中央値・最頻値の条件を満たす資料を作る
代表値の意味を逆に使い、自分で資料を作って条件を確かめます。奇数個と偶数個の中央、最多の値、合計や並び方を結び付け、一通りに決まる条件と決まらない条件を説明します。
学年・内容の目安 小6。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
小6D(1)ア(ア)(エ)、イ(ア)。冊子306〜312/PDF312〜318。代表値の意味、目的に応じた資料の整理、分布の特徴と結論の妥当性。代表値の条件から資料を作るのは、その意味を確かめるオリジナルの活用課題であり、別の必修手続としての出典主張はしません。
解説を読む
代表値の意味を逆に使い、自分で資料を作って条件を確かめます。奇数個と偶数個の中央、最多の値、合計や並び方を結び付け、一通りに決まる条件と決まらない条件を説明します。
必要な予備知識
整数・小数の計算、資料の小さい順の並べ方、平均・中央値・最頻値・範囲の意味とドットプロット。
- 資料を小さい順に並べ、奇数個なら中央の一つ、偶数個なら中央の二つの平均を中央値とします。
- 最頻値は出現回数が最も多い値です。「一つだけ」と指定されたときは、同じ最多回数の別の値がないかも確かめます。
- 平均値を決めたら、必要な合計は平均値×個数です。合計の条件と、中央の順位・度数の条件を別々に確認します。
- 条件を満たす資料が複数ある場合も、条件が矛盾して作れない場合もあります。自分の例や順位の図で確かめます。
解き方の例
5個で中央値3なら、小さい順の3番目を3にします。例0、1、3、5、6。ほかの組でも構いません。
6個で中央値3なら、中央の二つが2と4でも、3と3でもよい場合があります。ほかの条件と並び順も確かめます。
よくある間違い
- 最頻値の値と、その出現回数を取り違えません。
- 同じ平均値だけで中央や散らばりまで一つに決めません。
- 偶数個の中央二つを、一つだけ選んで中央値としません。
考え方を説明する
児童の資料の全記録と並び順・度数・合計を用い、指定された条件を一つずつ確認します。教師用の一例だけを正解とせず、別の正しい資料・条件変更・説明を認めます。
一意に決まる短い数値・指定された選択肢だけを自動で確認します。資料の作成、作図、別解や矛盾の説明は講師が確認し、自動採点しません。
練習する
求められた数値だけを入れるか一つ選びます。資料を作る記述課題には、条件を満たす別解もあります。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
5個の資料で、中央値が4、最頻値が4だけとなる組を選びましょう。
- 1、4、4、6、8
- 1、3、4、6、8
- 1、2、2、4、8
答えと解説
1、4、4、6、8
一つ目は中央の3番目が4で、4だけが2回あります。二つ目は全値が一回ずつで最頻値を一つには決められず、三つ目は中央値も最頻値も2です。
小さい順の6個の資料1、2、□、6、8、9で、中央値を5にします。□には2以上6以下の整数を入れます。何を入れますか。
答えと解説
4
中央の3番目と4番目は□と6です。(□+6)÷2=5なので□=4。1、2、4、6、8、9で並び順も確認できます。
小さい順の6個の資料0、1、3、□、7、9で、中央値を4にします。□には3以上7以下の整数を入れます。何を入れますか。
答えと解説
5
(3+□)÷2=4なので□=5。偶数個では中央の二つを使います。
異なる4個の整数で、平均値5・中央値5・範囲8を同時に満たす組を選びましょう。
- 1、4、6、9
- 0、3、5、10
- 1、4、8、9
答えと解説
1、4、6、9
一つ目は合計20、平均5、中央値(4+6)÷2=5、範囲9−1=8です。他の組は三つの条件を同時には満たしません。
資料1、2、2、3、5、□の最頻値を2だけにします。□には1、2、5のどれか一つを入れます。何を入れますか。
答えと解説
2
2を入れると2が3回です。1なら1と2が各2回、5なら2と5が各2回となり、一つだけの最頻値2という条件を満たしません。
平均値5・中央値5の資料0、0、5、10、10があります。平均値は5のままで、中央値は7となる別の組を選びましょう。
- 0、4、7、7、7
- 0、3、7、7、7
- 0、4、5、8、8
答えと解説
0、4、7、7、7
一つ目は合計25で平均5、中央の3番目が7です。二つ目の合計は24、三つ目の中央値は5です。同じ平均値でも中央値は同じとは限りません。
資料1、3、4、5、7の最後の7だけを、7より大きい数へ直します。中央値4を保ち、平均値を5にするには、7を何へ直しますか。
答えと解説
12
平均5に必要な合計は5×5=25。1+3+4+5=13なので最後は12です。小さい順の中央4は変わりません。
整数6個の資料で「中央値2.5だが、2.5という記録はない」という例を選びましょう。
- 0、1、2、3、4、5
- 0、1、1、3、4、5
- 0、1、3、4、4、5
答えと解説
0、1、2、3、4、5
一つ目の中央は2と3なので中央値2.5です。整数の記録だけでも、偶数個なら中央の二つの平均が記録にない値になる場合があります。
整数5個の資料で、中央値を2.5にすることはできますか。
- できる。合計さえ12.5にすればよい
- できない。小さい順の3番目は整数だから
- できる。最大値を2.5にすればよい
答えと解説
できない。小さい順の3番目は整数だから
奇数個の中央値は小さい順の中央にある一つの記録です。5個がすべて整数なら、3番目も整数で2.5にはなりません。
「中央値と最頻値は、いつでも同じだ」という説明を直す例として、中央値4・最頻値2だけとなる組を選びましょう。
- 0、2、2、4、5、6、7
- 0、2、4、4、5、6、7
- 0、2、2、3、4、6、7
答えと解説
0、2、2、4、5、6、7
一つ目は7個の中央4番目が4で、2だけが2回あります。二つ目の最頻値は4、三つ目の中央値は3です。
資料1、2、4、4、9へ、9以上の数を一つ加えます。中央値4を保ち、平均値5の6個の資料にするには、何を加えますか。
答えと解説
10
もとの合計20に10を加えると30、平均30÷6=5です。1、2、4、4、9、10の中央二つは4と4なので中央値4です。
小さい順の資料0、□、4、4、8で、□は0以上4以下の整数です。中央値4・最頻値4だけとなる□の入れ方は何通りありますか。
答えと解説
4
□は1、2、3、4の4通りです。0を入れると0と4が各2回となり、最頻値を4だけにできません。どの場合も中央は4です。
小さい順の資料0、□、4、4、8で、□は0以上4以下の整数です。平均値も4にするには□へ何を入れますか。
答えと解説
4
必要な合計は4×5=20、分かっている四つの合計は16なので□=4です。中央値4、最頻値4だけという条件も満たします。
資料0、□、4、4、8で、□は0以上4以下の整数です。「最頻値を0だけにする」という条件は満たせますか。
- 0を入れれば満たせる
- 4を入れれば満たせる
- 満たせない。0は多くても2回で、4は初めから2回ある
答えと解説
満たせない。0は多くても2回で、4は初めから2回ある
0を入れても0と4が各2回です。それ以外なら0は一回のままなので、最頻値を0だけにはできません。
小さい順の資料1、2、ア、イ、8、9で、中央値は5です。ア・イは2以上8以下の整数で、アはイ以下とします。二つの空欄は一通りに決まりますか。
- 決まらない。3と7、4と6など、条件に合う組が複数ある
- 必ず5と5に決まる
- 必ず2と8に決まる
答えと解説
決まらない。3と7、4と6など、条件に合う組が複数ある
中央の二つの和が10なら中央値5です。条件に合う複数の組があるので、一つの組に決まるとはいえません。
資料0、2、4、6、8の0と8を二つの4へ取り替えると、2、4、4、4、6になります。平均値・中央値4を保って最頻値4だけを作る取り替えとして正しい説明はどれですか。
- 取り替えた二つの和は8のままで、4の回数が増える
- どの二つへ取り替えても、三つの代表値は全部同じになる
- 0と8を消すだけでも、最頻値4だけになるので十分
答えと解説
取り替えた二つの和は8のままで、4の回数が増える
0+8=4+4=8なので合計20と個数5を保ちます。中央は4のまま、4が3回になります。別の組へ替えると最頻値などが違う場合があります。
資料0、2、4、6の最後の6だけを直し、中央値2・最頻値2だけを作ります。6を何へ直せばよいですか。
- 2
- 0
- 4
答えと解説
2
2へ直すと0、2、2、4で中央値2、最頻値2です。0なら0、0、2、4で中央値1、4なら0、2、4、4で中央値3です。
架空の資料2、2、3、3、5へ、5以上の数を一つ加えます。中央値3を保ち、平均値6の6個の資料を作るには、何を加えますか。
答えと解説
21
もとの合計15、必要な合計6×6=36なので21を加えます。中央は3と3で中央値3のままですが、平均値は大きく変わります。
「整数5個で中央値4」を満たす資料には、必ず4という記録が含まれますか。
- 含まれる。小さい順の3番目が4だから
- 含まれない。中央の二つが3と5でよいから
- 含まれるとは限らない。平均値が4ならよいから
答えと解説
含まれる。小さい順の3番目が4だから
5個は奇数なので中央値は3番目の記録そのものです。中央の二つを平均するのは偶数個の場合です。
「整数5個・中央値4・4未満の値がちょうど4個」という条件では資料を作れません。整数5個・中央値4を残し、最後の条件だけを直すなら、どれが作れる条件ですか。
- 4未満の値がちょうど2個
- 4未満の値がちょうど3個
- 4未満の値がちょうど5個
答えと解説
4未満の値がちょうど2個
中央値は小さい順の3番目なので、4未満は多くても2個です。例1、2、4、5、8なら、ちょうど2個で中央値4になります。
考え方を説明する
0以上10以下の整数を5個ずつ使い、中央値4・最頻値4だけを満たす資料を自分で二組作ってください。二組の平均値は違うようにし、並べた記録と度数で三つの条件を確かめます。
答えと解説
例0,4,4,5,7は平均4、1,4,4,6,10は平均5。どちらも中央値4・唯一の最頻値4。条件を満たす児童の別の二組も認める。
- 児童の異なる二組・各5整数・0〜10
- 両方の中央値と唯一の最頻値の確認
- 二つの合計・平均値の違い
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数6個で、中央値4、4という記録はなし、最頻値は1だけ、という条件の資料を自分で作ってください。小さい順に並べ、中央の二つと度数を示します。
答えと解説
例1,1,3,5,6,8。中央3と5の平均4、4の記録なし、1のみ2回。他の正しい例も可。
- 児童の6整数と並び順
- 4なし・中央二つの平均4
- 1だけが最多となる度数
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
0以上10以下の整数を5個ずつ使い、どちらも平均値5だが、一方の中央値が3、他方が7となる資料を自分で二組作ってください。同じ平均値だけでは分からない違いを説明します。
答えと解説
例0,3,3,9,10と0,4,7,7,7はいずれも合計25、平均5。中央値は3と7。別の正しい二組も可。
- 児童の各5整数・0〜10の二組
- 合計25と平均5の両方の確認
- 3番目3・7と平均だけでは見えない違い
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数7個で、中央値4・最頻値2だけとなる資料を自分で作ってください。小さい順の並びとドットプロットを使い、中央値と最頻値が違ってもよいことを説明します。
答えと解説
例0,2,2,4,5,6,7。4番目4、2だけが2回。児童の別の資料も条件を満たせば可。
- 児童の7整数・数値軸の7点
- 中央の位置4と2の最多度数
- 二つの代表値の意味に基づく説明
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数6個で、中央値4・最頻値3だけとなる資料を自分で作ってください。中央に当たる二つへ印を付け、最頻値3と中央値4をどう同時に確かめたか説明します。
答えと解説
例3,3,3,5,6,8。中央3と5の平均4で、3だけが3回。整数6個、中央値4、唯一の最頻値3を満たす児童の別解も可。
- 児童の6整数と小さい順の並び
- 中央二つの平均4
- 唯一の最頻値3となる度数
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
資料1、2、4、4、9の2だけを12へ直しました。直す前後を自分で並べ直し、平均値・中央値・最頻値がどう変わるか確かめてください。大きく変わった記録の影響を、合計と順位から説明します。
答えと解説
前は合計20・平均4、後は1,4,4,9,12で合計30・平均6。中央値4・最頻値4はこの例では変わらない。平均は合計10増の影響を受け、中央順位と最多値は保たれる。
- 児童の前後二組と合計・平均
- 並べ直した中央と度数
- この例で変わる値・保たれる値の理由
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
「中央値は必ず元の資料の中にある」という説明について、奇数個ではそういえる理由を自分の整数5個の例で示してください。次に整数6個で、中央値がどの記録とも違う反例を自分で作って説明します。
答えと解説
例1,2,4,7,9の中央値は3番目の4。0,1,2,3,4,5の中央値2.5は記録にない。偶数個でも同じ値になる場合はあるので「必ずない」とはしない。
- 児童の奇数例と中央の順位
- 児童の偶数反例と中央二つの平均
- 奇数の理由と偶数は場合による説明
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数5個の資料を自分で二組作り、平均値4・中央値4・最頻値4だけを両方で満たしながら、範囲は違うようにしてください。二つのドットプロットで、三つの代表値が同じでも違うことを示します。
答えと解説
例2,4,4,4,6と0,4,4,4,8。両方合計20・平均4・中央値4・唯一の最頻値4、範囲4と8。児童の別の正しい二組も可。
- 児童の二組と数値軸の二図
- 三つの代表値がすべて条件に合う確認
- 端と範囲の具体的な違い
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
読書時間の架空の練習記録を、整数の分で6個自分で作ってください。「6回全体をならして見る」「一番多かった時間を知る」という二つの目的に合う代表値を選び、全部の記録とともに示して説明します。実際に測った記録とは分けて扱います。
答えと解説
例1,2,2,3,4,12分なら平均4分、最頻値2分。全体をならす目的には平均、最も多い値には最頻値。唯一の最頻値がある別の架空の6記録も可。複数が同じ最多ならその事実を隠さず示す。
- 児童の単位付き架空6記録と全値の提示
- 二つの目的と代表値の対応・計算
- 最多が複数の場合も含む結果の正確な説明と架空表示
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
「整数5個・中央値4・4未満の値がちょうど4個」という条件で資料を作ろうとしました。できない理由を並ぶ位置の図で説明し、条件を一つだけ変えて、作れる資料を自分で示してください。
答えと解説
5個の中央は3番目だが、4未満が4個あると3番目も4未満になる。例最後の条件だけを「ちょうど2個」へ変え1,2,4,5,8。また個数5を9へ変え0,1,2,3,4,5,6,7,8も一条件の変更。整合する別の変更も可。
- 児童の順位の図による矛盾の説明
- 変えた条件一つの明記
- 変更後の児童の資料と全ての条件の確認
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
小6D(1)ア(ア)(エ)、イ(ア)。冊子306〜312/PDF312〜318。代表値の意味、目的に応じた資料の整理、分布の特徴と結論の妥当性。代表値の条件から資料を作るのは、その意味を確かめるオリジナルの活用課題であり、別の必修手続としての出典主張はしません。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 中央値・最頻値の条件を満たす資料を作る
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/constructing-data-median-mode-and-constraints/
児童の資料の全記録と並び順・度数・合計を用い、指定された条件を一つずつ確認します。教師用の一例だけを正解とせず、別の正しい資料・条件変更・説明を認めます。
5個の資料で、中央値が4、最頻値が4だけとなる組を選びましょう。
- 1、4、4、6、8
- 1、3、4、6、8
- 1、2、2、4、8
図・表・途中式・単位・理由答え:
小さい順の6個の資料1、2、□、6、8、9で、中央値を5にします。□には2以上6以下の整数を入れます。何を入れますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
小さい順の6個の資料0、1、3、□、7、9で、中央値を4にします。□には3以上7以下の整数を入れます。何を入れますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる4個の整数で、平均値5・中央値5・範囲8を同時に満たす組を選びましょう。
- 1、4、6、9
- 0、3、5、10
- 1、4、8、9
図・表・途中式・単位・理由答え:
資料1、2、2、3、5、□の最頻値を2だけにします。□には1、2、5のどれか一つを入れます。何を入れますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
平均値5・中央値5の資料0、0、5、10、10があります。平均値は5のままで、中央値は7となる別の組を選びましょう。
- 0、4、7、7、7
- 0、3、7、7、7
- 0、4、5、8、8
図・表・途中式・単位・理由答え:
資料1、3、4、5、7の最後の7だけを、7より大きい数へ直します。中央値4を保ち、平均値を5にするには、7を何へ直しますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
整数6個の資料で「中央値2.5だが、2.5という記録はない」という例を選びましょう。
- 0、1、2、3、4、5
- 0、1、1、3、4、5
- 0、1、3、4、4、5
図・表・途中式・単位・理由答え:
整数5個の資料で、中央値を2.5にすることはできますか。
- できる。合計さえ12.5にすればよい
- できない。小さい順の3番目は整数だから
- できる。最大値を2.5にすればよい
図・表・途中式・単位・理由答え:
「中央値と最頻値は、いつでも同じだ」という説明を直す例として、中央値4・最頻値2だけとなる組を選びましょう。
- 0、2、2、4、5、6、7
- 0、2、4、4、5、6、7
- 0、2、2、3、4、6、7
図・表・途中式・単位・理由答え:
資料1、2、4、4、9へ、9以上の数を一つ加えます。中央値4を保ち、平均値5の6個の資料にするには、何を加えますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
小さい順の資料0、□、4、4、8で、□は0以上4以下の整数です。中央値4・最頻値4だけとなる□の入れ方は何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
小さい順の資料0、□、4、4、8で、□は0以上4以下の整数です。平均値も4にするには□へ何を入れますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
資料0、□、4、4、8で、□は0以上4以下の整数です。「最頻値を0だけにする」という条件は満たせますか。
- 0を入れれば満たせる
- 4を入れれば満たせる
- 満たせない。0は多くても2回で、4は初めから2回ある
図・表・途中式・単位・理由答え:
小さい順の資料1、2、ア、イ、8、9で、中央値は5です。ア・イは2以上8以下の整数で、アはイ以下とします。二つの空欄は一通りに決まりますか。
- 決まらない。3と7、4と6など、条件に合う組が複数ある
- 必ず5と5に決まる
- 必ず2と8に決まる
図・表・途中式・単位・理由答え:
資料0、2、4、6、8の0と8を二つの4へ取り替えると、2、4、4、4、6になります。平均値・中央値4を保って最頻値4だけを作る取り替えとして正しい説明はどれですか。
- 取り替えた二つの和は8のままで、4の回数が増える
- どの二つへ取り替えても、三つの代表値は全部同じになる
- 0と8を消すだけでも、最頻値4だけになるので十分
図・表・途中式・単位・理由答え:
資料0、2、4、6の最後の6だけを直し、中央値2・最頻値2だけを作ります。6を何へ直せばよいですか。
- 2
- 0
- 4
図・表・途中式・単位・理由答え:
架空の資料2、2、3、3、5へ、5以上の数を一つ加えます。中央値3を保ち、平均値6の6個の資料を作るには、何を加えますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
「整数5個で中央値4」を満たす資料には、必ず4という記録が含まれますか。
- 含まれる。小さい順の3番目が4だから
- 含まれない。中央の二つが3と5でよいから
- 含まれるとは限らない。平均値が4ならよいから
図・表・途中式・単位・理由答え:
「整数5個・中央値4・4未満の値がちょうど4個」という条件では資料を作れません。整数5個・中央値4を残し、最後の条件だけを直すなら、どれが作れる条件ですか。
- 4未満の値がちょうど2個
- 4未満の値がちょうど3個
- 4未満の値がちょうど5個
図・表・途中式・単位・理由答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
0以上10以下の整数を5個ずつ使い、中央値4・最頻値4だけを満たす資料を自分で二組作ってください。二組の平均値は違うようにし、並べた記録と度数で三つの条件を確かめます。
整数6個で、中央値4、4という記録はなし、最頻値は1だけ、という条件の資料を自分で作ってください。小さい順に並べ、中央の二つと度数を示します。
0以上10以下の整数を5個ずつ使い、どちらも平均値5だが、一方の中央値が3、他方が7となる資料を自分で二組作ってください。同じ平均値だけでは分からない違いを説明します。
整数7個で、中央値4・最頻値2だけとなる資料を自分で作ってください。小さい順の並びとドットプロットを使い、中央値と最頻値が違ってもよいことを説明します。
整数6個で、中央値4・最頻値3だけとなる資料を自分で作ってください。中央に当たる二つへ印を付け、最頻値3と中央値4をどう同時に確かめたか説明します。
資料1、2、4、4、9の2だけを12へ直しました。直す前後を自分で並べ直し、平均値・中央値・最頻値がどう変わるか確かめてください。大きく変わった記録の影響を、合計と順位から説明します。
「中央値は必ず元の資料の中にある」という説明について、奇数個ではそういえる理由を自分の整数5個の例で示してください。次に整数6個で、中央値がどの記録とも違う反例を自分で作って説明します。
整数5個の資料を自分で二組作り、平均値4・中央値4・最頻値4だけを両方で満たしながら、範囲は違うようにしてください。二つのドットプロットで、三つの代表値が同じでも違うことを示します。
読書時間の架空の練習記録を、整数の分で6個自分で作ってください。「6回全体をならして見る」「一番多かった時間を知る」という二つの目的に合う代表値を選び、全部の記録とともに示して説明します。実際に測った記録とは分けて扱います。
「整数5個・中央値4・4未満の値がちょうど4個」という条件で資料を作ろうとしました。できない理由を並ぶ位置の図で説明し、条件を一つだけ変えて、作れる資料を自分で示してください。
解答: 中央値・最頻値の条件を満たす資料を作る
1、4、4、6、8
一つ目は中央の3番目が4で、4だけが2回あります。二つ目は全値が一回ずつで最頻値を一つには決められず、三つ目は中央値も最頻値も2です。
4
中央の3番目と4番目は□と6です。(□+6)÷2=5なので□=4。1、2、4、6、8、9で並び順も確認できます。
5
(3+□)÷2=4なので□=5。偶数個では中央の二つを使います。
1、4、6、9
一つ目は合計20、平均5、中央値(4+6)÷2=5、範囲9−1=8です。他の組は三つの条件を同時には満たしません。
2
2を入れると2が3回です。1なら1と2が各2回、5なら2と5が各2回となり、一つだけの最頻値2という条件を満たしません。
0、4、7、7、7
一つ目は合計25で平均5、中央の3番目が7です。二つ目の合計は24、三つ目の中央値は5です。同じ平均値でも中央値は同じとは限りません。
12
平均5に必要な合計は5×5=25。1+3+4+5=13なので最後は12です。小さい順の中央4は変わりません。
0、1、2、3、4、5
一つ目の中央は2と3なので中央値2.5です。整数の記録だけでも、偶数個なら中央の二つの平均が記録にない値になる場合があります。
できない。小さい順の3番目は整数だから
奇数個の中央値は小さい順の中央にある一つの記録です。5個がすべて整数なら、3番目も整数で2.5にはなりません。
0、2、2、4、5、6、7
一つ目は7個の中央4番目が4で、2だけが2回あります。二つ目の最頻値は4、三つ目の中央値は3です。
10
もとの合計20に10を加えると30、平均30÷6=5です。1、2、4、4、9、10の中央二つは4と4なので中央値4です。
4
□は1、2、3、4の4通りです。0を入れると0と4が各2回となり、最頻値を4だけにできません。どの場合も中央は4です。
4
必要な合計は4×5=20、分かっている四つの合計は16なので□=4です。中央値4、最頻値4だけという条件も満たします。
満たせない。0は多くても2回で、4は初めから2回ある
0を入れても0と4が各2回です。それ以外なら0は一回のままなので、最頻値を0だけにはできません。
決まらない。3と7、4と6など、条件に合う組が複数ある
中央の二つの和が10なら中央値5です。条件に合う複数の組があるので、一つの組に決まるとはいえません。
取り替えた二つの和は8のままで、4の回数が増える
0+8=4+4=8なので合計20と個数5を保ちます。中央は4のまま、4が3回になります。別の組へ替えると最頻値などが違う場合があります。
2
2へ直すと0、2、2、4で中央値2、最頻値2です。0なら0、0、2、4で中央値1、4なら0、2、4、4で中央値3です。
21
もとの合計15、必要な合計6×6=36なので21を加えます。中央は3と3で中央値3のままですが、平均値は大きく変わります。
含まれる。小さい順の3番目が4だから
5個は奇数なので中央値は3番目の記録そのものです。中央の二つを平均するのは偶数個の場合です。
4未満の値がちょうど2個
中央値は小さい順の3番目なので、4未満は多くても2個です。例1、2、4、5、8なら、ちょうど2個で中央値4になります。
記述問題の解答・確認の観点
0以上10以下の整数を5個ずつ使い、中央値4・最頻値4だけを満たす資料を自分で二組作ってください。二組の平均値は違うようにし、並べた記録と度数で三つの条件を確かめます。
例0,4,4,5,7は平均4、1,4,4,6,10は平均5。どちらも中央値4・唯一の最頻値4。条件を満たす児童の別の二組も認める。
- 児童の異なる二組・各5整数・0〜10
- 両方の中央値と唯一の最頻値の確認
- 二つの合計・平均値の違い
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数6個で、中央値4、4という記録はなし、最頻値は1だけ、という条件の資料を自分で作ってください。小さい順に並べ、中央の二つと度数を示します。
例1,1,3,5,6,8。中央3と5の平均4、4の記録なし、1のみ2回。他の正しい例も可。
- 児童の6整数と並び順
- 4なし・中央二つの平均4
- 1だけが最多となる度数
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
0以上10以下の整数を5個ずつ使い、どちらも平均値5だが、一方の中央値が3、他方が7となる資料を自分で二組作ってください。同じ平均値だけでは分からない違いを説明します。
例0,3,3,9,10と0,4,7,7,7はいずれも合計25、平均5。中央値は3と7。別の正しい二組も可。
- 児童の各5整数・0〜10の二組
- 合計25と平均5の両方の確認
- 3番目3・7と平均だけでは見えない違い
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数7個で、中央値4・最頻値2だけとなる資料を自分で作ってください。小さい順の並びとドットプロットを使い、中央値と最頻値が違ってもよいことを説明します。
例0,2,2,4,5,6,7。4番目4、2だけが2回。児童の別の資料も条件を満たせば可。
- 児童の7整数・数値軸の7点
- 中央の位置4と2の最多度数
- 二つの代表値の意味に基づく説明
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数6個で、中央値4・最頻値3だけとなる資料を自分で作ってください。中央に当たる二つへ印を付け、最頻値3と中央値4をどう同時に確かめたか説明します。
例3,3,3,5,6,8。中央3と5の平均4で、3だけが3回。整数6個、中央値4、唯一の最頻値3を満たす児童の別解も可。
- 児童の6整数と小さい順の並び
- 中央二つの平均4
- 唯一の最頻値3となる度数
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
資料1、2、4、4、9の2だけを12へ直しました。直す前後を自分で並べ直し、平均値・中央値・最頻値がどう変わるか確かめてください。大きく変わった記録の影響を、合計と順位から説明します。
前は合計20・平均4、後は1,4,4,9,12で合計30・平均6。中央値4・最頻値4はこの例では変わらない。平均は合計10増の影響を受け、中央順位と最多値は保たれる。
- 児童の前後二組と合計・平均
- 並べ直した中央と度数
- この例で変わる値・保たれる値の理由
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
「中央値は必ず元の資料の中にある」という説明について、奇数個ではそういえる理由を自分の整数5個の例で示してください。次に整数6個で、中央値がどの記録とも違う反例を自分で作って説明します。
例1,2,4,7,9の中央値は3番目の4。0,1,2,3,4,5の中央値2.5は記録にない。偶数個でも同じ値になる場合はあるので「必ずない」とはしない。
- 児童の奇数例と中央の順位
- 児童の偶数反例と中央二つの平均
- 奇数の理由と偶数は場合による説明
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
整数5個の資料を自分で二組作り、平均値4・中央値4・最頻値4だけを両方で満たしながら、範囲は違うようにしてください。二つのドットプロットで、三つの代表値が同じでも違うことを示します。
例2,4,4,4,6と0,4,4,4,8。両方合計20・平均4・中央値4・唯一の最頻値4、範囲4と8。児童の別の正しい二組も可。
- 児童の二組と数値軸の二図
- 三つの代表値がすべて条件に合う確認
- 端と範囲の具体的な違い
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
読書時間の架空の練習記録を、整数の分で6個自分で作ってください。「6回全体をならして見る」「一番多かった時間を知る」という二つの目的に合う代表値を選び、全部の記録とともに示して説明します。実際に測った記録とは分けて扱います。
例1,2,2,3,4,12分なら平均4分、最頻値2分。全体をならす目的には平均、最も多い値には最頻値。唯一の最頻値がある別の架空の6記録も可。複数が同じ最多ならその事実を隠さず示す。
- 児童の単位付き架空6記録と全値の提示
- 二つの目的と代表値の対応・計算
- 最多が複数の場合も含む結果の正確な説明と架空表示
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。
「整数5個・中央値4・4未満の値がちょうど4個」という条件で資料を作ろうとしました。できない理由を並ぶ位置の図で説明し、条件を一つだけ変えて、作れる資料を自分で示してください。
5個の中央は3番目だが、4未満が4個あると3番目も4未満になる。例最後の条件だけを「ちょうど2個」へ変え1,2,4,5,8。また個数5を9へ変え0,1,2,3,4,5,6,7,8も一条件の変更。整合する別の変更も可。
- 児童の順位の図による矛盾の説明
- 変えた条件一つの明記
- 変更後の児童の資料と全ての条件の確認
児童が作った資料・並べ直し・度数・合計と説明を確認します。例を写しただけでは作成の達成とせず、条件を満たす児童の別解を認めます。児童の作業と講師の支援を分けて記録します。架空の値を実際の調査結果として扱いません。