複素数平面を使う：回転の中心・距離と軌跡の全条件

α=1−i,z=3+2iです。友達は「αのまわりに反時計回りπ/2回す像はiz」としました。中心とzを同じ単位の複素数平面へ描き、友達の像と正しい像wを求めて直してください。w−α=i(z−α)、中心からの長さと回転方向、α自身の像も式と計算過程で確かめます。

z−α=2+3i、i(z−α)=−3+2iなのでw=−2+i。友達のiz=−2+3iは別の点で、中心αを引いて戻していない。w−α=−3+2i=i(2+3i)、両方の差の絶対値は√13、商はiだから反時計回りπ/2。z=αならw=α+i0=αで中心は動かない。この場合に0の偏角や0/0は使わない。

生徒のα,z,二つの像の図と全計算、中心からの差・等距離と向き、中心の像と零の場合の区別を見ます。

R(z)=izとT(z)=z+(2−i)を考えます。先にR、その後Tを行う式と、先にT、その後Rを行う式を別々に導いてください。z=1+iの二つの像を同じ複素数平面へ描き、二つの合成が同じとは限らないことを、この計算で説明します。

T(R(z))=iz+2−i、R(T(z))=i(z+2−i)=iz+1+2i。z=1+iでは順に1と3iとなり、同じ点でない。二つの像の差は1−3iでzによらず0でない。回転と平行移動の順序を変えると、平行移動の向き自体も回される。

生徒の各順序の代入と式と計算過程、指定点の二つの像・図、式と結果の比較を見る。合成の記号の流儀は説明と計算が一致すれば認める。

w=(3+4i)z+(1−2i)という写像を調べてください。z=2−iの像、二点z₁=0,z₂=1+iの像とその距離を求め、相似比と回転の向きを、3+4iの絶対値と極形式から説明します。逆の式を導いて最初の点へ戻し、係数3+4iを0へ変えた場合には何ができなくなるかも示します。

最初の像は11+3i。z₁の像1−2i、z₂の像は(3+4i)⁠(1+i)+1−2i=5i。差は−1+7iで距離√50=5√2、もとの距離は√2。3+4i=5(cosθ+i sinθ)、cosθ=3/5,sinθ=4/5、0<θ<π/2とでき、相似比5で反時計回りθの向きの変化。逆はz=(w−1+2i)/(3+4i)。w=11+3iから(10+5i)/(3+4i)=2−iへ戻る。係数0なら全点が1−2iへ重なり、元の点を一意に復元する逆写像はない。

生徒の三つの像と距離の全計算、正の相似比・極形式の二成分と象限、0でないことが必要な逆変換、0の別扱いを見る。θの近似値を必須にしない。

α=1+i,β=3+2i、Pを5+3i、Qを−1+5iで表します。同じ単位の図を描き、(P−α)/(β−α)と(Q−α)/(β−α)を全計算して、三点の一直線上の関係と、二直線の垂直な関係をそれぞれ説明してください。点αを代入して商が0になった場合に、何を同じようには言えないかも区別します。

β−α=2+i≠0。P−α=4+2iで商2は実数、α,β,Pは一直線上。Q−α=−2+4iで商2iは0でない純虚数、直線αQとαβは垂直。P,Qともαと異なるので方向がある。z=αでは商0で、三点の一直線上という条件には含められるが、αからαへの差には向きがなく直線αzを定められない。0の偏角から垂直とは言えない。

生徒の0でない分母・二つの商の全計算と図、実数・0でない純虚数の幾何学的な意味、商0と直線の方向の区別を見ます。

|z−1|=2|z+2|を満たす点の全体を、z=x+yiから式と計算過程で導き、中心と半径を付けて図に表してください。図形上の全ての点が元の条件へ戻る理由と、実軸上の二点での確認も示します。さらに、距離比2を1に変えた|z−1|=|z+2|の全体を導き、円か直線かを比較します。

最初は(x−1)²+y²=4((x+2)²+y²)と同値で、(x+3)²+y²=4。中心−3、半径2の円全体。元の両距離は非負なので、二乗の等式からも|z−1|=2|z+2|へ戻る。実軸上のz=−1では2=2×1、z=−5では6=2×3。z=−2は元の式3=0を満たさず、円上にもないので追加の穴にはしない。比1なら(x−1)²+y²=(x+2)²+y²からx=−1/2で、1と−2の垂直二等分線。

生徒の二つの元の条件から全方程式・図、二乗の往復と非負、二つの円上の代入、z=−2を元に戻す確認と比1の直線を見ます。

(z−1)/(z+1)が0でない純虚数となる点zの全体を求め、除く点が分かる図を描いてください。実部を0にする全計算と逆向きの確認を示し、z=i,1,−1をそれぞれ元の商へ戻して、円の式だけでは足りない理由を説明します。

まずz≠−1。z=x+yiとして共役を掛けると商=(x²+y²−1+2yi)/((x+1)²+y²)。分母は正なので実部0はx²+y²=1。0でない条件から分子z−1≠0、すなわちz≠1も必要。軌跡は単位円から二点±1を除く。逆にその円上で±1以外なら分母は0でない、実部0、商も0でないので条件を満たす。z=iの商はi、z=1の商は0で0でない純虚数でなく、z=−1は定義されない。

生徒の定義条件・共役を掛けた式と計算過程、正の分母、円の全体から二点を除く図と逆の包含、三つの異なる判定を見ます。

α=1+iのまわりに時計回りπ/2回すR(z)=α−i(z−α)で、円|z−(3+i)|=2の像全体を求めてください。もとの円と像の円を同じ図へ描き、中心と半径、二点z=5+iとz=αの像を確かめます。逆変換を使って像の円上の任意の点が元へ戻ることも式と計算過程で示してください。

もとの中心c=3+iの像はc′=α−i(c−α)=1−i。w−c′=−i(z−c)だから|w−(1−i)|=2で、像は中心1−i、半径2の円全体。5+iの像は1−3i、αの像はα=1+iで、どちらも像の円上。逆はz=α+i(w−α)で、z−c=i(w−c′)。像の円上の全てのwから|z−c|=2へ戻るので欠ける点はない。中心αの像も式で確かめ、0の偏角は使わない。

生徒の両円と中心・二点の像の全計算、絶対値の保存、逆の式と全体の包含の往復、中心での零の扱いを見ます。

z³=8の全ての複素数の解を、極形式から導いて同じ単位の複素数平面へ描いてください。異なる根を漏れなく数え、三乗して元へ戻し、三点の原点からの距離と、隣り合う二点間の長さを求めて図形を説明します。

|z|=2で、偏角は2kπ/3（k=0,1,2）。根は2,−1+√3i,−1−√3iの三つで、偏角を2πだけ増やしても同じ点。2の三乗は8、(−1±√3i)²=−2∓2√3i、その数をさらに掛けると8。原点からの距離はいずれも2、各辺の長さは√(9+3)=2√3または|2√3i|=2√3で、単位をそろえた図では半径2の円に内接する正三角形。0は解でない。

生徒の正の絶対値・三つの異なる角と全根、各根の三乗の式と計算過程、三つの距離と三辺の長さ・図、重複と漏れのない説明を見ます。

友達は「|z|=|w|なら必ずw=izで、原点中心に反時計回りπ/2回した」としました。0でない具体例で反例を作り、同じ長さからは何が言え、どの条件なら指定の回転だと確かめられるか説明してください。z=w=0のときは等式と商・偏角を分けて扱います。

反例はz=1,w=−1で、絶対値はともに1だがiz=i≠−1。z≠0なら同じ長さから|w/z|=1とは言えるが、商の偏角は指定できない。反時計回りπ/2の像はw/z=i、すなわちw=izで確かめる。z=w=0ではw=iz自体は成り立つが、w/z=0/0と0の偏角は定義されない。原点はその回転で動かない点として式で扱う。生徒の別の正しい反例も認める。

生徒の0でない反例・絶対値と積の全検算、長さと特定の角の区別、商を定義する条件、原点で成り立つ等式と定義されない商の区別を見ます。

pを−1,2から、qを0,1から、εを−1,1から一つずつ選び、α=p+qiを中心とするR(z)=α+εi(z−α)を作ってください。二点z₁=α+2+i,z₂=α−1+2iとその像を同じ単位の図へ描き、各像・中心の像・中心からの長さ・二つの方向の垂直を全計算で示します。逆の式から両点へ戻してください。八条件全ては必須にしません。

作例p=2,q=1,ε=−1ならα=2+i、z₁=4+2i,z₂=1+3i。時計回りπ/2でw₁=3−i,w₂=4+2i、中心はαのまま。両入力と両像の中心からの長さは√5。入力の差は2+iと−1+2iで商i、像の差は1−2iと2+iで商iだから二方向は垂直。逆z=α−εi(w−α)で両方戻る。一般にw₁=(p−ε)+(q+2ε)i、w₂=(p−2ε)+(q−ε)i。両差は元の差へ同じεiを掛け、絶対値1なので長さを保ち、商もiのまま。中心の差0へは偏角を使わない。生徒の別の許された一組・同値式・別解も認める。

生徒の三条件・回転方向と四点の全座標・図、中心が固定される式、両方の長さと0でない商・垂直、逆の式で両点に戻す全計算を見る。八組を八課題とは数えない。