媒介変数と極座標：動く順序・範囲と図形の全体

x=t+1,y=(t−1)²、−1≦t≦2です。t=−1,0,1,2の対応表を作り、同じ単位の図へ点を描いて、tが増す順につないでください。tを消去した後の全ての条件、始点・終点・yが最小の点を示し、図形上の任意の点へ許されたtが戻せることも式と計算過程で確かめます。

対応点は(0,4),(1,1),(2,0),(3,1)。消去するとy=(x−2)²、0≦x≦3で、始点(0,4)からxの増加方向へ進み、最小はt=1の(2,0)、終点(3,1)。yの範囲は0≦y≦4。逆にこの曲線上の任意の点へt=x−1を戻せば−1≦t≦2となり、y=(t−1)²も満たす。

生徒の四つの同じtによる点・図と順序、消去後のxの範囲、両端と最小、逆のtの式と範囲の確認を見ます。

Aはx=2cos t,y=2sin t、0≦t≦π、Bはx=2cos(2s),y=2sin(2s)、0≦s≦πです。両方の代表点を増加順に表と図に示し、点の全体・向き・通る回数を比較してください。どちらもx²+y²=4になるだけでは、AとBを同じ表示といえない理由を説明します。

Aはt=0,π/2,πで(2,0),(0,2),(−2,0)、上半円周を反時計回りに一度たどる。Bはs=0,π/4,π/2,3π/4,πで(2,0),(0,2),(−2,0),(0,−2),(2,0)、円周全体を反時計回りに一周する。Aはx²+y²=4かつy≧0、Bは円周全体。角の範囲tと2sが異なるので、消去後の式だけでは全体も回数も決められない。Bの始点と終点は重なるが、二周ではない。

生徒の両方の対応表・図、半円と全円・向きと一周の区別、同じ方程式に加える角の範囲を見ます。

x=t²−1,y=t、−2≦t≦1です。t=−2,−1,0,1の対応表と、進む順序の分かる図を作り、点の全体を表す条件を全て示してください。「x=y²−1で−1≦x≦3だけで十分」という説明を、(3,2)と(3,−2)の両方から検討し、逆向きの条件も示します。

点は(3,−2),(0,−1),(−1,0),(0,1)。全体はx=y²−1かつ−2≦y≦1。tが増すとyは増え、xはt=0まで減ってから増える。(3,−2)はt=−2で含み、(3,2)は必要なt=2が範囲外なので含まない。−1≦x≦3だけでは後者も誤って含む。逆に、正しい条件を全て満たす点にt=yを対応させれば範囲内で元の両式を満たす。

生徒の四点・図とxの折り返し、yの範囲、二点の異なる判定、t=yによる逆の存在確認を見ます。

x=t+1/t,y=t−1/t、t>0です。t=1/2,1,2の対応表と図を作り、tを消して得る方程式と、点の全体に必要な枝の条件を示してください。逆にその枝上の任意の点へt=(x+y)/2を戻して元の二式とt>0を確かめます。t<0も許すと何が増えるかも説明します。

三点は(5/2,−3/2),(2,0),(5/2,3/2)。x²−y²=4で、t>0からx=t+1/t≧2となるので右側の枝全体。逆にx²−y²=4かつx≧2ならx>|y|、t=(x+y)/2>0、(x−y)/2も正で、両者の積1。よって1/t=(x−y)/2、t+1/t=x,t−1/t=yへ戻る。t<0も許せばx≦−2の左側の枝も増え、t=0は元から除く。

生徒の三点と図、差の二乗の全展開・右の枝、逆の二つの正の式と積1、元の分母と負のtの枝の区別を見る。焦点の定義は要求しない。

直交座標(−√3,1)を同じ単位の座標図へ描き、r≧0、0≦θ<2πの極座標へ直してください。角−7π/6も同じ点を表すかを全計算で確かめます。原点については、rと組に使うθ、原点そのものの方向が定まるかを分けて説明します。

r=√(3+1)=2。cosθ=−√3/2,sinθ=1/2なので指定範囲ではθ=5π/6。−7π/6は2πだけ異なり、cos,sinが同じなので(2,−7π/6)も点としては同じだが、指定した代表角の範囲外。原点はr=0で、任意のθの組からx=y=0へ戻る。ただし原点自体の方向・偏角が一つに定まるわけではない。

生徒の象限を含む図・正のrと二つの三角比、代表角と範囲外の同じ点の区別、原点の組と定まらない方向の説明を見ます。

r=4cosθ、−π/2≦θ≦π/2、r≧0です。θ=−π/2,−π/4,0,π/4,π/2のrと直交座標の表を作り、進む順に図に示してください。全体がどの円周かを式と計算過程で導き、原点を含むか、逆に円周上の全ての点へ許された(r,θ)が戻るかも確かめます。

rは順に0,2√2,4,2√2,0、点は(0,0),(2,−2),(4,0),(2,2),(0,0)。r²=4r cosθよりx²+y²=4x、すなわち(x−2)²+y²=4。中心(2,0)、半径2の円周全体で、原点は両端の角で含む。逆に円周上の非原点の点ではx>0、r=√(x²+y²)>0としてcosθ=x/r,sinθ=y/rを満たす−π/2<θ<π/2を選べる。r²=4xからr=4cosθへ戻る。原点はθ=±π/2,r=0を直接戻す。rで割る前に原点を分ける。

生徒の五行のrと座標・図と順序、全円周の式・中心と半径、原点の元への代入、非原点の逆の角と正のrの存在を見る。数点だけで全体の証明とはしない。

r cosθ=3、r≧0、−π/2<θ<π/2です。θ=−π/4,0,π/4のrと直交座標を表と図にし、点の全体を求めてください。逆に得られた図形上の任意の(3,y)へ許された(r,θ)を戻せることを示します。「r=3だから原点中心の円」という読み方も直します。

r=3/cosθで、順に3√2,3,3√2、点は(3,−3),(3,0),(3,3)。x=r cosθ=3なので垂直な直線x=3の全体。逆に任意の実数yについてr=√(9+y²)>0、cosθ=3/r>0,sinθ=y/rを満たす−π/2<θ<π/2の角を選べる。すると元へ戻る。rは角によって変わり、常に3ではない。指定範囲でcosθは正だから分母も有効。

生徒の三行の値・垂直線の図、rとr cosθの区別、正のrと開区間の角を使う任意のyの逆確認を見ます。

r=θ、0≦θ≦2π、r≧0です。θ=0,π/2,π,3π/2,2πの直交座標を式と計算過程で求め、同じ単位の図へ進む順に描いてください。原点からの距離がどう変わるかを示し、「角が一周したから始点へ戻る円」とは言えない理由を、始点と終点を含めて説明します。

点は順に(0,0),(0,π/2),(−π,0),(0,−3π/2),(2π,0)。各点でx=θcosθ,y=θsinθ。原点からの距離はr=θで0から2πまで増え、角とともに外へ広がる渦巻線の一部分を表す。始点は原点、終点は(2π,0)で異なる。θとθ+2πで向きが同じでも、rの値が異なるので点は同じとは限らない。生徒の図は少なくとも五点と増加順・距離の増加が式と一致するように描く。

生徒の五つの同じθによる全座標・図と順序、r=θによる距離の増加、始点と終点を区別する説明を見る。有限個の点だけで厳密な曲線全体を確定したとは扱わない。

x=2t+1,y=3t−2、0≦t≦1です。友達は「消去して3x−2y=7なので、この直線全体が答え」としました。両端とt=1/2の点を図へ描いて全ての条件を正しく示す形へ直し、(5,4)が友達の式を満たしても元の点ではないことを確かめます。正しい図形上の全ての点が元へ戻る理由も示します。

両端は(1,−2),(3,1)、中間は(2,−1/2)。正しい全体は3x−2y=7かつ1≦x≦3の閉じた線分。(5,4)は15−8=7だが、必要なt=(5−1)/2=2は範囲外。逆に、正しい条件を全て満たす任意の点にt=(x−1)/2を対応させれば0≦t≦1、直線の式からy=(3x−7)/2=3t−2となり両式を満たす。

生徒の三点の図、両端を含む線分と全ての条件、反例の元のtと範囲、任意の点への逆の式と計算過程を確認します。

aを2,3から、bを1,2から、εを−1,1から一つずつ選び、x=a cos t,y=εb sin t、0≦t≦πを作ってください。t=0,π/2,πの点を同じ単位の図へ描き、tを消去した後の全ての条件・進む向き・逆に許されたtが戻る理由を示します。八条件全ては必須にしません。

作例a=3,b=2,ε=−1なら点は(3,0),(0,−2),(−3,0)。全体はx²/9+y²/4=1かつy≦0の下半楕円で、右端から下側を通って左端へ進む。一般にx²/a²+y²/b²=1かつεy≧0、代表点(a,0),(0,εb),(−a,0)。ε=1は上側を反時計回り、ε=−1は下側を時計回りに一度たどる。逆に、これらの条件を全て満たす点では−1≦x/a≦1なので、cos t=x/aを満たす0≦t≦πのtを選べる。sin t≧0と方程式・εy≧0からy=εb sin tとなり両式へ戻る。a,b>0で除数は有効。生徒の別の許された一組・同値式・別解を認める。

生徒の三数の選択・三点と図、半分を選ぶ符号と全楕円式、両端と向き・一度の通過、逆の角の存在とsinの符号を見る。八組を八題にせず、焦点からの定義は要求しない。