内積の条件：角を作れるか、何に射影するかを確かめる
準備14問と、生徒が内積・非零の条件・図と射影の二つの条件を確かめる主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学C。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学C(1)ア(イ)・イ(イ)、冊子117〜118/PDF129〜130の内積・その基本的な性質と図形の考察を踏まえた独自活動です。直線への射影は、内積0の条件から式を導く補助的な応用として扱います。空間・行列の射影・数学C全体・固定学年や実際の仕事量の測定は主張しません。
解説を読む
内積の値、二つのベクトルのなす角、符号を持つ方向成分、射影ベクトルの大きさは別の量です。零ベクトルや単位でない方向も区別し、角度の式や射影の式に必要な条件を先に確かめます。
必要な予備知識
平面ベクトルの成分・和差・実数倍と位置ベクトル、二点間の距離、分数と根号の計算、三角比のcosと0°から180°までの値。a,bをベクトル、tを実数とします。eを使う箇所ではeは長さ1の方向ベクトルで、自然対数の底ではありません。
- 平面の成分でa=(a₁,a₂)、b=(b₁,b₂)ならa·b=a₁b₁+a₂b₂です。結果はベクトルでなく実数で、a·a=|a|²です。この成分の計算は零ベクトルにも使えます。
- a,bが両方零でないとき、なす角θを0°≦θ≦180°としてa·b=|a||b|cosθです。cosθ=(a·b)/(|a||b|)を使う前に両方の大きさを確認します。一方が零なら内積は0でも、この式で角を90°と決めません。
- 両方零でないとき、内積が0ならなす角は90°、正なら0°≦θ<90°、負なら90°<θ≦180°です。負の内積には180°の逆向きも含むので、必ず90°より大きく180°より小さい角だとは限りません。
- 内積は交換a·b=b·a、分配a·(b+c)=a·b+a·c、実数倍(ta)·b=t(a·b)を満たします。長さの二乗の展開では、たとえば|a−b|²=|a|²−2a·b+|b|²です。内積をベクトルの積のように扱って成分を省きません。
- 長さ1の方向ベクトルeに対するaの符号付き方向成分はa·eです。負でもよく、非負の長さそのものとは区別します。その方向の直線への射影ベクトルは(a·e)eで、大きさは|a·e|です。
- 零でない方向ベクトルbへの射影をp=t bと置きます。残差の内積(a−t b)·b=0からt=(a·b)/(b·b)、p=((a·b)/(b·b))bを得ます。bが単位でなければ分母b·bを落としません。
- 射影の確認は、pがbの実数倍であることと、残差a−pのbとの内積が0であることの両方です。残差だけの内積0ではpがその直線にあるとは限りません。aが既にその直線上なら残差0も正しく、零の残差に角度は付けません。
- b=0ではこの公式の分母が0で、方向の直線を定められません。この教材の射影公式には代入しません。一方a=0でもb≠0ならp=0となり、射影の計算自体はできます。角の定義の条件とは区別します。
- 準備の自動採点は指定有理数と選択だけです。主課題の生徒の矢印・角・垂線の図、自由な内積とcos・根号・射影ベクトルの式と計算過程、0でない条件と二つの確認は手動確認します。正しい同値式・別解も認めます。
- 生徒の自作課題では選んだ一組と図・全計算・検算を確認します。8条件を8題とは数えません。一般の空間や部分空間・行列の射影、外積、実際の力や仕事量の測定には広げません。
解き方の例
a=(1,2)、b=(2,−1)ならa·b=2−2=0。どちらの大きさも√5で零でないので、なす角は90°です。a=0なら内積0だけから同じ角度の結論は出せません。
a=(3,4)、b=(2,0)ならa·b=6、b·b=4なのでt=3/2、p=t b=(3,0)。残差(0,4)のbとの内積は0で、pもbの実数倍です。bを単位ベクトルe=(1,0)へ直した符号付き成分はa·e=3で、t=3/2と同じ数ではありません。
よくある間違い
- 内積の結果を二成分のベクトルとする。
- 零ベクトルとの内積0から角度90°を決める。
- 内積が負なら180°は含まないと思う。
- cosの分母の二つの大きさを落とす。
- 単位でない方向でも射影の分母b·bを省く。
- 負の方向成分を負の長さと呼ぶ。
- 符号付き成分・射影の係数・射影ベクトルを同じ量とする。
- 残差の内積0だけを調べ、射影先の直線を確かめない。
- 直線への射影と線分内への制限を混ぜる。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の図、内積と大きさ、角を作る0でない条件、射影先と残差の両確認を見ます。T1は内積とcos、T2は0でない垂直な全ての方向、T3は全てのパラメータと検算、T4は負の内積と180°、T5は単位でない方向への射影の導出、T6は負の成分と向きの反転、T7は残差だけを調べた誤説明、T8は始点のある直線への垂線の足、T9は直交分解と二乗の展開、T10は生徒の一組と全ての条件を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。生徒の矢印・角・垂線の図、自由なcos・根号と射影の式と計算過程、0でない条件と全ての検算は手動確認します。平面の内積と直線への射影を扱い、空間・外積・行列や一般の部分空間の射影・実際の仕事量の測定は扱いません。
練習する
自動採点は準備の有理数・選択だけです。自由な内積・cos・根号・射影の式と計算過程や図、0でない条件と二つの確認は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
a=(2,−1)、b=(3,4)です。内積a·bを求めてください。
答えと解説
2
2×3+(−1)×4=2です。内積は実数です。
図でO(0,0)からA(2,2)へ向かうaと、OからB(3,0)へ向かうbがあります。成分から内積a·bを求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
6
a·b=2×3+2×0=6です。図の角度を測って答える必要はありません。
a=(3,−4)です。大きさの二乗|a|²を求めてください。
答えと解説
25
a·a=3²+(−4)²=25です。大きさそのものは5です。
a=(1,2)、b=(2,−1)です。内積a·bを求めてください。
答えと解説
0
1×2+2×(−1)=0。どちらも零でないので、この場合は角度90°にも対応します。
a=(3,4)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き方向成分a·eを求めてください。
答えと解説
3
長さ1のeとの内積は3×1+4×0=3です。
a=(−3,4)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き方向成分a·eを求めてください。
答えと解説
−3
内積は−3です。射影ベクトルは(−3,0)、その大きさは非負の3で、符号付き成分とは区別します。
a=(3,4)、b=(2,0)です。aのbが定める直線への射影をp=t bと表すとき、tを求めてください。
答えと解説
t=(a·b)/(b·b)=6/4=3/2。射影ベクトルは(3,0)です。
a=(1,0)、b=(1,√3)です。両方零でないことを確かめ、なす角を求めるとどれですか。
- 30°
- 60°
- 90°
- 120°
答えと解説
60°
内積1、大きさ1と2からcosθ=1/2。0°から180°の範囲でθ=60°です。
a=0、b≠0でa·b=0です。この情報からいえることはどれですか。
- 必ずなす角90°である
- 必ずなす角0°である
- 内積は0だが、aに方向がないためなす角はこの式では定義できない
- 必ずbも零である
答えと解説
内積は0だが、aに方向がないためなす角はこの式では定義できない
角度の式の分母|a||b|が0です。成分の内積は定義できても角度の式は使えません。
a,bは両方零でなく、a·b<0です。0°≦θ≦180°のなす角について正しい範囲はどれですか。
- 0°≦θ<90°
- θ=90°
- 90°<θ<180°だけで、180°は除く
- 90°<θ≦180°
答えと解説
90°<θ≦180°
cosθ<0に対応し、逆向きの180°も含まれます。
零でないbが定める直線へaを射影します。正しい射影ベクトルpはどれですか。
- ((a·b)/(b·b))b
- (a·b)b
- ((a·b)/|b|)b
- (b·b)a
答えと解説
((a·b)/(b·b))b
bが単位でないときも使えるよう、b·bで割ります。
b≠0です。候補pがaのbが定める直線への射影か確かめる条件はどれですか。
- 残差のbとの内積0だけ
- pの大きさが|a|と同じことだけ
- pがbの実数倍で、かつ(a−p)·b=0
- pとaの成分が必ず全て等しいこと
答えと解説
pがbの実数倍で、かつ(a−p)·b=0
射影先の直線にある条件と残差の条件を両方確認します。
eは単位ベクトル、a·e=−2です。射影ベクトルp=(a·e)eの大きさはどれですか。
- −2
- 2
- 0
- eの成分によらず未定義
答えと解説
2
p=−2eはeの逆向きですが、大きさは|−2|=2です。
b=0をp=((a·b)/(b·b))bへ代入しようとしました。この教材での正しい扱いはどれですか。
- 0で割ってから0を掛ければよい
- 方向は常にx軸と決めればよい
- なす角を90°と決めれば使える
- 分母が0で方向の直線も定められないため、この公式には代入しない
答えと解説
分母が0で方向の直線も定められないため、この公式には代入しない
ここでは零でない方向への直線の射影を扱います。零で割る式を作りません。
考え方を説明する
a=(2,−1)、b=(3,4)です。共通の始点から二本の矢印を描き、内積・二つの大きさ・cosθを正確に求めてください。角を作る条件と角の範囲を示し、なす角が90°より小さいか大きいか説明します。角度の近似値は必須にしません。
答えと解説
a·b=6−4=2、|a|=√5、|b|=5でどちらも0でない。cosθ=2/(5√5)=2√5/25。0<cosθ<1なので0°<θ<90°。生徒の図と、内積の値2・大きさ・cosという異なる量を区別する。共通始点への平行移動は向きを保つ。
生徒の二本の矢印と0でない条件、内積・二つの大きさ・正確なcos、符号から角の範囲を示す全説明を見ます。
a=(3,4)に対し、内積が0となる平面ベクトルb=(x,y)を全て表してください。そのうち幾何学的になす角90°を考えられる条件を分け、自分の図と成分による検算を示します。零ベクトルも式の解になることを取り違えないようにします。
答えと解説
a·b=3x+4y=0。全ての解はb=t(4,−3)（tは任意の実数）。t=0の零ベクトルも内積の式を満たすが、角度90°をいうときはt≠0で両方0でない。代入すると3(4t)+4(−3t)=0。生徒の図はaと垂直な両向きの直線方向を示し、零の向きは描き足さない。
生徒の全ての関係式と実数tによる全ての解の表示、代入検算・t=0とt≠0の違い、0でない二方向の図を見ます。
a=(t,1)、b=(t,−2)のなす角を90°にする全ての実数tを求めてください。0でない条件と内積の式と計算過程、全解を示し、それぞれの解を元の二成分へ戻して確かめます。
答えと解説
第2成分が1と−2なのでどちらも全てのtで0でない。a·b=t²−2=0からt=√2またはt=−√2。両方を代入すると内積2−2=0で角度90°。二乗の方程式から正の解だけを残さない。生徒の二組の矢印または条件図を確認する。
生徒の0でない理由・内積式と二つの全解、各元の式への検算・図を見ます。
a=(1,0)に対し、b=(−1,√3)とc=(−2,0)とのなす角をそれぞれ求めます。内積・大きさ・cosと図を使い、「内積が負なら必ず90°より大きく180°より小さい」という説明を直してください。
答えと解説
a·b=−1、|a|=1、|b|=2からcosθ=−1/2でθ=120°。a·c=−2、|c|=2なのでcosφ=−1、φ=180°。どちらの組も二つのベクトルが0でなく、内積は負である。逆向きの180°も含まれる。正しくは90°<角≦180°。生徒の図にbの左上向きとcの逆向きを示す。
生徒の両内積・大きさ・cosと120°、180°、0でない条件・図と誤った上限の修正を見ます。
a=(4,1)、b=(2,1)です。射影をp=t bと置き、(a−t b)·b=0からtとpを導いてください。pがbの実数倍であることと残差の内積を、図と全成分で確かめます。さらにbと同じ向きの単位ベクトルe、符号付き成分a·e、射影の大きさを求めます。
答えと解説
a·b=9、b·b=5。残差の条件9−5t=0からt=9/5、p=(18/5,9/5)。a−p=(2/5,−4/5)でbとの内積4/5−4/5=0、p=(9/5)bも成立。e=(2/√5,1/√5)、a·e=9/√5、|p|=9/√5。t=9/5、方向成分9/√5、ベクトルpは別の量。図にpと残差をつなぎaに戻す。
生徒の0でないb・係数を導く式と計算過程、全成分・射影先と残差の両確認、単位ベクトルと符号付き成分・大きさの区別を見ます。
a=(−2,3)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き成分、射影ベクトルpとその大きさ、残差を図と式で示してください。次に方向を−eへ替え、符号付き成分と同じ直線への射影ベクトルがどうなるか確かめます。
答えと解説
a·e=−2、p=−2e=(−2,0)、|p|=2、残差a−p=(0,3)でeとの内積0。方向を−e=(−1,0)へ替えるとa·(−e)=2だが、射影は2(−e)=(−2,0)で同じ。符号付き成分は方向の選び方で逆符号になるが、同じ直線への射影とその大きさは変わらない。生徒の図でpはeの逆向きに置く。
生徒の負の成分・非負の大きさ・全ベクトルと残差、方向反転後の両計算と同じ直線の図を見ます。
a=(2,3)、b=(1,1)について、友達は候補c=(1,4)の残差a−cがbとの内積0なので「cはaの射影」としました。この計算と射影先の条件を別々に確かめ、説明を直してください。正しい射影pを求め、両条件と図で検算します。
答えと解説
a−c=(1,−1)、(a−c)·b=0という計算は正しい。しかしc=(1,4)はb=(1,1)の実数倍でなく、方向の直線上にない。正しいp=((2+3)/(1+1))b=(5/2,5/2)。残差a−p=(−1/2,1/2)のbとの内積0で、p=(5/2)bも成立。生徒の図は直線上のpと直線外のcを分ける。
生徒が友達の正しい内積計算まで否定せず、欠けた射影先の条件を示すこと・正しいp・両条件と図を見ます。
A(1,−1)、B(3,0)、P(4,3)です。直線ABへのPからの垂線の足Hを、d=B−A、u=P−Aの内積による射影で求めてください。Hが直線上にあることとP−Hのdとの内積、距離PHを図と式で確かめます。ここでは線分ABの内部への制限は付けません。
答えと解説
d=(2,1)≠0、u=(3,4)。t=(u·d)/(d·d)=10/5=2、H=A+t d=(5,1)。H−A=2dで直線上。P−H=(−1,2)でdとの内積−2+2=0、PH=√5。t=2でHはBの先だが、直線への足なので正しい。生徒の図にA,B,Hの順とPからの垂線を示す。
生徒の始点Aを引く操作・0でない方向とt、Hの全座標・直線上と内積0の両確認、√5と直線・線分の違いを見ます。
a=(4,1)、p=(18/5,9/5)、r=(2/5,−4/5)です。a=p+rとp·r=0を成分で確かめ、内積の分配法則から|p+r|²=|p|²+2p·r+|r|²を導いてください。この場合の三つの大きさの二乗を正確に求め、図と式で照合します。
答えと解説
p+r=(4,1)=a、p·r=(36−36)/25=0。分配で(p+r)·(p+r)=p·p+p·r+r·p+r·r=|p|²+2p·r+|r|²。|a|²=17、|p|²=(324+81)/25=81/5、|r|²=(4+16)/25=4/5で、81/5+4/5=17。生徒の図でpの終点へrをつなぎaを作る。大きさ自体を単純に足す公式にはしない。
生徒の和・内積0・分配の導出、三つの正確な二乗と一致、図と長さ自体の和との区別を見ます。
uを1,3から、vを−1,2から、kを1,2から一つずつ選び、a=(u,v)、b=(k,1)を作ります。bの定める直線へのaの射影pを、係数・全成分と図で示してください。b≠0、pがbの実数倍、残差の内積0を確認し、単位ベクトルeと符号付き成分も求めます。全8条件は必須にしません。
答えと解説
b=(k,1)は0でない、t=(uk+v)/(k²+1)、p=t(k,1)、残差(u−kt,v−t)でbとの内積uk+v−t(k²+1)=0。e=(k,1)/√(k²+1)、a·e=(uk+v)/√(k²+1)。作例u=1,v=−1,k=1ならt=0、p=0、残差(1,−1)のbとの内積0で、符号付き成分も0。射影が零でもbの方向の直線は定まっている。生徒の一組と図・全検算を確認し、8条件を8題と数えない。
生徒の選択・0でないbと具体式、係数と全成分・射影先と残差の両条件、単位ベクトルと符号付き成分を見る。同値式と別解も認める。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学C(1)ア(イ)・イ(イ)、冊子117〜118/PDF129〜130の内積・その基本的な性質と図形の考察を踏まえた独自活動です。直線への射影は、内積0の条件から式を導く補助的な応用として扱います。空間・行列の射影・数学C全体・固定学年や実際の仕事量の測定は主張しません。 · 2026-11-05
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準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の図、内積と大きさ、角を作る0でない条件、射影先と残差の両確認を見ます。T1は内積とcos、T2は0でない垂直な全ての方向、T3は全てのパラメータと検算、T4は負の内積と180°、T5は単位でない方向への射影の導出、T6は負の成分と向きの反転、T7は残差だけを調べた誤説明、T8は始点のある直線への垂線の足、T9は直交分解と二乗の展開、T10は生徒の一組と全ての条件を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
a=(2,−1)、b=(3,4)です。内積a·bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図でO(0,0)からA(2,2)へ向かうaと、OからB(3,0)へ向かうbがあります。成分から内積a·bを求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(3,−4)です。大きさの二乗|a|²を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(1,2)、b=(2,−1)です。内積a·bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(3,4)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き方向成分a·eを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(−3,4)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き方向成分a·eを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(3,4)、b=(2,0)です。aのbが定める直線への射影をp=t bと表すとき、tを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(1,0)、b=(1,√3)です。両方零でないことを確かめ、なす角を求めるとどれですか。
- 30°
- 60°
- 90°
- 120°
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=0、b≠0でa·b=0です。この情報からいえることはどれですか。
- 必ずなす角90°である
- 必ずなす角0°である
- 内積は0だが、aに方向がないためなす角はこの式では定義できない
- 必ずbも零である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a,bは両方零でなく、a·b<0です。0°≦θ≦180°のなす角について正しい範囲はどれですか。
- 0°≦θ<90°
- θ=90°
- 90°<θ<180°だけで、180°は除く
- 90°<θ≦180°
途中の計算・単位・理由・確認答え:
零でないbが定める直線へaを射影します。正しい射影ベクトルpはどれですか。
- ((a·b)/(b·b))b
- (a·b)b
- ((a·b)/|b|)b
- (b·b)a
途中の計算・単位・理由・確認答え:
b≠0です。候補pがaのbが定める直線への射影か確かめる条件はどれですか。
- 残差のbとの内積0だけ
- pの大きさが|a|と同じことだけ
- pがbの実数倍で、かつ(a−p)·b=0
- pとaの成分が必ず全て等しいこと
途中の計算・単位・理由・確認答え:
eは単位ベクトル、a·e=−2です。射影ベクトルp=(a·e)eの大きさはどれですか。
- −2
- 2
- 0
- eの成分によらず未定義
途中の計算・単位・理由・確認答え:
b=0をp=((a·b)/(b·b))bへ代入しようとしました。この教材での正しい扱いはどれですか。
- 0で割ってから0を掛ければよい
- 方向は常にx軸と決めればよい
- なす角を90°と決めれば使える
- 分母が0で方向の直線も定められないため、この公式には代入しない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
a=(2,−1)、b=(3,4)です。共通の始点から二本の矢印を描き、内積・二つの大きさ・cosθを正確に求めてください。角を作る条件と角の範囲を示し、なす角が90°より小さいか大きいか説明します。角度の近似値は必須にしません。
a=(3,4)に対し、内積が0となる平面ベクトルb=(x,y)を全て表してください。そのうち幾何学的になす角90°を考えられる条件を分け、自分の図と成分による検算を示します。零ベクトルも式の解になることを取り違えないようにします。
a=(t,1)、b=(t,−2)のなす角を90°にする全ての実数tを求めてください。0でない条件と内積の式と計算過程、全解を示し、それぞれの解を元の二成分へ戻して確かめます。
a=(1,0)に対し、b=(−1,√3)とc=(−2,0)とのなす角をそれぞれ求めます。内積・大きさ・cosと図を使い、「内積が負なら必ず90°より大きく180°より小さい」という説明を直してください。
a=(4,1)、b=(2,1)です。射影をp=t bと置き、(a−t b)·b=0からtとpを導いてください。pがbの実数倍であることと残差の内積を、図と全成分で確かめます。さらにbと同じ向きの単位ベクトルe、符号付き成分a·e、射影の大きさを求めます。
a=(−2,3)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き成分、射影ベクトルpとその大きさ、残差を図と式で示してください。次に方向を−eへ替え、符号付き成分と同じ直線への射影ベクトルがどうなるか確かめます。
a=(2,3)、b=(1,1)について、友達は候補c=(1,4)の残差a−cがbとの内積0なので「cはaの射影」としました。この計算と射影先の条件を別々に確かめ、説明を直してください。正しい射影pを求め、両条件と図で検算します。
A(1,−1)、B(3,0)、P(4,3)です。直線ABへのPからの垂線の足Hを、d=B−A、u=P−Aの内積による射影で求めてください。Hが直線上にあることとP−Hのdとの内積、距離PHを図と式で確かめます。ここでは線分ABの内部への制限は付けません。
a=(4,1)、p=(18/5,9/5)、r=(2/5,−4/5)です。a=p+rとp·r=0を成分で確かめ、内積の分配法則から|p+r|²=|p|²+2p·r+|r|²を導いてください。この場合の三つの大きさの二乗を正確に求め、図と式で照合します。
uを1,3から、vを−1,2から、kを1,2から一つずつ選び、a=(u,v)、b=(k,1)を作ります。bの定める直線へのaの射影pを、係数・全成分と図で示してください。b≠0、pがbの実数倍、残差の内積0を確認し、単位ベクトルeと符号付き成分も求めます。全8条件は必須にしません。
解答: 内積の条件：角を作れるか、何に射影するかを確かめる
2
2×3+(−1)×4=2です。内積は実数です。
6
a·b=2×3+2×0=6です。図の角度を測って答える必要はありません。
25
a·a=3²+(−4)²=25です。大きさそのものは5です。
0
1×2+2×(−1)=0。どちらも零でないので、この場合は角度90°にも対応します。
3
長さ1のeとの内積は3×1+4×0=3です。
−3
内積は−3です。射影ベクトルは(−3,0)、その大きさは非負の3で、符号付き成分とは区別します。
t=(a·b)/(b·b)=6/4=3/2。射影ベクトルは(3,0)です。
60°
内積1、大きさ1と2からcosθ=1/2。0°から180°の範囲でθ=60°です。
内積は0だが、aに方向がないためなす角はこの式では定義できない
角度の式の分母|a||b|が0です。成分の内積は定義できても角度の式は使えません。
90°<θ≦180°
cosθ<0に対応し、逆向きの180°も含まれます。
((a·b)/(b·b))b
bが単位でないときも使えるよう、b·bで割ります。
pがbの実数倍で、かつ(a−p)·b=0
射影先の直線にある条件と残差の条件を両方確認します。
2
p=−2eはeの逆向きですが、大きさは|−2|=2です。
分母が0で方向の直線も定められないため、この公式には代入しない
ここでは零でない方向への直線の射影を扱います。零で割る式を作りません。
記述問題の解答・確認の観点
a=(2,−1)、b=(3,4)です。共通の始点から二本の矢印を描き、内積・二つの大きさ・cosθを正確に求めてください。角を作る条件と角の範囲を示し、なす角が90°より小さいか大きいか説明します。角度の近似値は必須にしません。
a·b=6−4=2、|a|=√5、|b|=5でどちらも0でない。cosθ=2/(5√5)=2√5/25。0<cosθ<1なので0°<θ<90°。生徒の図と、内積の値2・大きさ・cosという異なる量を区別する。共通始点への平行移動は向きを保つ。
生徒の二本の矢印と0でない条件、内積・二つの大きさ・正確なcos、符号から角の範囲を示す全説明を見ます。
a=(3,4)に対し、内積が0となる平面ベクトルb=(x,y)を全て表してください。そのうち幾何学的になす角90°を考えられる条件を分け、自分の図と成分による検算を示します。零ベクトルも式の解になることを取り違えないようにします。
a·b=3x+4y=0。全ての解はb=t(4,−3)（tは任意の実数）。t=0の零ベクトルも内積の式を満たすが、角度90°をいうときはt≠0で両方0でない。代入すると3(4t)+4(−3t)=0。生徒の図はaと垂直な両向きの直線方向を示し、零の向きは描き足さない。
生徒の全ての関係式と実数tによる全ての解の表示、代入検算・t=0とt≠0の違い、0でない二方向の図を見ます。
a=(t,1)、b=(t,−2)のなす角を90°にする全ての実数tを求めてください。0でない条件と内積の式と計算過程、全解を示し、それぞれの解を元の二成分へ戻して確かめます。
第2成分が1と−2なのでどちらも全てのtで0でない。a·b=t²−2=0からt=√2またはt=−√2。両方を代入すると内積2−2=0で角度90°。二乗の方程式から正の解だけを残さない。生徒の二組の矢印または条件図を確認する。
生徒の0でない理由・内積式と二つの全解、各元の式への検算・図を見ます。
a=(1,0)に対し、b=(−1,√3)とc=(−2,0)とのなす角をそれぞれ求めます。内積・大きさ・cosと図を使い、「内積が負なら必ず90°より大きく180°より小さい」という説明を直してください。
a·b=−1、|a|=1、|b|=2からcosθ=−1/2でθ=120°。a·c=−2、|c|=2なのでcosφ=−1、φ=180°。どちらの組も二つのベクトルが0でなく、内積は負である。逆向きの180°も含まれる。正しくは90°<角≦180°。生徒の図にbの左上向きとcの逆向きを示す。
生徒の両内積・大きさ・cosと120°、180°、0でない条件・図と誤った上限の修正を見ます。
a=(4,1)、b=(2,1)です。射影をp=t bと置き、(a−t b)·b=0からtとpを導いてください。pがbの実数倍であることと残差の内積を、図と全成分で確かめます。さらにbと同じ向きの単位ベクトルe、符号付き成分a·e、射影の大きさを求めます。
a·b=9、b·b=5。残差の条件9−5t=0からt=9/5、p=(18/5,9/5)。a−p=(2/5,−4/5)でbとの内積4/5−4/5=0、p=(9/5)bも成立。e=(2/√5,1/√5)、a·e=9/√5、|p|=9/√5。t=9/5、方向成分9/√5、ベクトルpは別の量。図にpと残差をつなぎaに戻す。
生徒の0でないb・係数を導く式と計算過程、全成分・射影先と残差の両確認、単位ベクトルと符号付き成分・大きさの区別を見ます。
a=(−2,3)、単位ベクトルe=(1,0)です。符号付き成分、射影ベクトルpとその大きさ、残差を図と式で示してください。次に方向を−eへ替え、符号付き成分と同じ直線への射影ベクトルがどうなるか確かめます。
a·e=−2、p=−2e=(−2,0)、|p|=2、残差a−p=(0,3)でeとの内積0。方向を−e=(−1,0)へ替えるとa·(−e)=2だが、射影は2(−e)=(−2,0)で同じ。符号付き成分は方向の選び方で逆符号になるが、同じ直線への射影とその大きさは変わらない。生徒の図でpはeの逆向きに置く。
生徒の負の成分・非負の大きさ・全ベクトルと残差、方向反転後の両計算と同じ直線の図を見ます。
a=(2,3)、b=(1,1)について、友達は候補c=(1,4)の残差a−cがbとの内積0なので「cはaの射影」としました。この計算と射影先の条件を別々に確かめ、説明を直してください。正しい射影pを求め、両条件と図で検算します。
a−c=(1,−1)、(a−c)·b=0という計算は正しい。しかしc=(1,4)はb=(1,1)の実数倍でなく、方向の直線上にない。正しいp=((2+3)/(1+1))b=(5/2,5/2)。残差a−p=(−1/2,1/2)のbとの内積0で、p=(5/2)bも成立。生徒の図は直線上のpと直線外のcを分ける。
生徒が友達の正しい内積計算まで否定せず、欠けた射影先の条件を示すこと・正しいp・両条件と図を見ます。
A(1,−1)、B(3,0)、P(4,3)です。直線ABへのPからの垂線の足Hを、d=B−A、u=P−Aの内積による射影で求めてください。Hが直線上にあることとP−Hのdとの内積、距離PHを図と式で確かめます。ここでは線分ABの内部への制限は付けません。
d=(2,1)≠0、u=(3,4)。t=(u·d)/(d·d)=10/5=2、H=A+t d=(5,1)。H−A=2dで直線上。P−H=(−1,2)でdとの内積−2+2=0、PH=√5。t=2でHはBの先だが、直線への足なので正しい。生徒の図にA,B,Hの順とPからの垂線を示す。
生徒の始点Aを引く操作・0でない方向とt、Hの全座標・直線上と内積0の両確認、√5と直線・線分の違いを見ます。
a=(4,1)、p=(18/5,9/5)、r=(2/5,−4/5)です。a=p+rとp·r=0を成分で確かめ、内積の分配法則から|p+r|²=|p|²+2p·r+|r|²を導いてください。この場合の三つの大きさの二乗を正確に求め、図と式で照合します。
p+r=(4,1)=a、p·r=(36−36)/25=0。分配で(p+r)·(p+r)=p·p+p·r+r·p+r·r=|p|²+2p·r+|r|²。|a|²=17、|p|²=(324+81)/25=81/5、|r|²=(4+16)/25=4/5で、81/5+4/5=17。生徒の図でpの終点へrをつなぎaを作る。大きさ自体を単純に足す公式にはしない。
生徒の和・内積0・分配の導出、三つの正確な二乗と一致、図と長さ自体の和との区別を見ます。
uを1,3から、vを−1,2から、kを1,2から一つずつ選び、a=(u,v)、b=(k,1)を作ります。bの定める直線へのaの射影pを、係数・全成分と図で示してください。b≠0、pがbの実数倍、残差の内積0を確認し、単位ベクトルeと符号付き成分も求めます。全8条件は必須にしません。
b=(k,1)は0でない、t=(uk+v)/(k²+1)、p=t(k,1)、残差(u−kt,v−t)でbとの内積uk+v−t(k²+1)=0。e=(k,1)/√(k²+1)、a·e=(uk+v)/√(k²+1)。作例u=1,v=−1,k=1ならt=0、p=0、残差(1,−1)のbとの内積0で、符号付き成分も0。射影が零でもbの方向の直線は定まっている。生徒の一組と図・全検算を確認し、8条件を8題と数えない。
生徒の選択・0でないbと具体式、係数と全成分・射影先と残差の両条件、単位ベクトルと符号付き成分を見る。同値式と別解も認める。