順序や選び方を落ちなく並べて数える
先頭や一方を固定し、図・表とすべての場合の一覧を対応させます。順序を区別するか、同じものを使い直せるか、条件に合うかを確かめ、落ちと重なりを自分で直します。
学年・内容の目安 小6。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
小6D(2)ア(ア)・イ(ア)。冊子312〜314/PDF318〜320。起こり得る場合を順序よく整理する図や表の用い方、事象の特徴に着目して観点を決め、落ちや重なりなく調べる方法。階乗・順列組合せの記号や確率の公式は前提にしません。
解説を読む
先頭や一方を固定し、図・表とすべての場合の一覧を対応させます。順序を区別するか、同じものを使い直せるか、条件に合うかを確かめ、落ちと重なりを自分で直します。
必要な予備知識
分類して表へ整理すること、整数の位、足し算・掛け算、条件を確かめて記号で表すこと。
- 何を別の場合と数えるか、位置や順序を区別するか、同じものを使い直せるかを先に確かめます。
- 先頭や一方を固定するなど、調べる観点をそろえ、残りを順に図や表に表します。
- 選ぶだけならABとBAは同じ一組です。左右など位置が違うなら別の場合となることがあります。
- 行数が合うだけでは、落ちや重なりがないとは限りません。各場合と図・表の経路を照合します。
解き方の例
3種類の台紙と2種類のひもを一つずつ自由に選べるなら、台紙を一つ決めてひもを二つとも調べる方法で全てを整理できます。
数字の0は途中の位へ置けても、2けた以上の整数の先頭へは置けません。並びとして書けるものと、条件に合う整数を区別します。
よくある間違い
- 選ぶ順序と位置の違いを、問題の目的を確かめず同じに数えません。
- 同じ行を二度書いたまま、行の総数だけで全部と判断しません。
- 違う組なら必ず違う合計になるとは限りません。
考え方を説明する
児童の図・表とすべての場合の一覧で、一つを固定する観点、残りの候補、位置や順序、使い直し・条件の扱いを確認します。数だけを正しく答えることと、落ちや重なりなく調べる方法を説明することは分けて確認します。
短い数値・二つの数値・指定した選択肢だけを自動で確認します。樹形図や表の作成、すべての場合の列挙・問題作り・落ちや重なりの根拠は講師が確認し、自動採点しません。
練習する
求められた通り数・個数・整数だけを入れるか一つ選びます。二つの欄は示された順で答えます。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
しおりの台紙を赤・青・黄の3色から一つ、飾りを星・月の2種類から一つ選びます。どの台紙にもどの飾りも付けられるとき、組は何通りありますか。
選べるもの 部分 種類 台紙 赤、青、黄 飾り 星、月 答えと解説
6
赤星・赤月・青星・青月・黄星・黄月の6通りです。台紙を一色ずつ固定し、各色について二つの飾りを調べると落ちや重なりを防げます。
異なる3冊の本P・Q・Rを、全て一回ずつ使い左から一列に置きます。置く順序は何通りありますか。
答えと解説
6
PQR・PRQ・QPR・QRP・RPQ・RQPの6通りです。左端を一冊ずつ決め、残り二冊の順を調べます。
異なる4冊の本P・Q・R・Sを、全て一回ずつ使い左から一列に置きます。置く順序は何通りありますか。
答えと解説
24
左端がPの場合は残りQ・R・Sの6通りです。左端はP・Q・R・Sの四つの場合があり、どれも6通りなので計24通りです。図や表では四つの先頭を全部調べます。
異なる4枚の札P・Q・R・Sから、左の枠と右の枠へ一枚ずつ置きます。同じ札は二度使いません。左右を区別すると置き方は何通りありますか。
答えと解説
12
左がPなら右はQ・R・Sの3通りで、左を四つの場合に分けると4×3=12通りです。PQとQPは左右が違う別の置き方です。
異なる5色のタイルA・B・C・D・Eから、違う色を2色選びます。選ぶ順序を区別せず、同じ色は二度選びません。選び方は何通りありますか。
答えと解説
10
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10通りです。ABとBAを同じ一組として、既に数えた色の組を重ねません。
異なる4枚の札P・Q・R・Sから違う2枚を使います。①左右の枠へ置き左右を区別する場合、②置く場所を決めず2枚を選ぶだけの場合、の数をこの順で答えましょう。
答えと解説
左右を区別する置き方 = 12 / 選ぶだけの組 = 6
①はPQとQPを別とする12通り。②はPQ,PR,PS,QR,QS,RSの6通りです。どの違いを別の場合と数えるかを先に決めます。
数字カード0・2・5から違う2枚を選び、2けたの整数を作ります。同じカードは二度使いません。整数は何個できますか。
答えと解説
4
20,25,50,52の4個です。十の位は2又は5で、0を十の位に置いた02や05は2けたの整数ではありません。
数字カード1・3・7を全て一回ずつ使う3けたの整数を、表のように調べました。□へ入れる、まだ書いていない整数を答えましょう。
百の位をそろえて調べた表 百の位 3けたの整数 1 137、173 3 317、371 7 713、□ 答えと解説
731
百の位7なら、残り1と3を並べると713と731です。先頭をそろえ、残りの使い忘れや重なりを確認します。
数字カード0・1・4・7から違う3枚を選び、3けたの整数を作ります。同じカードは二度使いません。整数は何個できますか。
答えと解説
18
百の位は1・4・7の3通りです。それぞれ残り3枚から十の位を選び、残り2枚から一の位を選べるので、各先頭で6個、計18個です。0を先頭にする場合は含めません。
左・中・右の三つの枠に、それぞれ○又は×を書きます。同じ記号を何回使ってもよく、枠の位置を区別します。できる並びは何通りありますか。
答えと解説
8
○○○,○○×,○×○,○××,×○○,×○×,××○,×××の8通りです。左の記号を固定し、中・右を順に調べます。起こる確率を求める課題ではありません。
二つの枠へ赤又は青を書き、同じ色を二度使ってよいとします。左右を区別した全ての並びが、落ちや重なりなくあるのはどれですか。
- 赤青、青赤だけ
- 赤赤、赤青、赤青、青青
- 赤赤、赤青、青赤、青青
答えと解説
赤赤、赤青、青赤、青青
同じ色を使ってよいので赤赤・青青も含みます。左右を区別する赤青・青赤も別で、全4通りです。
赤・青・黄から違う2色を選びます。①旗の上段と下段へ塗り、上下を区別する場合、②塗る位置を決めず色を2色選ぶだけの場合、の数をこの順で答えましょう。
答えと解説
上下を区別する旗 = 6 / 2色を選ぶだけの組 = 3
①赤青,赤黄,青赤,青黄,黄赤,黄青の6通り。②赤青,赤黄,青黄の3通りです。位置を入れ替えて別になるかどうかを確かめます。
5枚の札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序を区別しません。表は既に数えた組を重ねない調べ方です。Cを先にした行では、新たに何組を数えますか。
先の行で数えた組を重ねない表 先に固定する札 相手として調べる札 A B、C、D、E B C、D、E C D、E D E 答えと解説
2
CとD、CとEの2組です。CとA、CとBはA・Bの行で既に数え、C自身とは組にしません。
4枚の札A・B・C・Dから違う2枚を選び、順序は区別しません。AB、AC、AD、BC、BD、CD、BAと書きました。同じ一組の重なりを除くと、何組ありますか。
答えと解説
6
ABとBAは同じ一組なので、最後のBAが重なっています。違う組はAB,AC,AD,BC,BD,CDの6組です。
5枚の札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序を区別せず調べました。AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CEまで書いたとき、まだない組はどれですか。
- CD
- DE
- AB
答えと解説
DE
DとEの組がまだありません。Aから始めて相手を順に調べる表と照合すると、落ちを確認できます。
異なる4冊P・Q・R・Sを一回ずつ一列に置きます。左端をP、右端をQと決めた場合、条件に合う置き方は何通りありますか。
答えと解説
2
PRSQとPSRQの2通りです。両端を固定すると、中央のR・Sの順を入れ替える二つだけです。
異なる4冊P・Q・R・Sを一回ずつ一列に置きます。PとQが隣り合う置き方は何通りありますか。PQとQPはどちらも認めます。
答えと解説
12
PとQの位置が1・2番目、2・3番目、3・4番目の三つの場合を調べます。それぞれPとQの順が2通り、残りRとSの順が2通りなので4通りずつ、計12通りです。
AからBまでは道あ・い、BからCまでは道う・え・おがあります。必ずBを一回通り、各区間を一つの道で進みます。この二区間の道の選び方は何通りありますか。
各区間で選べる道 区間 選べる道 A→B あ、い B→C う、え、お 答えと解説
6
あう・あえ・あお・いう・いえ・いおの6通りです。最初の区間の道を固定し、次の区間の道を全て組み合わせます。
点数10・20・30・40の異なる4枚のカードから違う2枚を選び、順序は区別しません。カードの組の数、できる合計点の種類の数を、この順で答えましょう。
答えと解説
カードの組の数 = 6 / 合計点の種類の数 = 5
組は10+20,10+30,10+40,20+30,20+40,30+40の6組。合計は30,40,50,50,60,70で、異なる点数は30,40,50,60,70の5種類です。違う組でも同じ合計になる場合があります。
4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べる場合を、落ちや重なりなく調べる方法はどれですか。
- どの場所もP・Q・R・Sの四つを選べるとして、同じ本も何度も使う
- 思いついた並びが数個出たら、ほかの先頭を調べずに全部だとする
- 左端をP・Q・R・Sの四つに分け、残りは既に使った本を除いて順に枝分かれさせる
答えと解説
左端をP・Q・R・Sの四つに分け、残りは既に使った本を除いて順に枝分かれさせる
一つを固定し、残りの候補を全て調べる観点をそろえます。各並びに同じ本が重ならず、四つの先頭も全て含めることを確かめます。
考え方を説明する
異なる3冊P・Q・Rを全て一回ずつ並べる順序を、自分で樹形図と一覧の両方へ全て表してください。左端をそろえ、落ちや重なりがないといえる理由を説明します。
答えと解説
PQR,PRQ,QPR,QRP,RPQ,RQPの6通り。先頭P/Q/Rごとに残る二冊の順が2通り。児童の全6経路と6記録を対応させる。図の向きや一覧の順序は別でもよい。
- 児童の全6並びと対応する樹形図
- 先頭三つ・各先頭で残り二つの確認
- 使い直し・重複・抜けがない理由
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
異なる4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べる場合を、先頭ごとの表又は樹形図で自分で全て調べてください。答えの数だけでなく、各並びと全部を調べた理由を示します。
答えと解説
Pから:PQRS,PQSR,PRQS,PRSQ,PSQR,PSRQ。Qから:QPRS,QPSR,QRPS,QRSP,QSPR,QSRP。Rから:RPQS,RPSQ,RQPS,RQSP,RSPQ,RSQP。Sから:SPQR,SPRQ,SQPR,SQRP,SRPQ,SRQP。各先頭6通り、全24。児童の別の一貫した整理順も可。
- 児童の4群・全24並び
- 使った本を除いた枝分かれ又は対応する表
- 各先頭6通りと全体を尽くした説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
4枚の札P・Q・R・Sから違う2枚を使います。左右の枠へ置く場合と、置く場所を決めず選ぶだけの場合を、自分で二つの表へ全て書き出してください。入れ替えたものをどう数えたか説明します。
答えと解説
左右を区別:PQ,PR,PS,QP,QR,QS,RP,RQ,RS,SP,SQ,SRの12。選ぶだけ:PQ,PR,PS,QR,QS,RSの6。どの順で表しても同じ札二枚なら同じ一組としてよい。
- 児童の全12と全6の表
- 同じ札の使い直しを含めないこと
- PQ/ QPを別とするか同じとするかの説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
数字カード0・2・5・8から違う3枚を選び、3けたの整数を作ります。自分で全てを表や樹形図に表し、0を含む場合と、0を先頭にできないことを説明してください。
答えと解説
2から205,208,250,258,280,285。5から502,508,520,528,580,582。8から802,805,820,825,850,852の18個。0は十・一の位へ置けるが百の位へは置けない。児童の別の整然とした全一覧も可。
- 児童の先頭2・5・8の全18整数
- 同じカードの使い直しなし
- 先頭0を除き途中の0を残す説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
左・中・右の三枠へ○又は×を何回でも使って書きます。自分で全ての並びを樹形図と記号の一覧に表し、○がちょうど二つある並びへ印を付けてください。確率は求めません。
答えと解説
○○○,○○×,○×○,○××,×○○,×○×,××○,×××の8。○が二つは○○×,○×○,×○○の3。位置の違いを別に数え、同じ記号の使い直しは許す。
- 児童の全8経路と一覧
- 条件に合う3並びへの印
- 位置の区別と繰り返し可の対応
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
5枚の色札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序は区別しません。二次元の表又は一方を固定した一覧を自分で作り、全ての組を示してください。同じ札同士と、逆順で重なる組をどう扱ったか説明します。
答えと解説
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10組。表なら対角線は同じ札で除き、上下に重なる二組は片方だけ数える。一方固定なら相手を後の札だけにして4+3+2+1。児童の別の重複しない整理も可。
- 児童の全10組と表又は一貫した一覧
- 同じ札の対角と逆順の重複の処理
- 調べる相手が尽くされている理由
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
3枚A・B・Cから違う2枚を左右の枠へ置きます。調べた一覧がAB、AC、BA、BC、CA、ABでした。重なりと落ちを見つけ、自分で正しい全一覧と樹形図へ直してください。
答えと解説
ABが重複し、CBが欠ける。正しくはAB,AC,BA,BC,CA,CBの6通り。先頭A/B/Cそれぞれに他の二札を対応させて確認。6行あっても、重複があればすべての場合を尽くしたことにはならない。
- 児童が特定したABの重複とCBの落ち
- 児童の正しい全6並び・樹形図
- 行数だけでは十分でない理由
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
10・20・30・40点の4枚から違う2枚を選ぶ全ての組と合計を、自分で表にしてください。組の数と合計点の種類が違う理由を説明し、次に4枚の点数を自分で変えて、二枚の全ての組で合計が異なる例を作ります。
答えと解説
元の表は10+20=30、10+30=40、10+40=50、20+30=50、20+40=60、30+40=70。6組で合計は5種類、10+40と20+30がともに50。変更例1,2,4,8点では1+2=3、1+4=5、1+8=9、2+4=6、2+8=10、4+8=12で全6合計が異なる。児童の別の4枚と全6合計も条件に合えば可。
- 児童の全6組と合計表・50の重なり
- 組と結果の種類の区別
- 児童が変えた4枚・全組の異なる合計の確認
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べ、PとQが隣り合う場合を自分で全て書き出してください。PQとQPはどちらも認めます。二冊の位置をそろえる表などで、条件に合う場合を尽くしたことを説明します。
答えと解説
1・2番目:PQRS,PQSR,QPRS,QPSR。2・3番目:RPQS,RQPS,SPQR,SQPR。3・4番目:RSPQ,RSQP,SRPQ,SRQP。各4、計12。PQ又はQPを一まとまりにして他二冊と整理する児童の別の方法も可。
- 児童の条件に合う全12並び
- 隣り合う二位置又はまとまりごとの一貫した整理
- 位置三つ・PQ/ QP・残り二冊の確認
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
異なる三つの記号を自分で決め、左右の二枠に置く二つの問題を作ってください。一方は同じ記号を二度使ってよく、他方は使い直しません。他の条件と左右の区別は同じにし、両方を樹形図又は表で全て解いて違いを説明します。
答えと解説
例A/B/C、左右を区別。繰り返し可ならAA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CCの9。不可ならAB,AC,BA,BC,CA,CBの6。児童の別の三記号・明確な問題文と全一覧も可。
- 児童の三記号と繰り返し条件だけ違う二問題
- 児童の全9と全6の表又は図
- 同じ記号を二度使う三つの場合を含むかどうかの説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
小6D(2)ア(ア)・イ(ア)。冊子312〜314/PDF318〜320。起こり得る場合を順序よく整理する図や表の用い方、事象の特徴に着目して観点を決め、落ちや重なりなく調べる方法。階乗・順列組合せの記号や確率の公式は前提にしません。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
講師の方へ
教材にリンクを保存し、必要なときに生徒と共有できます。
この練習問題を保存ワークシート: 順序や選び方を落ちなく並べて数える
MomentDesk · https://momentdesk.com/ja/practice/systematic-enumeration-order-choice-and-repetition/
児童の図・表とすべての場合の一覧で、一つを固定する観点、残りの候補、位置や順序、使い直し・条件の扱いを確認します。数だけを正しく答えることと、落ちや重なりなく調べる方法を説明することは分けて確認します。
しおりの台紙を赤・青・黄の3色から一つ、飾りを星・月の2種類から一つ選びます。どの台紙にもどの飾りも付けられるとき、組は何通りありますか。
選べるもの 部分 種類 台紙 赤、青、黄 飾り 星、月 図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる3冊の本P・Q・Rを、全て一回ずつ使い左から一列に置きます。置く順序は何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる4冊の本P・Q・R・Sを、全て一回ずつ使い左から一列に置きます。置く順序は何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる4枚の札P・Q・R・Sから、左の枠と右の枠へ一枚ずつ置きます。同じ札は二度使いません。左右を区別すると置き方は何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる5色のタイルA・B・C・D・Eから、違う色を2色選びます。選ぶ順序を区別せず、同じ色は二度選びません。選び方は何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる4枚の札P・Q・R・Sから違う2枚を使います。①左右の枠へ置き左右を区別する場合、②置く場所を決めず2枚を選ぶだけの場合、の数をこの順で答えましょう。
図・表・途中式・単位・理由答え:
数字カード0・2・5から違う2枚を選び、2けたの整数を作ります。同じカードは二度使いません。整数は何個できますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
数字カード1・3・7を全て一回ずつ使う3けたの整数を、表のように調べました。□へ入れる、まだ書いていない整数を答えましょう。
百の位をそろえて調べた表 百の位 3けたの整数 1 137、173 3 317、371 7 713、□ 図・表・途中式・単位・理由答え:
数字カード0・1・4・7から違う3枚を選び、3けたの整数を作ります。同じカードは二度使いません。整数は何個できますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
左・中・右の三つの枠に、それぞれ○又は×を書きます。同じ記号を何回使ってもよく、枠の位置を区別します。できる並びは何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
二つの枠へ赤又は青を書き、同じ色を二度使ってよいとします。左右を区別した全ての並びが、落ちや重なりなくあるのはどれですか。
- 赤青、青赤だけ
- 赤赤、赤青、赤青、青青
- 赤赤、赤青、青赤、青青
図・表・途中式・単位・理由答え:
赤・青・黄から違う2色を選びます。①旗の上段と下段へ塗り、上下を区別する場合、②塗る位置を決めず色を2色選ぶだけの場合、の数をこの順で答えましょう。
図・表・途中式・単位・理由答え:
5枚の札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序を区別しません。表は既に数えた組を重ねない調べ方です。Cを先にした行では、新たに何組を数えますか。
先の行で数えた組を重ねない表 先に固定する札 相手として調べる札 A B、C、D、E B C、D、E C D、E D E 図・表・途中式・単位・理由答え:
4枚の札A・B・C・Dから違う2枚を選び、順序は区別しません。AB、AC、AD、BC、BD、CD、BAと書きました。同じ一組の重なりを除くと、何組ありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
5枚の札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序を区別せず調べました。AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CEまで書いたとき、まだない組はどれですか。
- CD
- DE
- AB
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる4冊P・Q・R・Sを一回ずつ一列に置きます。左端をP、右端をQと決めた場合、条件に合う置き方は何通りありますか。
図・表・途中式・単位・理由答え:
異なる4冊P・Q・R・Sを一回ずつ一列に置きます。PとQが隣り合う置き方は何通りありますか。PQとQPはどちらも認めます。
図・表・途中式・単位・理由答え:
AからBまでは道あ・い、BからCまでは道う・え・おがあります。必ずBを一回通り、各区間を一つの道で進みます。この二区間の道の選び方は何通りありますか。
各区間で選べる道 区間 選べる道 A→B あ、い B→C う、え、お 図・表・途中式・単位・理由答え:
点数10・20・30・40の異なる4枚のカードから違う2枚を選び、順序は区別しません。カードの組の数、できる合計点の種類の数を、この順で答えましょう。
図・表・途中式・単位・理由答え:
4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べる場合を、落ちや重なりなく調べる方法はどれですか。
- どの場所もP・Q・R・Sの四つを選べるとして、同じ本も何度も使う
- 思いついた並びが数個出たら、ほかの先頭を調べずに全部だとする
- 左端をP・Q・R・Sの四つに分け、残りは既に使った本を除いて順に枝分かれさせる
図・表・途中式・単位・理由答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
異なる3冊P・Q・Rを全て一回ずつ並べる順序を、自分で樹形図と一覧の両方へ全て表してください。左端をそろえ、落ちや重なりがないといえる理由を説明します。
異なる4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べる場合を、先頭ごとの表又は樹形図で自分で全て調べてください。答えの数だけでなく、各並びと全部を調べた理由を示します。
4枚の札P・Q・R・Sから違う2枚を使います。左右の枠へ置く場合と、置く場所を決めず選ぶだけの場合を、自分で二つの表へ全て書き出してください。入れ替えたものをどう数えたか説明します。
数字カード0・2・5・8から違う3枚を選び、3けたの整数を作ります。自分で全てを表や樹形図に表し、0を含む場合と、0を先頭にできないことを説明してください。
左・中・右の三枠へ○又は×を何回でも使って書きます。自分で全ての並びを樹形図と記号の一覧に表し、○がちょうど二つある並びへ印を付けてください。確率は求めません。
5枚の色札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序は区別しません。二次元の表又は一方を固定した一覧を自分で作り、全ての組を示してください。同じ札同士と、逆順で重なる組をどう扱ったか説明します。
3枚A・B・Cから違う2枚を左右の枠へ置きます。調べた一覧がAB、AC、BA、BC、CA、ABでした。重なりと落ちを見つけ、自分で正しい全一覧と樹形図へ直してください。
10・20・30・40点の4枚から違う2枚を選ぶ全ての組と合計を、自分で表にしてください。組の数と合計点の種類が違う理由を説明し、次に4枚の点数を自分で変えて、二枚の全ての組で合計が異なる例を作ります。
4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べ、PとQが隣り合う場合を自分で全て書き出してください。PQとQPはどちらも認めます。二冊の位置をそろえる表などで、条件に合う場合を尽くしたことを説明します。
異なる三つの記号を自分で決め、左右の二枠に置く二つの問題を作ってください。一方は同じ記号を二度使ってよく、他方は使い直しません。他の条件と左右の区別は同じにし、両方を樹形図又は表で全て解いて違いを説明します。
解答: 順序や選び方を落ちなく並べて数える
6
赤星・赤月・青星・青月・黄星・黄月の6通りです。台紙を一色ずつ固定し、各色について二つの飾りを調べると落ちや重なりを防げます。
6
PQR・PRQ・QPR・QRP・RPQ・RQPの6通りです。左端を一冊ずつ決め、残り二冊の順を調べます。
24
左端がPの場合は残りQ・R・Sの6通りです。左端はP・Q・R・Sの四つの場合があり、どれも6通りなので計24通りです。図や表では四つの先頭を全部調べます。
12
左がPなら右はQ・R・Sの3通りで、左を四つの場合に分けると4×3=12通りです。PQとQPは左右が違う別の置き方です。
10
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10通りです。ABとBAを同じ一組として、既に数えた色の組を重ねません。
左右を区別する置き方 = 12 / 選ぶだけの組 = 6
①はPQとQPを別とする12通り。②はPQ,PR,PS,QR,QS,RSの6通りです。どの違いを別の場合と数えるかを先に決めます。
4
20,25,50,52の4個です。十の位は2又は5で、0を十の位に置いた02や05は2けたの整数ではありません。
731
百の位7なら、残り1と3を並べると713と731です。先頭をそろえ、残りの使い忘れや重なりを確認します。
18
百の位は1・4・7の3通りです。それぞれ残り3枚から十の位を選び、残り2枚から一の位を選べるので、各先頭で6個、計18個です。0を先頭にする場合は含めません。
8
○○○,○○×,○×○,○××,×○○,×○×,××○,×××の8通りです。左の記号を固定し、中・右を順に調べます。起こる確率を求める課題ではありません。
赤赤、赤青、青赤、青青
同じ色を使ってよいので赤赤・青青も含みます。左右を区別する赤青・青赤も別で、全4通りです。
上下を区別する旗 = 6 / 2色を選ぶだけの組 = 3
①赤青,赤黄,青赤,青黄,黄赤,黄青の6通り。②赤青,赤黄,青黄の3通りです。位置を入れ替えて別になるかどうかを確かめます。
2
CとD、CとEの2組です。CとA、CとBはA・Bの行で既に数え、C自身とは組にしません。
6
ABとBAは同じ一組なので、最後のBAが重なっています。違う組はAB,AC,AD,BC,BD,CDの6組です。
DE
DとEの組がまだありません。Aから始めて相手を順に調べる表と照合すると、落ちを確認できます。
2
PRSQとPSRQの2通りです。両端を固定すると、中央のR・Sの順を入れ替える二つだけです。
12
PとQの位置が1・2番目、2・3番目、3・4番目の三つの場合を調べます。それぞれPとQの順が2通り、残りRとSの順が2通りなので4通りずつ、計12通りです。
6
あう・あえ・あお・いう・いえ・いおの6通りです。最初の区間の道を固定し、次の区間の道を全て組み合わせます。
カードの組の数 = 6 / 合計点の種類の数 = 5
組は10+20,10+30,10+40,20+30,20+40,30+40の6組。合計は30,40,50,50,60,70で、異なる点数は30,40,50,60,70の5種類です。違う組でも同じ合計になる場合があります。
左端をP・Q・R・Sの四つに分け、残りは既に使った本を除いて順に枝分かれさせる
一つを固定し、残りの候補を全て調べる観点をそろえます。各並びに同じ本が重ならず、四つの先頭も全て含めることを確かめます。
記述問題の解答・確認の観点
異なる3冊P・Q・Rを全て一回ずつ並べる順序を、自分で樹形図と一覧の両方へ全て表してください。左端をそろえ、落ちや重なりがないといえる理由を説明します。
PQR,PRQ,QPR,QRP,RPQ,RQPの6通り。先頭P/Q/Rごとに残る二冊の順が2通り。児童の全6経路と6記録を対応させる。図の向きや一覧の順序は別でもよい。
- 児童の全6並びと対応する樹形図
- 先頭三つ・各先頭で残り二つの確認
- 使い直し・重複・抜けがない理由
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
異なる4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べる場合を、先頭ごとの表又は樹形図で自分で全て調べてください。答えの数だけでなく、各並びと全部を調べた理由を示します。
Pから:PQRS,PQSR,PRQS,PRSQ,PSQR,PSRQ。Qから:QPRS,QPSR,QRPS,QRSP,QSPR,QSRP。Rから:RPQS,RPSQ,RQPS,RQSP,RSPQ,RSQP。Sから:SPQR,SPRQ,SQPR,SQRP,SRPQ,SRQP。各先頭6通り、全24。児童の別の一貫した整理順も可。
- 児童の4群・全24並び
- 使った本を除いた枝分かれ又は対応する表
- 各先頭6通りと全体を尽くした説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
4枚の札P・Q・R・Sから違う2枚を使います。左右の枠へ置く場合と、置く場所を決めず選ぶだけの場合を、自分で二つの表へ全て書き出してください。入れ替えたものをどう数えたか説明します。
左右を区別:PQ,PR,PS,QP,QR,QS,RP,RQ,RS,SP,SQ,SRの12。選ぶだけ:PQ,PR,PS,QR,QS,RSの6。どの順で表しても同じ札二枚なら同じ一組としてよい。
- 児童の全12と全6の表
- 同じ札の使い直しを含めないこと
- PQ/ QPを別とするか同じとするかの説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
数字カード0・2・5・8から違う3枚を選び、3けたの整数を作ります。自分で全てを表や樹形図に表し、0を含む場合と、0を先頭にできないことを説明してください。
2から205,208,250,258,280,285。5から502,508,520,528,580,582。8から802,805,820,825,850,852の18個。0は十・一の位へ置けるが百の位へは置けない。児童の別の整然とした全一覧も可。
- 児童の先頭2・5・8の全18整数
- 同じカードの使い直しなし
- 先頭0を除き途中の0を残す説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
左・中・右の三枠へ○又は×を何回でも使って書きます。自分で全ての並びを樹形図と記号の一覧に表し、○がちょうど二つある並びへ印を付けてください。確率は求めません。
○○○,○○×,○×○,○××,×○○,×○×,××○,×××の8。○が二つは○○×,○×○,×○○の3。位置の違いを別に数え、同じ記号の使い直しは許す。
- 児童の全8経路と一覧
- 条件に合う3並びへの印
- 位置の区別と繰り返し可の対応
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
5枚の色札A・B・C・D・Eから違う2枚を選び、順序は区別しません。二次元の表又は一方を固定した一覧を自分で作り、全ての組を示してください。同じ札同士と、逆順で重なる組をどう扱ったか説明します。
AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DEの10組。表なら対角線は同じ札で除き、上下に重なる二組は片方だけ数える。一方固定なら相手を後の札だけにして4+3+2+1。児童の別の重複しない整理も可。
- 児童の全10組と表又は一貫した一覧
- 同じ札の対角と逆順の重複の処理
- 調べる相手が尽くされている理由
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
3枚A・B・Cから違う2枚を左右の枠へ置きます。調べた一覧がAB、AC、BA、BC、CA、ABでした。重なりと落ちを見つけ、自分で正しい全一覧と樹形図へ直してください。
ABが重複し、CBが欠ける。正しくはAB,AC,BA,BC,CA,CBの6通り。先頭A/B/Cそれぞれに他の二札を対応させて確認。6行あっても、重複があればすべての場合を尽くしたことにはならない。
- 児童が特定したABの重複とCBの落ち
- 児童の正しい全6並び・樹形図
- 行数だけでは十分でない理由
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
10・20・30・40点の4枚から違う2枚を選ぶ全ての組と合計を、自分で表にしてください。組の数と合計点の種類が違う理由を説明し、次に4枚の点数を自分で変えて、二枚の全ての組で合計が異なる例を作ります。
元の表は10+20=30、10+30=40、10+40=50、20+30=50、20+40=60、30+40=70。6組で合計は5種類、10+40と20+30がともに50。変更例1,2,4,8点では1+2=3、1+4=5、1+8=9、2+4=6、2+8=10、4+8=12で全6合計が異なる。児童の別の4枚と全6合計も条件に合えば可。
- 児童の全6組と合計表・50の重なり
- 組と結果の種類の区別
- 児童が変えた4枚・全組の異なる合計の確認
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
4冊P・Q・R・Sを全て一回ずつ並べ、PとQが隣り合う場合を自分で全て書き出してください。PQとQPはどちらも認めます。二冊の位置をそろえる表などで、条件に合う場合を尽くしたことを説明します。
1・2番目:PQRS,PQSR,QPRS,QPSR。2・3番目:RPQS,RQPS,SPQR,SQPR。3・4番目:RSPQ,RSQP,SRPQ,SRQP。各4、計12。PQ又はQPを一まとまりにして他二冊と整理する児童の別の方法も可。
- 児童の条件に合う全12並び
- 隣り合う二位置又はまとまりごとの一貫した整理
- 位置三つ・PQ/ QP・残り二冊の確認
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。
異なる三つの記号を自分で決め、左右の二枠に置く二つの問題を作ってください。一方は同じ記号を二度使ってよく、他方は使い直しません。他の条件と左右の区別は同じにし、両方を樹形図又は表で全て解いて違いを説明します。
例A/B/C、左右を区別。繰り返し可ならAA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CCの9。不可ならAB,AC,BA,BC,CA,CBの6。児童の別の三記号・明確な問題文と全一覧も可。
- 児童の三記号と繰り返し条件だけ違う二問題
- 児童の全9と全6の表又は図
- 同じ記号を二度使う三つの場合を含むかどうかの説明
児童の図・表とすべての場合の一覧を対応させ、固定する観点、位置の区別、使い直しの可否、条件を確かめます。数の一致だけで列挙を達成したとせず、抜け・重複を児童が確認した根拠を見ます。正しい別の整理順や図の向きも認め、児童の作業と講師の支援を分けて記録します。