三角・指数・対数関数を、定義域・弧度法と導出から微分する

弧度法でf(x)=sin xとします。加法定理を使い、h≠0の平均変化率{sin(x+h)−sin x}/hを二項に分けてください。基本極限sin h/h→1、(cos h−1)/h→0をどの項へ用いるかを示し、全実数xでの導関数を導きます。角の単位が前提であることも残します。

平均変化率はsin x{(cos h−1)/h}+cos x{sin h/h}。xを固定しh→0とするとsin x×0+cos x×1=cos x。従ってf′(x)=cos x（全実数）。加法定理でsin(x+h)=sin x cos h+cos x sin hとした二項の恒等式が根拠で、基本極限の角hは弧度法。度数法の数値の変化なら弧度法への係数が別に入る。

生徒の完全な二項の平均変化率・加法定理・二つの極限の対応・導関数の式と弧度法の前提を見ます。

弧度法でcos xの平均変化率を加法定理から二項へ分け、同じ二つの基本極限で導関数を導いてください。次にtan x=sin x/cos xの元の定義域を全て残し、商の公式から導関数を求めます。sin²x+cos²x=1を使う行と、分母の二乗も示してください。

cos(x+h)−cos x=cos x(cos h−1)−sin x sin h。平均変化率の極限はcos x×0−sin x×1=−sin x（全実数）。tanはcos x≠0、つまりx≠π/2+kπ（k∈Z）。商より(tan x)′={cos²x+sin²x}/cos²x=1/cos²x、同じ元の定義域で有効。負号と商の引く順から分子が和になることを確認する。

生徒のcosの二項・極限と負号、tanの全除外点・商の式と計算過程・恒等式による整理と条件を見ます。

基本極限(1+t)^(1/t)→e（t→0、t>−1,t≠0）と、正の真数でのlnの連続性を使います。ln(1+t)/t→1を説明し、a>0でのlnの平均変化率をt=h/aへ置き換えて、(ln x)′=1/xを導いてください。a+h>0を保つ条件も明記します。

ln((1+t)^(1/t))=ln(1+t)/tで、連続性から極限ln e=1。a>0を固定しh≠0を十分小さく取ればa+h>0。{ln(a+h)−ln a}/h=ln(1+h/a)/h=(1/a){ln(1+t)/t}、t=h/a→0。従って微分係数は1/a、導関数は1/x（元のx>0）。eを小数へ丸めて微分したのではなく、与えられた基本極限と対数の法則を用いる。

生徒の基本極限へのln・連続性と法則、正の条件・平均変化率の正確な置換と係数1/a、元の定義域を保つ式と計算過程を確認します。

e^xとlnが互いに逆で、それぞれの定義域内で連続とします。u=e^h−1、h=ln(1+u)を使い、ln(1+u)/u→1から(e^h−1)/h→1を説明してください。そこからe^xの平均変化率で導関数を導き、a>0,a≠1のa^xもe^(x ln a)と合成して微分します。a=1の場合も別に確認します。

h→0ではe^h→1よりu→0、h≠0ならu≠0でh=ln(1+u)。比(e^h−1)/h=u/ln(1+u)→1。e^xの平均変化率はe^x(e^h−1)/h→e^xなので(e^x)′=e^x（全実数）。a^x=e^(x ln a)から(a^x)′=a^x ln a（a>0,a≠1、全実数x）。a=1なら1^x=1という定数関数で導関数0。底のln aを落とさず、a≤0の実数全体の指数関数へ拡張しない。

生徒の逆向きの置換・0でないと連続性・比の極限・e^xの平均変化率、一般の正の底の合成と係数・底1の例外を見ます。

A(x)=ln(x²−1)、B(x)=ln|x²−1|です。元の実数の定義域をそれぞれ求め、Bではx²−1の正負を分けて、導関数の式を求めてください。x=0,2の各関数の値があるかと導関数の値を区別し、同じ導関数の式だけで元の定義域も同じとはいえない理由を説明します。

Aはx<−1又はx>1で、A′=2x/(x²−1)。Bはx≠−1,1。外側ではAと同じ、−1<x<1ではB=ln(1−x²)なのでB′=−2x/(1−x²)=2x/(x²−1)。0ではAは未定義でA′(0)もない。B(0)=ln1=0、B′(0)=0。2では両方ともln3、両導関数4/3。同じ1本の導関数の式が書けても、Aの真数は内側で負、Bの絶対値はそこで正という元の条件が違う。

生徒の二定義域・Bの正負の枝と二経路の式と計算過程、四つの値の有無と微分係数、元の条件の違いを説明する文を見ます。

弧度法でF(x)=(x+1)e^(2x)cos(3x)です。積と合成をどの順に使うかを示し、三つの項を含む導関数と整理後の式と計算過程を残してください。F(0),F′(0)を計算し、0での接線が元の点を通ることを確認します。

全実数で定義され微分可能。F′=e^(2x)cos(3x)+2(x+1)e^(2x)cos(3x)−3(x+1)e^(2x)sin(3x)=e^(2x){(2x+3)cos(3x)−3(x+1)sin(3x)}。0ではF(0)=1、F′(0)=3。接線y−1=3xで元の点(0,1)を通る。e^(2x)の内側2、cos(3x)の負号と内側3を別に確認する。

生徒の公式の順と三項・内側二係数と負号、整理前後の式と計算過程・二値・元の点と接線の照合を見ます。

弧度法でF(x)=tan(2x)です。実数の定義域を整数kを使って全て表し、合成の公式で導関数を求めます。さらにsin(2x)/cos(2x)から商の公式で求めた式と照合し、F′(0)を計算してください。「分母はcos(2x)一つだけでよい」という主張を一般式で直します。

cos(2x)≠0よりx≠π/4+kπ/2（k∈Z）。合成よりF′=2/cos²(2x)。商では{2cos²(2x)+2sin²(2x)}/cos²(2x)=2/cos²(2x)で同じ。0ではF′(0)=2。分母の二乗は商の公式から必要で、元の全除外点を保つ。0だけの一致では、cosが二乗か一乗かの式と計算過程の正しさは判定できない。

生徒の全除外点・内側2のある二つの式と恒等的な照合・指定値、商の二乗を根拠とする修正文を見ます。

A(x)=ln(ln x)、B(x)=e^(ln x)、C(x)=ln(e^x)です。元の各段の定義域を求め、内側から順に導関数の式を残してください。A′(2)を正確な式で表し、B,Cを同じxという式へ整理しても元の定義域が違うことを説明します。

Aはln x>0、従ってx>1。A′=1/(x ln x)、A′(2)=1/(2ln2)。Bは元のln xの条件x>0が必要で、B′=e^(ln x)×1/x=1（x>0）。Cはe^x>0が全実数で成立し、C′=e^x/e^x=1（全実数）。BもCも元の範囲でxと等しいが、Bの負のxや0の値を自動で定義したことにはならない。

生徒の三つの段階的な定義域・内側を含む式と計算過程と指定式、逆向きの二合成の条件の違いを見ます。

架空の直線上のモデルとして、時刻t秒、0≦t≦12で位置S(t)=2sin(πt/6)cmを考えます。角は弧度法です。式を微分して区間内部の速度と単位を求め、t=3,6,9で位置と速度を表にします。3と9の前後の進む向き、内部での速さの最大値を、三角関数の符号と評価から説明してください。実測した記録とはしません。

内部0<t<12でv(t)=S′(t)=(π/3)cos(πt/6)cm/s。表はt=3で位置2cm・速度0、6で位置0・速度−π/3cm/s、9で位置−2cm・速度0。3の前はcos正、後は負なので正方向から負方向へ、9の前は負、後は正なので逆へ向きを変える。速さは|v|≦π/3cm/s、内部t=6で等号となり最大π/3cm/s。位置の値や符号と速度・速さを分け、内側π/6の単位はrad/s、架空の数学的モデルで実測ではない。

生徒の内側係数と単位、三時刻の位置・速度の二列、前後の符号と向き・絶対値の最大値と達成時刻、モデルである説明を見ます。

aを1,2から、bを1,3から、cを2,4から一つずつ選び、F(x)=e^(ax)ln(bx+c)を作ります。元の定義域、積と合成を使う途中式、F′(x)の式と計算過程、F(0),F′(0)と0での接線を、lnやeを丸めない正確な式で残してください。全8条件を解くことは必須にしません。

b>0なので定義域x>−c/b。F′=e^(ax){a ln(bx+c)+b/(bx+c)}、F(0)=ln c、F′(0)=a ln c+b/c。接線y−ln c=(a ln c+b/c)x。作例a=2,b=3,c=4なら定義域x>−4/3、F′=e^(2x){2ln(3x+4)+3/(3x+4)}、F(0)=ln4、F′(0)=2ln4+3/4で、接線y−ln4=(2ln4+3/4)x。一組の選択と全計算・条件を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。

生徒の一組・正の真数と元の定義域・積の二項と内側係数、正確な式と計算過程・二値・元の点を通る接線を見ます。