変化率を使う前に、目的・定義域と最値の達成を確かめる

面積48cm²の長方形の一辺をx cmとします。図と正の長さの条件から他辺と周長P(x)を一変数で表し、周長の最小値とそれを取る二辺を求めてください。導関数・全候補と符号、x→0+とx→∞での振る舞い、元の面積と単位を確かめます。

x>0、他辺48/x>0。P=2x+96/x、P′=2−96/x²=2(x²−48)/x²。正の候補x=4√3で、0<x<4√3では負、それより大きいと正。両端方向でP→∞なので唯一の最小点。二辺はどちらも4√3cm、最小周長16√3cm。面積(4√3)²=48cm²を満たす。相加相乗平均を正の二辺へ適用する正しい別解も認める。

生徒の図・x>0・消去した他辺と目的の周長、全候補・増減と両極限、正確な二辺・周長と面積の検算を見ます。

ふた付きの円柱の体積を128πcm³に固定します。半径r cmと高さh cmは正です。体積条件からhを消去して表面積A(r)を作り、最小の表面積とr,hを求めます。さらに半径の条件を2≦r≦3に変え、元の解を使えるか、最小値と寸法を確かめ直してください。

h=128/r²、r>0。A=2πr²+2πrh=2πr²+256π/r。A′=4πr−256π/r²=4π(r³−64)/r²。正の候補r=4で負から正、r→0+と∞でA→∞。最小A=96πcm²、r=4cm,h=8cm。新条件2≦r≦3ではr=4は範囲外、A′<0で減少するのでr=3cm,h=128/9cm、最小A=310π/3cm²。端点r=2では136πcm²で比較も整合する。体積とふたを含む二つの底面を保つ。

生徒のr,hの正・体積からの消去・二底面の表面積、導関数と全範囲の増減・端の極限、条件変更後の二端点・正確な寸法と表面積・元の体積への代入を見ます。

12cm×8cmの紙の四隅から同じ一辺x cmの正方形を切り、折り上げてふたのない直方体を作る架空のモデルです。図、底辺と高さが正の条件、体積V(x)を作り、最大体積と、その体積になるすべてのxを求めます。微分で得たもう一つの候補や開区間の端をどう扱ったかも説明してください。

底辺12−2x,8−2x、高さxで0<x<4。V=x(12−2x)⁠(8−2x)=96x−40x²+4x³、V′=96−80x+12x²。零点は(10±2√7)/3で、小さいα=(10−2√7)/3だけが範囲内。大きい方は4より大きい。区間(0,α)でV′>0、(α,4)で負。両端への極限は0で、αで最大V(α)=(640+448√7)/27cm³。端点0,4は元の正の箱に含めず、得た三辺は正。

生徒の切取図・全ての正の条件・目的式、二候補の範囲判定と符号、端の極限・正確な最大値とその値を取るx・元の三辺を見ます。

架空の移動モデルで、平面上のA(0,3)mから道路上のP(x,0)mへ直線で進み、道路に沿ってB(6,0)mへ進みます。0≦x≦6、AからPは1m/s、PからBは3m/sの一定の速さと仮定します。図と各距離から所要時間T(x)を作り、最短時間とPを求めます。二乗した方程式の候補と両端、単位も確認してください。

T=√(x²+9)+(6−x)/3秒、0≦x≦6。T′=x/√(x²+9)−1/3、T″=9/(x²+9)^(3/2)>0。T′=0は3x=√(x²+9)でx≥0を確認して二乗し8x²=9、x=3√2/4だけが元の式を満たす。T′は負から正、端点T(0)=5秒、T(6)=3√5秒も比較して最小2+2√2秒。P=(3√2/4,0)m。速さや経路は計算用に仮定した条件で、実測した最速経路ではない。

生徒の図・距離を速さで割った二つの時間、閉区間・導関数と符号、二乗前の条件への検算・両端・正確な時間と地点・架空モデルの説明を見ます。

架空の数値モデルF(t)=t e^(−t/3)、0≦t≦12を最大にします。目的式の導関数、全候補と符号表、両端と候補での元の値を示し、最大値と全ての達成tを求めてください。t=12の値との比較は小数の近似だけに頼らず説明します。

F′=e^(−t/3)⁠(1−t/3)。指数の因数は正なので、0<t<3で正、3<t<12で負。候補3、F(0)=0,F(3)=3/e,F(12)=12/e⁴。増減から唯一の最大値3/eをt=3で取る。端点との直接比較も3/e>12/e⁴⇔e³>4で、既知のe>2よりe³>8>4。F′の値0を最大値としない。

生徒の積と合成による導関数・すべての符号、候補と二端点の元の値・厳密な比較、最大値と唯一の達成tを見ます。

F(x)=(6−x)ln x、1≦x≦6を最大にします。二つの導関数を求め、F′(x)=0となる点cが2<c<3にただ一つあることを示してください。そのcで最大となる理由と、F(c)を正確な式で表します。cを簡単な閉じた式に無理に直す必要はありません。2<e<3を既知として使えます。

F′=6/x−1−ln x、F″=−6/x²−1/x<0。F′は区間で連続かつ厳密に減少する。F′(2)=2−ln2>0（ln2<1）、F′(3)=1−ln3<0（ln3>1）なので中間値と単調性から一意なc∈(2,3)。F′はcの左で正、右で負。F(1)=F(6)=0、内部では正で、最大値F(c)=(6−c)ln c=(6−c)²/cを唯一のx=cで取る。cは6/c−1−ln c=0で正確に指定でき、小数だけを一意性の証明にしない。

生徒の元の範囲・二導関数、零点の存在と一意性の別々の根拠・符号、両端と最大値を取る唯一の点、零点を定める条件式と、その零点で表した正確な最大値を見ます。

C(x)=x+4/x、3≦x≦5について「微分してC′=0からx=2なので最小値4」とした説明を直してください。元の範囲、導関数の符号と二端点の値を確認し、正しい最小値とその値を取るすべてのxを説明します。

C′=1−4/x²で正の零点2は元の範囲に入らない。3≦x≦5ではC′>0なので増加。C(3)=13/3、C(5)=29/5を比較して最小値13/3をx=3で取る。無制約x>0ならx=2で最小4だが、その結論を元の閉区間へ持ち込めない。

生徒の範囲外の候補の除外・全区間の符号・両端の元の値、正しい最小値とその値を取る唯一のx・元の誤りを直す理由を見ます。

F(x)=e^(−x)について、元の範囲を①x>0、②1≦x≦2として別々に調べます。増減と必要な端の値・極限を示し、最大値・最小値があるか、あるならその値を取るすべてのxを答えてください。①の「x=∞で最小0、x=0で最大1」を直します。

F′=−e^(−x)<0。①はx→0+で1、x→∞で0へ近づくが、全ての有限なx>0で0<F(x)<1。下限0・上限1はいずれも達成せず、最大値も最小値もない。∞を変数の値とせず、0は元の範囲にない。②は連続な閉区間で減少し、最大e^(−1)をx=1、最小e^(−2)をx=2で取る。範囲変更で端点を使えるかが変わる。

生徒の導関数・単調性・二つの極限と不等式、実際には取らない上限・下限と最大値・最小値の区別、閉区間の二端点とその値を取るすべてのx・修正文を見ます。

弧度法でA(θ)=sinθ cosθ、0≦θ≦π/2です。導関数を二通りで求めて照合し、全ての内部の零点と両端を調べ、最大値・最小値とそれぞれの全達成θを求めてください。式や符号を、指定した角度範囲の図に対応させます。

積からA′=cos²θ−sin²θ=cos2θ。A=(1/2)sin2θの合成からもA′=cos2θ。内部の零点はθ=π/4だけ、左で正・右で負。両端A(0)=A(π/2)=0、A(π/4)=1/2。最大値1/2をπ/4、最小値0を0とπ/2の両方で取る。指定した閉区間の全候補と二つの最小の達成点を残す。

生徒の二導出の同値な式・内部の全候補と符号、二端点と候補の元の値、最大値と最小値とそれぞれの値を取るすべてのθ・区間の図への対応を見ます。

aを1,9から、Lを1,2から、Uを2,4から一つずつ選び、C(x)=x+a/x、L≦x≦Uを最小にする問題を作ります。元の範囲・導関数と候補、端点の値を示し、最小値とその値を取るすべてのxを求めてください。L=Uなら一点だけであることを説明します。全8条件を解くことは必須にしません。

どの条件の組合せでも0<L≦U、C′=1−a/x²、正の零点√a。L<Uなら√aより左で減少・右で増加するので、最小点は√aを[L,U]へ収めた位置。√a<LならL、√a>UならU、範囲内なら√a。L=Uはその一点の値だけで決まる。作例a=9,L=1,U=2では候補3は範囲外、C(1)=10,C(2)=13/2で最小13/2をx=2で取る。a=9,L=2,U=2でも同じ一点で最小13/2。生徒の一組と全計算・元の範囲への確認を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。

生徒の一組・正で空でない範囲、導関数と正の候補・範囲判定・端点値、正確な最小値とその値を取るすべてのxを見る。一点区間では導関数0を必須とせず、正しい同値な別解も認める。