空間の交点を確かめる：三成分・平面と三角形・辺の範囲
準備14問と、生徒が三成分の式・交点のすべての条件・断面のすべての頂点を図と検算で確かめる主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学C。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学C(1)ア(ウ)・イ(イ)、冊子117〜119/PDF129〜131の空間座標・ベクトルと図形の考察を踏まえた独自活動です。直線と平面の交点、係数の範囲、立方体の断面を具体例で調べます。平面への垂線は内積から導く補助的な応用です。数学C全体・固定学年・入試頻度・実際の立体測量の達成は主張しません。
解説を読む
見取図で線が交わって見えても、空間で同じ点とは限りません。三つの成分を全部照合し、直線と線分、平面と三角形を分けます。切り口は一部の交点だけで決めず、全ての辺とその範囲から確かめます。
必要な予備知識
平面ベクトルの成分・実数倍・一次結合、内積と0でない条件、連立一次方程式、分数・根号、空間の直線と平面・立方体・三角形。右手系の直交座標(x,y,z)で各軸の単位をそろえます。空間ベクトルの成分と内積はここで平面から拡張します。行列・行列式・外積は前提にしません。
- 空間のa=(a₁,a₂,a₃)、b=(b₁,b₂,b₃)では和差・実数倍を三成分で計算します。a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃、|a|²=a·aです。同じ点や同じベクトルを示すには三成分を全て一致させます。
- P₀を通り零でないdを方向とする直線はX=P₀+td（tは全ての実数）。P₀からP₀+dへの線分なら0≦t≦1です。直線との交点が見つかっても、線分上とは限りません。
- 平面上の一点Aと、平行でない二つの方向u,vを使うとX=A+su+tv（s,tは実数）です。A,B,Cの三点ならu=B−A、v=C−Aが平行でないことを確かめます。一直線上の三点だけでは平面は一意に決まりません。
- A,B,Cが一直線上にないとき、三角形ABCの周と内部はX=A+s(B−A)+t(C−A)、s≧0、t≧0、s+t≦1です。平面全体ではこれらの範囲を付けません。境界を含まない内部だけなら三つの不等号を厳しくします。
- O,A,B,Cが同じ平面上にないとき、OA=a、OB=b、OC=cを用い、平面ABC上のOP=αa+βb+γcではα+β+γ=1です。三角形ABC上ならさらに三係数が非負です。三方向が同じ平面内の場合へ、一意な三係数の比較を無条件に広げません。
- 零でないnと一点Aに対し、n·(X−A)=0はAを通りnに垂直な平面です。二つの平行でない平面内の方向u,vに対してn·u=n·v=0を確かめれば、全てのsu+tvに対しても内積0になります。
- 直線X=P₀+tdと平面n·(X−A)=0では、n·(P₀−A)+t(n·d)=0を解きます。n·d≠0なら交点は一つ。n·d=0では、残る定数も0なら直線全体が平面内、定数が0でなければ交点なしです。
- 二直線ではそれぞれ別の実数パラメータを置き、三成分の式を全部解きます。最初の二式の解が第三式に合わなければ交点ではありません。交点がなく方向も平行でない二直線は、ねじれの位置です。
- 立方体と平面の断面は、各辺を線分として平面との交点を全て調べます。辺の外の解を除き、同じ頂点を重複して数えず、同じ面内で隣り合う交点を結びます。辺や面全体が平面内に入る場合は、そのことも別に確認します。
- 主課題では生徒の図と式を対応させます。T10の八条件は確認用で、生徒は選んだ一組を作図・計算・検算します。八条件を八つの主課題とは数えません。
解き方の例
P₀=(0,1,1)、d=(1,0,1)と平面x+y+z=6では、X=(t,1,1+t)なので2+2t=6、t=2、交点は(2,1,3)。三成分の式と平面の式の両方に戻します。0≦t≦1ではないので、P₀からP₀+dへの線分との交点ではありません。
A=(0,0,1)、B=(2,0,1)、C=(0,2,1)、P=(1,1,1)ならP=A+(1/2)(B−A)+(1/2)(C−A)。係数は非負で和1なので、Pは三角形の辺BC上。R=(2,2,1)は同じ平面z=1上でも係数の和2となり、三角形の外です。
よくある間違い
- 見取図の交差を空間の交点とする。
- 二成分だけを照合して、第三成分を調べない。
- 線分のパラメータの範囲を直線全体へ付ける。
- 平面上の点なら三角形の内部だとする。
- 平行な二方向や一直線上の三点で、平面が一意に決まるとする。
- 同じ平面内の三方向で係数を無条件に比較する。
- 平面への垂直を、平面内の一本との内積0だけで決める。
- n·d=0なら必ず交点なしとし、直線全体が平面内の場合を落とす。
- 辺の延長上の解を断面の頂点へ加える。
- 一部の辺だけから切り口を決める。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の空間図、三成分と連立方程式の全ての式、条件と範囲、元の式への全ての検算を手動確認します。T1は同じ投影と異なる高さ、T2は直線と線分、T3は交点とねじれ、T4は平面と三角形、T5は同一平面内の三方向と全ての係数、T6は四面体の平面と正の重み、T7は平面への垂線の足と二方向の確認、T8は12辺から断面全体、T9は三点が一直線上の場合、T10は生徒の一組と全ての条件を見ます。正しい同値式・別の図と解法を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。三成分の自由な答え、直線・平面や断面の生徒の図、連立方程式の全ての式・範囲・検算は手動確認します。見取図の長さや交差を測る自動判定、外積・行列式・任意の多面体の自動切断、球面や空間全体の網羅は扱いません。
練習する
自動採点は準備の有理数・選択だけです。自分の空間図、自由な三成分・連立方程式の全ての式・範囲と検算は手動確認します。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
A=(1,−2,3)、B=(4,0,−1)です。ベクトルAB=B−Aの第3成分を求めてください。
答えと解説
−4
終点のzから始点のzを引き、−1−3=−4。全成分は(3,2,−4)です。
図の立方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上にE・F・G・Hがあります。A=(0,0,0)、B=(4,0,0)、D=(0,4,0)、E=(0,0,4)です。対角線AGの中点のz座標を求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
2
G=(4,4,4)なので中点は(2,2,2)。見取図の画面上の高さを測らず、zの平均を使います。
a=(2,−1,3)です。大きさの二乗|a|²を求めてください。
答えと解説
14
三成分の二乗を足し、4+1+9=14。大きさ自体の√14と区別します。
a=(1,2,−1)、b=(2,−1,3)です。空間の内積a·bを求めてください。
答えと解説
−3
1×2+2×(−1)+(−1)×3=2−2−3=−3です。
直線X=(1,−1,2)+t(2,1,−1)が平面z=0と交わるとき、実数tを求めてください。
答えと解説
2
z成分2−t=0からt=2。交点(5,1,0)を元の三成分でも確認できます。
直線X=(1,0,2)+t(1,1,1)と平面x+2y+z=9の交点について、実数tを求めてください。
答えと解説
代入すると(1+t)+2t+(2+t)=9。3+4t=9からt=3/2です。
A=(1,0,0)、B=(1,3,0)、C=(1,0,2)、P=(1,1,1)です。P=A+s(B−A)+t(C−A)と表すとき、tを求めてください。
答えと解説
z成分から2t=1。yからs=1/3で、xも一致します。
X=A+su+tvで、一点Aを通る平面全体を一意に定めるための、二方向u,vの条件はどれですか。
- どちらも零でよい
- どちらも零でなく、互いに平行でない
- 必ず同じ向きである
- 長さだけが同じならよい
答えと解説
どちらも零でなく、互いに平行でない
平行でない二方向なら独立な二方向へ広がります。零や平行な二方向では直線以下にとどまります。
A≠BとしてX=A+t(B−A)を線分AB全体に限るとき、tの範囲はどれですか。
- 全ての実数
- t>1だけ
- 0≦t≦1
- t<0だけ
答えと解説
0≦t≦1
t=0がA、t=1がBで、その間が線分上です。全実数なら直線になります。
空間の二直線のx成分とy成分を一致させるとs=1、t=2になりました。交点があると確定するため、何をしますか。
- そのまま交点とする
- 画面の交差を測る
- 二方向の長さだけを比べる
- 同じs,tをz成分にも代入して一致を確かめる
答えと解説
同じs,tをz成分にも代入して一致を確かめる
空間の同じ点には三成分全ての一致が必要です。別の値で第三式だけを満たしても十分ではありません。
A,B,Cが一直線上にないとき、X=A+s(B−A)+t(C−A)が三角形ABCの周と内部を動く条件はどれですか。
- s≧0、t≧0、s+t≦1
- s,tは無条件の全実数
- s+t>1だけ
- s=tであることだけ
答えと解説
s≧0、t≧0、s+t≦1
A,B,Cへの重みは1−s−t、s、tです。三つの重みが非負なら三角形上で、全実数では平面全体です。
O,A,B,Cが同じ平面上にないとします。OA=a、OB=b、OC=cとして、平面ABC上のOP=αa+βb+γcに必要十分な係数の条件はどれですか。
- α+β+γ=0
- α=β=γだけ
- α+β+γ=1
- 三係数が全部正であることだけ
答えと解説
α+β+γ=1
P=A+s(B−A)+t(C−A)なら三係数は1−s−t,s,tで和1。逆に和1ならこの形へ戻せます。
零でないnが定める平面n·(X−A)=0と直線X=P₀+tdで、n·d=0、n·(P₀−A)≠0です。共通点はどうなりますか。
- 直線全体が共通点
- 共通点はない
- 必ず一点だけ
- 必ず線分になる
答えと解説
共通点はない
平面の式の左辺はtによらず零でない定数なので、全てのtで平面外です。
立方体を平面で切った断面の頂点を、辺との交点から確かめます。完全な確認として正しい方針はどれですか。
- 見える三辺だけ調べる
- 辺の延長上の解も全て頂点にする
- 投影図で交差する所を全て頂点にする
- 12辺の範囲内の解を調べ、重複と辺・面全体が重なる場合も確認する
答えと解説
12辺の範囲内の解を調べ、重複と辺・面全体が重なる場合も確認する
断面の頂点は、立方体の境界上で実際に同じ点を表す必要があります。一部の辺や延長上の解だけでは切り口全体を保証できません。
考え方を説明する
A=(1,−1,2)、B=(1,−1,5)です。三つの座標軸と二点を見取図に描き、ABの成分と長さ、二点のxy平面への正射影を求めてください。「xyの二成分が同じだからA=B」という説明を、元の三成分へ戻して直します。
答えと解説
AB=B−A=(0,0,3)、|AB|=3。A,Bのxy平面への足はどちらも(1,−1,0)だが、zが2と5で異なるため二点は一致しない。図で高さ方向の違いを示す。
生徒の三軸・二点・足の図、三成分の差、非負の長さ、同じ射影と同じ点の違いを確認する。
直線ℓ:X=(1,−1,2)+t(2,1,−1)と平面π:x+y+z=6を見取図に描き、交点を全て求めてください。三成分と平面の式へ代入して検算し、交点が一つと分かる理由を説明します。P₀=(1,−1,2)からP₀+(2,1,−1)への線分にも同じ交点があるか、範囲を分けて答えてください。
答えと解説
X=(1+2t,−1+t,2−t)。和は2+2tなのでt=2、交点(5,1,0)。元の直線の三成分と平面の和6が一致する。法線n=(1,1,1)と方向dの内積2≠0なのでtは一つ。線分の0≦t≦1には2が入らず、線分との交点はない。
生徒の直線を延長した図、全代入式、唯一のt、交点三成分、線分外という別の結論と根拠を見ます。
二直線ℓ₁:X=(1,0,2)+s(1,1,0)、ℓ₂:X=(0,2,1)+t(2,−1,1)の交点を、三成分の連立式から調べてください。次にℓ₂だけをℓ₂′:X=(0,2,2)+t(2,−1,1)へ変えます。xyの投影図では同じ交差に見える二つの配置を描き、ℓ₁とℓ₂′の実際の位置関係を式と計算過程から説明してください。
答えと解説
ℓ₁=(1+s,s,2)、ℓ₂=(2t,2−t,1+t)。xyからt=1,s=1でzも2なので交点(2,1,2)。ℓ₂′では同じxyの唯一の解t=s=1にz=3となり不一致、他のxy解もない。方向(1,1,0)と(2,−1,1)は平行でないので、交点のないℓ₁とℓ₂′はねじれの位置。
生徒の二つの空間配置と投影図、別パラメータ、三式の全確認、非平行の根拠を含むねじれの判定を見ます。
A=(1,−1,2)、B=(3,−1,2)、C=(1,2,2)、P=(2,0,2)、R=(3,2,2)です。三角形と二点を描き、PとRをA+s(B−A)+t(C−A)で表してください。平面ABC上にあることと、三角形の周・内部にあることを分け、係数の全範囲から結論を説明します。
答えと解説
B−A=(2,0,0)、C−A=(0,3,0)は平行でなく、平面はz=2。Pはs=1/2,t=1/3、和5/6<1で三つの重みが全部正、三角形の内部。Rはs=t=1で同じ平面上だが和2>1、Aへの重み−1なので三角形の外。三成分へ戻して両方を検算する。
生徒の三角形・二点・二方向の図、各係数と全三成分、平面と三角形を分けた必要十分な範囲を見ます。
u=(1,0,1)、v=(0,1,1)、w=(1,1,2)、p=(2,−1,1)です。三方向の関係を図と成分で確かめ、p=su+tv+rwの実数係数を全て表してください。「空間の三本だから係数は必ず一意」という説明を直し、この三方向が張る平面も式で示します。
答えと解説
w=u+vなので、su+tv+rw=(s+r)u+(t+r)v。p=2u−vよりs=2−r、t=−1−r、rは任意の実数。三成分は(2,−1,1)へ戻る。全方向はz=x+yの平面内にあり、三方向が同じ平面にあるため三係数は一意でない。u,vは非平行なので二方向での係数2,−1は一意。
生徒の同一平面と第三方向の和の図、任意パラメータを持つ全解、三成分の検算と一意性の条件を確認する。
O=(0,0,0)、A=(6,0,0)、B=(0,4,0)、C=(0,0,3)の四面体です。図を描き、平面ABCを係数の和から求めます。直線X=t(3,2,3)との交点を全て求め、三角形ABCのどこにあるか、Oから(3,2,3)への線分上かを、全係数と範囲で説明してください。
答えと解説
a=OA,b=OB,c=OCはそれぞれ異なる座標軸に沿う0でないベクトルで、同じ平面上にはない。平面はx/6+y/4+z/3=1。直線を代入するとt/2+t/2+t=2t=1、t=1/2、P=(3/2,1,3/2)。a,b,cへの重みは1/4,1/4,1/2で全部正、和1なので三角形ABCの内部。t=1/2は[0,1]内なので指定線分上でもある。
生徒の四面体・直線・面の図、平面の導出、唯一の交点の全検算、三角形の重みと線分の範囲の二判定を見ます。
平面π:x−2y+2z=7、P=(1,0,0)です。法線n=(1,−2,2)を使ってPからπへの垂線の足Hを求め、距離PHを求めてください。Hがπ上であることと、PHが平面全体に垂直であることを、平面内の二方向u=(2,1,0)、v=(−2,0,1)との内積から確かめます。図と全ての式を残してください。
答えと解説
H=P+tn=(1+t,−2t,2t)を代入し1+9t=7からt=2/3、H=(5/3,−4/3,4/3)。Hの平面式は7で、H−P=(2/3)n。n·u=2−2=0、n·v=−2+2=0、u,vは非平行なのでnは平面全体に垂直。|n|=3よりPH=|2/3|×3=2。生徒の図で足と法線方向を示す。
生徒の平面・P・H・法線の図、平面式への代入、二つの独立方向への内積0、足と非負の距離2を見る。正しい別の導出も認める。
立方体0≦x≦2、0≦y≦2、0≦z≦2を平面x+y+z=3で切ります。12辺を「一成分を動かし、残る二成分を0か2に固定する」表で全て調べ、範囲内の交点を重複なく示してください。同じ面上の隣り合う点を結んだ断面全体を描き、辺の延長上の解や見取図の交差を頂点へ加えない理由を説明します。
答えと解説
動く成分は、固定二成分の和が0,2,2,4の順で3,1,1,−1。0〜2に入るのは1の二場合だけで、各三方向に二点、計六点。順に(0,1,2),(0,2,1),(1,2,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,0,2)を結ぶ六角形。隣り合う二点はそれぞれ同じ面x=0,y=2,z=0,x=2,y=0,z=2上。12辺の残る六解は範囲外で、平面内に辺全体や立方体の頂点が入る場合もない。正六角形であることの証明までは必須にしない。
生徒の12辺の表・全範囲・重複なしの六座標と元の式への検算、全六面の閉じた交線を確認する。図の形の名称だけで完了にしない。
A=(1,0,0)、B=(3,0,0)、C=(5,0,0)です。「三点があれば、それらを通る平面は必ず一つ。X=A+s(B−A)+t(C−A)でその平面全体が動く」という説明を、自分の図と成分で直してください。三点を含む異なる二平面を示し、P=(1,1,0)がその二平面と上の式のどこに入るかも確かめます。
答えと解説
B−A=(2,0,0)、C−A=(4,0,0)は平行。上の式はX=(1+2s+4t,0,0)でx軸上の直線だけ。三点を含む平面y=0とz=0は異なる。Pはz=0に入るがy=0にも上の式にも入らない。一直線上にない三点なら初めて一意な平面が定まり、この三点では一意でない。
生徒の同一直線と二平面・Pの図、平行な二方向、上の式が線に限られる成分の根拠、存在と一意を分けた訂正を見ます。
pを0,1から、qを1,2から、hを3,5から一つずつ選びます。直線X=(p,0,0)+t(1,q,1)と平面x+y+z=hの交点を作図・計算してください。三成分と平面の式へ代入し、交点が一つである理由と、(p,0,0)から(p,0,0)+(1,q,1)への線分上かを説明します。全八条件は必須にしません。
答えと解説
方向d=(1,q,1)は0でない、法線n=(1,1,1)との内積q+2は3か4で0でない。p+(q+2)t=hからt=(h−p)/(q+2)、交点(p+t,qt,t)。三成分と和hへ戻して検算し、0≦t≦1のときだけ指定線分上。作例p=1,q=2,h=3ではt=1/2、P=(3/2,1,1/2)、線分上。生徒の別の許された一組・同値式・別解も認める。
生徒の選択一組・三次元の図・唯一のtと全三成分・元の二条件の検算・線分の範囲を確認する。八条件を八題として必須にしない。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学C(1)ア(ウ)・イ(イ)、冊子117〜119/PDF129〜131の空間座標・ベクトルと図形の考察を踏まえた独自活動です。直線と平面の交点、係数の範囲、立方体の断面を具体例で調べます。平面への垂線は内積から導く補助的な応用です。数学C全体・固定学年・入試頻度・実際の立体測量の達成は主張しません。 · 2026-11-05
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の空間図、三成分と連立方程式の全ての式、条件と範囲、元の式への全ての検算を手動確認します。T1は同じ投影と異なる高さ、T2は直線と線分、T3は交点とねじれ、T4は平面と三角形、T5は同一平面内の三方向と全ての係数、T6は四面体の平面と正の重み、T7は平面への垂線の足と二方向の確認、T8は12辺から断面全体、T9は三点が一直線上の場合、T10は生徒の一組と全ての条件を見ます。正しい同値式・別の図と解法を認めます。
A=(1,−2,3)、B=(4,0,−1)です。ベクトルAB=B−Aの第3成分を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図の立方体ABCD-EFGHで、A・B・C・Dの真上にE・F・G・Hがあります。A=(0,0,0)、B=(4,0,0)、D=(0,4,0)、E=(0,0,4)です。対角線AGの中点のz座標を求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(2,−1,3)です。大きさの二乗|a|²を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(1,2,−1)、b=(2,−1,3)です。空間の内積a·bを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直線X=(1,−1,2)+t(2,1,−1)が平面z=0と交わるとき、実数tを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
直線X=(1,0,2)+t(1,1,1)と平面x+2y+z=9の交点について、実数tを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A=(1,0,0)、B=(1,3,0)、C=(1,0,2)、P=(1,1,1)です。P=A+s(B−A)+t(C−A)と表すとき、tを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
X=A+su+tvで、一点Aを通る平面全体を一意に定めるための、二方向u,vの条件はどれですか。
- どちらも零でよい
- どちらも零でなく、互いに平行でない
- 必ず同じ向きである
- 長さだけが同じならよい
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A≠BとしてX=A+t(B−A)を線分AB全体に限るとき、tの範囲はどれですか。
- 全ての実数
- t>1だけ
- 0≦t≦1
- t<0だけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
空間の二直線のx成分とy成分を一致させるとs=1、t=2になりました。交点があると確定するため、何をしますか。
- そのまま交点とする
- 画面の交差を測る
- 二方向の長さだけを比べる
- 同じs,tをz成分にも代入して一致を確かめる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A,B,Cが一直線上にないとき、X=A+s(B−A)+t(C−A)が三角形ABCの周と内部を動く条件はどれですか。
- s≧0、t≧0、s+t≦1
- s,tは無条件の全実数
- s+t>1だけ
- s=tであることだけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
O,A,B,Cが同じ平面上にないとします。OA=a、OB=b、OC=cとして、平面ABC上のOP=αa+βb+γcに必要十分な係数の条件はどれですか。
- α+β+γ=0
- α=β=γだけ
- α+β+γ=1
- 三係数が全部正であることだけ
途中の計算・単位・理由・確認答え:
零でないnが定める平面n·(X−A)=0と直線X=P₀+tdで、n·d=0、n·(P₀−A)≠0です。共通点はどうなりますか。
- 直線全体が共通点
- 共通点はない
- 必ず一点だけ
- 必ず線分になる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
立方体を平面で切った断面の頂点を、辺との交点から確かめます。完全な確認として正しい方針はどれですか。
- 見える三辺だけ調べる
- 辺の延長上の解も全て頂点にする
- 投影図で交差する所を全て頂点にする
- 12辺の範囲内の解を調べ、重複と辺・面全体が重なる場合も確認する
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
A=(1,−1,2)、B=(1,−1,5)です。三つの座標軸と二点を見取図に描き、ABの成分と長さ、二点のxy平面への正射影を求めてください。「xyの二成分が同じだからA=B」という説明を、元の三成分へ戻して直します。
直線ℓ:X=(1,−1,2)+t(2,1,−1)と平面π:x+y+z=6を見取図に描き、交点を全て求めてください。三成分と平面の式へ代入して検算し、交点が一つと分かる理由を説明します。P₀=(1,−1,2)からP₀+(2,1,−1)への線分にも同じ交点があるか、範囲を分けて答えてください。
二直線ℓ₁:X=(1,0,2)+s(1,1,0)、ℓ₂:X=(0,2,1)+t(2,−1,1)の交点を、三成分の連立式から調べてください。次にℓ₂だけをℓ₂′:X=(0,2,2)+t(2,−1,1)へ変えます。xyの投影図では同じ交差に見える二つの配置を描き、ℓ₁とℓ₂′の実際の位置関係を式と計算過程から説明してください。
A=(1,−1,2)、B=(3,−1,2)、C=(1,2,2)、P=(2,0,2)、R=(3,2,2)です。三角形と二点を描き、PとRをA+s(B−A)+t(C−A)で表してください。平面ABC上にあることと、三角形の周・内部にあることを分け、係数の全範囲から結論を説明します。
u=(1,0,1)、v=(0,1,1)、w=(1,1,2)、p=(2,−1,1)です。三方向の関係を図と成分で確かめ、p=su+tv+rwの実数係数を全て表してください。「空間の三本だから係数は必ず一意」という説明を直し、この三方向が張る平面も式で示します。
O=(0,0,0)、A=(6,0,0)、B=(0,4,0)、C=(0,0,3)の四面体です。図を描き、平面ABCを係数の和から求めます。直線X=t(3,2,3)との交点を全て求め、三角形ABCのどこにあるか、Oから(3,2,3)への線分上かを、全係数と範囲で説明してください。
平面π:x−2y+2z=7、P=(1,0,0)です。法線n=(1,−2,2)を使ってPからπへの垂線の足Hを求め、距離PHを求めてください。Hがπ上であることと、PHが平面全体に垂直であることを、平面内の二方向u=(2,1,0)、v=(−2,0,1)との内積から確かめます。図と全ての式を残してください。
立方体0≦x≦2、0≦y≦2、0≦z≦2を平面x+y+z=3で切ります。12辺を「一成分を動かし、残る二成分を0か2に固定する」表で全て調べ、範囲内の交点を重複なく示してください。同じ面上の隣り合う点を結んだ断面全体を描き、辺の延長上の解や見取図の交差を頂点へ加えない理由を説明します。
A=(1,0,0)、B=(3,0,0)、C=(5,0,0)です。「三点があれば、それらを通る平面は必ず一つ。X=A+s(B−A)+t(C−A)でその平面全体が動く」という説明を、自分の図と成分で直してください。三点を含む異なる二平面を示し、P=(1,1,0)がその二平面と上の式のどこに入るかも確かめます。
pを0,1から、qを1,2から、hを3,5から一つずつ選びます。直線X=(p,0,0)+t(1,q,1)と平面x+y+z=hの交点を作図・計算してください。三成分と平面の式へ代入し、交点が一つである理由と、(p,0,0)から(p,0,0)+(1,q,1)への線分上かを説明します。全八条件は必須にしません。
解答: 空間の交点を確かめる：三成分・平面と三角形・辺の範囲
−4
終点のzから始点のzを引き、−1−3=−4。全成分は(3,2,−4)です。
2
G=(4,4,4)なので中点は(2,2,2)。見取図の画面上の高さを測らず、zの平均を使います。
14
三成分の二乗を足し、4+1+9=14。大きさ自体の√14と区別します。
−3
1×2+2×(−1)+(−1)×3=2−2−3=−3です。
2
z成分2−t=0からt=2。交点(5,1,0)を元の三成分でも確認できます。
代入すると(1+t)+2t+(2+t)=9。3+4t=9からt=3/2です。
z成分から2t=1。yからs=1/3で、xも一致します。
どちらも零でなく、互いに平行でない
平行でない二方向なら独立な二方向へ広がります。零や平行な二方向では直線以下にとどまります。
0≦t≦1
t=0がA、t=1がBで、その間が線分上です。全実数なら直線になります。
同じs,tをz成分にも代入して一致を確かめる
空間の同じ点には三成分全ての一致が必要です。別の値で第三式だけを満たしても十分ではありません。
s≧0、t≧0、s+t≦1
A,B,Cへの重みは1−s−t、s、tです。三つの重みが非負なら三角形上で、全実数では平面全体です。
α+β+γ=1
P=A+s(B−A)+t(C−A)なら三係数は1−s−t,s,tで和1。逆に和1ならこの形へ戻せます。
共通点はない
平面の式の左辺はtによらず零でない定数なので、全てのtで平面外です。
12辺の範囲内の解を調べ、重複と辺・面全体が重なる場合も確認する
断面の頂点は、立方体の境界上で実際に同じ点を表す必要があります。一部の辺や延長上の解だけでは切り口全体を保証できません。
記述問題の解答・確認の観点
A=(1,−1,2)、B=(1,−1,5)です。三つの座標軸と二点を見取図に描き、ABの成分と長さ、二点のxy平面への正射影を求めてください。「xyの二成分が同じだからA=B」という説明を、元の三成分へ戻して直します。
AB=B−A=(0,0,3)、|AB|=3。A,Bのxy平面への足はどちらも(1,−1,0)だが、zが2と5で異なるため二点は一致しない。図で高さ方向の違いを示す。
生徒の三軸・二点・足の図、三成分の差、非負の長さ、同じ射影と同じ点の違いを確認する。
直線ℓ:X=(1,−1,2)+t(2,1,−1)と平面π:x+y+z=6を見取図に描き、交点を全て求めてください。三成分と平面の式へ代入して検算し、交点が一つと分かる理由を説明します。P₀=(1,−1,2)からP₀+(2,1,−1)への線分にも同じ交点があるか、範囲を分けて答えてください。
X=(1+2t,−1+t,2−t)。和は2+2tなのでt=2、交点(5,1,0)。元の直線の三成分と平面の和6が一致する。法線n=(1,1,1)と方向dの内積2≠0なのでtは一つ。線分の0≦t≦1には2が入らず、線分との交点はない。
生徒の直線を延長した図、全代入式、唯一のt、交点三成分、線分外という別の結論と根拠を見ます。
二直線ℓ₁:X=(1,0,2)+s(1,1,0)、ℓ₂:X=(0,2,1)+t(2,−1,1)の交点を、三成分の連立式から調べてください。次にℓ₂だけをℓ₂′:X=(0,2,2)+t(2,−1,1)へ変えます。xyの投影図では同じ交差に見える二つの配置を描き、ℓ₁とℓ₂′の実際の位置関係を式と計算過程から説明してください。
ℓ₁=(1+s,s,2)、ℓ₂=(2t,2−t,1+t)。xyからt=1,s=1でzも2なので交点(2,1,2)。ℓ₂′では同じxyの唯一の解t=s=1にz=3となり不一致、他のxy解もない。方向(1,1,0)と(2,−1,1)は平行でないので、交点のないℓ₁とℓ₂′はねじれの位置。
生徒の二つの空間配置と投影図、別パラメータ、三式の全確認、非平行の根拠を含むねじれの判定を見ます。
A=(1,−1,2)、B=(3,−1,2)、C=(1,2,2)、P=(2,0,2)、R=(3,2,2)です。三角形と二点を描き、PとRをA+s(B−A)+t(C−A)で表してください。平面ABC上にあることと、三角形の周・内部にあることを分け、係数の全範囲から結論を説明します。
B−A=(2,0,0)、C−A=(0,3,0)は平行でなく、平面はz=2。Pはs=1/2,t=1/3、和5/6<1で三つの重みが全部正、三角形の内部。Rはs=t=1で同じ平面上だが和2>1、Aへの重み−1なので三角形の外。三成分へ戻して両方を検算する。
生徒の三角形・二点・二方向の図、各係数と全三成分、平面と三角形を分けた必要十分な範囲を見ます。
u=(1,0,1)、v=(0,1,1)、w=(1,1,2)、p=(2,−1,1)です。三方向の関係を図と成分で確かめ、p=su+tv+rwの実数係数を全て表してください。「空間の三本だから係数は必ず一意」という説明を直し、この三方向が張る平面も式で示します。
w=u+vなので、su+tv+rw=(s+r)u+(t+r)v。p=2u−vよりs=2−r、t=−1−r、rは任意の実数。三成分は(2,−1,1)へ戻る。全方向はz=x+yの平面内にあり、三方向が同じ平面にあるため三係数は一意でない。u,vは非平行なので二方向での係数2,−1は一意。
生徒の同一平面と第三方向の和の図、任意パラメータを持つ全解、三成分の検算と一意性の条件を確認する。
O=(0,0,0)、A=(6,0,0)、B=(0,4,0)、C=(0,0,3)の四面体です。図を描き、平面ABCを係数の和から求めます。直線X=t(3,2,3)との交点を全て求め、三角形ABCのどこにあるか、Oから(3,2,3)への線分上かを、全係数と範囲で説明してください。
a=OA,b=OB,c=OCはそれぞれ異なる座標軸に沿う0でないベクトルで、同じ平面上にはない。平面はx/6+y/4+z/3=1。直線を代入するとt/2+t/2+t=2t=1、t=1/2、P=(3/2,1,3/2)。a,b,cへの重みは1/4,1/4,1/2で全部正、和1なので三角形ABCの内部。t=1/2は[0,1]内なので指定線分上でもある。
生徒の四面体・直線・面の図、平面の導出、唯一の交点の全検算、三角形の重みと線分の範囲の二判定を見ます。
平面π:x−2y+2z=7、P=(1,0,0)です。法線n=(1,−2,2)を使ってPからπへの垂線の足Hを求め、距離PHを求めてください。Hがπ上であることと、PHが平面全体に垂直であることを、平面内の二方向u=(2,1,0)、v=(−2,0,1)との内積から確かめます。図と全ての式を残してください。
H=P+tn=(1+t,−2t,2t)を代入し1+9t=7からt=2/3、H=(5/3,−4/3,4/3)。Hの平面式は7で、H−P=(2/3)n。n·u=2−2=0、n·v=−2+2=0、u,vは非平行なのでnは平面全体に垂直。|n|=3よりPH=|2/3|×3=2。生徒の図で足と法線方向を示す。
生徒の平面・P・H・法線の図、平面式への代入、二つの独立方向への内積0、足と非負の距離2を見る。正しい別の導出も認める。
立方体0≦x≦2、0≦y≦2、0≦z≦2を平面x+y+z=3で切ります。12辺を「一成分を動かし、残る二成分を0か2に固定する」表で全て調べ、範囲内の交点を重複なく示してください。同じ面上の隣り合う点を結んだ断面全体を描き、辺の延長上の解や見取図の交差を頂点へ加えない理由を説明します。
動く成分は、固定二成分の和が0,2,2,4の順で3,1,1,−1。0〜2に入るのは1の二場合だけで、各三方向に二点、計六点。順に(0,1,2),(0,2,1),(1,2,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,0,2)を結ぶ六角形。隣り合う二点はそれぞれ同じ面x=0,y=2,z=0,x=2,y=0,z=2上。12辺の残る六解は範囲外で、平面内に辺全体や立方体の頂点が入る場合もない。正六角形であることの証明までは必須にしない。
生徒の12辺の表・全範囲・重複なしの六座標と元の式への検算、全六面の閉じた交線を確認する。図の形の名称だけで完了にしない。
A=(1,0,0)、B=(3,0,0)、C=(5,0,0)です。「三点があれば、それらを通る平面は必ず一つ。X=A+s(B−A)+t(C−A)でその平面全体が動く」という説明を、自分の図と成分で直してください。三点を含む異なる二平面を示し、P=(1,1,0)がその二平面と上の式のどこに入るかも確かめます。
B−A=(2,0,0)、C−A=(4,0,0)は平行。上の式はX=(1+2s+4t,0,0)でx軸上の直線だけ。三点を含む平面y=0とz=0は異なる。Pはz=0に入るがy=0にも上の式にも入らない。一直線上にない三点なら初めて一意な平面が定まり、この三点では一意でない。
生徒の同一直線と二平面・Pの図、平行な二方向、上の式が線に限られる成分の根拠、存在と一意を分けた訂正を見ます。
pを0,1から、qを1,2から、hを3,5から一つずつ選びます。直線X=(p,0,0)+t(1,q,1)と平面x+y+z=hの交点を作図・計算してください。三成分と平面の式へ代入し、交点が一つである理由と、(p,0,0)から(p,0,0)+(1,q,1)への線分上かを説明します。全八条件は必須にしません。
方向d=(1,q,1)は0でない、法線n=(1,1,1)との内積q+2は3か4で0でない。p+(q+2)t=hからt=(h−p)/(q+2)、交点(p+t,qt,t)。三成分と和hへ戻して検算し、0≦t≦1のときだけ指定線分上。作例p=1,q=2,h=3ではt=1/2、P=(3/2,1,1/2)、線分上。生徒の別の許された一組・同値式・別解も認める。
生徒の選択一組・三次元の図・唯一のtと全三成分・元の二条件の検算・線分の範囲を確認する。八条件を八題として必須にしない。