角柱・円柱の体積：底面積・二つの高さ・水位
三角柱・台形やL字の底面をもつ角柱・円柱を、底面積×高さで結び付けます。体積から高さを戻し、同じ水を移す前後の底面と深さ、単位を自分の図で確かめます。
学年・内容の目安 小6。授業の復習や教材の準備に使えます。公開教材の利用条件を確認し、年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。
学習内容や既習事項に合わせて使う独自の練習です。文部科学省の認定教材や、教科書・入試の全範囲を網羅する教材ではありません。
小6B(4)ア(ア)・イ(ア)：基本的な角柱及び円柱の体積、既習の直方体や平面の面積から底面積×高さを導く。冊子298〜300/PDF304〜306。三角柱は必須の底面の例です。逆算・水位は同じ関係の活用であり、別の内容項目ではありません。
解説を読む
直方体の体積を底面積×高さと捉え直し、三角柱や円柱へ広げます。底面の図形の高さと、二つの底面の間の高さを区別し、同じ体積から未知の高さ・底面積を求めて確かめます。
必要な予備知識
小5の直方体・立方体の体積とcm³・m³・L、三角形・台形・L字形の面積、小6の円の面積。円周率3.14で計算し、途中では丸めません。
- 角柱や円柱の体積は底面積×高さです。ここで高さは、二つの底面の間の垂直な長さです。
- 三角柱では、三角形の面積を求める高さと、角柱の高さを分けます。立体の向きや紙の上の斜めの辺で決めません。
- 円柱の底面積は半径×半径×3.14です。底面が台形やL字形でも、まず既習の面積を求めて同じ式に進みます。
- 体積÷底面積は高さ、体積÷高さは底面積です。掛け戻しで元の体積を確かめ、単位も戻します。
- 同じ水を、もれず・こぼれず移すと体積は変わりません。内側の底面積で割って深さを求め、容器の高さ以内かも確認します。
- 長さと面積と体積では換算の率が違います。1L=1000cm³、1m³=1000Lです。
解き方の例
底面が底辺6cm・高さ5cmの三角形で、角柱の高さ4cmなら、(6×5÷2)×4=60cm³です。
円柱の底面積が50.24cm²、体積が401.92cm³なら、高さは401.92÷50.24=8cmです。
移す水が240cm³、移す先の底面積が60cm²なら深さは4cmです。容器の高さが4cm未満なら、あふれないという条件では全部を入れられません。
よくある間違い
- 底面の三角形の高さを、角柱の高さにもう一度使わない。
- 三角形の面積の÷2を忘れたり、円柱の直径を半径にしたりしない。
- 底面積cm²と高さcmをかけた体積の単位はcm³で、cm²ではない。
- 水位の増加分だけを求めたときは、最初の水位との区別をする。
- 同じ水の体積を保つ条件と容器の容量を、どちらも確かめる。
考え方を説明する
児童の底面図・見取図・垂直の印、底面積と高さの対応、逆算と掛け戻し、単位を照合します。水を移す問題では同じ体積と容器の高さの条件も確認します。別の正しい図や計算法も認めます。
短い数値・二つの数値・選択肢を自動で確認します。自分の見取図・底面図・公式の説明・水の移動モデルは講師が確認し、自動採点しません。実験や実測を実施した証明ではありません。
練習する
数値だけを入れるか一つ選びます。単位、二種類の高さ、半径、欄の順を確かめます。
入力した答えは、ページを再読み込みするか離れるまで、このページのメモリ上に保持されます。保存済みの下書き、アカウントの成績、自動の宿題提出は作成されません。
自分の答えと記述
練習問題と解答
図の三角柱の体積は何cm³ですか。底面の三角形の底辺とその高さ、角柱の高さを区別しましょう。
図を準備しています。
答えと解説
216
底面積は8×6÷2=24cm²、角柱の高さ9cmなので24×9=216cm³です。
底面積18cm²、二つの底面の間の垂直な高さ7cmの角柱です。体積は何cm³ですか。
答えと解説
126
底面積×高さで18×7=126cm³です。底面の周りの長さは使いません。
図の円柱の体積は何cm³ですか。円周率は3.14です。
図を準備しています。
答えと解説
254.34
底面積3×3×3.14=28.26cm²、それに高さ9cmをかけ、254.34cm³です。
底面の直径10cm、二つの底面の間の高さ6cmの円柱です。体積は何cm³ですか。円周率は3.14です。
答えと解説
471
半径は10÷2=5cm、底面積5×5×3.14=78.5cm²です。78.5×6=471cm³です。
底面の三角形の底辺7cm、その底辺への垂直な高さ4cm、角柱の高さ10cmです。底面積cm²、体積cm³の順に答えましょう。
答えと解説
底面積cm² = 14 / 体積cm³ = 140
底面積7×4÷2=14cm²、体積14×10=140cm³です。二つの高さは別の量です。
図の三角柱で、底面積にかけて体積を求める高さはどれですか。
図を準備しています。
- 底面三角形の高さ3cm
- 二つの三角形の面の間の11cm
- 底面三角形の底辺4cm
答えと解説
二つの三角形の面の間の11cm
二つの底面の間の角柱の高さ11cmです。底面三角形の高さ3cmは、底面積を計算するときに使います。
体積360cm³、底面積30cm²の角柱です。二つの底面の間の高さは何cmですか。
答えと解説
12
底面積×高さ=体積なので、360÷30=12cmです。30×12=360で戻して確かめます。
体積420cm³、二つの底面の間の高さ15cmの角柱です。底面積は何cm²ですか。
答えと解説
28
420÷15=28cm²です。体積÷高さで、長さではなく面積を求めています。
図の円柱の体積は197.82cm³です。未記入の高さは何cmですか。円周率は3.14です。
図を準備しています。
答えと解説
7
底面積3×3×3.14=28.26cm²です。197.82÷28.26=7cmです。
底面積40cm²、二つの底面の間の高さ0.3mの角柱です。体積は何cm³ですか。
答えと解説
1200
0.3m=30cmにそろえ、40×30=1200cm³です。面積の数値40を100倍に直す必要はありません。
底面の半径0.2m、高さ5cmの円柱です。体積は何cm³ですか。円周率は3.14です。
答えと解説
6280
半径0.2m=20cmです。20×20×3.14×5=6280cm³です。
同じ角柱で、底面積を変えずに高さだけを3倍にします。体積は元の何倍ですか。
答えと解説
3
底面積×高さのうち高さだけが3倍なので、体積も3倍です。
円柱の高さを変えず、底面の半径だけを2倍にします。体積は元の何倍ですか。
答えと解説
4
底面積は半径を二回かけるので2×2=4倍です。高さが同じなら体積も4倍です。
12cm×5cmの長方形の底面を、対角線で半分に分けた三角形を底面とする三角柱です。角柱の高さ8cmのとき、体積は何cm³ですか。
答えと解説
240
底面積12×5÷2=30cm²、30×8=240cm³です。同じ三角柱二つで直方体を作る考えにも対応します。
底面が上底4cm・下底10cm・高さ3cmの台形です。角柱の高さ8cmの体積は何cm³ですか。
答えと解説
168
底面積(4+10)×3÷2=21cm²、21×8=168cm³です。台形の高さと角柱の高さを分けます。
図は角柱の底面だけを表しています。角柱の高さが5cmのとき、体積は何cm³ですか。
図を準備しています。
答えと解説
210
底面積8×6−3×2=42cm²です。底面積に角柱の高さ5cmをかけ、42×5=210cm³です。
内側の半径4cm・高さ20cmの円柱の容器に、水が深さ10cmまであります。全部を内側の底面8cm×10cm・高さ12cmの直方体の容器へ移します。もれず、こぼれず、容器の厚さは考えません。移した後の水の深さは何cmですか。円周率は3.14です。
答えと解説
6.28
水の体積4×4×3.14×10=502.4cm³を保ちます。移す先の底面積80cm²で割り、502.4÷80=6.28cmです。12cmより低く、あふれません。
内側の底面6cm×8cm・高さ15cmの直方体の容器に、水が深さ7.85cmまであります。全部を内側の半径4cm・高さ20cmの円柱の容器へ移します。もれず、こぼれず、厚さは考えません。移した後の深さは何cmですか。円周率は3.14です。
答えと解説
7.5
水は6×8×7.85=376.8cm³。移す先の底面積4×4×3.14=50.24cm²、376.8÷50.24=7.5cmです。20cmより低く、あふれません。
内側の半径5cm・高さ12cmの円柱の容器に、水が深さ2cmまであります。314cm³の水を追加します。もれず、こぼれず、厚さは考えません。追加後の深さは何cmですか。円周率は3.14です。
答えと解説
6
底面積は5×5×3.14=78.5cm²。増えた深さは314÷78.5=4cm、最初の2cmを加え6cmです。12cmより低く、あふれません。
内側の底面10cm×8cm・高さ10cmの直方体の水そうで、水の深さが4cmから5.5cmへ上がりました。これは石を完全に水に沈めたためで、水はこぼれていません。石の体積は何cm³ですか。
答えと解説
120
増えた深さ5.5−4=1.5cmと底面積80cm²から、石の体積は80×1.5=120cm³です。水そのものの全体の体積とは分けます。
考え方を説明する
底面が直角をはさむ二辺7cmと4cmの三角形で、角柱の高さが9cmの三角柱を、自分の見取図にしてください。同じ三角柱二つを合わせた直方体の図も作り、三角柱の体積が底面積×高さで求められる理由を説明します。
答えと解説
同じ二つを合わせると7×4×9=252cm³の直方体です。一つは126cm³。底面の三角形7×4÷2=14cm²に角柱の高さ9cmをかけても126cm³。児童の二図と三つの長さ、半分にした理由を照合する。
- 児童の三角柱と合わせた直方体の二図
- 三角形の底辺・高さと角柱の高さの区別
- (7×4÷2)×9=126cm³と半分の理由
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。同じ二つの三角柱がすき間や重なりなく直方体になる児童の図を見ます。半分にすることと、底面の三角形の面積を求めることが対応しているか確かめます。
図の三角柱を自分で写し、三角形の底辺8cm、その底辺への垂直な高さ3cm、角柱の高さ11cmを別の印で示してください。底面の図を取り出し、向きを変えても同じ体積になることを図と式で説明します。
答えと解説
底面積8×3÷2=12cm²、12×11=132cm³です。角柱を回しても二つの三角形が底面で、その間の垂直な高さ11cmを使います。斜めの辺の見た目の長さは使いません。児童の別向きの図と対応を見ます。
- 児童の見取図と底面の三角形
- 二種類の高さ・垂直の印
- 132cm³と向きを変えても同じ量
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。底面の三角形を取り出した図と、立体の向きを変えた図を照合します。三角形の高さ3cmと角柱の高さ11cmを取り違えていないか見ます。
底面の直径9cm、高さ8cmの円柱を自分でかき、底面の円と半径の印も作ってください。底面積、体積の順に求め、それぞれの単位と、直径をそのまま半径にしない理由を説明します。円周率は3.14です。
答えと解説
半径9÷2=4.5cm、底面積4.5×4.5×3.14=63.585cm²、体積63.585×8=508.68cm³。児童の円柱・底面の図と半径、面積と体積の区別を見る。
- 児童の円柱・底面の円・半径4.5cm
- 底面積63.585cm²と体積508.68cm³
- 直径を半分にする理由と高さ8cm
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童が直径9cmから半径4.5cmを示した印を確認します。63.585cm²と508.68cm³を、底面の広さと立体の大きさに対応させます。
底面が上底3cm・下底9cm・高さ4cmの台形で、角柱の高さ7cmの立体を、自分の底面の図と見取図に表してください。面積の式を使う所と、体積へ進む所を対応させて説明します。
答えと解説
底面積(3+9)×4÷2=24cm²、体積24×7=168cm³。児童の台形の底面とその間の高さ7cm、面積の高さ4cmを照合する。
- 児童の台形の底面と見取図
- 二種類の高さと単位
- 底面積24cm²×7cm=168cm³
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。台形の高さ4cmと角柱の高さ7cmを別々に示した児童の図を見ます。面積の式から体積の式へ移る所を説明してもらいます。
図のL字形を底面とし、角柱の高さ6cmの立体を自分の見取図にしてください。全体から引く方法と、底面を二つの長方形へ分ける方法で体積を求め、一致する理由を説明します。
答えと解説
底面は10×8−4×3=68cm²。二分なら6×8+4×5=68cm²など。体積68×6=408cm³。児童の二通りの底面図と、同じ高さ6cmが全体にあることを確認する。
- 児童のL字底面と角柱の見取図
- 底面の二通りの68cm²
- 底面積×6cm=408cm³
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二通りの底面の分け方と見取図を照合します。欠けた部分と二つの長方形、共通の角柱の高さ6cmを確認します。
内側の底面12cm×10cm・高さ10cmの直方体の容器に、水が深さ4.71cmまであります。全部を内側の半径5cm・高さ20cmの円柱の容器へ、もれず、こぼれず移します。厚さは考えません。自分の二つの図と同じ水の体積から、移した後の深さを求め、あふれないことも確かめます。円周率は3.14です。
答えと解説
水の体積12×10×4.71=565.2cm³です。円柱の底面積5×5×3.14=78.5cm²、深さ565.2÷78.5=7.2cm。78.5×7.2=565.2で戻せ、7.2<20なのであふれません。児童の同じ体積と異なる底面・深さの対応を見ます。
- 児童の移す前後の二図と内側の寸法
- 同じ体積565.2cm³から7.2cm
- 掛け戻しと容器の高さ20cmとの比較
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。同じ水の体積を保つ児童の二図、内側の寸法、掛け戻しと容器の高さを確認します。練習用の条件であり、実際に水を移した記録とはしません。実測した場合は道具・内側の寸法・水もれなどの条件も記録します。
底面積0.06m²、二つの底面の間の高さ35cmの角柱について、自分の図と二通りの単位の式を作ってください。体積をLで求め、cmでそろえる方法とmでそろえる方法が同じ量になることを説明します。
答えと解説
0.06m²=600cm²、600×35=21000cm³=21L。別法35cm=0.35m、0.06×0.35=0.021m³=21L。児童の図・面積と長さの異なる換算率・二つの体積の対応を確認する。
- 児童の底面積と高さの図
- 600cm²×35cmと0.06m²×0.35m
- 21000cm³=0.021m³=21L
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二つの単位の式を照合します。長さ・面積・体積で換算率が異なることを、図と単位から説明してもらいます。
半径3cm・高さ12cmの円柱と同じ体積で、底面の半径を6cmにした円柱を作ります。自分の二つの見取図と底面積の比較を作り、新しい高さを求めて理由を説明します。円周率は3.14です。
答えと解説
元の体積3×3×3.14×12=339.12cm³。半径2倍で底面積4倍なので、高さは12÷4=3cm。6×6×3.14×3=339.12で確かめる。児童の表や図、同じ体積という条件を見る。
- 児童の二つの円柱と同じ体積の条件
- 半径2倍→底面積4倍→高さ1/4
- 高さ3cmと体積の掛け戻し
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二つの底面積の比較を見ます。半径2倍を高さ1/2へ機械的に結び付けず、面積4倍と同じ体積から高さ1/4を説明できるか確かめます。
底面の三角形の底辺6cm、その高さ4cm、角柱の高さ10cmの三角柱について、「6×4×10=240cm³」という説明を、自分の底面図と見取図で直してください。どの面積を求めたかも説明します。
答えと解説
底面は三角形なので6×4÷2=12cm²。12×10=120cm³が正しい。誤りは三角形をその底辺と高さを二辺とする長方形の面積24cm²としていること。児童の半分の対応と二種類の高さを照合する。
- 児童の三角形の底面と見取図
- ÷2が必要な理由と二種類の高さ
- 正しい体積120cm³
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。120cm³へ答えを直しただけでなく、元の式が長方形の面積を使っていたことを児童の図と説明で確認します。三角形の半分と角柱の高さも照合します。
体積が628cm³になる三角柱と円柱を一つずつ、自分で寸法を決めて図にしてください。底面積と高さを別々に示し、二つの体積が同じになることを確かめます。円周率は3.14です。
答えと解説
例は底辺10cm・三角形の高さ8cm・角柱の高さ15.7cmの三角柱で40×15.7=628cm³、半径5cm・高さ8cmの円柱で78.5×8=628cm³。児童の別の成立する二図と寸法、三角形の実現可能性、面積と体積の単位を認める。
- 児童の成立する三角柱と円柱の二図
- 底面積とそれぞれの高さの区別
- 両方628cm³になる式と単位
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二つの底面と見取図、決めた寸法が成立するか確認します。例の寸法への一致は求めず、別の正しい二つの628cm³も認めます。
ワークシート
教育課程の出典
日本の学習指導要領
小6B(4)ア(ア)・イ(ア)：基本的な角柱及び円柱の体積、既習の直方体や平面の面積から底面積×高さを導く。冊子298〜300/PDF304〜306。三角柱は必須の底面の例です。逆算・水位は同じ関係の活用であり、別の内容項目ではありません。 · 2026-11-02
教育課程の出典授業・宿題・次の記録につなげる
講師が問題を選び、解答を付けずに印刷します。紙に書いた最初の誤りを一緒に確認し、新しい問題で試し直しましょう。年少の生徒には講師が紙の教材を用意します。生徒用のログインを使う場合は、利用条件と同意の手順を確認してください。
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児童の底面図・見取図・垂直の印、底面積と高さの対応、逆算と掛け戻し、単位を照合します。水を移す問題では同じ体積と容器の高さの条件も確認します。別の正しい図や計算法も認めます。
図の三角柱の体積は何cm³ですか。底面の三角形の底辺とその高さ、角柱の高さを区別しましょう。
図を準備しています。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
底面積18cm²、二つの底面の間の垂直な高さ7cmの角柱です。体積は何cm³ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
図の円柱の体積は何cm³ですか。円周率は3.14です。
図を準備しています。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
底面の直径10cm、二つの底面の間の高さ6cmの円柱です。体積は何cm³ですか。円周率は3.14です。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
底面の三角形の底辺7cm、その底辺への垂直な高さ4cm、角柱の高さ10cmです。底面積cm²、体積cm³の順に答えましょう。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
図の三角柱で、底面積にかけて体積を求める高さはどれですか。
図を準備しています。
- 底面三角形の高さ3cm
- 二つの三角形の面の間の11cm
- 底面三角形の底辺4cm
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
体積360cm³、底面積30cm²の角柱です。二つの底面の間の高さは何cmですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
体積420cm³、二つの底面の間の高さ15cmの角柱です。底面積は何cm²ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
図の円柱の体積は197.82cm³です。未記入の高さは何cmですか。円周率は3.14です。
図を準備しています。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
底面積40cm²、二つの底面の間の高さ0.3mの角柱です。体積は何cm³ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
底面の半径0.2m、高さ5cmの円柱です。体積は何cm³ですか。円周率は3.14です。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
同じ角柱で、底面積を変えずに高さだけを3倍にします。体積は元の何倍ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
円柱の高さを変えず、底面の半径だけを2倍にします。体積は元の何倍ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
12cm×5cmの長方形の底面を、対角線で半分に分けた三角形を底面とする三角柱です。角柱の高さ8cmのとき、体積は何cm³ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
底面が上底4cm・下底10cm・高さ3cmの台形です。角柱の高さ8cmの体積は何cm³ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
図は角柱の底面だけを表しています。角柱の高さが5cmのとき、体積は何cm³ですか。
図を準備しています。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
内側の半径4cm・高さ20cmの円柱の容器に、水が深さ10cmまであります。全部を内側の底面8cm×10cm・高さ12cmの直方体の容器へ移します。もれず、こぼれず、容器の厚さは考えません。移した後の水の深さは何cmですか。円周率は3.14です。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
内側の底面6cm×8cm・高さ15cmの直方体の容器に、水が深さ7.85cmまであります。全部を内側の半径4cm・高さ20cmの円柱の容器へ移します。もれず、こぼれず、厚さは考えません。移した後の深さは何cmですか。円周率は3.14です。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
内側の半径5cm・高さ12cmの円柱の容器に、水が深さ2cmまであります。314cm³の水を追加します。もれず、こぼれず、厚さは考えません。追加後の深さは何cmですか。円周率は3.14です。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
内側の底面10cm×8cm・高さ10cmの直方体の水そうで、水の深さが4cmから5.5cmへ上がりました。これは石を完全に水に沈めたためで、水はこぼれていません。石の体積は何cm³ですか。
自分の底面図・見取図・高さ・式・cm³答え:
考え方を説明する
ここからは講師と確認する記述問題です。自動採点の点数には含みません。
底面が直角をはさむ二辺7cmと4cmの三角形で、角柱の高さが9cmの三角柱を、自分の見取図にしてください。同じ三角柱二つを合わせた直方体の図も作り、三角柱の体積が底面積×高さで求められる理由を説明します。
図の三角柱を自分で写し、三角形の底辺8cm、その底辺への垂直な高さ3cm、角柱の高さ11cmを別の印で示してください。底面の図を取り出し、向きを変えても同じ体積になることを図と式で説明します。
底面の直径9cm、高さ8cmの円柱を自分でかき、底面の円と半径の印も作ってください。底面積、体積の順に求め、それぞれの単位と、直径をそのまま半径にしない理由を説明します。円周率は3.14です。
底面が上底3cm・下底9cm・高さ4cmの台形で、角柱の高さ7cmの立体を、自分の底面の図と見取図に表してください。面積の式を使う所と、体積へ進む所を対応させて説明します。
図のL字形を底面とし、角柱の高さ6cmの立体を自分の見取図にしてください。全体から引く方法と、底面を二つの長方形へ分ける方法で体積を求め、一致する理由を説明します。
内側の底面12cm×10cm・高さ10cmの直方体の容器に、水が深さ4.71cmまであります。全部を内側の半径5cm・高さ20cmの円柱の容器へ、もれず、こぼれず移します。厚さは考えません。自分の二つの図と同じ水の体積から、移した後の深さを求め、あふれないことも確かめます。円周率は3.14です。
底面積0.06m²、二つの底面の間の高さ35cmの角柱について、自分の図と二通りの単位の式を作ってください。体積をLで求め、cmでそろえる方法とmでそろえる方法が同じ量になることを説明します。
半径3cm・高さ12cmの円柱と同じ体積で、底面の半径を6cmにした円柱を作ります。自分の二つの見取図と底面積の比較を作り、新しい高さを求めて理由を説明します。円周率は3.14です。
底面の三角形の底辺6cm、その高さ4cm、角柱の高さ10cmの三角柱について、「6×4×10=240cm³」という説明を、自分の底面図と見取図で直してください。どの面積を求めたかも説明します。
体積が628cm³になる三角柱と円柱を一つずつ、自分で寸法を決めて図にしてください。底面積と高さを別々に示し、二つの体積が同じになることを確かめます。円周率は3.14です。
解答: 角柱・円柱の体積：底面積・二つの高さ・水位
216
底面積は8×6÷2=24cm²、角柱の高さ9cmなので24×9=216cm³です。
126
底面積×高さで18×7=126cm³です。底面の周りの長さは使いません。
254.34
底面積3×3×3.14=28.26cm²、それに高さ9cmをかけ、254.34cm³です。
471
半径は10÷2=5cm、底面積5×5×3.14=78.5cm²です。78.5×6=471cm³です。
底面積cm² = 14 / 体積cm³ = 140
底面積7×4÷2=14cm²、体積14×10=140cm³です。二つの高さは別の量です。
二つの三角形の面の間の11cm
二つの底面の間の角柱の高さ11cmです。底面三角形の高さ3cmは、底面積を計算するときに使います。
12
底面積×高さ=体積なので、360÷30=12cmです。30×12=360で戻して確かめます。
28
420÷15=28cm²です。体積÷高さで、長さではなく面積を求めています。
7
底面積3×3×3.14=28.26cm²です。197.82÷28.26=7cmです。
1200
0.3m=30cmにそろえ、40×30=1200cm³です。面積の数値40を100倍に直す必要はありません。
6280
半径0.2m=20cmです。20×20×3.14×5=6280cm³です。
3
底面積×高さのうち高さだけが3倍なので、体積も3倍です。
4
底面積は半径を二回かけるので2×2=4倍です。高さが同じなら体積も4倍です。
240
底面積12×5÷2=30cm²、30×8=240cm³です。同じ三角柱二つで直方体を作る考えにも対応します。
168
底面積(4+10)×3÷2=21cm²、21×8=168cm³です。台形の高さと角柱の高さを分けます。
210
底面積8×6−3×2=42cm²です。底面積に角柱の高さ5cmをかけ、42×5=210cm³です。
6.28
水の体積4×4×3.14×10=502.4cm³を保ちます。移す先の底面積80cm²で割り、502.4÷80=6.28cmです。12cmより低く、あふれません。
7.5
水は6×8×7.85=376.8cm³。移す先の底面積4×4×3.14=50.24cm²、376.8÷50.24=7.5cmです。20cmより低く、あふれません。
6
底面積は5×5×3.14=78.5cm²。増えた深さは314÷78.5=4cm、最初の2cmを加え6cmです。12cmより低く、あふれません。
120
増えた深さ5.5−4=1.5cmと底面積80cm²から、石の体積は80×1.5=120cm³です。水そのものの全体の体積とは分けます。
記述問題の解答・確認の観点
底面が直角をはさむ二辺7cmと4cmの三角形で、角柱の高さが9cmの三角柱を、自分の見取図にしてください。同じ三角柱二つを合わせた直方体の図も作り、三角柱の体積が底面積×高さで求められる理由を説明します。
同じ二つを合わせると7×4×9=252cm³の直方体です。一つは126cm³。底面の三角形7×4÷2=14cm²に角柱の高さ9cmをかけても126cm³。児童の二図と三つの長さ、半分にした理由を照合する。
- 児童の三角柱と合わせた直方体の二図
- 三角形の底辺・高さと角柱の高さの区別
- (7×4÷2)×9=126cm³と半分の理由
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。同じ二つの三角柱がすき間や重なりなく直方体になる児童の図を見ます。半分にすることと、底面の三角形の面積を求めることが対応しているか確かめます。
図の三角柱を自分で写し、三角形の底辺8cm、その底辺への垂直な高さ3cm、角柱の高さ11cmを別の印で示してください。底面の図を取り出し、向きを変えても同じ体積になることを図と式で説明します。
底面積8×3÷2=12cm²、12×11=132cm³です。角柱を回しても二つの三角形が底面で、その間の垂直な高さ11cmを使います。斜めの辺の見た目の長さは使いません。児童の別向きの図と対応を見ます。
- 児童の見取図と底面の三角形
- 二種類の高さ・垂直の印
- 132cm³と向きを変えても同じ量
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。底面の三角形を取り出した図と、立体の向きを変えた図を照合します。三角形の高さ3cmと角柱の高さ11cmを取り違えていないか見ます。
底面の直径9cm、高さ8cmの円柱を自分でかき、底面の円と半径の印も作ってください。底面積、体積の順に求め、それぞれの単位と、直径をそのまま半径にしない理由を説明します。円周率は3.14です。
半径9÷2=4.5cm、底面積4.5×4.5×3.14=63.585cm²、体積63.585×8=508.68cm³。児童の円柱・底面の図と半径、面積と体積の区別を見る。
- 児童の円柱・底面の円・半径4.5cm
- 底面積63.585cm²と体積508.68cm³
- 直径を半分にする理由と高さ8cm
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童が直径9cmから半径4.5cmを示した印を確認します。63.585cm²と508.68cm³を、底面の広さと立体の大きさに対応させます。
底面が上底3cm・下底9cm・高さ4cmの台形で、角柱の高さ7cmの立体を、自分の底面の図と見取図に表してください。面積の式を使う所と、体積へ進む所を対応させて説明します。
底面積(3+9)×4÷2=24cm²、体積24×7=168cm³。児童の台形の底面とその間の高さ7cm、面積の高さ4cmを照合する。
- 児童の台形の底面と見取図
- 二種類の高さと単位
- 底面積24cm²×7cm=168cm³
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。台形の高さ4cmと角柱の高さ7cmを別々に示した児童の図を見ます。面積の式から体積の式へ移る所を説明してもらいます。
図のL字形を底面とし、角柱の高さ6cmの立体を自分の見取図にしてください。全体から引く方法と、底面を二つの長方形へ分ける方法で体積を求め、一致する理由を説明します。
底面は10×8−4×3=68cm²。二分なら6×8+4×5=68cm²など。体積68×6=408cm³。児童の二通りの底面図と、同じ高さ6cmが全体にあることを確認する。
- 児童のL字底面と角柱の見取図
- 底面の二通りの68cm²
- 底面積×6cm=408cm³
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二通りの底面の分け方と見取図を照合します。欠けた部分と二つの長方形、共通の角柱の高さ6cmを確認します。
内側の底面12cm×10cm・高さ10cmの直方体の容器に、水が深さ4.71cmまであります。全部を内側の半径5cm・高さ20cmの円柱の容器へ、もれず、こぼれず移します。厚さは考えません。自分の二つの図と同じ水の体積から、移した後の深さを求め、あふれないことも確かめます。円周率は3.14です。
水の体積12×10×4.71=565.2cm³です。円柱の底面積5×5×3.14=78.5cm²、深さ565.2÷78.5=7.2cm。78.5×7.2=565.2で戻せ、7.2<20なのであふれません。児童の同じ体積と異なる底面・深さの対応を見ます。
- 児童の移す前後の二図と内側の寸法
- 同じ体積565.2cm³から7.2cm
- 掛け戻しと容器の高さ20cmとの比較
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。同じ水の体積を保つ児童の二図、内側の寸法、掛け戻しと容器の高さを確認します。練習用の条件であり、実際に水を移した記録とはしません。実測した場合は道具・内側の寸法・水もれなどの条件も記録します。
底面積0.06m²、二つの底面の間の高さ35cmの角柱について、自分の図と二通りの単位の式を作ってください。体積をLで求め、cmでそろえる方法とmでそろえる方法が同じ量になることを説明します。
0.06m²=600cm²、600×35=21000cm³=21L。別法35cm=0.35m、0.06×0.35=0.021m³=21L。児童の図・面積と長さの異なる換算率・二つの体積の対応を確認する。
- 児童の底面積と高さの図
- 600cm²×35cmと0.06m²×0.35m
- 21000cm³=0.021m³=21L
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二つの単位の式を照合します。長さ・面積・体積で換算率が異なることを、図と単位から説明してもらいます。
半径3cm・高さ12cmの円柱と同じ体積で、底面の半径を6cmにした円柱を作ります。自分の二つの見取図と底面積の比較を作り、新しい高さを求めて理由を説明します。円周率は3.14です。
元の体積3×3×3.14×12=339.12cm³。半径2倍で底面積4倍なので、高さは12÷4=3cm。6×6×3.14×3=339.12で確かめる。児童の表や図、同じ体積という条件を見る。
- 児童の二つの円柱と同じ体積の条件
- 半径2倍→底面積4倍→高さ1/4
- 高さ3cmと体積の掛け戻し
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二つの底面積の比較を見ます。半径2倍を高さ1/2へ機械的に結び付けず、面積4倍と同じ体積から高さ1/4を説明できるか確かめます。
底面の三角形の底辺6cm、その高さ4cm、角柱の高さ10cmの三角柱について、「6×4×10=240cm³」という説明を、自分の底面図と見取図で直してください。どの面積を求めたかも説明します。
底面は三角形なので6×4÷2=12cm²。12×10=120cm³が正しい。誤りは三角形をその底辺と高さを二辺とする長方形の面積24cm²としていること。児童の半分の対応と二種類の高さを照合する。
- 児童の三角形の底面と見取図
- ÷2が必要な理由と二種類の高さ
- 正しい体積120cm³
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。120cm³へ答えを直しただけでなく、元の式が長方形の面積を使っていたことを児童の図と説明で確認します。三角形の半分と角柱の高さも照合します。
体積が628cm³になる三角柱と円柱を一つずつ、自分で寸法を決めて図にしてください。底面積と高さを別々に示し、二つの体積が同じになることを確かめます。円周率は3.14です。
例は底辺10cm・三角形の高さ8cm・角柱の高さ15.7cmの三角柱で40×15.7=628cm³、半径5cm・高さ8cmの円柱で78.5×8=628cm³。児童の別の成立する二図と寸法、三角形の実現可能性、面積と体積の単位を認める。
- 児童の成立する三角柱と円柱の二図
- 底面積とそれぞれの高さの区別
- 両方628cm³になる式と単位
児童の見取図・底面の図・垂直な高さ・式と単位を照合し、別の正しい方法も認めます。児童の二つの底面と見取図、決めた寸法が成立するか確認します。例の寸法への一致は求めず、別の正しい二つの628cm³も認めます。