第二次導関数から、接線の傾きの変化・凹凸と変曲点を説明する
準備14問と、生徒が二つの導関数・符号表・元の点と概形を対応させる主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学Ⅲ。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学Ⅲ(2)ア(エ)・イ(イ)、冊子78–79/PDF90–91の関数・導関数・第二次導関数とグラフの関係を踏まえた独自活動です。出版社の公開評価規準と大学の数学教材でも用語を確認しました。ここでは各区間で二回連続微分可能な具体例を中心に、凹凸と変曲点を扱います。数学Ⅲ全体・固定学年・実測や学習効果は主張しません。
解説を読む
f′は元の値の増減、f″は接線の傾きの増減を表します。符号の行を分け、f″=0だけで変曲点を決めず、元の定義域・左右の凹凸と元の点を確認します。
必要な予備知識
多項式・積・商・合成と三角・指数・対数の微分、弧度法、関数の連続性、導関数の符号と増減、接線の方程式。第二次導関数と凹凸は本文で導入します。積分・高次導関数の一般公式・曲率は前提にしません。
- 導関数f′をもう一度微分した関数が第二次導関数f″です。f′(x)は曲線の接線の傾き、f″(x)はその傾きの変化率です。元の値f、傾きf′、傾きの変化f″を三つの別の量として扱います。
- ある開区間でf″(x)>0ならf′が増加し、接線の傾きが右へ行くほど増えるのでグラフは下に凸です。f″(x)<0ならf′が減少し、グラフは上に凸です。下に凸は上向きに開く放物線の側、上に凸は下向きに開く放物線の側として言葉と式を対応させます。
- f′の正負による増加・減少と、f″の正負による凹凸は別の情報です。例えばx>0のln xは増加して上に凸、e^xは増加して下に凸です。下に凸だから必ず元の値が増加する、とはいえません。
- 本教材では、グラフ上の点の左右で上に凸と下に凸が切り替わる点を変曲点と呼びます。元の関数がその点で定義され連続であることを確認します。扱うC²の例ではf″の全零点を候補にし、左右の区間の符号を調べます。候補のxと元の値f(x)を組にして点を答えます。
- f″(a)=0だけでは変曲点とは決まりません。f(x)=x⁴ではf″=12x²で0の両側が正です。0ではf″=0ですが凹凸は切り替わらず、変曲点ではありません。ある点で0となることだけで区間の凹凸も決めません。
- 変曲点は極大・極小や水平な接線と同じ条件ではありません。f(x)=x³+xでは0の左右で凹凸が切り替わり、(0,0)は変曲点ですがf′(0)=1です。f′=3x²+1>0で増加が続き、そこで極値は取りません。
- 元の定義域から除かれるxを変曲点として採用しません。1/xでは0の左右でf″の符号が異なりますが、x=0にはグラフ上の点がありません。分かれた二つの区間の間を線でつないだり、元の穴を補ったりしません。
- 生徒の表にはx、f′、f″と元の値・形の情報を分けて書きます。零点の間ごとに因数の符号などから判断し、与えられた有限個の値だけで全区間の凹凸を断定しません。式や区間の条件を根拠にします。
- 図の軸・一様な目盛・表示区間と元の定義域を確認します。生徒が元の点、増減と凹凸・変曲点を対応させて概形を描きます。与えられた図の見た目は手掛かりであり、導関数や全区間の符号を示すことの代わりにはしません。
- 自由な二つの導関数の式、符号表・生徒の概形、全ての変曲点と元の定義域・理由を手動確認します。正しい同値な式・別表記や別解を認めます。自動採点は準備の指定有理数と選択だけです。新しい式パーサーや三次・四次の自動作図機能を前提にしません。
解き方の例
f(x)=x³−6x²ならf′=3x²−12x、f″=6x−12。x<2で上に凸、x>2で下に凸へ切り替わるので、元の値f(2)=−16から変曲点は(2,−16)です。
g(x)=−x²はg′=−2x、g″=−2です。左側で増加・右側で減少しても、全区間で上に凸です。x=0は極大の点で、凹凸が変わらないため変曲点ではありません。
よくある間違い
- f′とf″の符号の行を取り違える。
- 下に凸と上に凸を、式と逆に呼ぶ。
- f″=0の全てを、符号を調べず変曲点とする。
- 変曲点のy座標をf″の値0で答える。
- 変曲点は必ず極値又は水平な接線の点だと考える。
- 1/xのx=0のような元の除外点を、グラフ上の変曲点にする。
- 図の表示範囲を元の全定義域とする。
- 数点の値の一致だけで区間全体の凹凸を決める。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題では生徒のf′・f″の式と計算過程、元の定義域、候補と全区間の符号、元の値を使った全変曲点、f′とf″の役割・接線の傾きの説明と生徒の概形を手動確認します。T1は三次の増減と凹凸の二行、T2は図・傾きと上に凸、T3は非水平な変曲点、T4は零点でも凹凸が変わらない例、T5は二つの変曲点と極値の区別、T6は元の穴と二枝、T7は対数・指数・三角関数、T8は重根と単根の区別・接線、T9は有限表を反例で吟味する活動、T10は生徒の一組による式と計算過程と概形を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は指定有理数・選択だけです。式と計算過程・符号表・生徒のグラフ・全変曲点や理由は講師が手動確認します。C²の具体例を中心にし、二階微分が存在しない点の一般理論・積分・曲率や新しい作図機能は扱いません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。二つの導関数・符号表・自分の概形と全変曲点は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
f(x)=x⁴−2x²について、f″(1)を求めてください。
答えと解説
8
f′=4x³−4x、f″=12x²−4なので、f″(1)=8です。
図はy=2(x−1)²−1です。式を二回微分し、第二次導関数の値を求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
4
y′=4(x−1)、y″=4です。図の見た目だけでなく式から確かめます。
f(x)=x³−3x²+2でf″(x)=0となるxを求めてください。
答えと解説
1
f″=6x−6なので候補はx=1です。この後に左右の符号を確かめます。
f(x)=x³−3x²+2の変曲点のx座標は1です。元の関数からy座標を求めてください。
答えと解説
0
f(1)=1−3+2=0です。f″の値をそのままy座標にしたのではありません。
f(x)=x³+xの変曲点(0,0)における接線の傾きを求めてください。
答えと解説
1
f′=3x²+1からf′(0)=1です。変曲点の接線は必ず水平とは限りません。
x>0でf(x)=ln xです。f″(2)を求めてください。
答えと解説
−
f′=1/x、f″=−1/x²なのでf″(2)=−1/4です。
x≠0でf(x)=1/xです。f″(−2)を求めてください。
答えと解説
−
f′=−1/x²、f″=2/x³なので2/(−8)=−1/4です。
ある開区間の全てのxでf″(x)>0です。正しい対応はどれですか。
- 接線の傾きが増加し、下に凸
- 元の関数の値が必ず正
- 接線の傾きが減少し、上に凸
- 元の関数の値が必ず減少
答えと解説
接線の傾きが増加し、下に凸
f″の正はf′の増加を表します。元の値の正負やf′の正負とは別です。
第二次導関数が連続な関数でf″(a)=0と分かりました。変曲点かを調べる次の行動はどれですか。
- 必ず変曲点なので終了する
- y座標を0として終了する
- 元の点と左右の凹凸の切替えを確かめる
- f′(a)が正なら必ず極大とする
答えと解説
元の点と左右の凹凸の切替えを確かめる
零点は候補です。元の点の有無と左右の符号による凹凸を確かめます。
f(x)=x⁴のx=0について正しい説明はどれですか。
- 変曲点で、極値ではない
- 極小の点で、変曲点ではない
- 極大の点で、変曲点でもある
- 元の関数が未定義である
答えと解説
極小の点で、変曲点ではない
f′=4x³は負から正へ変わり極小ですが、f″=12x²は両側で正のため凹凸は変わりません。
f(x)=x³+xのx=0について正しい説明はどれですか。
- 極大の点だけである
- 極小で水平な接線をもつ
- 元の関数が未定義である
- 変曲点で、接線の傾きは1である
答えと解説
変曲点で、接線の傾きは1である
f″=6xは負から正へ変わり、元の点(0,0)は変曲点です。f′(0)=1です。
図はy=1/xの二つの枝です。x=0を変曲点としない理由はどれですか。
図を準備しています。
- 左側でf″が負だから
- 右側でf″が正だから
- 元の定義域に0がなく、グラフ上の点がないから
- 左右の接線の傾きが必ず等しいから
答えと解説
元の定義域に0がなく、グラフ上の点がないから
左右で凹凸は違っても、元の関数にf(0)はありません。穴を変曲点として補いません。
ln x（x>0）とe^x（全実数）について正しい説明はどれですか。
- 両方とも増加して下に凸
- ln xは増加して上に凸、e^xは増加して下に凸
- ln xは減少し、e^xは増加する
- 両方とも第二次導関数が0
答えと解説
ln xは増加して上に凸、e^xは増加して下に凸
ln xはf′=1/x>0・f″=−1/x²<0、e^xはf′=f″=e^x>0です。
弧度法でf(x)=sin x、定義域を0<x<2πに限定します。変曲点のx座標はどれですか。
- π
- π/2
- 3π/2
- 0
答えと解説
π
f″=−sin xは(0,π)で負、(π,2π)で正です。元の内部の点(π,0)で凹凸が切り替わります。
考え方を説明する
f(x)=x³−3x²+2です。f′とf″の式と計算過程、全零点と区間ごとの符号を別の行に書き、極大・極小と変曲点を元の点で答えてください。0,1,2での接線の傾きを表にし、傾きの変化と凹凸を対応させて概形を描きます。
答えと解説
f′=3x(x−2)、f″=6(x−1)。f′はx<0で正、0<x<2で負、x>2で正なので極大(0,2)、極小(2,−2)。f″はx<1で負、x>1で正、変曲点(1,0)。傾きf′(0)=0,f′(1)=−3,f′(2)=0。傾きは1までは減少して上に凸、1以後は増加して下に凸。概形は三点と増減・凹凸を同時に満たす。
生徒の二つの符号の行・三つの元の点、三つの傾きと変化の区間、軸・目盛と概形を見ます。
f(x)=−(x−1)²+3です。二つの導関数とx=0,1,2での接線の傾きを求め、三点と接線を自分で描いてください。増減する区間を分けても凹凸は変わらない理由と、極大の点が変曲点かを説明します。
答えと解説
f′=−2(x−1)、f″=−2。点は(0,2),(1,3),(2,2)、傾きは2,0,−2。接線は順にy=2x+2、y=3、y=−2x+6。全実数で傾きが減少し上に凸。x<1で増加、x>1で減少し極大(1,3)だが、凹凸の切替えがなく変曲点ではない。
生徒の三点・三接線、二つの導関数、f′とf″の区間の違い・極大と変曲点の区別を見ます。
f(x)=x³+xです。二つの導関数と符号を調べ、全ての変曲点とそこでの接線を求めて概形を描きます。「変曲点なら極値で接線は水平だ」という主張を、この例で直してください。
答えと解説
f′=3x²+1>0で全実数上増加し極値なし。f″=6xはx<0で負、x>0で正。上に凸から下に凸へ切り替わる元の点(0,0)が唯一の変曲点。そこで傾き1、接線y=x。変曲点は極値や水平な接線を必要としない。
生徒のすべての符号・元の一点と非水平な接線、増加が続く概形と反例による修正文を見ます。
f(x)=x⁴です。二つの導関数、0の左右の符号と元の値を示し、0が極値か・変曲点かを別に判定してください。「f″(0)=0だから変曲点」という説明を直し、軸・目盛を付けて概形を描きます。
答えと解説
f′=4x³、f″=12x²。f′は左で負・右で正、f(0)=0より極小(0,0)。f″は左右とも正で下に凸が続くので変曲点なし。f″の零点は候補にすぎず、左右の凹凸の切替えが必要。0でf″が0でも下に凸であることと矛盾しない。
生徒の別々の符号・元の値・二判定、零点と切替えの違いを述べる修正文と概形を見ます。
f(x)=x⁴−4x³です。f′、f″を因数分解し、全零点で区間を分けた符号表と概形を作ってください。全ての変曲点と極大・極小の点を元の値から答え、x=0について二つの判定を混同しない理由を説明します。
答えと解説
f′=4x²(x−3)、f″=12x(x−2)。f′はx<3で0以外は負、x>3で正、0では減少が続く。極大なし、極小(3,−27)。f″はx<0で正、0<x<2で負、x>2で正。変曲点は(0,0),(2,−16)。0は極値ではないが下に凸から上に凸へ変わる変曲点である。
生徒の0,2,3を含む全区間の二符号、元の二変曲点と極小・極大なし、0の説明と概形を見ます。
f(x)=1/xです。元の定義域、二つの導関数と各枝の増減・凹凸を求めます。元の点(−1,−1),(1,1)を入れて二枝の概形を描き、0を変曲点とする誤りを説明してください。
答えと解説
定義域x≠0、f′=−1/x²<0、f″=2/x³。各枝では減少し、x<0で上に凸、x>0で下に凸。0にはグラフ上の点がないため変曲点なし。軸へ近づく二枝を0でつながず描く。各枝での減少から、離れた全定義域を一つの区間として減少と決めない。
生徒の元の除外点・二導関数・二枝の増減と凹凸、与えた二点と穴をつながない概形・変曲点なしの理由を見ます。
A(x)=ln x、B(x)=e^x、C(x)=sin x（角は弧度法）を考えます。Aはx>0、Bは全実数、Cは0<x<2πの元の範囲で二つの導関数・増減と凹凸を調べます。各概形と全変曲点、Cの変曲点での接線を求めてください。
答えと解説
A′=1/x>0、A″=−1/x²<0で増加・上に凸、変曲点なし。B′=B″=e^x>0で増加・下に凸、変曲点なし。C′=cos x、C″=−sin x。Cは(0,π/2)増加、(π/2,3π/2)減少、(3π/2,2π)増加。凹凸は(0,π)上に凸、(π,2π)下に凸で、唯一の変曲点(π,0)。傾きcosπ=−1から接線y=−(x−π)。0と2πは指定した元の範囲に入らない。
生徒の三つの元の範囲・六導関数と全増減・凹凸、各変曲点の有無、Cの元の点を通る接線と三概形を見ます。
f(x)=x⁵/20−x³/2−x²です。f″=(x+1)²(x−2)を導き、零点−1,2の左右で符号を調べてください。全変曲点とそこでの接線を求め、「零点の個数だけ変曲点がある」という主張を直します。
答えと解説
f′=x⁴/4−3x²/2−2x、f″=x³−3x−2=(x+1)²(x−2)。x<2では−1を除き負、x>2で正。−1の左右では上に凸が続き、変曲点ではない。唯一の変曲点は元の値f(2)=−32/5から(2,−32/5)。f′(2)=−6、接線y+32/5=−6(x−2)、y=−6x+28/5。重根で符号が変わらない零点もある。
生徒の二導関数・因数分解・全区間の符号、元の一点・傾き・接線、重根と切替えを区別した修正文を見ます。
表のx=−1,0,1でF(x)=x²とG(x)=x²−2x²(x²−1)²の値はどちらも1,0,1です。式と計算過程を使って二回微分し、0の近くで凹凸が違うことを示してください。必要なら0<|x|<1/10を使えます。有限な表だけで凹凸が確定するという主張を直します。
答えと解説
F″=2で下に凸。G=−2x⁶+4x⁴−x²、G′=−12x⁵+16x³−2x、G″=−60x⁴+48x²−2。|x|<1/10ならG″<48/100−2<0で上に凸（x=0でも−2）。表の三点は同じでも、区間の凹凸は異なる。有限な表の一致だけでは断定できず、式と区間の全ての点についての根拠が要る。
生徒の三点の照合・Gの展開と二導関数・近くの区間の符号の評価、Fとの対比・主張を直す説明を見ます。
aを−1,2から、bを1,3から、cを−2,1から一つずつ選び、F(x)=(x−a)³+b(x−a)+cを作ります。二つの導関数・増減と凹凸、全変曲点とそこでの接線を、元の点と条件から求めて概形を描いてください。全8条件を解くことは必須にしません。
答えと解説
全実数でF′=3(x−a)²+b>0、F″=6(x−a)。全区間で増加・極値なし。x<aで上に凸、x>aで下に凸、唯一の変曲点(a,c)。そこで傾きb、接線y−c=b(x−a)、切片c−ab。作例a=2,b=3,c=−2ではF=(x−2)³+3(x−2)−2、変曲点(2,−2)、接線y=3x−8。一組の選択と式と計算過程・符号・元の点と概形を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組・二つの式・b>0を用いた増加と全凹凸、元の一点と接線・極値なしの理由と概形を見ます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学Ⅲ(2)ア(エ)・イ(イ)、冊子78–79/PDF90–91の関数・導関数・第二次導関数とグラフの関係を踏まえた独自活動です。出版社の公開評価規準と大学の数学教材でも用語を確認しました。ここでは各区間で二回連続微分可能な具体例を中心に、凹凸と変曲点を扱います。数学Ⅲ全体・固定学年・実測や学習効果は主張しません。 · 2026-11-05
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準備14問は指定有理数と選択です。主課題では生徒のf′・f″の式と計算過程、元の定義域、候補と全区間の符号、元の値を使った全変曲点、f′とf″の役割・接線の傾きの説明と生徒の概形を手動確認します。T1は三次の増減と凹凸の二行、T2は図・傾きと上に凸、T3は非水平な変曲点、T4は零点でも凹凸が変わらない例、T5は二つの変曲点と極値の区別、T6は元の穴と二枝、T7は対数・指数・三角関数、T8は重根と単根の区別・接線、T9は有限表を反例で吟味する活動、T10は生徒の一組による式と計算過程と概形を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
f(x)=x⁴−2x²について、f″(1)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図はy=2(x−1)²−1です。式を二回微分し、第二次導関数の値を求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³−3x²+2でf″(x)=0となるxを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³−3x²+2の変曲点のx座標は1です。元の関数からy座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³+xの変曲点(0,0)における接線の傾きを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x>0でf(x)=ln xです。f″(2)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
x≠0でf(x)=1/xです。f″(−2)を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ある開区間の全てのxでf″(x)>0です。正しい対応はどれですか。
- 接線の傾きが増加し、下に凸
- 元の関数の値が必ず正
- 接線の傾きが減少し、上に凸
- 元の関数の値が必ず減少
途中の計算・単位・理由・確認答え:
第二次導関数が連続な関数でf″(a)=0と分かりました。変曲点かを調べる次の行動はどれですか。
- 必ず変曲点なので終了する
- y座標を0として終了する
- 元の点と左右の凹凸の切替えを確かめる
- f′(a)が正なら必ず極大とする
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x⁴のx=0について正しい説明はどれですか。
- 変曲点で、極値ではない
- 極小の点で、変曲点ではない
- 極大の点で、変曲点でもある
- 元の関数が未定義である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
f(x)=x³+xのx=0について正しい説明はどれですか。
- 極大の点だけである
- 極小で水平な接線をもつ
- 元の関数が未定義である
- 変曲点で、接線の傾きは1である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図はy=1/xの二つの枝です。x=0を変曲点としない理由はどれですか。
図を準備しています。
- 左側でf″が負だから
- 右側でf″が正だから
- 元の定義域に0がなく、グラフ上の点がないから
- 左右の接線の傾きが必ず等しいから
途中の計算・単位・理由・確認答え:
ln x（x>0）とe^x（全実数）について正しい説明はどれですか。
- 両方とも増加して下に凸
- ln xは増加して上に凸、e^xは増加して下に凸
- ln xは減少し、e^xは増加する
- 両方とも第二次導関数が0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
弧度法でf(x)=sin x、定義域を0<x<2πに限定します。変曲点のx座標はどれですか。
- π
- π/2
- 3π/2
- 0
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
f(x)=x³−3x²+2です。f′とf″の式と計算過程、全零点と区間ごとの符号を別の行に書き、極大・極小と変曲点を元の点で答えてください。0,1,2での接線の傾きを表にし、傾きの変化と凹凸を対応させて概形を描きます。
f(x)=−(x−1)²+3です。二つの導関数とx=0,1,2での接線の傾きを求め、三点と接線を自分で描いてください。増減する区間を分けても凹凸は変わらない理由と、極大の点が変曲点かを説明します。
f(x)=x³+xです。二つの導関数と符号を調べ、全ての変曲点とそこでの接線を求めて概形を描きます。「変曲点なら極値で接線は水平だ」という主張を、この例で直してください。
f(x)=x⁴です。二つの導関数、0の左右の符号と元の値を示し、0が極値か・変曲点かを別に判定してください。「f″(0)=0だから変曲点」という説明を直し、軸・目盛を付けて概形を描きます。
f(x)=x⁴−4x³です。f′、f″を因数分解し、全零点で区間を分けた符号表と概形を作ってください。全ての変曲点と極大・極小の点を元の値から答え、x=0について二つの判定を混同しない理由を説明します。
f(x)=1/xです。元の定義域、二つの導関数と各枝の増減・凹凸を求めます。元の点(−1,−1),(1,1)を入れて二枝の概形を描き、0を変曲点とする誤りを説明してください。
A(x)=ln x、B(x)=e^x、C(x)=sin x（角は弧度法）を考えます。Aはx>0、Bは全実数、Cは0<x<2πの元の範囲で二つの導関数・増減と凹凸を調べます。各概形と全変曲点、Cの変曲点での接線を求めてください。
f(x)=x⁵/20−x³/2−x²です。f″=(x+1)²(x−2)を導き、零点−1,2の左右で符号を調べてください。全変曲点とそこでの接線を求め、「零点の個数だけ変曲点がある」という主張を直します。
表のx=−1,0,1でF(x)=x²とG(x)=x²−2x²(x²−1)²の値はどちらも1,0,1です。式と計算過程を使って二回微分し、0の近くで凹凸が違うことを示してください。必要なら0<|x|<1/10を使えます。有限な表だけで凹凸が確定するという主張を直します。
aを−1,2から、bを1,3から、cを−2,1から一つずつ選び、F(x)=(x−a)³+b(x−a)+cを作ります。二つの導関数・増減と凹凸、全変曲点とそこでの接線を、元の点と条件から求めて概形を描いてください。全8条件を解くことは必須にしません。
解答: 第二次導関数から、接線の傾きの変化・凹凸と変曲点を説明する
8
f′=4x³−4x、f″=12x²−4なので、f″(1)=8です。
4
y′=4(x−1)、y″=4です。図の見た目だけでなく式から確かめます。
1
f″=6x−6なので候補はx=1です。この後に左右の符号を確かめます。
0
f(1)=1−3+2=0です。f″の値をそのままy座標にしたのではありません。
1
f′=3x²+1からf′(0)=1です。変曲点の接線は必ず水平とは限りません。
−
f′=1/x、f″=−1/x²なのでf″(2)=−1/4です。
−
f′=−1/x²、f″=2/x³なので2/(−8)=−1/4です。
接線の傾きが増加し、下に凸
f″の正はf′の増加を表します。元の値の正負やf′の正負とは別です。
元の点と左右の凹凸の切替えを確かめる
零点は候補です。元の点の有無と左右の符号による凹凸を確かめます。
極小の点で、変曲点ではない
f′=4x³は負から正へ変わり極小ですが、f″=12x²は両側で正のため凹凸は変わりません。
変曲点で、接線の傾きは1である
f″=6xは負から正へ変わり、元の点(0,0)は変曲点です。f′(0)=1です。
元の定義域に0がなく、グラフ上の点がないから
左右で凹凸は違っても、元の関数にf(0)はありません。穴を変曲点として補いません。
ln xは増加して上に凸、e^xは増加して下に凸
ln xはf′=1/x>0・f″=−1/x²<0、e^xはf′=f″=e^x>0です。
π
f″=−sin xは(0,π)で負、(π,2π)で正です。元の内部の点(π,0)で凹凸が切り替わります。
記述問題の解答・確認の観点
f(x)=x³−3x²+2です。f′とf″の式と計算過程、全零点と区間ごとの符号を別の行に書き、極大・極小と変曲点を元の点で答えてください。0,1,2での接線の傾きを表にし、傾きの変化と凹凸を対応させて概形を描きます。
f′=3x(x−2)、f″=6(x−1)。f′はx<0で正、0<x<2で負、x>2で正なので極大(0,2)、極小(2,−2)。f″はx<1で負、x>1で正、変曲点(1,0)。傾きf′(0)=0,f′(1)=−3,f′(2)=0。傾きは1までは減少して上に凸、1以後は増加して下に凸。概形は三点と増減・凹凸を同時に満たす。
生徒の二つの符号の行・三つの元の点、三つの傾きと変化の区間、軸・目盛と概形を見ます。
f(x)=−(x−1)²+3です。二つの導関数とx=0,1,2での接線の傾きを求め、三点と接線を自分で描いてください。増減する区間を分けても凹凸は変わらない理由と、極大の点が変曲点かを説明します。
f′=−2(x−1)、f″=−2。点は(0,2),(1,3),(2,2)、傾きは2,0,−2。接線は順にy=2x+2、y=3、y=−2x+6。全実数で傾きが減少し上に凸。x<1で増加、x>1で減少し極大(1,3)だが、凹凸の切替えがなく変曲点ではない。
生徒の三点・三接線、二つの導関数、f′とf″の区間の違い・極大と変曲点の区別を見ます。
f(x)=x³+xです。二つの導関数と符号を調べ、全ての変曲点とそこでの接線を求めて概形を描きます。「変曲点なら極値で接線は水平だ」という主張を、この例で直してください。
f′=3x²+1>0で全実数上増加し極値なし。f″=6xはx<0で負、x>0で正。上に凸から下に凸へ切り替わる元の点(0,0)が唯一の変曲点。そこで傾き1、接線y=x。変曲点は極値や水平な接線を必要としない。
生徒のすべての符号・元の一点と非水平な接線、増加が続く概形と反例による修正文を見ます。
f(x)=x⁴です。二つの導関数、0の左右の符号と元の値を示し、0が極値か・変曲点かを別に判定してください。「f″(0)=0だから変曲点」という説明を直し、軸・目盛を付けて概形を描きます。
f′=4x³、f″=12x²。f′は左で負・右で正、f(0)=0より極小(0,0)。f″は左右とも正で下に凸が続くので変曲点なし。f″の零点は候補にすぎず、左右の凹凸の切替えが必要。0でf″が0でも下に凸であることと矛盾しない。
生徒の別々の符号・元の値・二判定、零点と切替えの違いを述べる修正文と概形を見ます。
f(x)=x⁴−4x³です。f′、f″を因数分解し、全零点で区間を分けた符号表と概形を作ってください。全ての変曲点と極大・極小の点を元の値から答え、x=0について二つの判定を混同しない理由を説明します。
f′=4x²(x−3)、f″=12x(x−2)。f′はx<3で0以外は負、x>3で正、0では減少が続く。極大なし、極小(3,−27)。f″はx<0で正、0<x<2で負、x>2で正。変曲点は(0,0),(2,−16)。0は極値ではないが下に凸から上に凸へ変わる変曲点である。
生徒の0,2,3を含む全区間の二符号、元の二変曲点と極小・極大なし、0の説明と概形を見ます。
f(x)=1/xです。元の定義域、二つの導関数と各枝の増減・凹凸を求めます。元の点(−1,−1),(1,1)を入れて二枝の概形を描き、0を変曲点とする誤りを説明してください。
定義域x≠0、f′=−1/x²<0、f″=2/x³。各枝では減少し、x<0で上に凸、x>0で下に凸。0にはグラフ上の点がないため変曲点なし。軸へ近づく二枝を0でつながず描く。各枝での減少から、離れた全定義域を一つの区間として減少と決めない。
生徒の元の除外点・二導関数・二枝の増減と凹凸、与えた二点と穴をつながない概形・変曲点なしの理由を見ます。
A(x)=ln x、B(x)=e^x、C(x)=sin x（角は弧度法）を考えます。Aはx>0、Bは全実数、Cは0<x<2πの元の範囲で二つの導関数・増減と凹凸を調べます。各概形と全変曲点、Cの変曲点での接線を求めてください。
A′=1/x>0、A″=−1/x²<0で増加・上に凸、変曲点なし。B′=B″=e^x>0で増加・下に凸、変曲点なし。C′=cos x、C″=−sin x。Cは(0,π/2)増加、(π/2,3π/2)減少、(3π/2,2π)増加。凹凸は(0,π)上に凸、(π,2π)下に凸で、唯一の変曲点(π,0)。傾きcosπ=−1から接線y=−(x−π)。0と2πは指定した元の範囲に入らない。
生徒の三つの元の範囲・六導関数と全増減・凹凸、各変曲点の有無、Cの元の点を通る接線と三概形を見ます。
f(x)=x⁵/20−x³/2−x²です。f″=(x+1)²(x−2)を導き、零点−1,2の左右で符号を調べてください。全変曲点とそこでの接線を求め、「零点の個数だけ変曲点がある」という主張を直します。
f′=x⁴/4−3x²/2−2x、f″=x³−3x−2=(x+1)²(x−2)。x<2では−1を除き負、x>2で正。−1の左右では上に凸が続き、変曲点ではない。唯一の変曲点は元の値f(2)=−32/5から(2,−32/5)。f′(2)=−6、接線y+32/5=−6(x−2)、y=−6x+28/5。重根で符号が変わらない零点もある。
生徒の二導関数・因数分解・全区間の符号、元の一点・傾き・接線、重根と切替えを区別した修正文を見ます。
表のx=−1,0,1でF(x)=x²とG(x)=x²−2x²(x²−1)²の値はどちらも1,0,1です。式と計算過程を使って二回微分し、0の近くで凹凸が違うことを示してください。必要なら0<|x|<1/10を使えます。有限な表だけで凹凸が確定するという主張を直します。
F″=2で下に凸。G=−2x⁶+4x⁴−x²、G′=−12x⁵+16x³−2x、G″=−60x⁴+48x²−2。|x|<1/10ならG″<48/100−2<0で上に凸（x=0でも−2）。表の三点は同じでも、区間の凹凸は異なる。有限な表の一致だけでは断定できず、式と区間の全ての点についての根拠が要る。
生徒の三点の照合・Gの展開と二導関数・近くの区間の符号の評価、Fとの対比・主張を直す説明を見ます。
aを−1,2から、bを1,3から、cを−2,1から一つずつ選び、F(x)=(x−a)³+b(x−a)+cを作ります。二つの導関数・増減と凹凸、全変曲点とそこでの接線を、元の点と条件から求めて概形を描いてください。全8条件を解くことは必須にしません。
全実数でF′=3(x−a)²+b>0、F″=6(x−a)。全区間で増加・極値なし。x<aで上に凸、x>aで下に凸、唯一の変曲点(a,c)。そこで傾きb、接線y−c=b(x−a)、切片c−ab。作例a=2,b=3,c=−2ではF=(x−2)³+3(x−2)−2、変曲点(2,−2)、接線y=3x−8。一組の選択と式と計算過程・符号・元の点と概形を認め、8条件を生徒の課題数には数えない。
生徒の一組・二つの式・b>0を用いた増加と全凹凸、元の一点と接線・極値なしの理由と概形を見ます。