部分積分：役割を選び、境界の差と残る積分を保つ
積の微分から部分積分の公式を導き、微分する側と積分する側を選びます。準備14問と、役割の選択、境界項の差、微分による検算を自分で書く主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(3)ア(イ)・イ(ア)と内容の取扱い(2)、冊子79〜81/PDF91〜93を踏まえた独自活動です。積の微分から部分積分を導き、簡単な関数への1回の適用を中心に扱います。固定学年、数学Ⅲ全体や入試の網羅、学習効果は主張しません。
解説を読む
積の積分は、それぞれを積分して掛けても求まりません。積の微分から式を作り、一方を微分すると残る積分が簡単になるように役割を選びます。定積分では積の上端と下端の差を先に書き、残る積分を引きます。
必要な予備知識
積の微分、指数・自然対数と弧度法の三角関数の微分と基本的な原始関数、積分定数、定積分の線形性と端点の差。eは自然対数の底、lnは自然対数です。∫e^(ax)dx=e^(ax)/a+C（a≠0）、∫cos(ax)dx=sin(ax)/a+C、∫sin(ax)dx=−cos(ax)/a+Cを使えます。
- まず元の積を、微分する側uと、原始関数vを求める側v′に分けます。u、u′、v′、vを表に書き、u v′が元の式であることとvの微分がv′になることを確認します。
- 積の微分(u v)′=u′v+u v′を移項して積分すると、∫u v′dx=u v−∫u′v dxです。不定積分を最後まで求めた式と計算過程にはCを付け、式と計算過程を微分して確かめます。途中でvの定数を0に選んでも、最終的なCは残します。
- 定積分は∫[α,β]u v′dx=[u v]のαからβの差−∫[α,β]u′v dxです。角括弧はu(β)v(β)−u(α)v(α)。残る積分も同じ両端で計算し、全体の引き算を保ちます。
- 選択の理由は文字の見た目だけでなく、u′vが計算しやすくなるかで説明します。一次式と指数関数・三角関数の積では一次式をuにすると、微分で定数になることが役立ちます。選び方は一つに限定しません。
- ln xは1との積と見られます。u=ln x、v′=1ならu′=1/x、v=xで残る積が1になります。実数のln xの定義域x>0を保ち、指定区間がその中にあるか確かめます。
- 指数や三角関数の原始関数では内側の係数を調整します。e^(−x)の原始関数は−e^(−x)、cos3xはsin3x/3です。この符号や係数と、公式の引き算を別々に記録します。
- ∫f(x)g(x)dxを、∫f(x)dxと∫g(x)dxの積にする法則はありません。候補を微分し、元の積にない項や係数が出たら直します。定積分同士の積に置き換えることもできません。
- 原始関数の候補は微分し、初期条件があれば元のxの値を代入してCを決めます。定積分は原始関数の端点の差であり、上端での値だけではありません。
- 準備の指定有理数と選択だけを自動採点します。主課題のu・u′・v′・v、全原始関数とC、境界の差、e・ln・πを含む式、定義域や選択理由は手動確認します。正しい同値式・別解を認めます。
- 生徒が作る課題では選んだ一組と計算・検算を確認します。8条件は確認用で、全ての組合せの解答を生徒の課題数には数えません。繰り返し適用・漸化式・同じ積分が戻る型・広義積分はこの教材の範囲に加えません。
解き方の例
∫x e^x dxでu=x、u′=1、v′=e^x、v=e^xを選ぶと、x e^x−∫e^x dx=(x−1)e^x+Cです。微分するとe^x+(x−1)e^x=x e^x。元の積へ戻ることを確認します。
∫[0,π/2]x cos x dxはu=x、v=sin xとして、[x sin x]の差−∫[0,π/2]sin x dx=π/2−1です。最初の境界の差はπ/2−0、残る積分は1で、足すのではありません。
よくある間違い
- 両方の原始関数を求め、そのまま掛ける。
- uとv′の積が元の式になっていない。
- v′をもう一度微分してvとする。
- 公式の残る積分を足す。
- 指数・三角関数の内側の係数や符号を落とす。
- 境界の上端だけを書き、下端を引かない。
- ln xの定義域を無視する。
- 不定積分のCや初期条件を落とす。
- 原始関数の上端の値を定積分の値とする。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の役割表、選択理由、境界の差から残る積分を引く式と計算過程、全原始関数の微分を確認します。T1は積の微分からの導出と指数の係数、T2は負の指数の符号、T3・T4は三角関数と境界、T5はln xを1との積で見ることと定義域、T6はx ln xと残る積分、T7は役割の比較、T8は誤った積の法則への反例、T9は初期条件と定積分、T10は生徒の一組と式と計算過程・検算を見ます。正しい別解や同値式を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な原始関数、Cやe・ln・πの式と計算過程、役割表・境界の差・定義域と理由は手動確認します。簡単な関数への1回の部分積分を中心とし、繰り返し適用・循環型・漸化式・広義積分・多変数積分は扱いません。
練習する
自動採点は準備の有理数・選択だけです。主課題のu・vと式と計算過程、Cやe・ln・π、定義域・境界の差は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
∫x e^x dxで、微分する側をu=xと選びました。u′の値を求めてください。
答えと解説
1
u=xを微分するとu′=1です。残る積u′vはe^xになります。
I=∫[0,1]x e^x dxを部分積分で求めてください。
答えと解説
1
[x e^x]の0から1の差−∫[0,1]e^x dx=e−(e−1)=1です。
F(x)=(x−1)e^xです。定積分の下端を確かめるため、F(0)を求めてください。
答えと解説
−1
F(0)=(0−1)e⁰=−1です。下端の値も引きます。
I=∫[1,e]ln x dxを、u=ln x、v′=1として求めてください。
答えと解説
1
原始関数x ln x−xの上端は0、下端は−1なのでI=1です。区間はx>0にあります。
I=∫[0,π]x sin x dxです。I/πの値を求めてください。
答えと解説
1
v=−cos xからI=[−x cos x]の差+∫[0,π]cos x dx=πです。従ってI/π=1。
I=∫[0,1]x(1−x)dxを求めてください。部分積分でも、展開した式でも確認できます。
答えと解説
u=x、v=x−x²/2なら境界1/2から∫[0,1](x−x²/2)dx=1/3を引いて1/6。展開でも[x²/2−x³/3]の差です。
F′(x)=(x+1)e^x、F(0)=5です。F(x)=x e^x+Cと表したときのCを求めてください。
答えと解説
5
x e^xを微分すると(x+1)e^x。F(0)=CなのでC=5です。
積の微分から導く部分積分の式として正しいものはどれですか。
- ∫u v′dx=u v+∫u′v dx
- ∫u v′dx=u v−∫u′v dx
- ∫u v′dx=(∫u dx)(∫v′dx)
- ∫u v′dx=u′v−∫u v dx
答えと解説
∫u v′dx=u v−∫u′v dx
(u v)′=u′v+u v′を移項して積分します。残る積分の前は負です。
∫[0,1]x e^x dxでu=x、v=e^xを選びました。正しい式と計算過程はどれですか。
- e+∫[0,1]e^x dx
- 1−∫[0,1]e^x dx
- (e−0)−∫[0,1]e^x dx
- (e−1)−∫[0,1]e^x dx
答えと解説
(e−0)−∫[0,1]e^x dx
積x e^xの下端は0です。境界の差はe−0で、残る積分を引きます。
∫ln x dxでu=ln x、v′=1とします。実数の定義域と残る積u′vが正しいものはどれですか。
- 全実数、残る積はln x
- x≠0、残る積はx
- x>0、残る積は1/x
- x>0、残る積は1
答えと解説
x>0、残る積は1
u′=1/x、v=xなのでu′v=1です。元のln xはx>0で使います。
∫x e^(−x)dxでu=xとします。v′=e^(−x)の原始関数vを一つ選ぶとどれですか。
- −e^(−x)
- e^(−x)
- −x e^(−x)
- −e^x
答えと解説
−e^(−x)
−e^(−x)を微分するとe^(−x)に戻ります。
∫[0,π/3]x cos3x dxでu=xとします。vの選び方として正しいものはどれですか。
- 3sin3x
- −sin3x/3
- sin3x/3
- cos3x/3
答えと解説
sin3x/3
sin3x/3を微分するとcos3xです。内側の3を調整します。
∫x e^x dxで、u=x、v′=e^xを選ぶ理由として適切なものはどれですか。
- xを積分すると必ず0になるから
- u′=1となり、残る積分が∫e^x dxになるから
- 指数関数は微分できないから
- どちらを選んでも残る積分は必ず同じ式だから
答えと解説
u′=1となり、残る積分が∫e^x dxになるから
一次式を微分して定数にすると、残る積分を基本公式で計算できます。
候補G(x)=x²e^x/2を∫x e^x dxの答えとしてよいか確かめる行動はどれですか。
- 二つの原始関数の積だから無条件に認める
- x=0で値が合えば全実数で正しいとする
- Gの下端だけを確認する
- Gを微分し、元のx e^xと一致するか比べる
答えと解説
Gを微分し、元のx e^xと一致するか比べる
G′=x e^x+(x²/2)e^xで余分な項があります。一般の原始関数ではありません。
考え方を説明する
積の微分(u v)′=u′v+u v′から部分積分の式を導きます。その式で∫x e^(2x)dxを求め、役割表と全原始関数の微分を示してください。さらにI=∫[0,1]x e^(2x)dxを境界の差と残る積分に分けて計算します。
答えと解説
移項して∫u v′dx=u v−∫u′v dx。u=x、u′=1、v′=e^(2x)、v=e^(2x)/2からF=(x/2−1/4)e^(2x)+C（全実数）。微分するとe^(2x)/2+(x−1/2)e^(2x)=x e^(2x)。I=[x e^(2x)/2]の差−(1/2)∫[0,1]e^(2x)dx=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4。Fの端点の差でも一致。
生徒の導出・役割表・係数1/2と残る1/4、式と計算過程の微分・二つの境界と正確な値を見ます。
∫(2x−3)e^(−x)dxとI=∫[0,2](2x−3)e^(−x)dxを求めます。微分する側と積分する側を選び、負の指数による符号と公式の引き算を区別し、微分と端点の差で確かめてください。
答えと解説
u=2x−3、u′=2、v′=e^(−x)、v=−e^(−x)。不定積分は−(2x−3)e^(−x)+2∫e^(−x)dx=(1−2x)e^(−x)+C（全実数）。微分は−2e^(−x)−(1−2x)e^(−x)=(2x−3)e^(−x)。定積分は原始関数の差−3e^(−2)−1。公式での境界は−e^(−2)−3、残る項は+2(1−e^(−2))なので同じ−1−3e^(−2)。
生徒の四つの役割・二種類の負号・全原始関数と微分、上端−下端・残る積分を含む式と計算過程を確認します。
I=∫[0,π/3]x cos3x dxです。役割表を作り、全原始関数と微分、定積分の境界の差・残る積分・正確な値を示してください。三角関数は弧度法です。
答えと解説
u=x、u′=1、v′=cos3x、v=sin3x/3。F=x sin3x/3+cos3x/9+C（全実数）。微分はsin3x/3+x cos3x−sin3x/3=x cos3x。境界[x sin3x/3]は0−0、残る(1/3)∫[0,π/3]sin3x dxは2/9なのでI=−2/9。F(π/3)−F(0)=−1/9−1/9でも一致。
生徒の1/3・残る積分の符号と1/9、境界が0でも積分全体が0ではないこと、微分検算を見ます。
I=∫[0,π/2]x sin2x dxです。微分する側を選び、全原始関数の微分を確認してから、境界の差と残る積分を使ってIを求めてください。弧度法で計算します。
答えと解説
u=x、u′=1、v′=sin2x、v=−cos2x/2。F=−x cos2x/2+sin2x/4+C（全実数）。微分は−cos2x/2+x sin2x+cos2x/2=x sin2x。定積分は[−x cos2x/2]の差+(1/2)∫[0,π/2]cos2x dx=π/4+0=π/4。原始関数の端点差でも一致。
生徒のvの負号・係数1/2と1/4、境界と残る積分の式と計算過程・微分・正確なπ/4を見ます。
ln xを1との積として∫ln x dxを求めます。実数の定義域、役割表、全原始関数と微分を示してください。さらにI=∫[1,e²]ln x dxについて区間を確かめ、境界の差と残る積分で計算します。
答えと解説
x>0。u=ln x、u′=1/x、v′=1、v=xからF=x ln x−x+C。微分はln x+1−1=ln x。指定区間は正で、I=[x ln x]の1からe²の差−∫[1,e²]1dx=2e²−(e²−1)=e²+1。Fの差はe²−(−1)でも同じ。
生徒がln xを1との積と見ること・x>0・残る積が1になる理由、下端1も含む式と計算過程と微分を見ます。
∫x ln x dxを部分積分で求めます。どちらを微分するかを選び、定義域・役割表と残る積分、全原始関数の微分を示してください。さらにI=∫[1,e]x ln x dxを求めます。
答えと解説
x>0でu=ln x、u′=1/x、v′=x、v=x²/2を選ぶと、残る積はx/2。F=(x²/2)ln x−x²/4+C。微分はx ln x+x/2−x/2=x ln x。I=[(x²/2)ln x]の差−∫[1,e]x/2 dx=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4。F(e)=e²/4、F(1)=−1/4でも照合できる。
生徒の選択理由・1/xとx²/2・残るx/2、定義域とC・式と計算過程の微分・端点の差を見ます。
∫x e^x dxについて、二つの選び方A：u=x、v′=e^xと、B：u=e^x、v′=xを比較します。それぞれのu′とv、公式へ代入した式と計算過程を書き、この教材ではどちらが1回で計算しやすいか理由を示してください。選んだ方法で全原始関数を求め、微分します。もう一方の残る積分を最後まで計算することは求めません。
答えと解説
Aはu′=1、v=e^xでx e^x−∫e^x dx=(x−1)e^x+C。Bも式として正しく、u′=e^x、v=x²/2から(x²/2)e^x−(1/2)∫x²e^x dx。Bでは残る多項式の次数が上がるため、Aは基本公式だけで1回で終わる。Aの式と計算過程を微分するとx e^x。Bを無効な公式と決めつけず、計算のしやすさを比べる。
生徒の二つの役割表と両式と計算過程、Aの残る積分が簡単になる理由、Cと微分を見る。正しい別の方法も認める。
友達は「それぞれの原始関数を掛ければよい」として、∫x e^x dx=x²e^x/2+Cとしました。候補を微分し、余分な項を具体的に示して説明を直してください。部分積分で正しい全原始関数を示し、さらに∫[0,1]x e^x dxと(∫[0,1]x dx)(∫[0,1]e^x dx)を比較します。
答えと解説
候補の微分はx e^x+(x²/2)e^xで、余分な(x²/2)e^xがあり元の積へ戻らない。u=x、v=e^xから正しくは(x−1)e^x+C。微分でx e^xに戻る。定積分は1だが、二つの定積分の積は(1/2)(e−1)。e<3より(e−1)/2<1で一致しない（数値照合も可）。不定積分でも定積分でも積の積分を二つの積分の積にする一般則はない。
生徒の候補の積の微分・余分な項・正しい式と計算過程と微分、二つの値を計算して不一致を示すことを見る。特定の近似法は必須にしない。
F′(x)=x e^x、F(0)=2です。部分積分でF(x)を求め、微分条件と初期条件の両方で確かめてください。次にF(1)と∫[0,1]x e^x dxを求め、同じ値とは限らない理由を説明します。
答えと解説
原始関数は(x−1)e^x+C（全実数）。F(0)=−1+C=2からC=3、F=(x−1)e^x+3。微分はx e^xで、F(0)=2に戻る。F(1)=3だが定積分はF(1)−F(0)=3−2=1。上端の値と端点の差を区別する。
生徒の役割表と部分積分の式と計算過程・C=3、元の二条件への検算、F(1)=3と積分1の区別を見ます。
aを1,2から、bを−1,2から、Lを1,2から一つずつ選び、I=∫[0,L](x+b)e^(a x)dxを作ります。選んだ一組と具体式、役割表・境界の差から残る積分を引く式と計算過程・正確な値を示し、全原始関数の微分と端点の差で確かめてください。全8条件の計算は必須にしません。
答えと解説
どの条件の組合せでもa>0。u=x+b、u′=1、v′=e^(a x)、v=e^(a x)/aから、F=e^(a x)((x+b)/a−1/a²)+C。微分はe^(a x)(x+b)。I=[(x+b)e^(a x)/a]の0からLの差−(1/a)∫[0,L]e^(a x)dx=e^(aL)((L+b)/a−1/a²)−(b/a−1/a²)。作例a=2,b=−1,L=1ではI=(3−e²)/4。生徒の一組を確認し、8条件を8題と数えない。
生徒の一組・元の積・四つの役割、下端b/aも含む境界の差と残る積分、式と計算過程の微分・正確な値を見る。同値式と別解を認める。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(3)ア(イ)・イ(ア)と内容の取扱い(2)、冊子79〜81/PDF91〜93を踏まえた独自活動です。積の微分から部分積分を導き、簡単な関数への1回の適用を中心に扱います。固定学年、数学Ⅲ全体や入試の網羅、学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 部分積分：役割を選び、境界の差と残る積分を保つ
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/choose-integration-by-parts-and-check-boundary-terms/
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の役割表、選択理由、境界の差から残る積分を引く式と計算過程、全原始関数の微分を確認します。T1は積の微分からの導出と指数の係数、T2は負の指数の符号、T3・T4は三角関数と境界、T5はln xを1との積で見ることと定義域、T6はx ln xと残る積分、T7は役割の比較、T8は誤った積の法則への反例、T9は初期条件と定積分、T10は生徒の一組と式と計算過程・検算を見ます。正しい別解や同値式を認めます。
∫x e^x dxで、微分する側をu=xと選びました。u′の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[0,1]x e^x dxを部分積分で求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
F(x)=(x−1)e^xです。定積分の下端を確かめるため、F(0)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[1,e]ln x dxを、u=ln x、v′=1として求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[0,π]x sin x dxです。I/πの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[0,1]x(1−x)dxを求めてください。部分積分でも、展開した式でも確認できます。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
F′(x)=(x+1)e^x、F(0)=5です。F(x)=x e^x+Cと表したときのCを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
積の微分から導く部分積分の式として正しいものはどれですか。
- ∫u v′dx=u v+∫u′v dx
- ∫u v′dx=u v−∫u′v dx
- ∫u v′dx=(∫u dx)(∫v′dx)
- ∫u v′dx=u′v−∫u v dx
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫[0,1]x e^x dxでu=x、v=e^xを選びました。正しい式と計算過程はどれですか。
- e+∫[0,1]e^x dx
- 1−∫[0,1]e^x dx
- (e−0)−∫[0,1]e^x dx
- (e−1)−∫[0,1]e^x dx
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫ln x dxでu=ln x、v′=1とします。実数の定義域と残る積u′vが正しいものはどれですか。
- 全実数、残る積はln x
- x≠0、残る積はx
- x>0、残る積は1/x
- x>0、残る積は1
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫x e^(−x)dxでu=xとします。v′=e^(−x)の原始関数vを一つ選ぶとどれですか。
- −e^(−x)
- e^(−x)
- −x e^(−x)
- −e^x
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫[0,π/3]x cos3x dxでu=xとします。vの選び方として正しいものはどれですか。
- 3sin3x
- −sin3x/3
- sin3x/3
- cos3x/3
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫x e^x dxで、u=x、v′=e^xを選ぶ理由として適切なものはどれですか。
- xを積分すると必ず0になるから
- u′=1となり、残る積分が∫e^x dxになるから
- 指数関数は微分できないから
- どちらを選んでも残る積分は必ず同じ式だから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
候補G(x)=x²e^x/2を∫x e^x dxの答えとしてよいか確かめる行動はどれですか。
- 二つの原始関数の積だから無条件に認める
- x=0で値が合えば全実数で正しいとする
- Gの下端だけを確認する
- Gを微分し、元のx e^xと一致するか比べる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
積の微分(u v)′=u′v+u v′から部分積分の式を導きます。その式で∫x e^(2x)dxを求め、役割表と全原始関数の微分を示してください。さらにI=∫[0,1]x e^(2x)dxを境界の差と残る積分に分けて計算します。
∫(2x−3)e^(−x)dxとI=∫[0,2](2x−3)e^(−x)dxを求めます。微分する側と積分する側を選び、負の指数による符号と公式の引き算を区別し、微分と端点の差で確かめてください。
I=∫[0,π/3]x cos3x dxです。役割表を作り、全原始関数と微分、定積分の境界の差・残る積分・正確な値を示してください。三角関数は弧度法です。
I=∫[0,π/2]x sin2x dxです。微分する側を選び、全原始関数の微分を確認してから、境界の差と残る積分を使ってIを求めてください。弧度法で計算します。
ln xを1との積として∫ln x dxを求めます。実数の定義域、役割表、全原始関数と微分を示してください。さらにI=∫[1,e²]ln x dxについて区間を確かめ、境界の差と残る積分で計算します。
∫x ln x dxを部分積分で求めます。どちらを微分するかを選び、定義域・役割表と残る積分、全原始関数の微分を示してください。さらにI=∫[1,e]x ln x dxを求めます。
∫x e^x dxについて、二つの選び方A：u=x、v′=e^xと、B：u=e^x、v′=xを比較します。それぞれのu′とv、公式へ代入した式と計算過程を書き、この教材ではどちらが1回で計算しやすいか理由を示してください。選んだ方法で全原始関数を求め、微分します。もう一方の残る積分を最後まで計算することは求めません。
友達は「それぞれの原始関数を掛ければよい」として、∫x e^x dx=x²e^x/2+Cとしました。候補を微分し、余分な項を具体的に示して説明を直してください。部分積分で正しい全原始関数を示し、さらに∫[0,1]x e^x dxと(∫[0,1]x dx)(∫[0,1]e^x dx)を比較します。
F′(x)=x e^x、F(0)=2です。部分積分でF(x)を求め、微分条件と初期条件の両方で確かめてください。次にF(1)と∫[0,1]x e^x dxを求め、同じ値とは限らない理由を説明します。
aを1,2から、bを−1,2から、Lを1,2から一つずつ選び、I=∫[0,L](x+b)e^(a x)dxを作ります。選んだ一組と具体式、役割表・境界の差から残る積分を引く式と計算過程・正確な値を示し、全原始関数の微分と端点の差で確かめてください。全8条件の計算は必須にしません。
解答: 部分積分：役割を選び、境界の差と残る積分を保つ
1
u=xを微分するとu′=1です。残る積u′vはe^xになります。
1
[x e^x]の0から1の差−∫[0,1]e^x dx=e−(e−1)=1です。
−1
F(0)=(0−1)e⁰=−1です。下端の値も引きます。
1
原始関数x ln x−xの上端は0、下端は−1なのでI=1です。区間はx>0にあります。
1
v=−cos xからI=[−x cos x]の差+∫[0,π]cos x dx=πです。従ってI/π=1。
u=x、v=x−x²/2なら境界1/2から∫[0,1](x−x²/2)dx=1/3を引いて1/6。展開でも[x²/2−x³/3]の差です。
5
x e^xを微分すると(x+1)e^x。F(0)=CなのでC=5です。
∫u v′dx=u v−∫u′v dx
(u v)′=u′v+u v′を移項して積分します。残る積分の前は負です。
(e−0)−∫[0,1]e^x dx
積x e^xの下端は0です。境界の差はe−0で、残る積分を引きます。
x>0、残る積は1
u′=1/x、v=xなのでu′v=1です。元のln xはx>0で使います。
−e^(−x)
−e^(−x)を微分するとe^(−x)に戻ります。
sin3x/3
sin3x/3を微分するとcos3xです。内側の3を調整します。
u′=1となり、残る積分が∫e^x dxになるから
一次式を微分して定数にすると、残る積分を基本公式で計算できます。
Gを微分し、元のx e^xと一致するか比べる
G′=x e^x+(x²/2)e^xで余分な項があります。一般の原始関数ではありません。
記述問題の解答・確認の観点
積の微分(u v)′=u′v+u v′から部分積分の式を導きます。その式で∫x e^(2x)dxを求め、役割表と全原始関数の微分を示してください。さらにI=∫[0,1]x e^(2x)dxを境界の差と残る積分に分けて計算します。
移項して∫u v′dx=u v−∫u′v dx。u=x、u′=1、v′=e^(2x)、v=e^(2x)/2からF=(x/2−1/4)e^(2x)+C（全実数）。微分するとe^(2x)/2+(x−1/2)e^(2x)=x e^(2x)。I=[x e^(2x)/2]の差−(1/2)∫[0,1]e^(2x)dx=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4。Fの端点の差でも一致。
生徒の導出・役割表・係数1/2と残る1/4、式と計算過程の微分・二つの境界と正確な値を見ます。
∫(2x−3)e^(−x)dxとI=∫[0,2](2x−3)e^(−x)dxを求めます。微分する側と積分する側を選び、負の指数による符号と公式の引き算を区別し、微分と端点の差で確かめてください。
u=2x−3、u′=2、v′=e^(−x)、v=−e^(−x)。不定積分は−(2x−3)e^(−x)+2∫e^(−x)dx=(1−2x)e^(−x)+C（全実数）。微分は−2e^(−x)−(1−2x)e^(−x)=(2x−3)e^(−x)。定積分は原始関数の差−3e^(−2)−1。公式での境界は−e^(−2)−3、残る項は+2(1−e^(−2))なので同じ−1−3e^(−2)。
生徒の四つの役割・二種類の負号・全原始関数と微分、上端−下端・残る積分を含む式と計算過程を確認します。
I=∫[0,π/3]x cos3x dxです。役割表を作り、全原始関数と微分、定積分の境界の差・残る積分・正確な値を示してください。三角関数は弧度法です。
u=x、u′=1、v′=cos3x、v=sin3x/3。F=x sin3x/3+cos3x/9+C（全実数）。微分はsin3x/3+x cos3x−sin3x/3=x cos3x。境界[x sin3x/3]は0−0、残る(1/3)∫[0,π/3]sin3x dxは2/9なのでI=−2/9。F(π/3)−F(0)=−1/9−1/9でも一致。
生徒の1/3・残る積分の符号と1/9、境界が0でも積分全体が0ではないこと、微分検算を見ます。
I=∫[0,π/2]x sin2x dxです。微分する側を選び、全原始関数の微分を確認してから、境界の差と残る積分を使ってIを求めてください。弧度法で計算します。
u=x、u′=1、v′=sin2x、v=−cos2x/2。F=−x cos2x/2+sin2x/4+C（全実数）。微分は−cos2x/2+x sin2x+cos2x/2=x sin2x。定積分は[−x cos2x/2]の差+(1/2)∫[0,π/2]cos2x dx=π/4+0=π/4。原始関数の端点差でも一致。
生徒のvの負号・係数1/2と1/4、境界と残る積分の式と計算過程・微分・正確なπ/4を見ます。
ln xを1との積として∫ln x dxを求めます。実数の定義域、役割表、全原始関数と微分を示してください。さらにI=∫[1,e²]ln x dxについて区間を確かめ、境界の差と残る積分で計算します。
x>0。u=ln x、u′=1/x、v′=1、v=xからF=x ln x−x+C。微分はln x+1−1=ln x。指定区間は正で、I=[x ln x]の1からe²の差−∫[1,e²]1dx=2e²−(e²−1)=e²+1。Fの差はe²−(−1)でも同じ。
生徒がln xを1との積と見ること・x>0・残る積が1になる理由、下端1も含む式と計算過程と微分を見ます。
∫x ln x dxを部分積分で求めます。どちらを微分するかを選び、定義域・役割表と残る積分、全原始関数の微分を示してください。さらにI=∫[1,e]x ln x dxを求めます。
x>0でu=ln x、u′=1/x、v′=x、v=x²/2を選ぶと、残る積はx/2。F=(x²/2)ln x−x²/4+C。微分はx ln x+x/2−x/2=x ln x。I=[(x²/2)ln x]の差−∫[1,e]x/2 dx=e²/2−(e²−1)/4=(e²+1)/4。F(e)=e²/4、F(1)=−1/4でも照合できる。
生徒の選択理由・1/xとx²/2・残るx/2、定義域とC・式と計算過程の微分・端点の差を見ます。
∫x e^x dxについて、二つの選び方A：u=x、v′=e^xと、B：u=e^x、v′=xを比較します。それぞれのu′とv、公式へ代入した式と計算過程を書き、この教材ではどちらが1回で計算しやすいか理由を示してください。選んだ方法で全原始関数を求め、微分します。もう一方の残る積分を最後まで計算することは求めません。
Aはu′=1、v=e^xでx e^x−∫e^x dx=(x−1)e^x+C。Bも式として正しく、u′=e^x、v=x²/2から(x²/2)e^x−(1/2)∫x²e^x dx。Bでは残る多項式の次数が上がるため、Aは基本公式だけで1回で終わる。Aの式と計算過程を微分するとx e^x。Bを無効な公式と決めつけず、計算のしやすさを比べる。
生徒の二つの役割表と両式と計算過程、Aの残る積分が簡単になる理由、Cと微分を見る。正しい別の方法も認める。
友達は「それぞれの原始関数を掛ければよい」として、∫x e^x dx=x²e^x/2+Cとしました。候補を微分し、余分な項を具体的に示して説明を直してください。部分積分で正しい全原始関数を示し、さらに∫[0,1]x e^x dxと(∫[0,1]x dx)(∫[0,1]e^x dx)を比較します。
候補の微分はx e^x+(x²/2)e^xで、余分な(x²/2)e^xがあり元の積へ戻らない。u=x、v=e^xから正しくは(x−1)e^x+C。微分でx e^xに戻る。定積分は1だが、二つの定積分の積は(1/2)(e−1)。e<3より(e−1)/2<1で一致しない（数値照合も可）。不定積分でも定積分でも積の積分を二つの積分の積にする一般則はない。
生徒の候補の積の微分・余分な項・正しい式と計算過程と微分、二つの値を計算して不一致を示すことを見る。特定の近似法は必須にしない。
F′(x)=x e^x、F(0)=2です。部分積分でF(x)を求め、微分条件と初期条件の両方で確かめてください。次にF(1)と∫[0,1]x e^x dxを求め、同じ値とは限らない理由を説明します。
原始関数は(x−1)e^x+C（全実数）。F(0)=−1+C=2からC=3、F=(x−1)e^x+3。微分はx e^xで、F(0)=2に戻る。F(1)=3だが定積分はF(1)−F(0)=3−2=1。上端の値と端点の差を区別する。
生徒の役割表と部分積分の式と計算過程・C=3、元の二条件への検算、F(1)=3と積分1の区別を見ます。
aを1,2から、bを−1,2から、Lを1,2から一つずつ選び、I=∫[0,L](x+b)e^(a x)dxを作ります。選んだ一組と具体式、役割表・境界の差から残る積分を引く式と計算過程・正確な値を示し、全原始関数の微分と端点の差で確かめてください。全8条件の計算は必須にしません。
どの条件の組合せでもa>0。u=x+b、u′=1、v′=e^(a x)、v=e^(a x)/aから、F=e^(a x)((x+b)/a−1/a²)+C。微分はe^(a x)(x+b)。I=[(x+b)e^(a x)/a]の0からLの差−(1/a)∫[0,L]e^(a x)dx=e^(aL)((L+b)/a−1/a²)−(b/a−1/a²)。作例a=2,b=−1,L=1ではI=(3−e²)/4。生徒の一組を確認し、8条件を8題と数えない。
生徒の一組・元の積・四つの役割、下端b/aも含む境界の差と残る積分、式と計算過程の微分・正確な値を見る。同値式と別解を認める。