+2)²なので、1では(6−2)/9=4/9です。
f(x)=(2x−1)^4です。f′(2)を求めてください。
答えと解説
216
内側の微分2を掛けてf′=8(2x−1)^3です。2では8×27=216。
f(x)=√(4x+5)です。f′(1)を求めてください。
答えと解説
4x+5>0の内部ではf′=4/(2√(4x+5))。1では2/3です。
f(x)=1/(x²+3)です。f′(1)を求めてください。
答えと解説
−
f′=−2x/(x²+3)²なので、1では−2/16=−1/8です。
f(x)=x²(x+1)^3です。f′(1)を求めてください。
答えと解説
28
積と合成よりf′=2x(x+1)^3+3x²(x+1)²。1では16+12=28です。
f,gは必要な点の近くで微分可能です。g(2)=3、g′(2)=4、f′(3)=−2のとき、(f∘g)′(2)を求めてください。
答えと解説
−8
f′(g(2))g′(2)=f′(3)×4=−8です。
f,gがその点で微分可能なとき、積fgの導関数はどれですか。
- f′g+fg′
- (f+g)(f′+g′)
- f′+g′
- fg
答えと解説
f′g+fg′
一方ずつを微分した二つの項を足します。
f,gがその点で微分可能でg≠0です。商f/gの導関数はどれですか。
- ((f′−fg′)/g)/g
- (fg′−f′g)/g²
- (f′g−fg′)/g²
- (f′g−fg′)/g
答えと解説
(f′g−fg′)/g²
分子はf′g−fg′、分母は元のgの二乗です。
必要な点で微分可能なy=F(g(x))の導関数はどれですか。
- F′(x)g(x)
- F′(g(x))g′(x)
- F′(g′(x))g′(x)
- F(g′(x))
答えと解説
F′(g(x))g′(x)
外側の導関数へ元の内側を戻し、内側の導関数を掛けます。
元の関数f(x)=(x²+1)/(x+2)について、x=−2での微分係数を調べるとき適切なのはどれですか。
- 分母の二乗で0を消せばよい
- 微分すると必ず全実数で定義される
- 元のf(−2)が未定義なので、元の関数のその点の微分係数は定義されない
- 分母が0なら微分係数も0とする
答えと解説
元のf(−2)が未定義なので、元の関数のその点の微分係数は定義されない
その点の値を使う平均変化率を作れません。関数を別途拡張したとは仮定しません。
f(x)=(x²−1)/(x−1)（x≠1）をx+1と約分しました。元の関数について正しいのはどれですか。
- 約分して得たx+1を微分すると1なので、元の関数でも定義域にx=1を加えてf′(1)=1とする
- 元の定義域へ1が自動で追加される
- 約分で元のf(1)が0に変わる
- x≠1ではf′(x)=1だが、元のf(1)は未定義のままである
答えと解説
x≠1ではf′(x)=1だが、元のf(1)は未定義のままである
除外点を補うことは別の関数を定義する操作です。
微分可能性と連続性の関係として正しいのはどれですか。
- 微分可能なら連続だが、連続でも微分可能とは限らない
- 連続なら微分可能である
- 微分可能でも必ず不連続になる
- 点の値があれば必ず微分可能
答えと解説
微分可能なら連続だが、連続でも微分可能とは限らない
例えば|x|は0で連続ですが、左右の平均変化率が−1と1で異なります。
f(x)=√((x−2)²)=|x−2|です。x=2での通常の微分について適切なのはどれですか。
- 平方根と二乗を打ち消してf(x)=x−2とし、x=2の左右の平均変化率はいずれも1とする
- 平均変化率の左極限−1・右極限1が異なるので微分可能ではない
- 連続だから必ず微分可能である
- 内側が二乗なので外側の微分条件は不要である
答えと解説
平均変化率の左極限−1・右極限1が異なるので微分可能ではない
外側√uのu=0で公式を使わず、元の全体の平均変化率|h|/hで確認します。
考え方を説明する
F(x)=(x²+1)(3x−2)です。二つの因数を明記して積の公式を使い、全ての項を含む導関数を求めます。さらに先に展開して微分した式と照合し、x=−1,0,1でのF′の値を表へ残してください。「因数を両方微分して掛ければよい」という主張を一つの点でも検証します。
答えと解説
積の公式でF′=2x(3x−2)+3(x²+1)=9x²−4x+3。先にF=3x³−2x²+3x−2へ展開しても同じ導関数。値は順に16,3,8。誤ったf′g′=6xは例えばx=0で0だが、正しい値は3なので一致しない。元も導関数も全実数で定義される。
生徒の因数の指定・積の二項・展開による独立な照合・三点の表、誤った公式への具体的反例を見ます。
F(x)=(x²+1)/(x+2)です。元の定義域を残して商の公式で導関数を求め、分子を整理し、F′(1)を計算してください。次に多項式の除法でFを一次式と簡単な分数に分けて微分し、同じ導関数になることを確かめます。
答えと解説
元の定義域はx≠−2。F′={2x(x+2)−(x²+1)}/(x+2)²=(x²+4x−1)/(x+2)²、F′(1)=4/9。除法ではF=x−2+5/(x+2)なのでF′=1−5/(x+2)²となり、共通分母で同じ導関数を得る。元のx≠−2の条件を保つ。
生徒の定義域・商の引く順と二乗・整理後の式と計算過程と指定値、除法による別経路との恒等的な照合を見ます。
A(x)=(2x−1)^4とB(x)=(2x²−1)^4です。各式の内側uと外側F(u)、両方の導関数を別の行に書き、A′,B′を式と計算過程で求めます。x=0,1で各値を比べ、外側の微分だけで済ませたときに何が抜けるか説明してください。
答えと解説
Aではu=2x−1,u′=2、外側u⁴の微分4u³からA′=8(2x−1)³。Bではu=2x²−1,u′=4xでB′=16x(2x²−1)³。0での値はA′=−8,B′=0、1ではA′=8,B′=16。外側だけの4u³では内側の2又は4xが抜け、同じ外側でも全体の微分は異なる。両方とも全実数で定義され微分可能。
生徒の内外二段と四つの導関数・戻した式と計算過程・四つの指定値、内側の因数と全実数での条件を見ます。
F(x)=√(4x+5)です。実数の定義域と、内部で平方根の合成公式を使える範囲を分け、導関数の式とF′(1)を求めます。端a=−5/4ではh>0の平均変化率{F(a+h)−F(a)}/hを直接表し、有限な右側の微分係数があるか確かめてください。
答えと解説
定義域はx≧−5/4。内部x>−5/4ではF′(x)=2/√(4x+5)、F′(1)=2/3。端a=−5/4ではF(a)=0、F(a+h)=√(4h)=2√hなので、h>0の平均変化率は2/√hです。h→0+で＋∞へ発散するため、有限な右微分係数はありません。この点は定義域の端であり、本教材で扱う定義域の内部での微分とは分けます。分母0を黙って計算することでは判断しません。
生徒の閉じた定義域と開いた公式範囲、内側の4を含む式と計算過程と指定値、端の正確な平均変化率・方向・有限性の説明を見ます。
F(x)=(x²−4)/(x−2)（x≠2）を微分します。約分で元の定義域を変えず導関数を求め、元のF′(2)があるかを説明してください。別の関数Gとして、x≠2では同じ式、G(2)=cと新しく定めます。平均変化率を直接使って、2で微分可能となる実数cを全て求め、その微分係数も残します。
答えと解説
F=x+2（x≠2）なのでF′=1（x≠2）。元のF(2)は未定義でF′(2)も定義されない。Gではh≠0の平均変化率={4+h−c}/h=1+(4−c)/h。c=4なら全ての平均変化率が1でG′(2)=1。c≠4なら項(4−c)/hが左右どちらから近づけても同じ有限の極限をもたない。従って微分可能となるのはc=4だけで、元の未定義の点を補う別の関数を明示したことが必要。
生徒の除外点を保つ微分、FとGの区別、全cを扱う平均変化率と必要十分な条件・値、黙った定義域拡張をしない説明を見ます。
F(x)=x²(x+1)^3/(x−1)です。最初に式全体をどの公式で扱うかを決め、分子の微分に必要な別の公式を内側まで示してください。元の定義域、整理前と整理後の導関数の式、F′(2)を残し、二つの導関数の式が同値であることを確かめます。
答えと解説
定義域x≠1。分子N=x²(x+1)³、N′=2x(x+1)³+3x²(x+1)²（積と合成）。商よりF′={N′(x−1)−N}/(x−1)²。整理すると2x(x+1)²(2x²−2x−1)/(x−1)²。2ではN=108,N′=216からF′(2)=216−108=108。展開や因数分解で二つの分子の恒等的な一致を確認し、x≠1を保つ。正しい別の計算順序も認める。
生徒の公式の順と各まとまり・分子の二項と内側、二つの式と元の条件・指定値・恒等的な照合を見ます。
f,gはaの近くで定義され、aで微分可能とします。積fgの平均変化率を、一方ずつの平均変化率を含む二項へ正確に分け、極限から積の公式を導いてください。その途中でg(a+h)→g(a)を使える理由も、微分可能性から一行で説明します。
答えと解説
h≠0で{f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)}/h={[f(a+h)−f(a)]/h}g(a+h)+f(a){[g(a+h)−g(a)]/h}。g(a+h)−g(a)=h×{[g(a+h)−g(a)]/h}→0なのでgはaで連続。二つの平均変化率が有限なf′(a),g′(a)へ近付き、全体はf′(a)g(a)+f(a)g′(a)。同じ中間項f(a)g(a+h)を足して引いた恒等式が二項の根拠で、f′g′ではない。
生徒の条件・h≠0の二項の完全な恒等式・連続性を使う根拠・各極限と積の公式への導出を見ます。
gはaで微分可能で、aの近くで定義され、g(a)≠0とします。連続性から近くでもg≠0となることを確認し、1/gの平均変化率を通分して導関数を導いてください。さらにfもaで微分可能とし、f/g=f×(1/g)と積の公式から商の公式を導きます。
答えと解説
微分可能なら連続なのでg(a+h)→g(a)≠0となり、十分近くではg(a+h)も0でない。h≠0で{1/g(a+h)−1/g(a)}/h=−{[g(a+h)−g(a)]/h}/{g(a+h)g(a)}。極限は−g′(a)/g(a)²。積の公式より(f/g)′=f′/g−fg′/g²=(f′g−fg′)/g²（点aでの値として）。g(a)≠0と近くでの0でない、分母の二乗、引く順序を残す。
生徒の0でない条件と連続性・逆数の正確な平均変化率と極限、積から導いた商の二項と一つの分数の式と計算過程を確認します。
必要な点の近くでf,gは定義され微分可能とし、表はx=2でf=1,f′=3,g=3,g′=4、x=3でf=5,f′=−2,g=2,g′=−1です。(fg)′(2)、(f/g)′(2)、(f∘g)′(2)を求め、使った表の位置を示してください。(g∘f)′(2)もこの表だけで決まるかを判断し、足りなければ必要なデータと、そのデータを含む式を残します。
答えと解説
(fg)′(2)=3×3+1×4=13。(f/g)′(2)=(3×3−1×4)/3²=5/9でg(2)=3≠0。(f∘g)′(2)=f′(g(2))g′(2)=f′(3)×4=−8。逆向き(g∘f)′(2)=g′(f(2))f′(2)=3g′(1)だがg′(1)が表にないので一意には決まらない。g′(2)やg′(3)で代用しない。
生徒の三値と商の条件、内側の値によって参照点を動かした行、逆向きに不足する正確な点のデータと式を見ます。
aを1,3から、cを1,2から、mを2,3から一つずつ選び、H(x)=(ax²+c)^m/(x+1)を作ります。元の定義域を示し、公式を選ぶ順と内側の導関数、H′(x)の式と計算過程、H(1),H′(1)と1での接線を残してください。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
定義域はx≠−1。分子N=(ax²+c)^m、N′=2amx(ax²+c)^(m−1)。H′={2amx(ax²+c)^(m−1)(x+1)−(ax²+c)^m}/(x+1)²。1ではH(1)=(a+c)^m/2、H′(1)=(a+c)^(m−1)(4am−a−c)/4、接線y−H(1)=H′(1)(x−1)。作例a=1,c=2,m=2ではH(1)=9/2、H′(1)=15/4、接線y−9/2=(15/4)(x−1)。一組の選択と全計算・条件を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組・元の定義域・商と合成の順、内側を含む導関数の式、二つの指定値と元の点を通る接線を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(2)ア(ア)(イ)、冊子76–77/PDF88–89の積・商・合成関数の導関数を踏まえた独自活動です。出版社の公開評価規準でも関連を確認しました。簡単な分数・無理関数、公式の条件と平均変化率による導出を扱い、数学Ⅲ全体・固定学年・特殊関数全体や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/choose-product-quotient-and-chain-rules-with-domain-conditions/
準備14問は指定された有理数又は選択です。主課題は生徒の公式を選ぶ順・各まとまりと内側・導関数の式・元の条件や平均変化率を手動確認します。T1は積と展開、T2は商と除法、T3は内側の違う二合成、T4は平方根の端、T5は元の関数と明示した拡張、T6は三公式の組合せ、T7は積の平均変化率による導出、T8は逆数から商の導出、T9は表の参照点と足りないデータ、T10は生徒が選ぶ一関数です。正しい同値式・別解を認めます。
f(x)=(x²+1)(3x−2)です。f′(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=(x²+1)/(x+2)です。f′(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=(2x−1)^4です。f′(2)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=√(4x+5)です。f′(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=1/(x²+3)です。f′(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x²(x+1)^3です。f′(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f,gは必要な点の近くで微分可能です。g(2)=3、g′(2)=4、f′(3)=−2のとき、(f∘g)′(2)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f,gがその点で微分可能なとき、積fgの導関数はどれですか。
- f′g+fg′
- (f+g)(f′+g′)
- f′+g′
- fg
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f,gがその点で微分可能でg≠0です。商f/gの導関数はどれですか。
- ((f′−fg′)/g)/g
- (fg′−f′g)/g²
- (f′g−fg′)/g²
- (f′g−fg′)/g
途中の計算・単位・理由・確認答え:
必要な点で微分可能なy=F(g(x))の導関数はどれですか。
- F′(x)g(x)
- F′(g(x))g′(x)
- F′(g′(x))g′(x)
- F(g′(x))
途中の計算・単位・理由・確認答え:
元の関数f(x)=(x²+1)/(x+2)について、x=−2での微分係数を調べるとき適切なのはどれですか。
- 分母の二乗で0を消せばよい
- 微分すると必ず全実数で定義される
- 元のf(−2)が未定義なので、元の関数のその点の微分係数は定義されない
- 分母が0なら微分係数も0とする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=(x²−1)/(x−1)（x≠1）をx+1と約分しました。元の関数について正しいのはどれですか。
- 約分して得たx+1を微分すると1なので、元の関数でも定義域にx=1を加えてf′(1)=1とする
- 元の定義域へ1が自動で追加される
- 約分で元のf(1)が0に変わる
- x≠1ではf′(x)=1だが、元のf(1)は未定義のままである
途中の計算・単位・理由・確認答え:
微分可能性と連続性の関係として正しいのはどれですか。
- 微分可能なら連続だが、連続でも微分可能とは限らない
- 連続なら微分可能である
- 微分可能でも必ず不連続になる
- 点の値があれば必ず微分可能
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=√((x−2)²)=|x−2|です。x=2での通常の微分について適切なのはどれですか。
- 平方根と二乗を打ち消してf(x)=x−2とし、x=2の左右の平均変化率はいずれも1とする
- 平均変化率の左極限−1・右極限1が異なるので微分可能ではない
- 連続だから必ず微分可能である
- 内側が二乗なので外側の微分条件は不要である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
F(x)=(x²+1)(3x−2)です。二つの因数を明記して積の公式を使い、全ての項を含む導関数を求めます。さらに先に展開して微分した式と照合し、x=−1,0,1でのF′の値を表へ残してください。「因数を両方微分して掛ければよい」という主張を一つの点でも検証します。
F(x)=(x²+1)/(x+2)です。元の定義域を残して商の公式で導関数を求め、分子を整理し、F′(1)を計算してください。次に多項式の除法でFを一次式と簡単な分数に分けて微分し、同じ導関数になることを確かめます。
A(x)=(2x−1)^4とB(x)=(2x²−1)^4です。各式の内側uと外側F(u)、両方の導関数を別の行に書き、A′,B′を式と計算過程で求めます。x=0,1で各値を比べ、外側の微分だけで済ませたときに何が抜けるか説明してください。
F(x)=√(4x+5)です。実数の定義域と、内部で平方根の合成公式を使える範囲を分け、導関数の式とF′(1)を求めます。端a=−5/4ではh>0の平均変化率{F(a+h)−F(a)}/hを直接表し、有限な右側の微分係数があるか確かめてください。
F(x)=(x²−4)/(x−2)（x≠2）を微分します。約分で元の定義域を変えず導関数を求め、元のF′(2)があるかを説明してください。別の関数Gとして、x≠2では同じ式、G(2)=cと新しく定めます。平均変化率を直接使って、2で微分可能となる実数cを全て求め、その微分係数も残します。
F(x)=x²(x+1)^3/(x−1)です。最初に式全体をどの公式で扱うかを決め、分子の微分に必要な別の公式を内側まで示してください。元の定義域、整理前と整理後の導関数の式、F′(2)を残し、二つの導関数の式が同値であることを確かめます。
f,gはaの近くで定義され、aで微分可能とします。積fgの平均変化率を、一方ずつの平均変化率を含む二項へ正確に分け、極限から積の公式を導いてください。その途中でg(a+h)→g(a)を使える理由も、微分可能性から一行で説明します。
gはaで微分可能で、aの近くで定義され、g(a)≠0とします。連続性から近くでもg≠0となることを確認し、1/gの平均変化率を通分して導関数を導いてください。さらにfもaで微分可能とし、f/g=f×(1/g)と積の公式から商の公式を導きます。
必要な点の近くでf,gは定義され微分可能とし、表はx=2でf=1,f′=3,g=3,g′=4、x=3でf=5,f′=−2,g=2,g′=−1です。(fg)′(2)、(f/g)′(2)、(f∘g)′(2)を求め、使った表の位置を示してください。(g∘f)′(2)もこの表だけで決まるかを判断し、足りなければ必要なデータと、そのデータを含む式を残します。
aを1,3から、cを1,2から、mを2,3から一つずつ選び、H(x)=(ax²+c)^m/(x+1)を作ります。元の定義域を示し、公式を選ぶ順と内側の導関数、H′(x)の式と計算過程、H(1),H′(1)と1での接線を残してください。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 積・商・合成関数の微分法を、式の構造と定義域から選ぶ
8
f′=2x(3x−2)+3(x²+1)なので、f′(1)=2+6=8です。
f′={2x(x+2)−(x²+1)}/(x+2)²なので、1では(6−2)/9=4/9です。
216
内側の微分2を掛けてf′=8(2x−1)^3です。2では8×27=216。
4x+5>0の内部ではf′=4/(2√(4x+5))。1では2/3です。
−
f′=−2x/(x²+3)²なので、1では−2/16=−1/8です。
28
積と合成よりf′=2x(x+1)^3+3x²(x+1)²。1では16+12=28です。
−8
f′(g(2))g′(2)=f′(3)×4=−8です。
f′g+fg′
一方ずつを微分した二つの項を足します。
(f′g−fg′)/g²
分子はf′g−fg′、分母は元のgの二乗です。
F′(g(x))g′(x)
外側の導関数へ元の内側を戻し、内側の導関数を掛けます。
元のf(−2)が未定義なので、元の関数のその点の微分係数は定義されない
その点の値を使う平均変化率を作れません。関数を別途拡張したとは仮定しません。
x≠1ではf′(x)=1だが、元のf(1)は未定義のままである
除外点を補うことは別の関数を定義する操作です。
微分可能なら連続だが、連続でも微分可能とは限らない
例えば|x|は0で連続ですが、左右の平均変化率が−1と1で異なります。
平均変化率の左極限−1・右極限1が異なるので微分可能ではない
外側√uのu=0で公式を使わず、元の全体の平均変化率|h|/hで確認します。
記述問題の解答・確認の観点
F(x)=(x²+1)(3x−2)です。二つの因数を明記して積の公式を使い、全ての項を含む導関数を求めます。さらに先に展開して微分した式と照合し、x=−1,0,1でのF′の値を表へ残してください。「因数を両方微分して掛ければよい」という主張を一つの点でも検証します。
積の公式でF′=2x(3x−2)+3(x²+1)=9x²−4x+3。先にF=3x³−2x²+3x−2へ展開しても同じ導関数。値は順に16,3,8。誤ったf′g′=6xは例えばx=0で0だが、正しい値は3なので一致しない。元も導関数も全実数で定義される。
生徒の因数の指定・積の二項・展開による独立な照合・三点の表、誤った公式への具体的反例を見ます。
F(x)=(x²+1)/(x+2)です。元の定義域を残して商の公式で導関数を求め、分子を整理し、F′(1)を計算してください。次に多項式の除法でFを一次式と簡単な分数に分けて微分し、同じ導関数になることを確かめます。
元の定義域はx≠−2。F′={2x(x+2)−(x²+1)}/(x+2)²=(x²+4x−1)/(x+2)²、F′(1)=4/9。除法ではF=x−2+5/(x+2)なのでF′=1−5/(x+2)²となり、共通分母で同じ導関数を得る。元のx≠−2の条件を保つ。
生徒の定義域・商の引く順と二乗・整理後の式と計算過程と指定値、除法による別経路との恒等的な照合を見ます。
A(x)=(2x−1)^4とB(x)=(2x²−1)^4です。各式の内側uと外側F(u)、両方の導関数を別の行に書き、A′,B′を式と計算過程で求めます。x=0,1で各値を比べ、外側の微分だけで済ませたときに何が抜けるか説明してください。
Aではu=2x−1,u′=2、外側u⁴の微分4u³からA′=8(2x−1)³。Bではu=2x²−1,u′=4xでB′=16x(2x²−1)³。0での値はA′=−8,B′=0、1ではA′=8,B′=16。外側だけの4u³では内側の2又は4xが抜け、同じ外側でも全体の微分は異なる。両方とも全実数で定義され微分可能。
生徒の内外二段と四つの導関数・戻した式と計算過程・四つの指定値、内側の因数と全実数での条件を見ます。
F(x)=√(4x+5)です。実数の定義域と、内部で平方根の合成公式を使える範囲を分け、導関数の式とF′(1)を求めます。端a=−5/4ではh>0の平均変化率{F(a+h)−F(a)}/hを直接表し、有限な右側の微分係数があるか確かめてください。
定義域はx≧−5/4。内部x>−5/4ではF′(x)=2/√(4x+5)、F′(1)=2/3。端a=−5/4ではF(a)=0、F(a+h)=√(4h)=2√hなので、h>0の平均変化率は2/√hです。h→0+で＋∞へ発散するため、有限な右微分係数はありません。この点は定義域の端であり、本教材で扱う定義域の内部での微分とは分けます。分母0を黙って計算することでは判断しません。
生徒の閉じた定義域と開いた公式範囲、内側の4を含む式と計算過程と指定値、端の正確な平均変化率・方向・有限性の説明を見ます。
F(x)=(x²−4)/(x−2)（x≠2）を微分します。約分で元の定義域を変えず導関数を求め、元のF′(2)があるかを説明してください。別の関数Gとして、x≠2では同じ式、G(2)=cと新しく定めます。平均変化率を直接使って、2で微分可能となる実数cを全て求め、その微分係数も残します。
F=x+2（x≠2）なのでF′=1（x≠2）。元のF(2)は未定義でF′(2)も定義されない。Gではh≠0の平均変化率={4+h−c}/h=1+(4−c)/h。c=4なら全ての平均変化率が1でG′(2)=1。c≠4なら項(4−c)/hが左右どちらから近づけても同じ有限の極限をもたない。従って微分可能となるのはc=4だけで、元の未定義の点を補う別の関数を明示したことが必要。
生徒の除外点を保つ微分、FとGの区別、全cを扱う平均変化率と必要十分な条件・値、黙った定義域拡張をしない説明を見ます。
F(x)=x²(x+1)^3/(x−1)です。最初に式全体をどの公式で扱うかを決め、分子の微分に必要な別の公式を内側まで示してください。元の定義域、整理前と整理後の導関数の式、F′(2)を残し、二つの導関数の式が同値であることを確かめます。
定義域x≠1。分子N=x²(x+1)³、N′=2x(x+1)³+3x²(x+1)²（積と合成）。商よりF′={N′(x−1)−N}/(x−1)²。整理すると2x(x+1)²(2x²−2x−1)/(x−1)²。2ではN=108,N′=216からF′(2)=216−108=108。展開や因数分解で二つの分子の恒等的な一致を確認し、x≠1を保つ。正しい別の計算順序も認める。
生徒の公式の順と各まとまり・分子の二項と内側、二つの式と元の条件・指定値・恒等的な照合を見ます。
f,gはaの近くで定義され、aで微分可能とします。積fgの平均変化率を、一方ずつの平均変化率を含む二項へ正確に分け、極限から積の公式を導いてください。その途中でg(a+h)→g(a)を使える理由も、微分可能性から一行で説明します。
h≠0で{f(a+h)g(a+h)−f(a)g(a)}/h={[f(a+h)−f(a)]/h}g(a+h)+f(a){[g(a+h)−g(a)]/h}。g(a+h)−g(a)=h×{[g(a+h)−g(a)]/h}→0なのでgはaで連続。二つの平均変化率が有限なf′(a),g′(a)へ近付き、全体はf′(a)g(a)+f(a)g′(a)。同じ中間項f(a)g(a+h)を足して引いた恒等式が二項の根拠で、f′g′ではない。
生徒の条件・h≠0の二項の完全な恒等式・連続性を使う根拠・各極限と積の公式への導出を見ます。
gはaで微分可能で、aの近くで定義され、g(a)≠0とします。連続性から近くでもg≠0となることを確認し、1/gの平均変化率を通分して導関数を導いてください。さらにfもaで微分可能とし、f/g=f×(1/g)と積の公式から商の公式を導きます。
微分可能なら連続なのでg(a+h)→g(a)≠0となり、十分近くではg(a+h)も0でない。h≠0で{1/g(a+h)−1/g(a)}/h=−{[g(a+h)−g(a)]/h}/{g(a+h)g(a)}。極限は−g′(a)/g(a)²。積の公式より(f/g)′=f′/g−fg′/g²=(f′g−fg′)/g²（点aでの値として）。g(a)≠0と近くでの0でない、分母の二乗、引く順序を残す。
生徒の0でない条件と連続性・逆数の正確な平均変化率と極限、積から導いた商の二項と一つの分数の式と計算過程を確認します。
必要な点の近くでf,gは定義され微分可能とし、表はx=2でf=1,f′=3,g=3,g′=4、x=3でf=5,f′=−2,g=2,g′=−1です。(fg)′(2)、(f/g)′(2)、(f∘g)′(2)を求め、使った表の位置を示してください。(g∘f)′(2)もこの表だけで決まるかを判断し、足りなければ必要なデータと、そのデータを含む式を残します。
(fg)′(2)=3×3+1×4=13。(f/g)′(2)=(3×3−1×4)/3²=5/9でg(2)=3≠0。(f∘g)′(2)=f′(g(2))g′(2)=f′(3)×4=−8。逆向き(g∘f)′(2)=g′(f(2))f′(2)=3g′(1)だがg′(1)が表にないので一意には決まらない。g′(2)やg′(3)で代用しない。
生徒の三値と商の条件、内側の値によって参照点を動かした行、逆向きに不足する正確な点のデータと式を見ます。
aを1,3から、cを1,2から、mを2,3から一つずつ選び、H(x)=(ax²+c)^m/(x+1)を作ります。元の定義域を示し、公式を選ぶ順と内側の導関数、H′(x)の式と計算過程、H(1),H′(1)と1での接線を残してください。全8条件を解くことは必須にしません。
定義域はx≠−1。分子N=(ax²+c)^m、N′=2amx(ax²+c)^(m−1)。H′={2amx(ax²+c)^(m−1)(x+1)−(ax²+c)^m}/(x+1)²。1ではH(1)=(a+c)^m/2、H′(1)=(a+c)^(m−1)(4am−a−c)/4、接線y−H(1)=H′(1)(x−1)。作例a=1,c=2,m=2ではH(1)=9/2、H′(1)=15/4、接線y−9/2=(15/4)(x−1)。一組の選択と全計算・条件を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組・元の定義域・商と合成の順、内側を含む導関数の式、二つの指定値と元の点を通る接線を見ます。