二次曲線を定義へ戻す：焦点・準線・距離の和と差
準備14問と、生徒が距離の定義・方程式の導出・焦点と準線を、図と逆の確認で結ぶ主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学C。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学C(2)ア(ア)・イ(ア)、冊子120〜122/PDF132〜134の、放物線・楕円・双曲線を幾何学的な定義から方程式に表し、相互に関連付ける範囲に沿う独自活動です。平行移動と軸方向の標準形を扱い、二次曲線の回転・一般のxy項の分類は扱いません。数学C全体・固定学年・入試頻度・実際の光学装置や生徒の達成は主張しません。
解説を読む
二乗の式を見て名前を付けるだけでなく、元の距離の条件へ戻します。楕円は和、双曲線は差の絶対値、放物線は点と直線までの距離です。符号・向き・定数の境界を残し、二乗して増えた点がないかも確かめます。
必要な予備知識
平方完成・根号・絶対値と非負の条件、二点間の距離、水平・垂直な直線への距離、円と二次関数の座標図、三角不等式とその等号条件。直交座標の両軸の単位をそろえ、点から直線までの距離は垂線の長さとします。焦点・準線からの二次曲線の意味はここで示します。微積分・行列・回転による二次形式の分類は前提にしません。
- 放物線は、定点FとFを通らない定直線ℓからの距離が等しい点の全体です。Fを焦点、ℓを準線と呼びます。点から直線への距離は垂線の長さで、直線上の好きな点までの長さではありません。
- 焦点F(p,0)、準線x=−p（p≠0）なら、√((x−p)²+y²)=|x+p|を二乗してy²=4pxです。両辺の距離が非負なので二乗の逆も確認できます。頂点は(0,0)。p>0なら右、p<0なら左へ開きます。上下方向ならx²=4py、焦点(0,p)、準線y=−pです。
- 二つの異なる焦点(±c,0)、c>0からの距離の和を2aとし、a>cとすると楕円です。b²=a²−c²>0としてx²/a²+y²/b²=1。長い半軸aと、焦点までの距離cを入れ替えず、和は2aです。
- 二つの焦点(±c,0)、c>0からの距離の差の絶対値を2aとし、0<a<cとすると双曲線です。b²=c²−a²>0としてx²/a²−y²/b²=1。差の符号を固定すると片方の枝だけになることがあるので、二つの枝と元の絶対値を照合します。
- 焦点が縦に並ぶ楕円・双曲線ではxとyの役割を交換します。分母の大きい方や正の項の方向、焦点と頂点を式と図に対応させます。楕円のa²=b²の場合は円という特殊な場合として分け、二つの異なる焦点を前提とする式へ無条件には代入しません。
- 平方完成では、両辺の定数をそろえてから右辺を1にします。x−h,y−kをそれぞれX,Yへ置き換えた標準形なら、図形は(h,k)だけ平行移動しています。焦点・準線・頂点や漸近線も同じ移動へ戻します。
- 根号を含む距離の等式を二乗しても、途中の符号条件は消えません。得た方程式から元の和や差へ戻るには、根号に対応する式の非負・枝の条件も示します。数点の検算だけで全点の逆の包含まで証明したとはしません。
- 二焦点の間隔が2cなら、距離の和は2c以上、差の絶対値は2c以下です。和が2cの場合は二焦点を結ぶ閉じた線分、差の絶対値が2cなら二焦点の外側の閉じた二つの半直線です。差の絶対値0は垂直二等分線で、通常の非退化な双曲線とは分けます。
- 標準形x²/a²−y²/b²=1（a,b>0）の漸近線はy=±(b/a)xです。この直線そのものが双曲線上という意味ではありません。例えば右上の枝はy=(b/a)√(x²−a²)で、直線との差を有理化し、xが大きくなると差をいくらでも小さくできることから近づく意味を確かめます。
- T10の八条件は検証用です。生徒が一組を選び、焦点・準線から全方程式と生徒の図を作り、指定点と任意の点の逆を確かめる一題です。八条件を八つの主課題には数えず、自由な図・式と計算過程・根号と理由は手動で確かめます。
解き方の例
焦点と頂点は別の点
y²=16xは4p=16なのでp=4。頂点は(0,0)、焦点(4,0)、準線x=−4です。P(4,8)ではPF=8、準線までの距離も|4+4|=8で、元の定義へ戻ります。
楕円と双曲線でc²の関係を分ける
x²/16+y²/7=1はc²=16−7=9なので焦点(±3,0)、距離の和8の楕円です。x²/9−y²/16=1はc²=9+16=25なので焦点(±5,0)、差の絶対値6の双曲線です。
よくある間違い
- 焦点を頂点と同じ点にし、準線も同じ側へ置く。
- 点から準線までの距離を、準線上の任意の点までの斜めの長さにする。
- y²=4pxの4を落とし、係数全部をpとする。
- 楕円の距離の和2aをaと読み、焦点のcを半軸aと入れ替える。
- 楕円のb²=a²−c²と双曲線のb²=c²−a²を逆にする。
- 双曲線の差から絶対値を落とし、二つの枝の片方を失う。
- 焦点の横並びと縦並び、平行移動の符号を式と照合しない。
- 二乗後の式だけを書き、根号に戻す式の非負を確かめない。
- 距離の和・差が焦点間隔と等しい場合も、通常の楕円・双曲線とする。
- 漸近線を双曲線そのものとし、代入値0と1を比べない。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の同じ単位の図、距離の定義からの式と計算過程、焦点・準線・頂点と条件、元の距離への検算と逆の包含を手動で確認します。T1は距離が等しい放物線、T2は和と非負の逆から楕円、T3は差の絶対値と二つの枝、T4は同じ焦点から二曲線、T5は平行移動と軸の向き、T6は左へ開く放物線、T7は六つの境界条件、T8は漸近線と近づく意味、T9は平方完成から三つの定義、T10は生徒の一組から焦点・準線と式と計算過程を確認します。正しい同値式・別の図や証明を認め、作例や一つの表記だけを正答としません。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。自由な根号・曲線の方程式全体、生徒の作図、二乗の符号条件・距離の証明と逆の包含は手動確認します。二次曲線の回転・xy項の一般分類・微積分・光学効果の実証・新たな作図器や採点器は扱わず、生徒の達成も主張しません。
練習する
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。式と計算過程・曲線の図・距離と二乗の逆の確認は講師が手動で確かめます。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
放物線y²=12xの焦点のx座標を求めてください。
答えと解説
3
標準形y²=4pxで4p=12よりp=3、焦点は(3,0)です。
焦点F(0,2)、準線y=−2の放物線を考えます。図のP(4,2)について、焦点までの距離PFを求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
4
FとPはy座標が2で等しいのでPF=|4−0|=4。準線までの垂線の長さも|2+2|=4です。
楕円x²/25+y²/9=1の二焦点は(±c,0)、c>0です。cを求めてください。
答えと解説
4
c²=25−9=16なのでc=4です。長い半軸5とは分けます。
楕円x²/25+y²/9=1上の任意の点から、二つの焦点までの距離の和を求めてください。
答えと解説
10
長い半軸a=5なので距離の和は2a=10です。
双曲線x²/9−y²/16=1の二焦点は(±c,0)、c>0です。cを求めてください。
答えと解説
5
c²=9+16=25なのでc=5です。双曲線では半軸の二乗を足します。
双曲線x²/9−y²/16=1上の任意の点から、二焦点までの距離の差の絶対値を求めてください。
答えと解説
6
正の項の分母a²=9でa=3なので、差の絶対値は2a=6です。
楕円(x−2)²/16+(y+1)²/7=1の二焦点のうち、x座標が大きい方のx座標を求めてください。
答えと解説
5
中心(2,−1)、c²=16−7=9からc=3。右の焦点は(5,−1)なのでx=5です。
放物線の焦点Fと、Fを通らない準線ℓについて、定義となる条件はどれですか。
- PFが、ℓ上の選んだ一つの点までの長さと等しい
- PFが、Pからℓへ下ろした垂線の長さと等しい
- PFと、Pからℓまでの距離の和が常に0
- PFが、Pからℓまでの距離の二乗と等しい
答えと解説
PFが、Pからℓへ下ろした垂線の長さと等しい
点と直線の距離は垂線の長さです。準線上の任意の一点へ固定した距離とは分けます。
焦点を(−3,0),(3,0)とします。二焦点までの距離の和が4となる点の全体はどれですか。
- 通常の楕円
- 二焦点を結ぶ線分
- そのような点はない
- 原点を中心とする半径2の円
答えと解説
そのような点はない
焦点間の距離は6で、三角不等式から和は6以上です。和4となる点はありません。
焦点を(−5,0),(5,0)とします。二焦点までの距離の差の絶対値が10となる点の全体はどれですか。
- y=0でx≦−5またはx≧5の二つの半直線
- 通常の非退化な双曲線
- y=0で−5≦x≦5の線分
- x=0の直線全体
答えと解説
y=0でx≦−5またはx≧5の二つの半直線
差の絶対値が焦点間隔10に等しい等号条件で、二焦点の外側の点です。焦点自身も含みます。
楕円x²/9+y²/25=1の二つの焦点はどれですか。
- (±5,0)
- (0,±5)
- (±4,0)
- (0,±4)
答えと解説
(0,±4)
長い方向はyで、c²=25−9=16。焦点はy軸上の(0,±4)です。
焦点を(−3,0),(3,0)とします。二焦点までの距離の和が6となる点の全体はどれですか。
- 通常の楕円の円周
- y=0で−3≦x≦3の線分
- x=0の直線全体
- そのような点はない
答えと解説
y=0で−3≦x≦3の線分
和が焦点間隔6に等しい場合は三角不等式の等号で、焦点間の閉じた線分です。
双曲線x²/4−y²/9=1の二つの漸近線はどれですか。
- y=±(2/3)x
- y=±(9/4)x
- y=±(3/2)x
- y=±(4/9)x
答えと解説
y=±(3/2)x
a=2,b=3なのでy=±(b/a)x=±(3/2)xです。分母の二乗の比そのものとは分けます。
放物線y²=−8xの焦点と準線の組はどれですか。
- 焦点(2,0)、準線x=−2
- 焦点(−8,0)、準線x=8
- 焦点(0,−2)、準線y=2
- 焦点(−2,0)、準線x=2
答えと解説
焦点(−2,0)、準線x=2
4p=−8なのでp=−2。焦点(p,0)、準線x=−pより、焦点(−2,0)と準線x=2です。
考え方を説明する
焦点F(3,0)、準線x=−3からの距離が等しい点P(x,y)の全体を、距離の式から導いてください。焦点・準線・頂点とP(3,6)を同じ単位の図へ描き、Pでの両距離を全計算します。得た方程式上の任意の点が元の距離の等式へ戻る理由と、開く向きも示します。
答えと解説
PF=√((x−3)²+y²)、準線までの距離|x+3|。二乗して(x−3)²+y²=(x+3)²、すなわちy²=12x。頂点(0,0)、x≧0で右へ開く。P(3,6)は36=12×3で、PF=6、準線までの距離6。逆にy²=12xなら二乗した両距離は同じで、両方非負だから元の距離も等しい。頂点の両距離も3で、焦点と頂点は異なる。
生徒の距離の式と計算過程・二乗と逆の非負、焦点と準線・頂点の図と向き、指定点と頂点での元の両距離を見ます。
焦点F₋(−3,0),F₊(3,0)までの距離の和が10となる点の全体を、導いて同じ単位の図に表してください。D₋=PF₋,D₊=PF₊とおき、和と二乗の差からそれぞれの距離をxの式で表して方程式へ結びます。P(3,16/5)での和を確かめ、逆に得た方程式上の任意の点について、その二つの距離の式が正で元へ戻ることも示します。
答えと解説
D₋+D₊=10、D₋²−D₊²=12xなのでD₋−D₊=6x/5。よってD₋=5+3x/5,D₊=5−3x/5。例えばD₋²=(x+3)²+y²へ代入してx²/25+y²/16=1。中心(0,0)、横半軸5・縦半軸4の楕円。PではD₋=34/5,D₊=16/5で和10。逆に楕円上では|x|≦5、5±3x/5≧2>0で、それぞれの二乗が(x±3)²+y²と一致する。したがって実際の二つの距離に等しく、和10へ戻る。
生徒の和・二乗の差・両距離と全楕円式、軸と焦点の図、指定点の両距離、逆の|x|と正の条件を含む全確認を見ます。
焦点F₋(−5,0),F₊(5,0)までの距離の差の絶対値が6となる点の全体を、二つの枝を区別して導き、図に表してください。D₋=PF₋,D₊=PF₊とし、D₋−D₊=6と−6の場合を扱います。P(5,16/3)とQ(−5,16/3)の元の両距離を確かめ、絶対値を落とすと何が失われるか、得た図形から元へ戻る条件も説明します。
答えと解説
D₋²−D₊²=20x。D₋−D₊=6なら和10x/3からD₋=5x/3+3,D₊=5x/3−3。距離の二乗に戻すとx²/9−y²/16=1で、x>0からx≧3の右の枝。差−6ではx≦−3の左の枝で、D₋=−5x/3−3,D₊=−5x/3+3。Pの距離は34/3,16/3で差6、Qでは16/3,34/3で差−6、絶対値は両方6。逆に右の枝では二つの距離の式は少なくとも8と2で正、左でも正で、それぞれの二乗が元の距離の二乗に一致する。したがって両枝とも差の絶対値6へ戻る。差6だけなら左の枝を失う。
生徒の二つの差の符号・式と計算過程と枝の範囲、焦点と二枝の図、P,Qの四つの距離、逆に正の距離に戻す説明と絶対値の役割を見ます。
同じ焦点(−4,0),(4,0)から、Eは距離の和10、Hは距離の差の絶対値6となる点の全体とします。二つの標準形を求め、同じ単位の図に焦点・軸との交点を示してください。b²の計算を比較し、Eの(5,0)、Hの(3,0)を元の距離で確かめます。Hにy軸との交点がない理由も式で示します。
答えと解説
Eはa=5,c=4なのでb²=25−16=9、x²/25+y²/9=1。軸との交点は(±5,0),(0,±3)。Hはa=3,c=4なのでb²=16−9=7、x²/9−y²/7=1。x軸との交点は(±3,0)、x=0では−y²/7=1で実数解がなくy軸と交わらない。Eの(5,0)の距離は9と1で和10、Hの(3,0)は7と1で差の絶対値6。同じ焦点でも距離の和と差では曲線もa,c,bの関係も異なる。
生徒の両方のa,c,b²・全方程式と軸の交点、同じ焦点の図、二点での四つの距離、Hのy軸上の不可能な式を見ます。
E:(x−2)²/16+(y+1)²/7=1、H:(y−3)²/9−(x+2)²/16=1です。それぞれの中心・焦点・頂点と、元の距離の和または差の絶対値を求めて、同じ単位の図に表してください。Eの(6,−1)、Hの(−2,6)で元の距離を検算し、Hの二つの漸近線も平行移動に対応させて求めます。
答えと解説
Eの中心は(2,−1)、a=4,b²=7,c=3。焦点(−1,−1),(5,−1)、長軸の頂点(−2,−1),(6,−1)、短軸の端(2,−1±√7)、距離の和8。(6,−1)では7+1=8。Hの中心(−2,3)、縦方向a=3,b=4,c=5。焦点(−2,−2),(−2,8)、頂点(−2,0),(−2,6)、差の絶対値6。(−2,6)では距離8と2で差6。漸近線はy−3=±(3/4)(x+2)。X=x+2,Y=y−3の縦向きの標準形から戻す。
生徒の両中心・焦点と頂点の全座標、各距離の定数と四つの代入値、横と縦の図、Hの漸近線の式と計算過程と移動の符号を見ます。
焦点F(−1,−1)、準線x=5からの距離が等しい点の全体を、距離の式と平行移動から導いてください。焦点・準線・頂点とP(−1,5)を同じ単位の図に表し、Pでの両距離と開く向きを確かめます。得た方程式から元の距離へ戻る非負の条件も説明してください。
答えと解説
距離の条件は√((x+1)²+(y+1)²)=|x−5|。二乗して(y+1)²=−12(x−2)。頂点(2,−1)、p=−3なので左へ開きx≦2。焦点は頂点から左へ3の(−1,−1)、準線は右へ3のx=5。PではPF=6、準線までの距離|−1−5|=6。逆に方程式から両距離の二乗が等しく、両方非負なので距離も等しい。X=x−2,Y=y+1ならY²=−12Xの標準形。
生徒の元の距離と二乗・全方程式、負のpの焦点と準線・頂点の図、Pの両距離、開く向きと逆の非負を確認する。
二つの異なる焦点F₋(−3,0),F₊(3,0)を固定します。距離の和dを4,6,8とした三つの場合と、距離の差の絶対値dを0,6,8とした三つの場合について、条件を満たす点の全体がどうなるかをそれぞれ判断し、図と根拠を示してください。通常の楕円・双曲線と、線分・半直線・直線になる場合や、条件を満たす点がない場合を区別し、焦点自身を含むかも元の距離から確かめます。
答えと解説
焦点間隔は6。和4は三角不等式から点なし。和6は等号の場合でy=0,−3≦x≦3の閉じた線分で、両焦点も含む。和8はa=4,c=3,b²=7の楕円x²/16+y²/7=1で、焦点自身は距離の和6なので含まない。差の絶対値0は二焦点から等距離の垂直二等分線x=0で、焦点は含まない。差の絶対値6は逆三角不等式の等号で、y=0かつx≦−3またはx≧3の二つの閉じた半直線、両焦点も含む。差の絶対値8は6を超えるので点なし。通常の非退化な双曲線には0<d<6が必要で、この三つにその場合はない。
生徒が示した六つの場合それぞれの点の全体・等号の図、和と差の不等式と等号条件、焦点自身の距離0と6の検算、非退化の範囲との区別を見る。六つの場合を六つの独立した課題として数えない。
双曲線x²/9−y²/16=1について、頂点・二つの漸近線と右上の枝を図に示してください。漸近線上の点を式へ代入し、直線そのものは双曲線でないことを確認します。右上の枝のy=(4/3)√(x²−9)、x≧3と直線y=(4/3)xの縦の差を有理化し、xが大きくなると差をいくらでも小さくできる理由を、微分を使わず説明します。他の枝も対称性から対応させます。
答えと解説
頂点(±3,0)、漸近線y=±(4/3)x。直線を代入するとx²/9−((4/3)x)²/16=0で、双曲線の右辺1とは異なる。右上の差は(4/3)(x−√(x²−9))=12/(x+√(x²−9))>0。x≧3ではこの差は12/x以下で、xを大きくすれば希望する正の小ささより小さくできる。例えば小ささδ>0ならx>max(3,12/δ)を選べば差<δ。他の枝はx軸・y軸への対称で、それぞれ対応する二直線へ近づく。直線と一致することや直線上を進むこととは分ける。
生徒の頂点・二直線と枝の図、直線の代入0と1の違い、差の全有理化と正の分母・上からの評価、他の枝への対称な対応を見る。微積分の表記や一つの証明形式を要求しない。
A:9x²+4y²−18x+16y−11=0、B:4x²−9y²+8x+36y−68=0、C:y²+4y−8x+20=0を、全て平方完成してください。それぞれの曲線の種類、中心または頂点と焦点、Cの準線、元の距離の和・差の絶対値または等しい距離の条件を求め、同じ単位の図に表します。標準形を展開して元の全係数へ戻ることも示してください。
答えと解説
Aは9(x−1)²+4(y+2)²=36、すなわち(x−1)²/4+(y+2)²/9=1。中心(1,−2)、縦に長い楕円でa=3,b=2,c=√5、焦点(1,−2±√5)、距離の和6。Bは4(x+1)²−9(y−2)²=36、すなわち(x+1)²/9−(y−2)²/4=1。中心(−1,2)、横向きの双曲線でa=3,b=2,c=√13、焦点(−1±√13,2)、差の絶対値6。Cは(y+2)²=8(x−2)、頂点(2,−2)、p=2の右向きの放物線、焦点(4,−2)、準線x=0で、√((x−4)²+(y+2)²)=|x|。A,Bの準線まではこの課題では要求しない。いずれも平方の全項を展開すれば元の全係数と定数へ戻る。
生徒の三つの全平方完成・右辺と展開検算、各種類・軸の向き・中心または頂点、全焦点・Cの準線と距離の定義を見る。自由な根号の同値な表し方も認める。
hを−1,2から、kを0,1から、σを−1,1から一つずつ選びます。焦点F(h+3σ,k)、準線x=h−3σからの距離が等しい点の全体を、自分で立てた距離の式から方程式に表し、焦点・準線・頂点とP(h+3σ,k+6)を同じ単位の図へ描いてください。開く向き、Pと頂点それぞれでの距離、任意の点が元へ戻る理由も式と計算過程で示します。八条件全ては必須にしません。
答えと解説
作例h=2,k=1,σ=−1なら焦点F(−1,1)、準線x=5、頂点(2,1)、P(−1,7)。距離の等式√((x+1)²+(y−1)²)=|x−5|から(y−1)²=−12(x−2)、左へ開きx≦2。Pの両距離は6、頂点の両距離は3。一般には√((x−h−3σ)²+(y−k)²)=|x−h+3σ|と(y−k)²=12σ(x−h)が同値で、σ(x−h)≧0。σ=1は右、−1は左へ開く。頂点(h,k)、指定Pの距離は焦点へ6・準線へ|6σ|=6、頂点では|3σ|=3で等しい。逆は方程式から両距離の二乗が等しく、距離は非負だから元へ戻る。生徒の別の許された一組・同値式・別解も認める。
生徒の三条件・元の距離と全方程式、全座標・準線・頂点とPの図、σの向きと範囲、Pと頂点の両距離、任意の点への二乗の逆を確認する。八組を八題には数えない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学C(2)ア(ア)・イ(ア)、冊子120〜122/PDF132〜134の、放物線・楕円・双曲線を幾何学的な定義から方程式に表し、相互に関連付ける範囲に沿う独自活動です。平行移動と軸方向の標準形を扱い、二次曲線の回転・一般のxy項の分類は扱いません。数学C全体・固定学年・入試頻度・実際の光学装置や生徒の達成は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 二次曲線を定義へ戻す：焦点・準線・距離の和と差
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/connect-conic-distance-definitions-and-equations/
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の同じ単位の図、距離の定義からの式と計算過程、焦点・準線・頂点と条件、元の距離への検算と逆の包含を手動で確認します。T1は距離が等しい放物線、T2は和と非負の逆から楕円、T3は差の絶対値と二つの枝、T4は同じ焦点から二曲線、T5は平行移動と軸の向き、T6は左へ開く放物線、T7は六つの境界条件、T8は漸近線と近づく意味、T9は平方完成から三つの定義、T10は生徒の一組から焦点・準線と式と計算過程を確認します。正しい同値式・別の図や証明を認め、作例や一つの表記だけを正答としません。
放物線y²=12xの焦点のx座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
焦点F(0,2)、準線y=−2の放物線を考えます。図のP(4,2)について、焦点までの距離PFを求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
楕円x²/25+y²/9=1の二焦点は(±c,0)、c>0です。cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
楕円x²/25+y²/9=1上の任意の点から、二つの焦点までの距離の和を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
双曲線x²/9−y²/16=1の二焦点は(±c,0)、c>0です。cを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
双曲線x²/9−y²/16=1上の任意の点から、二焦点までの距離の差の絶対値を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
楕円(x−2)²/16+(y+1)²/7=1の二焦点のうち、x座標が大きい方のx座標を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
放物線の焦点Fと、Fを通らない準線ℓについて、定義となる条件はどれですか。
- PFが、ℓ上の選んだ一つの点までの長さと等しい
- PFが、Pからℓへ下ろした垂線の長さと等しい
- PFと、Pからℓまでの距離の和が常に0
- PFが、Pからℓまでの距離の二乗と等しい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
焦点を(−3,0),(3,0)とします。二焦点までの距離の和が4となる点の全体はどれですか。
- 通常の楕円
- 二焦点を結ぶ線分
- そのような点はない
- 原点を中心とする半径2の円
途中の計算・単位・理由・確認答え:
焦点を(−5,0),(5,0)とします。二焦点までの距離の差の絶対値が10となる点の全体はどれですか。
- y=0でx≦−5またはx≧5の二つの半直線
- 通常の非退化な双曲線
- y=0で−5≦x≦5の線分
- x=0の直線全体
途中の計算・単位・理由・確認答え:
楕円x²/9+y²/25=1の二つの焦点はどれですか。
- (±5,0)
- (0,±5)
- (±4,0)
- (0,±4)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
焦点を(−3,0),(3,0)とします。二焦点までの距離の和が6となる点の全体はどれですか。
- 通常の楕円の円周
- y=0で−3≦x≦3の線分
- x=0の直線全体
- そのような点はない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
双曲線x²/4−y²/9=1の二つの漸近線はどれですか。
- y=±(2/3)x
- y=±(9/4)x
- y=±(3/2)x
- y=±(4/9)x
途中の計算・単位・理由・確認答え:
放物線y²=−8xの焦点と準線の組はどれですか。
- 焦点(2,0)、準線x=−2
- 焦点(−8,0)、準線x=8
- 焦点(0,−2)、準線y=2
- 焦点(−2,0)、準線x=2
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
焦点F(3,0)、準線x=−3からの距離が等しい点P(x,y)の全体を、距離の式から導いてください。焦点・準線・頂点とP(3,6)を同じ単位の図へ描き、Pでの両距離を全計算します。得た方程式上の任意の点が元の距離の等式へ戻る理由と、開く向きも示します。
焦点F₋(−3,0),F₊(3,0)までの距離の和が10となる点の全体を、導いて同じ単位の図に表してください。D₋=PF₋,D₊=PF₊とおき、和と二乗の差からそれぞれの距離をxの式で表して方程式へ結びます。P(3,16/5)での和を確かめ、逆に得た方程式上の任意の点について、その二つの距離の式が正で元へ戻ることも示します。
焦点F₋(−5,0),F₊(5,0)までの距離の差の絶対値が6となる点の全体を、二つの枝を区別して導き、図に表してください。D₋=PF₋,D₊=PF₊とし、D₋−D₊=6と−6の場合を扱います。P(5,16/3)とQ(−5,16/3)の元の両距離を確かめ、絶対値を落とすと何が失われるか、得た図形から元へ戻る条件も説明します。
同じ焦点(−4,0),(4,0)から、Eは距離の和10、Hは距離の差の絶対値6となる点の全体とします。二つの標準形を求め、同じ単位の図に焦点・軸との交点を示してください。b²の計算を比較し、Eの(5,0)、Hの(3,0)を元の距離で確かめます。Hにy軸との交点がない理由も式で示します。
E:(x−2)²/16+(y+1)²/7=1、H:(y−3)²/9−(x+2)²/16=1です。それぞれの中心・焦点・頂点と、元の距離の和または差の絶対値を求めて、同じ単位の図に表してください。Eの(6,−1)、Hの(−2,6)で元の距離を検算し、Hの二つの漸近線も平行移動に対応させて求めます。
焦点F(−1,−1)、準線x=5からの距離が等しい点の全体を、距離の式と平行移動から導いてください。焦点・準線・頂点とP(−1,5)を同じ単位の図に表し、Pでの両距離と開く向きを確かめます。得た方程式から元の距離へ戻る非負の条件も説明してください。
二つの異なる焦点F₋(−3,0),F₊(3,0)を固定します。距離の和dを4,6,8とした三つの場合と、距離の差の絶対値dを0,6,8とした三つの場合について、条件を満たす点の全体がどうなるかをそれぞれ判断し、図と根拠を示してください。通常の楕円・双曲線と、線分・半直線・直線になる場合や、条件を満たす点がない場合を区別し、焦点自身を含むかも元の距離から確かめます。
双曲線x²/9−y²/16=1について、頂点・二つの漸近線と右上の枝を図に示してください。漸近線上の点を式へ代入し、直線そのものは双曲線でないことを確認します。右上の枝のy=(4/3)√(x²−9)、x≧3と直線y=(4/3)xの縦の差を有理化し、xが大きくなると差をいくらでも小さくできる理由を、微分を使わず説明します。他の枝も対称性から対応させます。
A:9x²+4y²−18x+16y−11=0、B:4x²−9y²+8x+36y−68=0、C:y²+4y−8x+20=0を、全て平方完成してください。それぞれの曲線の種類、中心または頂点と焦点、Cの準線、元の距離の和・差の絶対値または等しい距離の条件を求め、同じ単位の図に表します。標準形を展開して元の全係数へ戻ることも示してください。
hを−1,2から、kを0,1から、σを−1,1から一つずつ選びます。焦点F(h+3σ,k)、準線x=h−3σからの距離が等しい点の全体を、自分で立てた距離の式から方程式に表し、焦点・準線・頂点とP(h+3σ,k+6)を同じ単位の図へ描いてください。開く向き、Pと頂点それぞれでの距離、任意の点が元へ戻る理由も式と計算過程で示します。八条件全ては必須にしません。
解答: 二次曲線を定義へ戻す：焦点・準線・距離の和と差
3
標準形y²=4pxで4p=12よりp=3、焦点は(3,0)です。
4
FとPはy座標が2で等しいのでPF=|4−0|=4。準線までの垂線の長さも|2+2|=4です。
4
c²=25−9=16なのでc=4です。長い半軸5とは分けます。
10
長い半軸a=5なので距離の和は2a=10です。
5
c²=9+16=25なのでc=5です。双曲線では半軸の二乗を足します。
6
正の項の分母a²=9でa=3なので、差の絶対値は2a=6です。
5
中心(2,−1)、c²=16−7=9からc=3。右の焦点は(5,−1)なのでx=5です。
PFが、Pからℓへ下ろした垂線の長さと等しい
点と直線の距離は垂線の長さです。準線上の任意の一点へ固定した距離とは分けます。
そのような点はない
焦点間の距離は6で、三角不等式から和は6以上です。和4となる点はありません。
y=0でx≦−5またはx≧5の二つの半直線
差の絶対値が焦点間隔10に等しい等号条件で、二焦点の外側の点です。焦点自身も含みます。
(0,±4)
長い方向はyで、c²=25−9=16。焦点はy軸上の(0,±4)です。
y=0で−3≦x≦3の線分
和が焦点間隔6に等しい場合は三角不等式の等号で、焦点間の閉じた線分です。
y=±(3/2)x
a=2,b=3なのでy=±(b/a)x=±(3/2)xです。分母の二乗の比そのものとは分けます。
焦点(−2,0)、準線x=2
4p=−8なのでp=−2。焦点(p,0)、準線x=−pより、焦点(−2,0)と準線x=2です。
記述問題の解答・確認の観点
焦点F(3,0)、準線x=−3からの距離が等しい点P(x,y)の全体を、距離の式から導いてください。焦点・準線・頂点とP(3,6)を同じ単位の図へ描き、Pでの両距離を全計算します。得た方程式上の任意の点が元の距離の等式へ戻る理由と、開く向きも示します。
PF=√((x−3)²+y²)、準線までの距離|x+3|。二乗して(x−3)²+y²=(x+3)²、すなわちy²=12x。頂点(0,0)、x≧0で右へ開く。P(3,6)は36=12×3で、PF=6、準線までの距離6。逆にy²=12xなら二乗した両距離は同じで、両方非負だから元の距離も等しい。頂点の両距離も3で、焦点と頂点は異なる。
生徒の距離の式と計算過程・二乗と逆の非負、焦点と準線・頂点の図と向き、指定点と頂点での元の両距離を見ます。
焦点F₋(−3,0),F₊(3,0)までの距離の和が10となる点の全体を、導いて同じ単位の図に表してください。D₋=PF₋,D₊=PF₊とおき、和と二乗の差からそれぞれの距離をxの式で表して方程式へ結びます。P(3,16/5)での和を確かめ、逆に得た方程式上の任意の点について、その二つの距離の式が正で元へ戻ることも示します。
D₋+D₊=10、D₋²−D₊²=12xなのでD₋−D₊=6x/5。よってD₋=5+3x/5,D₊=5−3x/5。例えばD₋²=(x+3)²+y²へ代入してx²/25+y²/16=1。中心(0,0)、横半軸5・縦半軸4の楕円。PではD₋=34/5,D₊=16/5で和10。逆に楕円上では|x|≦5、5±3x/5≧2>0で、それぞれの二乗が(x±3)²+y²と一致する。したがって実際の二つの距離に等しく、和10へ戻る。
生徒の和・二乗の差・両距離と全楕円式、軸と焦点の図、指定点の両距離、逆の|x|と正の条件を含む全確認を見ます。
焦点F₋(−5,0),F₊(5,0)までの距離の差の絶対値が6となる点の全体を、二つの枝を区別して導き、図に表してください。D₋=PF₋,D₊=PF₊とし、D₋−D₊=6と−6の場合を扱います。P(5,16/3)とQ(−5,16/3)の元の両距離を確かめ、絶対値を落とすと何が失われるか、得た図形から元へ戻る条件も説明します。
D₋²−D₊²=20x。D₋−D₊=6なら和10x/3からD₋=5x/3+3,D₊=5x/3−3。距離の二乗に戻すとx²/9−y²/16=1で、x>0からx≧3の右の枝。差−6ではx≦−3の左の枝で、D₋=−5x/3−3,D₊=−5x/3+3。Pの距離は34/3,16/3で差6、Qでは16/3,34/3で差−6、絶対値は両方6。逆に右の枝では二つの距離の式は少なくとも8と2で正、左でも正で、それぞれの二乗が元の距離の二乗に一致する。したがって両枝とも差の絶対値6へ戻る。差6だけなら左の枝を失う。
生徒の二つの差の符号・式と計算過程と枝の範囲、焦点と二枝の図、P,Qの四つの距離、逆に正の距離に戻す説明と絶対値の役割を見ます。
同じ焦点(−4,0),(4,0)から、Eは距離の和10、Hは距離の差の絶対値6となる点の全体とします。二つの標準形を求め、同じ単位の図に焦点・軸との交点を示してください。b²の計算を比較し、Eの(5,0)、Hの(3,0)を元の距離で確かめます。Hにy軸との交点がない理由も式で示します。
Eはa=5,c=4なのでb²=25−16=9、x²/25+y²/9=1。軸との交点は(±5,0),(0,±3)。Hはa=3,c=4なのでb²=16−9=7、x²/9−y²/7=1。x軸との交点は(±3,0)、x=0では−y²/7=1で実数解がなくy軸と交わらない。Eの(5,0)の距離は9と1で和10、Hの(3,0)は7と1で差の絶対値6。同じ焦点でも距離の和と差では曲線もa,c,bの関係も異なる。
生徒の両方のa,c,b²・全方程式と軸の交点、同じ焦点の図、二点での四つの距離、Hのy軸上の不可能な式を見ます。
E:(x−2)²/16+(y+1)²/7=1、H:(y−3)²/9−(x+2)²/16=1です。それぞれの中心・焦点・頂点と、元の距離の和または差の絶対値を求めて、同じ単位の図に表してください。Eの(6,−1)、Hの(−2,6)で元の距離を検算し、Hの二つの漸近線も平行移動に対応させて求めます。
Eの中心は(2,−1)、a=4,b²=7,c=3。焦点(−1,−1),(5,−1)、長軸の頂点(−2,−1),(6,−1)、短軸の端(2,−1±√7)、距離の和8。(6,−1)では7+1=8。Hの中心(−2,3)、縦方向a=3,b=4,c=5。焦点(−2,−2),(−2,8)、頂点(−2,0),(−2,6)、差の絶対値6。(−2,6)では距離8と2で差6。漸近線はy−3=±(3/4)(x+2)。X=x+2,Y=y−3の縦向きの標準形から戻す。
生徒の両中心・焦点と頂点の全座標、各距離の定数と四つの代入値、横と縦の図、Hの漸近線の式と計算過程と移動の符号を見ます。
焦点F(−1,−1)、準線x=5からの距離が等しい点の全体を、距離の式と平行移動から導いてください。焦点・準線・頂点とP(−1,5)を同じ単位の図に表し、Pでの両距離と開く向きを確かめます。得た方程式から元の距離へ戻る非負の条件も説明してください。
距離の条件は√((x+1)²+(y+1)²)=|x−5|。二乗して(y+1)²=−12(x−2)。頂点(2,−1)、p=−3なので左へ開きx≦2。焦点は頂点から左へ3の(−1,−1)、準線は右へ3のx=5。PではPF=6、準線までの距離|−1−5|=6。逆に方程式から両距離の二乗が等しく、両方非負なので距離も等しい。X=x−2,Y=y+1ならY²=−12Xの標準形。
生徒の元の距離と二乗・全方程式、負のpの焦点と準線・頂点の図、Pの両距離、開く向きと逆の非負を確認する。
二つの異なる焦点F₋(−3,0),F₊(3,0)を固定します。距離の和dを4,6,8とした三つの場合と、距離の差の絶対値dを0,6,8とした三つの場合について、条件を満たす点の全体がどうなるかをそれぞれ判断し、図と根拠を示してください。通常の楕円・双曲線と、線分・半直線・直線になる場合や、条件を満たす点がない場合を区別し、焦点自身を含むかも元の距離から確かめます。
焦点間隔は6。和4は三角不等式から点なし。和6は等号の場合でy=0,−3≦x≦3の閉じた線分で、両焦点も含む。和8はa=4,c=3,b²=7の楕円x²/16+y²/7=1で、焦点自身は距離の和6なので含まない。差の絶対値0は二焦点から等距離の垂直二等分線x=0で、焦点は含まない。差の絶対値6は逆三角不等式の等号で、y=0かつx≦−3またはx≧3の二つの閉じた半直線、両焦点も含む。差の絶対値8は6を超えるので点なし。通常の非退化な双曲線には0<d<6が必要で、この三つにその場合はない。
生徒が示した六つの場合それぞれの点の全体・等号の図、和と差の不等式と等号条件、焦点自身の距離0と6の検算、非退化の範囲との区別を見る。六つの場合を六つの独立した課題として数えない。
双曲線x²/9−y²/16=1について、頂点・二つの漸近線と右上の枝を図に示してください。漸近線上の点を式へ代入し、直線そのものは双曲線でないことを確認します。右上の枝のy=(4/3)√(x²−9)、x≧3と直線y=(4/3)xの縦の差を有理化し、xが大きくなると差をいくらでも小さくできる理由を、微分を使わず説明します。他の枝も対称性から対応させます。
頂点(±3,0)、漸近線y=±(4/3)x。直線を代入するとx²/9−((4/3)x)²/16=0で、双曲線の右辺1とは異なる。右上の差は(4/3)(x−√(x²−9))=12/(x+√(x²−9))>0。x≧3ではこの差は12/x以下で、xを大きくすれば希望する正の小ささより小さくできる。例えば小ささδ>0ならx>max(3,12/δ)を選べば差<δ。他の枝はx軸・y軸への対称で、それぞれ対応する二直線へ近づく。直線と一致することや直線上を進むこととは分ける。
生徒の頂点・二直線と枝の図、直線の代入0と1の違い、差の全有理化と正の分母・上からの評価、他の枝への対称な対応を見る。微積分の表記や一つの証明形式を要求しない。
A:9x²+4y²−18x+16y−11=0、B:4x²−9y²+8x+36y−68=0、C:y²+4y−8x+20=0を、全て平方完成してください。それぞれの曲線の種類、中心または頂点と焦点、Cの準線、元の距離の和・差の絶対値または等しい距離の条件を求め、同じ単位の図に表します。標準形を展開して元の全係数へ戻ることも示してください。
Aは9(x−1)²+4(y+2)²=36、すなわち(x−1)²/4+(y+2)²/9=1。中心(1,−2)、縦に長い楕円でa=3,b=2,c=√5、焦点(1,−2±√5)、距離の和6。Bは4(x+1)²−9(y−2)²=36、すなわち(x+1)²/9−(y−2)²/4=1。中心(−1,2)、横向きの双曲線でa=3,b=2,c=√13、焦点(−1±√13,2)、差の絶対値6。Cは(y+2)²=8(x−2)、頂点(2,−2)、p=2の右向きの放物線、焦点(4,−2)、準線x=0で、√((x−4)²+(y+2)²)=|x|。A,Bの準線まではこの課題では要求しない。いずれも平方の全項を展開すれば元の全係数と定数へ戻る。
生徒の三つの全平方完成・右辺と展開検算、各種類・軸の向き・中心または頂点、全焦点・Cの準線と距離の定義を見る。自由な根号の同値な表し方も認める。
hを−1,2から、kを0,1から、σを−1,1から一つずつ選びます。焦点F(h+3σ,k)、準線x=h−3σからの距離が等しい点の全体を、自分で立てた距離の式から方程式に表し、焦点・準線・頂点とP(h+3σ,k+6)を同じ単位の図へ描いてください。開く向き、Pと頂点それぞれでの距離、任意の点が元へ戻る理由も式と計算過程で示します。八条件全ては必須にしません。
作例h=2,k=1,σ=−1なら焦点F(−1,1)、準線x=5、頂点(2,1)、P(−1,7)。距離の等式√((x+1)²+(y−1)²)=|x−5|から(y−1)²=−12(x−2)、左へ開きx≦2。Pの両距離は6、頂点の両距離は3。一般には√((x−h−3σ)²+(y−k)²)=|x−h+3σ|と(y−k)²=12σ(x−h)が同値で、σ(x−h)≧0。σ=1は右、−1は左へ開く。頂点(h,k)、指定Pの距離は焦点へ6・準線へ|6σ|=6、頂点では|3σ|=3で等しい。逆は方程式から両距離の二乗が等しく、距離は非負だから元へ戻る。生徒の別の許された一組・同値式・別解も認める。
生徒の三条件・元の距離と全方程式、全座標・準線・頂点とPの図、σの向きと範囲、Pと頂点の両距離、任意の点への二乗の逆を確認する。八組を八題には数えない。