平面ベクトル：始点から終点へ、成分と一次結合をそろえる
準備14問と、生徒が向きのある矢印、成分の計算過程と分解の根拠を残す主課題10題です。
学年・内容の目安 高校・数学C。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
現行数学C(1)ア(ア)・イ(ア)、冊子117〜118/PDF129〜130のベクトルの意味・相等・和差・実数倍・位置ベクトル・成分と演算法則を踏まえた独自活動です。平面の二成分と一次結合の基本を扱います。内積・空間・抽象的なベクトル空間の理論、数学C全体・固定学年や実際の運動の測定を主張しません。
解説を読む
長さが0でない二つの矢印は、向きと大きさが同じなら、平行移動しても同じベクトルを表します。点の座標と移動の成分を区別し、始点から終点への差、和・差と実数倍を図と計算の両方で確かめます。二つの方向への分解では、解が一つに決まる条件も調べます。
必要な予備知識
座標平面の原点と向き、正負の数・分数の計算、二元一次連立方程式、三平方の定理と二点間の距離。ここではa,b,cを平面ベクトル、s,t,kを実数とします。成分(a₁,a₂)は横と縦の移動の順で、ベクトルABはAからBへ向かうものとします。
- 零でない二つのベクトルは、向きと大きさが同じなら相等です。始点の位置が違っても、代表する矢印を平行移動して重ねて確認できます。長さだけが同じ、あるいは回転すれば重なるという条件だけでは同じとはいえません。零ベクトルどうしも同じベクトルですが、その向きは定めません。
- A(x₁,y₁)からB(x₂,y₂)へのベクトルABの成分は(x₂−x₁,y₂−y₁)です。終点から始点を引きます。ベクトルBAはその逆(−1)倍で、Bの点の座標そのものとは区別します。
- 成分でa+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)、a−b=(a₁−b₁,a₂−b₂)です。和は一方の終点へ他方の始点を平行移動してつなぎ、最初の始点から最後の終点への矢印に対応します。差a−bはa+(−b)として考えます。
- 実数倍kaは各成分をk倍します。k>0なら向きは同じ、k<0なら逆向きで、大きさは|k|倍です。k=0なら零ベクトル(0,0)。零ベクトルの大きさは0で、その向きは定めません。
- sa+tbという和をa,bの一次結合と呼びます。二つの成分をそれぞれ計算し、求めた全ベクトルを元の式へ代入して確かめます。係数が分数や負でも、各成分へ同じ係数を掛けます。
- 平面でa,bがどちらも零でなく平行でなければ、各ベクトルはsa+tbと一通りに表せます。具体的な分解では二成分の連立方程式を解き、二通りの分解の差が零になるとき係数も零になるかを確認して一意性を説明します。
- 平行な方向二つでは、分解するベクトルによって解がない場合や無数にある場合があります。連立式の一方だけで決めず、両成分の整合を見ます。ここで平行を比べる二つのベクトルは零でないものを選びます。
- 原点Oから点Aへの位置ベクトルOAは、その原点でのAの座標に対応します。原点を変えると位置ベクトルの成分は変わりますが、同じ二点間の移動ABは変わりません。位置と移動を混ぜず、始点・終点を図へ書きます。
- 準備の自動採点は指定有理数と選択だけです。主課題の生徒の有向線分図・自由な二成分の式と計算過程・一次結合と連立式、一意性・不存在の根拠は手動確認します。正しい同値式・別解も認めます。
- 生徒の自作課題は選んだ一組と図・全計算・元の式への検算を確認します。8条件は確認用で8題には数えません。内積による角度・射影、空間ベクトル、行列や行列式の用語はこの教材で要求しません。
解き方の例
A(1,−2)からB(4,0)ならベクトルAB=(3,2)です。C(−2,1)からD(1,3)も(3,2)なので同じベクトルを表します。二つの矢印は平行移動で重なり、点BとDの座標は同じでなくてもかまいません。
a=(1,2)、b=(2,−1)なら2a−b=(2,4)−(2,−1)=(0,5)。−bはbの逆向きです。二つの成分を元の2a−bへ代入し、横の移動が0でも縦の移動が残ることを図で確かめます。
よくある間違い
- 終点の座標をそのまま移動の成分にする。
- 始点から終点を引いて逆向きにする。
- 二つのベクトルの長さだけで相等とする。
- 負の実数倍でも向きを変えない。
- 係数を片方の成分にしか掛けない。
- 差a−bとb−aを同じにする。
- 平行な二方向でも分解は必ず一意とする。
- 連立式の一方だけを確認する。
- 零ベクトルに特定の向きがあるとする。
考え方を説明する
準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の始点・終点・向きのある図、二成分の全計算と元の式への検算を確認します。T1は平行移動と相等・逆向き、T2は和差の矢印、T3は負の分数倍と逆の復元、T4は二方向への分解、T5は分解の一意性、T6は平行な方向での無数解と不存在、T7は原点と位置・移動、T8は平行四辺形の全頂点、T9は長さだけによる誤判断、T10は生徒の一組と式と計算過程を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
自動採点は準備の指定有理数・選択だけです。生徒の矢印図、自由な二成分と一次結合の式と計算過程、係数の連立式と一意性・不存在の根拠は手動確認します。平面の基礎を扱い、内積・角度・射影・空間ベクトル・抽象的な線形代数・実際の運動の測定は扱いません。
練習する
自動採点は準備の有理数・選択だけです。自分の矢印図・自由な二成分・一次結合の式と計算過程や一意性の説明は手動確認します。
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自分の答えと記述
練習問題と解答
A(−2,1)からB(3,4)へのベクトルABについて、第1成分（横の移動）を求めてください。
答えと解説
5
終点のxから始点のxを引いて3−(−2)=5です。Bのx座標3そのものではありません。
図のA(−2,1)、B(3,4)、C(−1,−2)、D(4,1)を確かめ、CからDへ向かうベクトルCDの第2成分（縦の移動）を求めてください。
図を準備しています。
答えと解説
3
終点Dのyから始点Cのyを引いて1−(−2)=3です。ABも(5,3)で同じ向きと大きさです。
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。a+bの第1成分を求めてください。
答えと解説
2
同じ順の成分を足して3+(−1)=2です。全ベクトルは(2,2)。
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。a−bの第2成分を求めてください。
答えと解説
−6
第2成分は−2−4=−6です。全ベクトルは(4,−6)。
a=(2,−4)です。(−3/2)aの第1成分を求めてください。
答えと解説
−3
各成分を−3/2倍して(−3,6)です。負の係数で向きも逆になります。
a=(2,1)、b=(1,−1)で、p a+q b=(7,−1)です。二成分の連立式を解き、pを求めてください。
答えと解説
2
2p+q=7、p−q=−1を足すと3p=6なのでp=2。q=3で両成分を満たします。
a=(4,−3)について、a+(−a)の大きさを求めてください。
答えと解説
0
和は零ベクトル(0,0)なので大きさ0です。その向きを特定の方向に定めません。
どちらも長さが0でない二つの有向線分が、同じベクトルを表す条件はどれですか。
- 長さが同じなら向きは問わない
- 平行移動で重なり、向きと大きさが同じ
- 回転して重なれば向きは問わない
- 終点の座標が同じなら始点は問わない
答えと解説
平行移動で重なり、向きと大きさが同じ
自由なベクトルの相等では向きと大きさが同じです。始点の位置自体は問いません。
a≠0でk<0です。kaの向きと大きさについて正しい説明はどれですか。
- 向きは同じ、大きさはk倍
- 向きは逆、大きさはk倍という負の長さ
- 向きは逆、大きさは|k|倍
- 必ず零ベクトルになる
答えと解説
向きは逆、大きさは|k|倍
負の係数は向きを逆にし、大きさは非負の|k|倍です。
A(x₁,y₁)からB(x₂,y₂)へのベクトルABの成分はどれですか。
- (x₂,y₂)
- (x₁,y₁)
- (x₁−x₂,y₁−y₂)
- (x₂−x₁,y₂−y₁)
答えと解説
(x₂−x₁,y₂−y₁)
始点から終点への差で、終点から始点を引きます。
点Aの座標が(2,−3)です。位置ベクトルOAの成分がそのまま(2,−3)になる条件はどれですか。
- Oがその座標平面の原点である
- Oがどこにあっても、OAの成分は必ず(2,−3)になる
- OとAが同じ点である
- OAの長さが1である
答えと解説
Oがその座標平面の原点である
位置ベクトルの成分は選んだ原点Oからの差です。
平面でa,bはどちらも零でなく平行ではありません。s a+t b=0について成り立つことはどれですか。
- s,tはどんな値でもよい
- sだけ必ず1になる
- s=t=0に限られる
- 必ず解がない
答えと解説
s=t=0に限られる
二つの異なる方向への分解は一意で、零ベクトルを表す係数は両方0です。具体的には成分の連立式で確かめられます。
a=(2,−1)、b=(−4,2)です。s a+t b=(6,−2)の解はどうなりますか。
- 必ず一つだけある
- 解がない
- 全てのs,tが解である
- s=3,t=0が解である
答えと解説
解がない
左辺は常に(2s−4t,−s+2t)で第2成分が第1成分の−1/2。第1が6なら第2は−3なので一致しません。
a=(3,4)、b=(−3,4)について正しい説明はどれですか。
- 大きさが5なので同じベクトル
- 同じ終点へ移せば必ず同じ向き
- b=−aである
- 大きさは同じ5だが、成分が違うため同じベクトルではない
答えと解説
大きさは同じ5だが、成分が違うため同じベクトルではない
距離の公式で両方の大きさは5。相等には向きも必要で、−a=(−3,−4)とも異なります。
考え方を説明する
A(−2,1)、B(3,4)、C(−1,−2)、D(4,1)を座標平面へ置き、ベクトルABとCDを有向線分で描きます。二成分を計算し、平行移動と相等を説明してください。さらにベクトルBAを求め、長さが同じことだけでABと同じにしてよいか説明します。
答えと解説
AB=(3−(−2),4−1)=(5,3)、CD=(4−(−1),1−(−2))=(5,3)。AからCへの平行移動(1,−3)でBもDへ移るので二つは同じベクトル。BA=(−5,−3)=−ABで向きが逆。両方の大きさは√34だが同じベクトルではない。生徒の矢印の先はB,D,Aにそれぞれ置き、点の座標と移動の成分を分ける。
生徒の四点・向きの図、終点−始点の両成分、平行移動の対応・相等と逆向きの区別を見ます。
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。共通の始点からa,bを描き、a+b、a−b、b−aをそれぞれ求めます。和のつなぎ方と差の逆ベクトルへの置き換えを図に示し、二つの差の関係を説明してください。
答えと解説
a+b=(2,2)、a−b=(4,−6)、b−a=(−4,6)=−(a−b)。和はaの終点へbの始点を平行移動し、最初から最後への矢印。a−bはa+(−b)で、−b=(1,−4)。生徒の図と両成分の全計算を照合する。a+b=b+aだが、二つの差は一般に等しくない。
生徒の共通始点と平行移動・逆向きの図、三つの全成分と元の計算、差の関係を見ます。
a=(2,−4)、c=(−3/2)aです。aとcを図にし、cの全成分、向きと大きさの比を示してください。さらにcからaを復元する実数倍を求め、元の式へ代入して確かめます。
答えと解説
c=(−3,6)。係数が負なので逆向きで、大きさは3/2倍。a=−(2/3)cで、−(2/3)(−3,6)=(2,−4)に戻る。|a|=√20=2√5、|c|=√45=3√5でも比3/2を確かめられる。負の大きさとは表さない。
生徒の二本の矢印・全成分、向きと非負の大きさの比、逆の係数と全検算を見ます。
a=(2,1)、b=(1,−1)、c=(7,−1)です。c=p a+q bとなるp,qを求め、二成分の連立式と計算、元の一次結合への検算を示してください。a,bからcを作る矢印の図も残します。
答えと解説
成分から2p+q=7、p−q=−1。足して3p=6よりp=2、q=3。2a+3b=(4,2)+(3,−3)=(7,−1)=cで両成分が合う。図は2aの終点へ3bをつなぎ、最初から最後へのcを示す。二つの係数は長さではなく符号を持つ実数。
生徒の二成分の連立式・p=2,q=3・両成分への検算と矢印のつなぎ方を見ます。
同じa=(2,1)、b=(1,−1)について、c=(1,5)をp a+q bに分解します。次に、もし二組の係数が同じcを表すならその差r a+s b=0になることを使い、この分解が一意である理由を二成分の連立式で説明してください。
答えと解説
2p+q=1、p−q=5よりp=2,q=−3。2a−3b=(4,2)−(3,−3)=(1,5)。二組の分解の差では2r+s=0、r−s=0。r=sを代入して3r=0なのでr=s=0。従って係数は同じで一意。生徒の図では−3bをbの逆向きに置き、cへつなぐ。
生徒の分解・負の係数の図と検算、差の連立式から係数の差が両方0となる説明を見る。正しい別の一意性の証明も認める。
a=(2,−1)、b=(−4,2)です。二本の矢印の関係を図にし、s a+t b=(6,−3)の全ての係数の関係を求めてください。次に同じ左辺で(6,−2)を表せるか、二成分から説明します。一組見つけて一意と決めないようにします。
答えと解説
b=−2aなので左辺=(s−2t)a=(2s−4t,−s+2t)。(6,−3)にはs−2t=3で、tを任意の実数としてs=3+2tという無数の解。例(3,0),(5,1)はいずれも成立。(6,−2)なら第1成分からs−2t=3、第2からs−2t=2となり両立しないため解なし。生徒の図で同一直線上の逆向きと、目標がその方向にあるかを区別する。
生徒の平行と逆向きの図、無数解の全関係・二組の検算、二つの矛盾する条件から不存在を示す説明を見ます。
原点Oのある座標平面でA(2,−3)、B(−1,5)です。位置ベクトルOA、OB、移動ABと中点Mの位置ベクトルOMを求め、図と式を示してください。座標軸の向きと単位は保って原点をQ(1,1)へ変えた場合も、A,B,Mの新しい座標とABを照合します。
答えと解説
元はOA=(2,−3)、OB=(−1,5)、AB=OB−OA=(−3,8)、OM=(OA+OB)/2=(1/2,1)。原点Qへ移すとAの新座標は(1,−4)、Bは(−2,4)、Mは(−1/2,0)。新しい両端の差も(−2−1,4−(−4))=(−3,8)でABは同じ。位置ベクトルの成分は原点に依存するが二点間の移動は変わらない。生徒の図でO,Q,A,B,Mと矢印の始点を分ける。
生徒の位置と移動の全成分・中点、二つの原点の図、新座標と差の検算・変わる量と変わらない量を見ます。
A(−1,1)、B(3,2)、D(0,4)を三頂点とする平行四辺形ABCDを作ります。Aから出る二辺のベクトルを図にし、残るCの座標を求めてください。二組の向かい合う辺が同じベクトルになることを、両成分で確かめます。
答えと解説
AB=(4,1)、AD=(1,3)。AC=AB+AD=(5,4)なのでC=A+(5,4)=(4,5)。DC=C−D=(4,1)=AB、BC=C−B=(1,3)=AD。図はA→B→C→Dの頂点順で、Aから二方向を足す対角線を示す。C=B+D−Aを元の全辺へ戻して検算してもよい。
生徒の頂点順と二方向の図、C=(4,5)の全計算、AB=DCとAD=BCを向きも含めて照合することを見ます。
友達はa=(3,4)、b=(−3,4)について「長さがともに5なのでa=b。またb=−aでもある」としました。大きさと全成分、矢印の向きを図で比べて二つの主張を直してください。aと同じベクトルを別の始点から表す有向線分も一つ作ります。
答えと解説
|a|=√(9+16)=5、|b|=5だが第1成分が違い同じベクトルではない。−a=(−3,−4)でbとは第2成分が違うのでb≠−a。図ではaは右上、bは左上、−aは左下。作例P(1,−2)、Q(4,2)ならPQ=(3,4)=a。生徒の別の正しい二点と成分の検算も認める。
生徒の三本の向きの図、二つの大きさ・二つの誤主張を全成分で否定すること、自作の別始点と終点の検算を見ます。
uを2,3から、vを−1,−2から、hを1,2から一つずつ選び、a=(u,1)、b=(1,v)、c=h a−bを作ります。選んだ値と図、cの全成分、c=p a+q bとなる係数を示して元へ検算してください。この一組で分解が一意といえる理由も二成分から説明します。全8条件は必須にしません。
答えと解説
c=(hu−1,h−v)、係数はp=h,q=−1。作例u=2,v=−1,h=2ではa=(2,1)、b=(1,−1)、c=(3,3)=2a−b。二組の分解の差r a+s b=0ならur+s=0、r+vs=0。s=−urを代入して(1−uv)r=0、u>0,v<0から1−uv>0なのでr=0,s=0で一意。生徒の図ではh aへ−bをつなぐ。8条件は確認用で生徒の一組を確認する。
生徒の一組・具体的な二方向と矢印、cの全成分・p,qの元への検算、係数の差が両方0となる説明を見る。同値式と別解も認める。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
現行数学C(1)ア(ア)・イ(ア)、冊子117〜118/PDF129〜130のベクトルの意味・相等・和差・実数倍・位置ベクトル・成分と演算法則を踏まえた独自活動です。平面の二成分と一次結合の基本を扱います。内積・空間・抽象的なベクトル空間の理論、数学C全体・固定学年や実際の運動の測定を主張しません。 · 2026-11-05
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準備14問は指定有理数と選択です。主課題は生徒の始点・終点・向きのある図、二成分の全計算と元の式への検算を確認します。T1は平行移動と相等・逆向き、T2は和差の矢印、T3は負の分数倍と逆の復元、T4は二方向への分解、T5は分解の一意性、T6は平行な方向での無数解と不存在、T7は原点と位置・移動、T8は平行四辺形の全頂点、T9は長さだけによる誤判断、T10は生徒の一組と式と計算過程を見ます。正しい同値式・別解を認めます。
A(−2,1)からB(3,4)へのベクトルABについて、第1成分（横の移動）を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
図のA(−2,1)、B(3,4)、C(−1,−2)、D(4,1)を確かめ、CからDへ向かうベクトルCDの第2成分（縦の移動）を求めてください。
図を準備しています。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。a+bの第1成分を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。a−bの第2成分を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(2,−4)です。(−3/2)aの第1成分を求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(2,1)、b=(1,−1)で、p a+q b=(7,−1)です。二成分の連立式を解き、pを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(4,−3)について、a+(−a)の大きさを求めてください。
途中の計算・単位・理由・確認答え:
どちらも長さが0でない二つの有向線分が、同じベクトルを表す条件はどれですか。
- 長さが同じなら向きは問わない
- 平行移動で重なり、向きと大きさが同じ
- 回転して重なれば向きは問わない
- 終点の座標が同じなら始点は問わない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a≠0でk<0です。kaの向きと大きさについて正しい説明はどれですか。
- 向きは同じ、大きさはk倍
- 向きは逆、大きさはk倍という負の長さ
- 向きは逆、大きさは|k|倍
- 必ず零ベクトルになる
途中の計算・単位・理由・確認答え:
A(x₁,y₁)からB(x₂,y₂)へのベクトルABの成分はどれですか。
- (x₂,y₂)
- (x₁,y₁)
- (x₁−x₂,y₁−y₂)
- (x₂−x₁,y₂−y₁)
途中の計算・単位・理由・確認答え:
点Aの座標が(2,−3)です。位置ベクトルOAの成分がそのまま(2,−3)になる条件はどれですか。
- Oがその座標平面の原点である
- Oがどこにあっても、OAの成分は必ず(2,−3)になる
- OとAが同じ点である
- OAの長さが1である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
平面でa,bはどちらも零でなく平行ではありません。s a+t b=0について成り立つことはどれですか。
- s,tはどんな値でもよい
- sだけ必ず1になる
- s=t=0に限られる
- 必ず解がない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(2,−1)、b=(−4,2)です。s a+t b=(6,−2)の解はどうなりますか。
- 必ず一つだけある
- 解がない
- 全てのs,tが解である
- s=3,t=0が解である
途中の計算・単位・理由・確認答え:
a=(3,4)、b=(−3,4)について正しい説明はどれですか。
- 大きさが5なので同じベクトル
- 同じ終点へ移せば必ず同じ向き
- b=−aである
- 大きさは同じ5だが、成分が違うため同じベクトルではない
途中の計算・単位・理由・確認答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
A(−2,1)、B(3,4)、C(−1,−2)、D(4,1)を座標平面へ置き、ベクトルABとCDを有向線分で描きます。二成分を計算し、平行移動と相等を説明してください。さらにベクトルBAを求め、長さが同じことだけでABと同じにしてよいか説明します。
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。共通の始点からa,bを描き、a+b、a−b、b−aをそれぞれ求めます。和のつなぎ方と差の逆ベクトルへの置き換えを図に示し、二つの差の関係を説明してください。
a=(2,−4)、c=(−3/2)aです。aとcを図にし、cの全成分、向きと大きさの比を示してください。さらにcからaを復元する実数倍を求め、元の式へ代入して確かめます。
a=(2,1)、b=(1,−1)、c=(7,−1)です。c=p a+q bとなるp,qを求め、二成分の連立式と計算、元の一次結合への検算を示してください。a,bからcを作る矢印の図も残します。
同じa=(2,1)、b=(1,−1)について、c=(1,5)をp a+q bに分解します。次に、もし二組の係数が同じcを表すならその差r a+s b=0になることを使い、この分解が一意である理由を二成分の連立式で説明してください。
a=(2,−1)、b=(−4,2)です。二本の矢印の関係を図にし、s a+t b=(6,−3)の全ての係数の関係を求めてください。次に同じ左辺で(6,−2)を表せるか、二成分から説明します。一組見つけて一意と決めないようにします。
原点Oのある座標平面でA(2,−3)、B(−1,5)です。位置ベクトルOA、OB、移動ABと中点Mの位置ベクトルOMを求め、図と式を示してください。座標軸の向きと単位は保って原点をQ(1,1)へ変えた場合も、A,B,Mの新しい座標とABを照合します。
A(−1,1)、B(3,2)、D(0,4)を三頂点とする平行四辺形ABCDを作ります。Aから出る二辺のベクトルを図にし、残るCの座標を求めてください。二組の向かい合う辺が同じベクトルになることを、両成分で確かめます。
友達はa=(3,4)、b=(−3,4)について「長さがともに5なのでa=b。またb=−aでもある」としました。大きさと全成分、矢印の向きを図で比べて二つの主張を直してください。aと同じベクトルを別の始点から表す有向線分も一つ作ります。
uを2,3から、vを−1,−2から、hを1,2から一つずつ選び、a=(u,1)、b=(1,v)、c=h a−bを作ります。選んだ値と図、cの全成分、c=p a+q bとなる係数を示して元へ検算してください。この一組で分解が一意といえる理由も二成分から説明します。全8条件は必須にしません。
解答: 平面ベクトル：始点から終点へ、成分と一次結合をそろえる
5
終点のxから始点のxを引いて3−(−2)=5です。Bのx座標3そのものではありません。
3
終点Dのyから始点Cのyを引いて1−(−2)=3です。ABも(5,3)で同じ向きと大きさです。
2
同じ順の成分を足して3+(−1)=2です。全ベクトルは(2,2)。
−6
第2成分は−2−4=−6です。全ベクトルは(4,−6)。
−3
各成分を−3/2倍して(−3,6)です。負の係数で向きも逆になります。
2
2p+q=7、p−q=−1を足すと3p=6なのでp=2。q=3で両成分を満たします。
0
和は零ベクトル(0,0)なので大きさ0です。その向きを特定の方向に定めません。
平行移動で重なり、向きと大きさが同じ
自由なベクトルの相等では向きと大きさが同じです。始点の位置自体は問いません。
向きは逆、大きさは|k|倍
負の係数は向きを逆にし、大きさは非負の|k|倍です。
(x₂−x₁,y₂−y₁)
始点から終点への差で、終点から始点を引きます。
Oがその座標平面の原点である
位置ベクトルの成分は選んだ原点Oからの差です。
s=t=0に限られる
二つの異なる方向への分解は一意で、零ベクトルを表す係数は両方0です。具体的には成分の連立式で確かめられます。
解がない
左辺は常に(2s−4t,−s+2t)で第2成分が第1成分の−1/2。第1が6なら第2は−3なので一致しません。
大きさは同じ5だが、成分が違うため同じベクトルではない
距離の公式で両方の大きさは5。相等には向きも必要で、−a=(−3,−4)とも異なります。
記述問題の解答・確認の観点
A(−2,1)、B(3,4)、C(−1,−2)、D(4,1)を座標平面へ置き、ベクトルABとCDを有向線分で描きます。二成分を計算し、平行移動と相等を説明してください。さらにベクトルBAを求め、長さが同じことだけでABと同じにしてよいか説明します。
AB=(3−(−2),4−1)=(5,3)、CD=(4−(−1),1−(−2))=(5,3)。AからCへの平行移動(1,−3)でBもDへ移るので二つは同じベクトル。BA=(−5,−3)=−ABで向きが逆。両方の大きさは√34だが同じベクトルではない。生徒の矢印の先はB,D,Aにそれぞれ置き、点の座標と移動の成分を分ける。
生徒の四点・向きの図、終点−始点の両成分、平行移動の対応・相等と逆向きの区別を見ます。
a=(3,−2)、b=(−1,4)です。共通の始点からa,bを描き、a+b、a−b、b−aをそれぞれ求めます。和のつなぎ方と差の逆ベクトルへの置き換えを図に示し、二つの差の関係を説明してください。
a+b=(2,2)、a−b=(4,−6)、b−a=(−4,6)=−(a−b)。和はaの終点へbの始点を平行移動し、最初から最後への矢印。a−bはa+(−b)で、−b=(1,−4)。生徒の図と両成分の全計算を照合する。a+b=b+aだが、二つの差は一般に等しくない。
生徒の共通始点と平行移動・逆向きの図、三つの全成分と元の計算、差の関係を見ます。
a=(2,−4)、c=(−3/2)aです。aとcを図にし、cの全成分、向きと大きさの比を示してください。さらにcからaを復元する実数倍を求め、元の式へ代入して確かめます。
c=(−3,6)。係数が負なので逆向きで、大きさは3/2倍。a=−(2/3)cで、−(2/3)(−3,6)=(2,−4)に戻る。|a|=√20=2√5、|c|=√45=3√5でも比3/2を確かめられる。負の大きさとは表さない。
生徒の二本の矢印・全成分、向きと非負の大きさの比、逆の係数と全検算を見ます。
a=(2,1)、b=(1,−1)、c=(7,−1)です。c=p a+q bとなるp,qを求め、二成分の連立式と計算、元の一次結合への検算を示してください。a,bからcを作る矢印の図も残します。
成分から2p+q=7、p−q=−1。足して3p=6よりp=2、q=3。2a+3b=(4,2)+(3,−3)=(7,−1)=cで両成分が合う。図は2aの終点へ3bをつなぎ、最初から最後へのcを示す。二つの係数は長さではなく符号を持つ実数。
生徒の二成分の連立式・p=2,q=3・両成分への検算と矢印のつなぎ方を見ます。
同じa=(2,1)、b=(1,−1)について、c=(1,5)をp a+q bに分解します。次に、もし二組の係数が同じcを表すならその差r a+s b=0になることを使い、この分解が一意である理由を二成分の連立式で説明してください。
2p+q=1、p−q=5よりp=2,q=−3。2a−3b=(4,2)−(3,−3)=(1,5)。二組の分解の差では2r+s=0、r−s=0。r=sを代入して3r=0なのでr=s=0。従って係数は同じで一意。生徒の図では−3bをbの逆向きに置き、cへつなぐ。
生徒の分解・負の係数の図と検算、差の連立式から係数の差が両方0となる説明を見る。正しい別の一意性の証明も認める。
a=(2,−1)、b=(−4,2)です。二本の矢印の関係を図にし、s a+t b=(6,−3)の全ての係数の関係を求めてください。次に同じ左辺で(6,−2)を表せるか、二成分から説明します。一組見つけて一意と決めないようにします。
b=−2aなので左辺=(s−2t)a=(2s−4t,−s+2t)。(6,−3)にはs−2t=3で、tを任意の実数としてs=3+2tという無数の解。例(3,0),(5,1)はいずれも成立。(6,−2)なら第1成分からs−2t=3、第2からs−2t=2となり両立しないため解なし。生徒の図で同一直線上の逆向きと、目標がその方向にあるかを区別する。
生徒の平行と逆向きの図、無数解の全関係・二組の検算、二つの矛盾する条件から不存在を示す説明を見ます。
原点Oのある座標平面でA(2,−3)、B(−1,5)です。位置ベクトルOA、OB、移動ABと中点Mの位置ベクトルOMを求め、図と式を示してください。座標軸の向きと単位は保って原点をQ(1,1)へ変えた場合も、A,B,Mの新しい座標とABを照合します。
元はOA=(2,−3)、OB=(−1,5)、AB=OB−OA=(−3,8)、OM=(OA+OB)/2=(1/2,1)。原点Qへ移すとAの新座標は(1,−4)、Bは(−2,4)、Mは(−1/2,0)。新しい両端の差も(−2−1,4−(−4))=(−3,8)でABは同じ。位置ベクトルの成分は原点に依存するが二点間の移動は変わらない。生徒の図でO,Q,A,B,Mと矢印の始点を分ける。
生徒の位置と移動の全成分・中点、二つの原点の図、新座標と差の検算・変わる量と変わらない量を見ます。
A(−1,1)、B(3,2)、D(0,4)を三頂点とする平行四辺形ABCDを作ります。Aから出る二辺のベクトルを図にし、残るCの座標を求めてください。二組の向かい合う辺が同じベクトルになることを、両成分で確かめます。
AB=(4,1)、AD=(1,3)。AC=AB+AD=(5,4)なのでC=A+(5,4)=(4,5)。DC=C−D=(4,1)=AB、BC=C−B=(1,3)=AD。図はA→B→C→Dの頂点順で、Aから二方向を足す対角線を示す。C=B+D−Aを元の全辺へ戻して検算してもよい。
生徒の頂点順と二方向の図、C=(4,5)の全計算、AB=DCとAD=BCを向きも含めて照合することを見ます。
友達はa=(3,4)、b=(−3,4)について「長さがともに5なのでa=b。またb=−aでもある」としました。大きさと全成分、矢印の向きを図で比べて二つの主張を直してください。aと同じベクトルを別の始点から表す有向線分も一つ作ります。
|a|=√(9+16)=5、|b|=5だが第1成分が違い同じベクトルではない。−a=(−3,−4)でbとは第2成分が違うのでb≠−a。図ではaは右上、bは左上、−aは左下。作例P(1,−2)、Q(4,2)ならPQ=(3,4)=a。生徒の別の正しい二点と成分の検算も認める。
生徒の三本の向きの図、二つの大きさ・二つの誤主張を全成分で否定すること、自作の別始点と終点の検算を見ます。
uを2,3から、vを−1,−2から、hを1,2から一つずつ選び、a=(u,1)、b=(1,v)、c=h a−bを作ります。選んだ値と図、cの全成分、c=p a+q bとなる係数を示して元へ検算してください。この一組で分解が一意といえる理由も二成分から説明します。全8条件は必須にしません。
c=(hu−1,h−v)、係数はp=h,q=−1。作例u=2,v=−1,h=2ではa=(2,1)、b=(1,−1)、c=(3,3)=2a−b。二組の分解の差r a+s b=0ならur+s=0、r+vs=0。s=−urを代入して(1−uv)r=0、u>0,v<0から1−uv>0なのでr=0,s=0で一意。生徒の図ではh aへ−bをつなぐ。8条件は確認用で生徒の一組を確認する。
生徒の一組・具体的な二方向と矢印、cの全成分・p,qの元への検算、係数の差が両方0となる説明を見る。同値式と別解も認める。