置換積分：変数・微分と両端を、同じ式へそろえる
準備14問と、生徒が置き換え・微分・区間の対応を残し、元の式へ戻して確かめる主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(3)ア(ア)(イ)・イ(ア)・内容の取扱い(2)、冊子79〜81/PDF91〜93の積分法と式の変形を踏まえた独自活動です。ax+b=tとx=a sinθを中心に、合成関数の微分で検算します。T7はx²の往復を区間分割と原始関数で比べる補助活動です。数学Ⅲ全体・固定学年・入試の網羅や学習効果は主張しません。
解説を読む
文字を置き換えただけでは、積分全体はまだ変わっていません。どの式を新しい変数とするかを選び、dxと係数、定積分の両端も対応させます。不定積分は元の変数へ戻し、微分して確認します。
必要な予備知識
合成関数の微分、指数・自然対数と弧度法の三角関数、原始関数と積分定数、定積分の端点の差・線形性と向き。基本公式として∫t^n dt=t^(n+1)/(n+1)+C（n≠−1、使う実数の範囲内）、∫e^t dt=e^t+C、∫dt/t=ln|t|+C（t≠0）、cos²θ=(1+cos2θ)/2を使えます。
- まず元の変数・定義域と積分する式を確認します。どの部分を新しい変数tとするかを書き、その式を微分してdtとdxの関係を作ります。係数や符号を、積分全体へ反映します。
- たとえばt=ax+b（a≠0）ならdt=a dxで、dx=dt/aです。f(ax+b)だけでなくdxも変え、∫f(ax+b)dx=(1/a)∫f(t)dtとします。aの符号も残します。
- 定積分では元の下端x=αと上端x=βを、それぞれt=aα+bとt=aβ+bに対応させます。元のxの両端をtの式へそのまま付けません。変換した積分は係数・変数・両端を一緒に記録します。
- 置き換えが減少すると新しい下端の数が上端より大きくなることがあります。その向きのまま計算しても、両端を入れ替えて積分の符号を変えてもかまいません。微分からの負の係数も同時に落とさないようにします。
- 不定積分は元の変数で答えるとき、tを戻して積分定数Cを付けます。得た式と計算過程を元の変数で微分して、積分する前の式と一致するか確認します。定積分の値では端点の差により同じCは消えます。
- lnの原始関数では元の0になる点を除き、必要な絶対値を保ちます。除外点で分かれる区間ごとに定数を選べます。定義されない点をまたぐ積分を、通常の端点代入だけで処理しません。広義積分はこの教材では扱いません。
- x=3sinθで−3≦x≦3に対応させるときは、−π/2≦θ≦π/2を選びます。√(9−x²)=3|cosθ|で、この範囲ならcosθ≧0なので3cosθです。dx=3cosθ dθも掛け、根号の符号と両端を確かめます。
- t=x²のように区間内で往復する置き換えでは、xをtの式で戻すときの正負の枝に注意します。T7では0で分けて対応を見ます。一方、F(g(x))を微分して全区間で元の式になると確かめた原始関数なら、gの単調性がなくても元の両端の差で検算できます。
- 生徒の元の定義域、置き換えの選択理由、dtとdx、両端の対応表、変換後の全積分と元の変数での検算を手動確認します。自由なe・ln・π・根号や積分定数の式は、新しい式パーサーへ入力させません。
- 準備の自動採点は指定有理数と選択だけです。主課題の正しい同値式・別の置き換え・区間を分けた方法も認め、生徒の一組の自作条件を確認します。全ての係数条件を解くことを課題数に水増ししません。
解き方の例
∫[0,1](2x+1)²dxでt=2x+1とすると、dt=2dx、両端は1と3です。(1/2)∫[1,3]t²dt=[t³/6]の1から3の差=13/3です。元の式を展開して積分しても同じ値になります。
∫(1−2x)³dxでt=1−2xならdx=−dt/2です。原始関数は−t⁴/8+C=−(1−2x)⁴/8+C。微分すると(1−2x)³に戻ります。負の係数を、見た目だけで消しません。
よくある間違い
- 新しい変数に変えてもdxをそのまま残す。
- 内側の微分による係数や負号を落とす。
- 新しい変数の式へ元のxの両端を付ける。
- 両端を入れ替えても符号を変えない。
- 不定積分を元へ戻さず、積分定数も落とす。
- 根号の平方を戻すとき絶対値を省く。
- 0になる分母を定義域から除かない。
- 逆向きに戻すときxの正負の枝を無視する。
- 置き換え後だけ見て、元の式の微分検算をしない。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題では生徒の元の定義域、置き換えと微分、係数・変数・端点をそろえた全積分、原始関数の微分または別計算を確認します。T1は一次式のべき、T2は一次式の根号、T3は指数、T4は対数と分かれた定義域・定数、T5は減少する置き換えと向き、T6はsinの範囲・根号の符号、T7は非単調な置き換えの分割と原始関数、T8は二つの誤りの修正、T9は初期条件、T10は生徒の一組と全対応を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な原始関数・積分定数・根号・e・ln・πの式、定義域、微分と区間の対応は手動確認します。一次式とsinの置き換えを中心とする有限区間の例で、広義積分・多変数積分・一般の変数変換の網羅は扱いません。
練習する
自動採点は準備の有理数・選択だけです。自由な積分の式と計算過程、Cやe・ln・π、定義域と変換する両端は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
t=3x+2と置き換えます。元の下端x=0に対応するtの値を求めてください。
答えと解説
2
t=3×0+2=2です。下端も新しい変数で表します。
t=3x+2と置き換えます。元の上端x=2に対応するtの値を求めてください。
答えと解説
8
t=3×2+2=8です。新しい積分の上端は8です。
t=3x+2でdt=3dxです。dx=k dtとなる係数kを求めてください。
答えと解説
dx=dt/3なのでk=1/3です。内側の3をさらに掛けるのではありません。
I=∫[0,1]4(2x+1)³dxです。t=2x+1として定積分の値を求めてください。
答えと解説
40
dt=2dx、両端1と3からI=2∫[1,3]t³dt=(3⁴−1⁴)/2=40です。
I=∫[0,1]3√(3x+1)dxです。t=3x+1として定積分の値を求めてください。
答えと解説
dt=3dx、両端1と4からI=∫[1,4]√t dt=(2/3)(8−1)=14/3です。
I=∫[0,1]2x/(x²+1)²dxです。t=x²+1として定積分の値を求めてください。
答えと解説
dt=2x dx、両端1と2からI=∫[1,2]t^(−2)dt=[−1/t]の差=1/2です。
I=∫[−1,1]2x(x²+1)dxです。原始関数(x²+1)²/2を微分で確かめ、定積分の値を求めてください。
答えと解説
0
原始関数の両端の値はどちらも2なので差は0です。t=x²+1が往復しても、この合成式の微分による検算は有効です。
t=3x+2と置いた∫f(3x+2)dxの変換として正しいものはどれですか。
- 3∫f(t)dt
- (1/3)∫f(t)dt
- ∫f(t)dx
- ∫f(t)dt
答えと解説
(1/3)∫f(t)dt
dt=3dxからdx=dt/3です。式と微分の両方をそろえます。
∫[0,1]e^(2x+1)dxでt=2x+1とします。正しい変換はどれですか。
- (1/2)∫[0,1]e^t dt
- 2∫[1,3]e^t dt
- (1/2)∫[1,3]e^t dt
- (1/2)∫[3,1]e^t dt
答えと解説
(1/2)∫[1,3]e^t dt
dx=dt/2で、x=0,1はt=1,3へ移ります。
x=3sinθで−π/2≦θ≦π/2を選びます。√(9−x²)の正しい扱いはどれですか。
- 全てのθで常に3cosθ
- −3cosθ
- 9cos²θ
- 3|cosθ|で、この範囲では3cosθ
答えと解説
3|cosθ|で、この範囲では3cosθ
平方根は非負なので3|cosθ|。選んだ範囲ではcosθ≧0です。
∫[0,1]f(1−2x)dxでt=1−2xとし、新しい両端を小さい順に並べ直します。正しい式はどれですか。
- (1/2)∫[−1,1]f(t)dt
- −(1/2)∫[−1,1]f(t)dt
- 2∫[−1,1]f(t)dt
- (1/2)∫[0,1]f(t)dt
答えと解説
(1/2)∫[−1,1]f(t)dt
dx=−dt/2で初めは1から−1。両端を逆にすると積分の符号も逆になり、正の1/2になります。
置換して不定積分を求め、元の変数xで答えるときに必要な確認はどれですか。
- 積分定数Cを必ず0とする
- 新しい文字を残し、定義域を見ない
- xへ戻してCを付け、xで微分して元の式を確かめる
- 新しい変数の両端だけを答える
答えと解説
xへ戻してCを付け、xで微分して元の式を確かめる
元の変数の式と計算過程と積分定数を残し、合成関数の微分で確かめます。
∫[−1,1]f(x²)dxでt=x²とし、「両端がともに1だから必ず0」としました。説明を直す行動はどれですか。
- fの値によらず必ず0と決める
- 0で区間を分け、xの正負の枝とdxを対応させる
- dx=dtとしてそのまま使う
- 元の下端だけを0へ変える
答えと解説
0で区間を分け、xの正負の枝とdxを対応させる
この式には2xという因数がありません。逆向きにxを表すときの枝・微分と、区間内の往復を確認します。
∫2x cos(x²)dxで、sin(x²)+Cが原始関数になる検算はどれですか。
- 微分するとcos(x²)だけになる
- 微分すると2x sin(x²)になる
- sinをx²へ代入した見た目だけで決める
- 合成関数の微分で2x cos(x²)へ戻る
答えと解説
合成関数の微分で2x cos(x²)へ戻る
外側sinの微分cosと内側x²の微分2xの積が元の式です。
考え方を説明する
∫(3x+2)⁴dxを、t=3x+2と置いて求めます。dtとdx、元の変数へ戻した全原始関数を示し、微分して確かめてください。さらに∫[0,1](3x+2)⁴dxを、両端の対応表を残して求めます。
答えと解説
dt=3dx、dx=dt/3。不定積分は(1/3)∫t⁴dt=t⁵/15+C=(3x+2)⁵/15+C（全実数）。微分は5×3(3x+2)⁴/15で元の式。定積分の対応はx=0→t=2、x=1→t=5で、(5⁵−2⁵)/15=1031/5。元のxの原始関数の端点の差でも一致する。
生徒の置き換え・係数・C・微分、両端の表と正確な端点差を見ます。
I=∫[−1,0]√(4x+5)dxです。元の実数の定義域、新しい変数と微分、両端を示して計算し、元の変数の原始関数でも確かめてください。
答えと解説
根号の実数の定義域はx≧−5/4で、指定区間では内部が正。t=4x+5、dx=dt/4、x=−1,0→t=1,5。I=(1/4)∫[1,5]t^(1/2)dt=(5√5−1)/6。原始関数(4x+5)^(3/2)/6の微分は√(4x+5)で、指定した二端の差も同じ。
生徒の元の範囲・1/4・両端と全積分、正確な根号の値と微分検算を見ます。
∫3e^(3x−1)dxとI=∫[0,1]3e^(3x−1)dxを求めます。どの部分を新しい変数とするか、係数と両端、Cの扱いを示し、微分検算で確かめてください。
答えと解説
t=3x−1、dt=3dxなので不定積分はe^t+C=e^(3x−1)+C（全実数）。微分は3e^(3x−1)。定積分はx=0,1→t=−1,2でI=∫[−1,2]e^t dt=e²−e^(−1)。同じCは端点の差で消える。
生徒の選択理由・3との対応・全原始関数と微分、−1と2の両端・正確な値を見ます。
∫dx/(2x−3)について、元の除外点を示し、その左右の区間で原始関数を求めて微分で確かめます。区間ごとの積分定数も説明してください。さらにI=∫[2,4]dx/(2x−3)を計算します。除外点をまたぐ積分はこの課題に加えません。
答えと解説
x≠3/2。t=2x−3、dx=dt/2から(1/2)ln|2x−3|+C。x<3/2とx>3/2では別々のCを選べる。各区間で微分すると(1/2)×2/(2x−3)=1/(2x−3)。定積分は全体がx>3/2、tの両端1と5からI=(1/2)ln5。除外点を端点の通常代入で飛び越えない。
生徒の除外点・左右の区間と定数、絶対値を保つ式と計算過程・微分と正の範囲での定積分を見ます。
I=∫[−1,1](4−2x)²dxです。t=4−2xの対応表を書き、まず変換した両端の向きのまま、次に両端を小さい順へ直した式で求めます。二つの負号の扱いと、展開した元の式による別計算も示してください。
答えと解説
dt=−2dx、dx=−dt/2。x=−1,1→t=6,2なのでI=−(1/2)∫[6,2]t²dt=(1/2)∫[2,6]t²dt=(216−8)/6=104/3。元は16−16x+4x²で原始関数16x−8x²+(4/3)x³、−1から1の差も104/3。
生徒の6→2という対応・負の係数・向き変更による符号、同値な全積分と別計算を見ます。
I=∫[−3,3]√(9−x²)dxを、x=3sinθ、−π/2≦θ≦π/2として求めます。元の定義域と両端、dx、平方根を戻すときの絶対値と符号を示してください。cos²θ=(1+cos2θ)/2を使い、半円の面積でも検算します。
答えと解説
元は−3≦x≦3で連続。両端−3,3はθ=−π/2,π/2、選んだ範囲ではsinθは単調に対応する。dx=3cosθ dθ、√(9−x²)=3|cosθ|=3cosθなのでI=9∫[−π/2,π/2]cos²θ dθ=9[θ/2+sin2θ/4]の差=9π/2。半径3の半円の面積とも一致。平方根とdxの二つの因数を保つ。
生徒の範囲・両端と微分、絶対値を外せる理由・9cos²θの式と計算過程、正確な値と別の面積検算を見ます。
I=∫[−1,2]x/√(x²+1)dxです。t=x²+1の対応をx=−1,0,2で表し、0で二つに分けた積分で求めます。次に原始関数を元のxで微分し、分けずに元の両端を代入して照合してください。「置き換えが単調でなければ、どんな原始関数の検算も使えない」という説明を直します。
答えと解説
tの対応は2→1→5で往復する。dt=2x dxより、分割した式は(1/2)∫[2,1]t^(−1/2)dt+(1/2)∫[1,5]t^(−1/2)dt=(1−√2)+(√5−1)=√5−√2。F(x)=√(x²+1)は全実数で微分可能でF′=x/√(x²+1)。従って元の両端の差F(2)−F(−1)でも同じ値。0で逆関数のdxを割り算で作らず、合成式の微分で元の式を検算する。gが非単調でも、全区間で有効なF(g(x))という原始関数の検算まで禁止されるわけではない。
生徒の三点の表・分割と向き・1/2の因数、全区間での微分検算・同じ正確な値・主張の修正を見ます。
友達はI=∫[0,1]√(2x+3)dxで「t=2x+3だからI=∫[0,1]√t dt=2/3」としました。元の定義域、dtとdx、両端の対応から説明を直し、正確なIと微分検算を示してください。
答えと解説
元の実数の定義域はx≧−3/2で指定区間はその中。dt=2dxなのでdx=dt/2、x=0,1はt=3,5。係数と両端の二つが誤り。I=(1/2)∫[3,5]√t dt=(5√5−3√3)/3。元の原始関数(2x+3)^(3/2)/3を微分すると√(2x+3)へ戻り、元の両端の差でも一致。
生徒の二つの誤りの区別・全対応・正確な根号の値と微分による検算を見ます。
F′(x)=2x e^(x²)、F(0)=4です。置換積分でF(x)を求め、微分条件と初期条件の両方へ戻して確かめてください。さらに∫[0,1]2x e^(x²)dxを求め、F(1)そのものとの違いを説明します。
答えと解説
t=x²、dt=2x dxからF=e^(x²)+C。F(0)=1+C=4なのでC=3、F(x)=e^(x²)+3（全実数）。微分は2x e^(x²)。定積分はt=0,1からe−1で、F(1)=e+3とは異なる。F(1)−F(0)=(e+3)−4=e−1で照合する。置き換えを元へ戻し、元の初期条件で定数を決める。
生徒の置き換えとC・元の二条件への代入、両端・定積分とF(1)の区別を見ます。
aを1,2から、bを1,3から、mを1,2から一つずつ選び、I=∫[0,1]a(ax+b)^m dxを作ります。選んだ値と具体式、新しい変数・微分・両端の対応表、全積分と正確な値を示し、元の変数の原始関数でも確かめてください。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
どの条件の組合せでもa>0、t=ax+b、dt=a dx、両端bとa+b。I=∫[b,a+b]t^m dt=((a+b)^(m+1)−b^(m+1))/(m+1)。元の原始関数(ax+b)^(m+1)/(m+1)を微分するとa(ax+b)^m。作例a=2,b=3,m=2ではI=(5³−3³)/3=98/3。生徒の一組と全計算・検算を認め、8条件は生徒の課題数に数えない。
生徒の選んだ一組・元の式とdt、両端の表・正確な全積分と微分検算を見る。同値な別解も認める。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(3)ア(ア)(イ)・イ(ア)・内容の取扱い(2)、冊子79〜81/PDF91〜93の積分法と式の変形を踏まえた独自活動です。ax+b=tとx=a sinθを中心に、合成関数の微分で検算します。T7はx²の往復を区間分割と原始関数で比べる補助活動です。数学Ⅲ全体・固定学年・入試の網羅や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 置換積分：変数・微分と両端を、同じ式へそろえる
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/match-substitution-variables-differentials-and-integration-limits/
準備14問は指定有理数と選択です。主課題では生徒の元の定義域、置き換えと微分、係数・変数・端点をそろえた全積分、原始関数の微分または別計算を確認します。T1は一次式のべき、T2は一次式の根号、T3は指数、T4は対数と分かれた定義域・定数、T5は減少する置き換えと向き、T6はsinの範囲・根号の符号、T7は非単調な置き換えの分割と原始関数、T8は二つの誤りの修正、T9は初期条件、T10は生徒の一組と全対応を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
t=3x+2と置き換えます。元の下端x=0に対応するtの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
t=3x+2と置き換えます。元の上端x=2に対応するtの値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
t=3x+2でdt=3dxです。dx=k dtとなる係数kを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[0,1]4(2x+1)³dxです。t=2x+1として定積分の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[0,1]3√(3x+1)dxです。t=3x+1として定積分の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[0,1]2x/(x²+1)²dxです。t=x²+1として定積分の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
I=∫[−1,1]2x(x²+1)dxです。原始関数(x²+1)²/2を微分で確かめ、定積分の値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
t=3x+2と置いた∫f(3x+2)dxの変換として正しいものはどれですか。
- 3∫f(t)dt
- (1/3)∫f(t)dt
- ∫f(t)dx
- ∫f(t)dt
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫[0,1]e^(2x+1)dxでt=2x+1とします。正しい変換はどれですか。
- (1/2)∫[0,1]e^t dt
- 2∫[1,3]e^t dt
- (1/2)∫[1,3]e^t dt
- (1/2)∫[3,1]e^t dt
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x=3sinθで−π/2≦θ≦π/2を選びます。√(9−x²)の正しい扱いはどれですか。
- 全てのθで常に3cosθ
- −3cosθ
- 9cos²θ
- 3|cosθ|で、この範囲では3cosθ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫[0,1]f(1−2x)dxでt=1−2xとし、新しい両端を小さい順に並べ直します。正しい式はどれですか。
- (1/2)∫[−1,1]f(t)dt
- −(1/2)∫[−1,1]f(t)dt
- 2∫[−1,1]f(t)dt
- (1/2)∫[0,1]f(t)dt
途中の計算・単位・理由・確認答え:
置換して不定積分を求め、元の変数xで答えるときに必要な確認はどれですか。
- 積分定数Cを必ず0とする
- 新しい文字を残し、定義域を見ない
- xへ戻してCを付け、xで微分して元の式を確かめる
- 新しい変数の両端だけを答える
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫[−1,1]f(x²)dxでt=x²とし、「両端がともに1だから必ず0」としました。説明を直す行動はどれですか。
- fの値によらず必ず0と決める
- 0で区間を分け、xの正負の枝とdxを対応させる
- dx=dtとしてそのまま使う
- 元の下端だけを0へ変える
途中の計算・単位・理由・確認答え:
∫2x cos(x²)dxで、sin(x²)+Cが原始関数になる検算はどれですか。
- 微分するとcos(x²)だけになる
- 微分すると2x sin(x²)になる
- sinをx²へ代入した見た目だけで決める
- 合成関数の微分で2x cos(x²)へ戻る
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
∫(3x+2)⁴dxを、t=3x+2と置いて求めます。dtとdx、元の変数へ戻した全原始関数を示し、微分して確かめてください。さらに∫[0,1](3x+2)⁴dxを、両端の対応表を残して求めます。
I=∫[−1,0]√(4x+5)dxです。元の実数の定義域、新しい変数と微分、両端を示して計算し、元の変数の原始関数でも確かめてください。
∫3e^(3x−1)dxとI=∫[0,1]3e^(3x−1)dxを求めます。どの部分を新しい変数とするか、係数と両端、Cの扱いを示し、微分検算で確かめてください。
∫dx/(2x−3)について、元の除外点を示し、その左右の区間で原始関数を求めて微分で確かめます。区間ごとの積分定数も説明してください。さらにI=∫[2,4]dx/(2x−3)を計算します。除外点をまたぐ積分はこの課題に加えません。
I=∫[−1,1](4−2x)²dxです。t=4−2xの対応表を書き、まず変換した両端の向きのまま、次に両端を小さい順へ直した式で求めます。二つの負号の扱いと、展開した元の式による別計算も示してください。
I=∫[−3,3]√(9−x²)dxを、x=3sinθ、−π/2≦θ≦π/2として求めます。元の定義域と両端、dx、平方根を戻すときの絶対値と符号を示してください。cos²θ=(1+cos2θ)/2を使い、半円の面積でも検算します。
I=∫[−1,2]x/√(x²+1)dxです。t=x²+1の対応をx=−1,0,2で表し、0で二つに分けた積分で求めます。次に原始関数を元のxで微分し、分けずに元の両端を代入して照合してください。「置き換えが単調でなければ、どんな原始関数の検算も使えない」という説明を直します。
友達はI=∫[0,1]√(2x+3)dxで「t=2x+3だからI=∫[0,1]√t dt=2/3」としました。元の定義域、dtとdx、両端の対応から説明を直し、正確なIと微分検算を示してください。
F′(x)=2x e^(x²)、F(0)=4です。置換積分でF(x)を求め、微分条件と初期条件の両方へ戻して確かめてください。さらに∫[0,1]2x e^(x²)dxを求め、F(1)そのものとの違いを説明します。
aを1,2から、bを1,3から、mを1,2から一つずつ選び、I=∫[0,1]a(ax+b)^m dxを作ります。選んだ値と具体式、新しい変数・微分・両端の対応表、全積分と正確な値を示し、元の変数の原始関数でも確かめてください。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 置換積分：変数・微分と両端を、同じ式へそろえる
2
t=3×0+2=2です。下端も新しい変数で表します。
8
t=3×2+2=8です。新しい積分の上端は8です。
dx=dt/3なのでk=1/3です。内側の3をさらに掛けるのではありません。
40
dt=2dx、両端1と3からI=2∫[1,3]t³dt=(3⁴−1⁴)/2=40です。
dt=3dx、両端1と4からI=∫[1,4]√t dt=(2/3)(8−1)=14/3です。
dt=2x dx、両端1と2からI=∫[1,2]t^(−2)dt=[−1/t]の差=1/2です。
0
原始関数の両端の値はどちらも2なので差は0です。t=x²+1が往復しても、この合成式の微分による検算は有効です。
(1/3)∫f(t)dt
dt=3dxからdx=dt/3です。式と微分の両方をそろえます。
(1/2)∫[1,3]e^t dt
dx=dt/2で、x=0,1はt=1,3へ移ります。
3|cosθ|で、この範囲では3cosθ
平方根は非負なので3|cosθ|。選んだ範囲ではcosθ≧0です。
(1/2)∫[−1,1]f(t)dt
dx=−dt/2で初めは1から−1。両端を逆にすると積分の符号も逆になり、正の1/2になります。
xへ戻してCを付け、xで微分して元の式を確かめる
元の変数の式と計算過程と積分定数を残し、合成関数の微分で確かめます。
0で区間を分け、xの正負の枝とdxを対応させる
この式には2xという因数がありません。逆向きにxを表すときの枝・微分と、区間内の往復を確認します。
合成関数の微分で2x cos(x²)へ戻る
外側sinの微分cosと内側x²の微分2xの積が元の式です。
記述問題の解答・確認の観点
∫(3x+2)⁴dxを、t=3x+2と置いて求めます。dtとdx、元の変数へ戻した全原始関数を示し、微分して確かめてください。さらに∫[0,1](3x+2)⁴dxを、両端の対応表を残して求めます。
dt=3dx、dx=dt/3。不定積分は(1/3)∫t⁴dt=t⁵/15+C=(3x+2)⁵/15+C（全実数）。微分は5×3(3x+2)⁴/15で元の式。定積分の対応はx=0→t=2、x=1→t=5で、(5⁵−2⁵)/15=1031/5。元のxの原始関数の端点の差でも一致する。
生徒の置き換え・係数・C・微分、両端の表と正確な端点差を見ます。
I=∫[−1,0]√(4x+5)dxです。元の実数の定義域、新しい変数と微分、両端を示して計算し、元の変数の原始関数でも確かめてください。
根号の実数の定義域はx≧−5/4で、指定区間では内部が正。t=4x+5、dx=dt/4、x=−1,0→t=1,5。I=(1/4)∫[1,5]t^(1/2)dt=(5√5−1)/6。原始関数(4x+5)^(3/2)/6の微分は√(4x+5)で、指定した二端の差も同じ。
生徒の元の範囲・1/4・両端と全積分、正確な根号の値と微分検算を見ます。
∫3e^(3x−1)dxとI=∫[0,1]3e^(3x−1)dxを求めます。どの部分を新しい変数とするか、係数と両端、Cの扱いを示し、微分検算で確かめてください。
t=3x−1、dt=3dxなので不定積分はe^t+C=e^(3x−1)+C（全実数）。微分は3e^(3x−1)。定積分はx=0,1→t=−1,2でI=∫[−1,2]e^t dt=e²−e^(−1)。同じCは端点の差で消える。
生徒の選択理由・3との対応・全原始関数と微分、−1と2の両端・正確な値を見ます。
∫dx/(2x−3)について、元の除外点を示し、その左右の区間で原始関数を求めて微分で確かめます。区間ごとの積分定数も説明してください。さらにI=∫[2,4]dx/(2x−3)を計算します。除外点をまたぐ積分はこの課題に加えません。
x≠3/2。t=2x−3、dx=dt/2から(1/2)ln|2x−3|+C。x<3/2とx>3/2では別々のCを選べる。各区間で微分すると(1/2)×2/(2x−3)=1/(2x−3)。定積分は全体がx>3/2、tの両端1と5からI=(1/2)ln5。除外点を端点の通常代入で飛び越えない。
生徒の除外点・左右の区間と定数、絶対値を保つ式と計算過程・微分と正の範囲での定積分を見ます。
I=∫[−1,1](4−2x)²dxです。t=4−2xの対応表を書き、まず変換した両端の向きのまま、次に両端を小さい順へ直した式で求めます。二つの負号の扱いと、展開した元の式による別計算も示してください。
dt=−2dx、dx=−dt/2。x=−1,1→t=6,2なのでI=−(1/2)∫[6,2]t²dt=(1/2)∫[2,6]t²dt=(216−8)/6=104/3。元は16−16x+4x²で原始関数16x−8x²+(4/3)x³、−1から1の差も104/3。
生徒の6→2という対応・負の係数・向き変更による符号、同値な全積分と別計算を見ます。
I=∫[−3,3]√(9−x²)dxを、x=3sinθ、−π/2≦θ≦π/2として求めます。元の定義域と両端、dx、平方根を戻すときの絶対値と符号を示してください。cos²θ=(1+cos2θ)/2を使い、半円の面積でも検算します。
元は−3≦x≦3で連続。両端−3,3はθ=−π/2,π/2、選んだ範囲ではsinθは単調に対応する。dx=3cosθ dθ、√(9−x²)=3|cosθ|=3cosθなのでI=9∫[−π/2,π/2]cos²θ dθ=9[θ/2+sin2θ/4]の差=9π/2。半径3の半円の面積とも一致。平方根とdxの二つの因数を保つ。
生徒の範囲・両端と微分、絶対値を外せる理由・9cos²θの式と計算過程、正確な値と別の面積検算を見ます。
I=∫[−1,2]x/√(x²+1)dxです。t=x²+1の対応をx=−1,0,2で表し、0で二つに分けた積分で求めます。次に原始関数を元のxで微分し、分けずに元の両端を代入して照合してください。「置き換えが単調でなければ、どんな原始関数の検算も使えない」という説明を直します。
tの対応は2→1→5で往復する。dt=2x dxより、分割した式は(1/2)∫[2,1]t^(−1/2)dt+(1/2)∫[1,5]t^(−1/2)dt=(1−√2)+(√5−1)=√5−√2。F(x)=√(x²+1)は全実数で微分可能でF′=x/√(x²+1)。従って元の両端の差F(2)−F(−1)でも同じ値。0で逆関数のdxを割り算で作らず、合成式の微分で元の式を検算する。gが非単調でも、全区間で有効なF(g(x))という原始関数の検算まで禁止されるわけではない。
生徒の三点の表・分割と向き・1/2の因数、全区間での微分検算・同じ正確な値・主張の修正を見ます。
友達はI=∫[0,1]√(2x+3)dxで「t=2x+3だからI=∫[0,1]√t dt=2/3」としました。元の定義域、dtとdx、両端の対応から説明を直し、正確なIと微分検算を示してください。
元の実数の定義域はx≧−3/2で指定区間はその中。dt=2dxなのでdx=dt/2、x=0,1はt=3,5。係数と両端の二つが誤り。I=(1/2)∫[3,5]√t dt=(5√5−3√3)/3。元の原始関数(2x+3)^(3/2)/3を微分すると√(2x+3)へ戻り、元の両端の差でも一致。
生徒の二つの誤りの区別・全対応・正確な根号の値と微分による検算を見ます。
F′(x)=2x e^(x²)、F(0)=4です。置換積分でF(x)を求め、微分条件と初期条件の両方へ戻して確かめてください。さらに∫[0,1]2x e^(x²)dxを求め、F(1)そのものとの違いを説明します。
t=x²、dt=2x dxからF=e^(x²)+C。F(0)=1+C=4なのでC=3、F(x)=e^(x²)+3（全実数）。微分は2x e^(x²)。定積分はt=0,1からe−1で、F(1)=e+3とは異なる。F(1)−F(0)=(e+3)−4=e−1で照合する。置き換えを元へ戻し、元の初期条件で定数を決める。
生徒の置き換えとC・元の二条件への代入、両端・定積分とF(1)の区別を見ます。
aを1,2から、bを1,3から、mを1,2から一つずつ選び、I=∫[0,1]a(ax+b)^m dxを作ります。選んだ値と具体式、新しい変数・微分・両端の対応表、全積分と正確な値を示し、元の変数の原始関数でも確かめてください。全8条件を解くことは必須にしません。
どの条件の組合せでもa>0、t=ax+b、dt=a dx、両端bとa+b。I=∫[b,a+b]t^m dt=((a+b)^(m+1)−b^(m+1))/(m+1)。元の原始関数(ax+b)^(m+1)/(m+1)を微分するとa(ax+b)^m。作例a=2,b=3,m=2ではI=(5³−3³)/3=98/3。生徒の一組と全計算・検算を認め、8条件は生徒の課題数に数えない。
生徒の選んだ一組・元の式とdt、両端の表・正確な全積分と微分検算を見る。同値な別解も認める。